CC BY
16
Серия «Математика»
2011. Т. 4, № 3. С. 124-131
Онлайн-доступ к журналу: http://isu.ru/izvestia
ИЗВЕСТИЯ
Иркутского
государственного
университета
УДК 519.517
Об одном семействе стационарных распределений системы уравнений Власова—Максвелла—Фоккера—Планка
Э. И. Семенов
Институт динамики систем и теории управления СО РАН А. В. Синицын
Universidad Nacional de Colombia, Bogota, Colombia
Аннотация. Для стационарной системы Власова-Максвелла-Фоккера-Планка построено семейство распределений в виде экспоненты, зависящей от одной скалярной функции, посредством которой определяются соответствующие электромагнитные поля. Показано, что для одночастичной функции распределения разрешимость системы ВМФП сводится к одному полулинейному эллиптическому уравнению Ли-увилля, для которого приведены точные решения.
Ключевые слова: система Власова-Максвелла-Фоккера-Планка; стационарные решения; уравнение Лиувилля.
1. Введение
Динамика плазмы, состоящей из одного сорта частиц, описывается стационарным уравнением Власова-Фоккера-Планка (ВФП)
^• /+т^хв).+/ а.ц
дополненного уравнениями Максвелла для самосогласованного поля
V- Е = 4пд/ /(г, (1.2)
./к3
V х Е = 0, (1.3)
V х В = 4^ Д V/(г, у)ёу, (1.4)
V- В = 0, (1.5)
Здесь / △ /(г, V) : К6 ^ М+ △ (0, +го) — функция распределения; г △
(х,у,г) е К3, V △ (ух,уу,ух) е К3 — состояние и скорость частиц; V =
( д д д \ д д
\дх, ду, дг) — оператор набла; Е(г) = (Ех(г),Еу (г),Ег (г)), В (г) =
(Бх(г),Бу(г),Дг(г)) — самосогласованное электрическое и магнитное поле соответственно; Л е М+ — коэффициент сноса; Т е М+ — коэффициент диффузии; д, т > 0 — заряд и масса частиц соответственно; с — скорость света.
Цель настоящей работы построить аналитические решения стационарной системы Власова-Максвелла-Фоккера-Планка (ВМФП) (1.1) -(1.5). Первые результаты по существованию решений системы ВМФП получены в [1, 2]. Отметим, что близкие задачи для системы Власова-Максвелла рассматривались в цикле работ Рудых-Сидорова-Синицына (см. главу 7 монографии [3] и имеющуюся там библиографию).
Мы будем отыскивать стационарные распределения для уравнения ВФП 1.1 в виде
/(г, V) = ехр{—а^|2 + d • V + ^>(г)} (1.6)
и соответствующие электромагнитные поля Е(г), В (г) удовлетворяющие уравнениям Максвелла (1.2) - (1.5). Здесь <^(г) : К3 ^ М — функция, которая будет определена позднее, d △ (йх,йу,йх) е К3 — постоянный вектор, ^| = 0, а е М+.
Отметим, что в работе [4] были найдены другие стационарные распределения для уравнения ВФП (1.1).
2. Основные результаты
Лемма 1. Если функция распределения /(г, V) вида (1.6) является решением уравнения ВФП (1.1), то имеют место соотношения
—Е • d = — ^|2, (2.1)
т 2а1 1 ’ К ]
Vm — 2адЕ + — В х d + Лd = 0, (2.2)
т тс
2аТ — Л = 0. (2.3)
Доказательство. Пусть функция распределения /(г, V) определяемая
формулой (1.6) удовлетворяет уравнению ВФП (1.1). Подставляя ее в уравнение (1.1), приходим к равенству
Vш • V + — Е • d----—Е • V +—— (В х d) • V = 3Л + Лd • V — 2аЛЫ2+
т т тс
+ (|d|2 — 4ad ■ v + 4а2|v|2 — 6aj T.
