НОВАЯ ОЦЕНКА ДЛЯ ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОГО МНОЖЕСТВА СУММЫ ДВУХ ПРОСТЫХ ЧИСЕЛ ИЗ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 23. Выпуск 2.

УДК 511.2 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-2-21-41

Новая оценка для исключительного множества суммы двух простых чисел из арифметической прогрессии

И. Аллаков, А. Ш. Сафаров

Аллаков Исмаил — профессор, доктор физико-математических наук, Термезский государственный университет (Узбекистан, г. Термез). e-mail: iallakov@mail.ru

Сафаров Абдувахид Шукурович — кандидат физико-математических наук, Термезский государственный университет (Узбекистан, г. Термез). e-mail: asafarovl977@mail.ru

Аннотация

В работе изучается вопрос о представлении чисел суммой двух простых чисел из арифметической прогрессии, т.е. бинарная задача Гольдбаха, когда простые числа берутся из арифметической прогрессии. Доказаны новые оценки для количества четных натуральных чисел которые (возможно) не представимы в виде суммы двух простых чисел из арифметической прогрессии и для числа представления данного натурального числа , в виде суммы двух простых чисел из арифметической прогрессии.

Ключевые слова: Характер Дирихле, нули L-фунции, гипотеза Римана, исключительное множество, исключительный нуль, оценка снизу, оценка сверху.

Библиография: 30 названий. Для цитирования:

И. Аллаков, А. Ш. Сафаров. Новая оценка для исключительного множества суммы двух простых чисел из арифметической прогрессии // Чебышевский сборник, 2022, т. 23, вып. 2, с. 21-41.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 23. No. 2.

UDC 511.2 DOI 10.22405/2226-8383-2022-23-2-21-41

New estimates for the exceptional set of the sum of two primes

from an arithmetic progression.

I. Allakov, A. Sh. Safarov

Allakov Ismail — professor, doctor of physical and mathematical sciences, Termez State University (Uzbekistan, Termez). e-mail: iallakov@mail.ru

Safarov Abduvahid Shukurovich — candidate of physical and mathematical sciences, Termez State University (Uzbekistan, Termez). e-mail: asafarovl977@mail.ru

Abstract

The paper studies the question of representing numbers as the sum of two primes from an arithmetic progression, that is, the binary Goldbach problem, when primes are taken from an arithmetic progression. New estimates are proved for the number of even natural numbers that are (possibly) not representable cis ci sum of two primes from an arithmetic progression and for a number representing a given natural number, cis ci sum of two primes from an arithmetic progression.

Keywords: The Dirichlet charakter, Dirichlet L-function, exceptional set, representation numbers,exceptional zero, exceptional nature, main member, remaining member.

Bibliography: 30 titles. For citation:

I. Allakov, A. Sh. Safarov, 2022, "New estimates for the exceptional set of the sum of two primes from an arithmetic progression" , Chebyshevskii sbornik, vol. 23, no. 2, pp. 21-41.

1. Введение

Формулировка результатов

Пусть X — достаточно большое действительное число, п — натуральное, р, Р1/Р2 — простые числа, Е(X) — количество четных натуральных чисел которые (возможно) не представимы в виде суммы двух простых, т.е. в виде

п = Рг + Р2. (0.1)

Далее, пусть М(0,Х) — множество четных натуральных чисел п < X, которые (возможно) не представимы в виде

п = рг + Р2, Рг = к(то<10), (1^ О) = 1,г = 1, 2; (0.2)

здесь 1\ и ¿2 произвольные фиксированные целые числа, удовлетворяющие условиям 1 < 1г,12 < О, (1г,Б) = 1, (12, О) = 1. Обозначим: Е(Б,Х) = сагйМ(Б,Х); К(п,0) - число представлений п в виде (0.2); с^ (] = 1, 2,...) — некоторые положительные постоянные, ^(а) — функция Эйлера.. Числа, которые представимые в виде (0.1) будем называть гольдба-ховым числами [1], а числа, которые представимы в виде (0.2), будем называть гольдбаховыми числами в арифметической прогрессии . После известных работ И.М.Виноградова [2,3],и Хуа Ло Кена [4,5], Ван дер Корпут [6], А.Г.Чудаков [7] и Т.Эстерман [8] применили круговой метод Харди-Литтлвуда [9,10] к решению бинарной проблемы Гольдбаха и доказали, что почти все четные числа представимы в виде суммы двух нечетных простых чисел. Точнее говоря, они доказали, что если обозначить через Е(X) — число четных чисел п,п < X , которые возможно не представимы в виде суммы двух простых чисел, тогда Е(X) ^ 1„ах ■ А.Ф.Лаврик [11] получил асимптотическую формулу для К(п, И) , которые справедливы для всех п,п < X, за исключением Е(И, X) ^ ¡„Ах значений из них (гДе А — некоторое чиело, ^ — символ Виноградова, запись f ^ д — означает, что | f |< сгд , (т.е. это символ О— большое), где сг — постоянное число.