Приравнивая в этом соотношении коэффициенты при одинаковых степенях вектор-скорости v получим следующие формулы
1: qE ■ d = 3Л + (|d|2 — 6а) T, (2.4)
m V /
v : Vw — — E + — B x d = (Л — 4aT) d, (2.5)
m mc
|v|2 : 2а (2aT — Л) = 0.
Так как параметр а > 0, то из последнего равенства следует формула
(2.3), с учетом которой выражения (2.4), (2.5) сводятся к соотношениям (2.1), (2.2). Что и требовалось доказать. □
Таким образом, если функция распределения f (r, v) имеет вид (1.6), то искомые электромагнитные поля E(r), B(r) помимо уравнений Максвелла (1.2)—(1.5) должны удовлетворять соотношениям (2.1), (2.2).
Лемма 2. Если электромагнитные поля E(r), B(r) определяются формулами
. 2amc2 „ Лт ,
E(r) = 2 2----Vw + -— d, (2.6)
q (4a2c2 — |d|2) 2aq
mc
B(r) =-----2 2 Vw x d + bod, bo e R, (2.7)
q (4a2c2 — |d|2)
а скалярная функция w(r) удовлетворяет условию ортогональности
Vw ■ d = 0, (2.8)
то при 4ac2 — |d|2 = 0, уравнения (2.1), (2.2) выполняются тождественно.
Доказательство. Подставляя выражения для электромагнитных полей (2.6), (2.7) в уравнения (2.1), (2.2), соответственно, получим
2ac2 „ Л . ,|2 Л . ,|2 ,
-—^-----1 ,юч Vw ■ d +---|d| =— |d| , (2.9)
(4a2 c2 — |d|2) 2a 2a1 1 ’ V 7
( 4a2c2 \ 1
^ — 4ac2 — |d|2) Vw — 4ac2 — |d|2 (Vw X d) X d = 0
Используя свойства двойного векторного произведения последнее соотношение преобразуется к виду
1—
Vw — 4ac2 — |d|2 ((Vw ■ d) d — |d|2V^ =0- (2.10)
4ac2 — | d| ^ у 4ac2 — |d|2
При условии (2.8) равенства (2.9), (2.10) обращаются в тождества. Лемма доказана. □
Замечание 1. В силу постоянства вектора а векторное произведение х а представимо в виде V х (ра). Следовательно вместо формулы
(2.7) можно использовать следующее выражение для магнитного поля
тс
В(г) = -д (4а2с2 -|а|2) У х М) + М, 6с € М. (2.7)'
тср(г)
Здесь величина-------——^а играет роль векторного потенциала
д (4а2с2 — |а|2)
магнитного поля.
Лемма 3. Пусть функция распределения f (г, V) определяется формулой (1.6), а электромагнитные поля Е(г), В(г) вида (2.6), (2.7) удовлетворяют уравнениям Максвелла (1.2)-(1.5), тогда скалярная функция р(г) является решением полулинейного эллиптического уравнения Лиувилля
Ар = тЬ (а) /ехр (!4а) (4Л2 — |а|2) ехр(р)- (2Л1)
Доказательство. Подставим электрическое поле Е(г) определяемого формулой (12) в уравнения Максвелла (1.2), (1.3). В силу равенства
V ■ (V х Е) = 0, справедливого для любой вектор-функции ^(г), уравнение (1.3) выполняется тождественно, а из уравнения (1.2) получим
2атс2
д (4а2с2 — |а|2)
Ар = 4пд / f(г, v)dv. (2.12)
./м3
д2 д2 д2
Здесь А- = —^ ■ — оператор Лапласа в пространстве
дх2 ду2 д,г2
переменных (х, у, г). Соответственно, для магнитного поля В(г) вида
(2.7) из уравнения (1.5) имеем
тс
V- (Ур х ё) = 0. (2.13)
д (4а2с2 — |а|2)
С учетом свойств оператора V получим цепочку равенств
V ■ х а) = а ■ (V х Vр) — Vр ■ V х а = а ■ (V х Vр) = о.
Заметим, что последнее равенство имеет место в силу формулы V х Vр = 0, справедливой для любой скалярной функции р(г). Таким образом соотношение (2.13) выполняется тождественно. Из уравнения
(1.4) получим
тс ^ 4пд Г
2 2---гтг^V х (^ х а) =----------- Vf (г, v)dv.
д (4а2с2 — |а|2) с Умз
Так как V х (Ур х ф ^ -V) Ур — dAр, то последнее соотношение преобразуется к виду
тс 4пд
- . V* V) Й V.
((d ■ V) Ур — dAр) = —^ [ V*(г, v)dл
С ^R3
д (4а2с2 — |d|2) с У^з
Домножая полученное выражение скалярно на постоянный вектор d, с учетом условия ортогональности (2.8), имеем
—тСИ^Ар = -пд / (d ■ V) /(г, У)ЙУ. (2.14)
д (4а2с2 — ^|2) с Укз
Осталось вычислить интегралы стоящие в правых частях формул (2.12),
(2.14). Поскольку, функция распределения /(г, V) определяется формулой (1.6), то соответственно, находим
!■ /■„ !■ „ !„ П3/2 /^|2\
Хз /(г,v)dv "/—„/—„/—„ /(г, ^ = аз/2ехр (1а)ехр(р),
г г„ г„ г„
/ (d ■ V) /(г, v)dv = / / / (йжV* + йу+ 4) /(г, v)dvxdvy
</М3 J—„ J — „ J—„
п3/2!^2 (^|2^ ( )
= ^07^ ехр(р)'
С учетом последних формул, легко показать, что соотношения (2.12),
(2.14) сводятся к полулинейному эллиптическому уравнению Лиувилля
(2.11). Что и требовалось доказать. □
Итак, для полного определения функции распределения /(г, V) и электромагнитных полей Е(г), В (г) , осталось найти скалярную функцию р(г) удовлетворяющую уравнению Лиувилля (2.11) и дополнительному условию ортогональности (2.8).
Соотношение (2.8) есть линейное дифференциальное уравнение в частных производных первого порядка для функции р(г). Оно имеет общее решение вида
р(х,у,г) = р(«г,^г), г = 1,2,3,
где
П\ = йу х — йжу, VI = йг х — йжг, (4х = 0), (2.15)
И2 = йг У — йу г, V = йхУ — йу х, (йу = 0),
из = — йг х, из = йу г — йг У, (йг = 0).
В дальнейшем, для краткости, будем рассматривать решения р(г) только с переменными (и = и, VI = и), поскольку функции с переменными
(и2,и2) и (и3,и3) получаются из решения р(и1,и1) циклической перестановкой х ^ у ^ г ^ . В этом случае оператор Лапласа в уравнении
(2.11) в переменных и, V запишется следующим образом:
Хорошо известно, что невырожденным преобразованием оператор, стоящий в правой части последнего равенства, можно привести к каноническому виду. Так, если положить
и й1, а2 произвольные постоянные, не равные одновременно нулю, мы получим
^ > 0 — это условие обеспечивает невырожденность преобразования
(2.16). Таким образом, вместо уравнения (2.11) с дополнительным условием (2.8) все свелось к разрешимости в двумерном координатном пространстве переменных (£, п) одного автономного уравнения Лиувилля вида
(2.16)
где
Здесь
^55 + = 7 ехр(^), <р △ ^(£, п),
(2.18)
где константа 7 определяется равенством
(2.19)
Уравнение (2.18) при 4а2с2 — ^|2 > 0 обладает следующими точными решениями [5]
(2.20)
130 Э. И. СЕМЕНОВ, А. В. СИНИЦЫН
если 4a2c2 — |d|2 < 0, то имеем
, , / 2 92 + Й\
^п> = 4 — y -л*Т ■
(2.21)
Здесь 0(£, п) — произвольная гармоническая функция, отличная от постоянной. При этом текущие переменные £ и п связаны с исходными
переменными х, у, г соотношениями
£ = (Му + М.г )х — а^хУ — &1 йжг,
П = (а2^у + )х — а2^хУ — &2^жг. (2.22)
Все сказанное выше можно резюмировать в виде следующей теоремы
Теорема. Стационарная система уравнений Власова-Максвелла-Фоккера-Планка (1.1)-(1.5) обладает точным решением вида
/(х,у, г, ^^у^) = ехр{—а [у^ + V;) + vQ^ + +^уVy + 4V* + р(£,п)},
E(x, y, z) =
2amc2
q (4a2c2 — |d|2)
д д \ (aidy + bidz) + (a2dy + b2dz) i —
. , dw , dw \ Л , dw , , dw . ,
— ( aidx: + a2dx;дПу j + ^bidx: + b2dx:дП ) k
Am ,
+-------d,
2aq
B(x, y, z) = —
mc
q (4a2c2 — |d|2)
(bidy — aidz)dx+ (b2dy — a2dz)dxi—
— ^ (bidX + aidydz + bid^j + (b2d“X + a2dydz + b2d^ ——^ j+
+ ^ ^aidX + aid2 + bidzdy^ + ^a^d^ + a2dy + b2dzdy^ j-^ k
+ bo d,
где р(£, п) любая из функций (2.20), (2.21), а переменные (£,п) определяются формулами (2.22).
Список литературы
1. Семенов Э. И. О новых точных решениях неавтономного уравнения Лиувилля / Э. И. Семенов // Сиб. мат. журн. - 2008. - Т. 49. № 1. - С. 207-217.
2. Dressier K. Steady-states in plasma physics - the Vlasov-Poisson-Fokker-Planck equations / K. Dressier // Math. Methods in the Applied Sciences. - 1990. - Vol. 12. - P. 471.
3. Glassey R. Steady-states of the Vlasov-Poisson-Fokker-Plank system / R. Glassey, J. Schaeffer, Y. Zheng // J. of Math. Anal. and Applications. - 1996. - Vol. 202, N 3. - P. 1058(18).
4. Lyapunov-Schmidt Methods in Nonlinear Analysis and Applications / N. Sidorov, B. Loginov, A. Sinitsyn and M. Falaleev. - Kluwer Academic Publishers, 2002. -548 p.
5. Semenov E. I. New stationary distributions of the Vlasov-Maxwell-Fokker-Planck’s system / E. I. Semenov, A. V. Sinitsyn // Physics Letters A. - 2010. - Vol. 374. - P. 4222-4225.
E. I. Semenov, A. V. Sinitsyn
On a family of steady-state distributions of the Vlasov-Maxwell-Fokker-Planck system
Abstract. A family of distributions in the form of an exponential, which depends on a scalar function is constructed for the steady-state Vlasov-Maxwell-Fokker-Planck system. Through a scalar function defined relevant electromagnetic field. It is shown that solvability of the VMFP system for one-kind distribution function reduces to semilinear elliptic Liouville equation. We present some exact solutions of the last equation.
Keywords: Vlasov-Maxwell-Fokker-Planck equation, steady state solution, Liouville equation
Семенов Эдуард Иванович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт динамики систем и теории управления СО РАН, 664033, Иркутск, ул. Лермонтова 134, тел.: (3952)453099 (semenov@icc.ru)
Синицын Александр Владимирович, доктор физико-математических наук, Universidad Nacional de Colombia, Bogota, Colombia (avsinitsyn@yahoo.com)
Edward Semenov, Institute for System Dynamics and Control Theory SB RAS, 664033, Irkutsk, Lermontova st. 134, Phone: (3952)453099 (semenov@icc.ru)
Alexander Sinitsyn, Universidad Nacional de Colombia, Bogota, Colombia (avsinitsyn@yahoo.com)