Затем Р.Вон [12], Г.Монтгомери и Р.Вон [13] улучшили эту оценку показав, что Е(X) < < Хехр(—с2л/ 1пХ) и Е(Х) < X1-5 , соответственно. Здесь X — достаточно большое, 6 — малое действительные числа, С2 — абсолютное постоянное. И.Аллаков [14], реализуя идею Б.М. Бредихина, получил оценку снизу для К(п) справедливую для всех п,п < X , за исключением Е(X) < X1-5 значений го них. Здесь К(п) — числа представления данного натурального

числа п в виде (0,1). Аналогичные результаты были получены относительно задач: Харди-Литтлвуда [15,16], Хуа-Ло-Кена [17,18,19] и об одновременном представлении чисел суммой простых чисел [20,21,22]. Используя схемы работы А.Ф.Лаврика [11] и Р.Вона [12], И.Аллаков [23] доказал теорему:

Теорема А. При И = р'° и И ^ 1пАХ справедливы оценки:

X

Е(И,Х) < сз^—ехр(-С4уДпХ)

и для п £ М(И,Х),п < X

г*

<р(И)1 п2 п V ехр(с%\/ 1пп)) ^ 4

К{п,И) ^ С5^ША - ехр (-17лДпп) ■

В настоящей работе докажем теорему:

Теорема 1. Если X достаточно большое и 5 > 0 достаточно малое действительное числа, то при И < X^, (10$ 1 < 5) справедливы оценки:

X1-Й1

Е(0'Х) < « ¿Щ

и для п £ М(И,Х),п < X

1-7 й п1 8" / I

Я("-0) й С9ШфАг I"8 - Ч- (0-8>

Теорема 1 является усилением и обобщением в арифметическую прогрессии соответствующих результатов И.Аллакова [23] и Монтгомери - Вона [13].Отметить, что теорема 1 отличается от теоремы А в следующем: в теореме А разность арифметической прогрессии равна И = р® (т.е. равна степени простого числа) и И ^ 1пАХ, а исключительное множество удовлетворяет оценку Е(Б,Х) < с3-^щ^хр(—с4лДпХ) , а в теореме 1 И — произвольное и 1 < И < X(

¿1 достаточно малое) и исключительное множество удовлетворяет оценку Е(И,Х) < С8 ^(д)

(10 1 < )

Замечание 1. При доказательстве теоремы 1 мы исключаем из рассмотрения некоторые п < Х,

п

рассматриваемой задачи.

Замечание 2. Словосочетание "возможно непредставимые в виде ... "здесь означает, что для таких п также могут существовать такие представления, но их количество К(п, И) для п

рять обратное неравенство, т.е.

1-7 г

п1 8" /5 \

К(п,В) < С9 Ш^п (п8 - Ч -2. Обозначение и необходимые леммы

Пусть а и д, (а, д) = 1 — целые положительные числа, а а, (0 < а < 1) произвольное действительное числа, Хд — характер Дирихле по модулю д (см.[24]), Хд — характер Дирихле по модулю д сопряжены с Хд-

Положим е(а) = е2жга,а = | + г],( = (д,И),М = ^(шоёд) , (т.е. через N обозначен наименьший положительный вычет числа ^ по модулю д ), здесь д определяется из сравнения

ддй 1 = 1(шоё д);Н(д) = 1, если (дй г;0) = 1; противном случае Н(д) = 0 (см. [11,23]). Для

удобства записи также обозначим

Б = Бг(Х; а) = ^ хР(к) ^ Хв(рд(1пр$е&а), г = 1,2 (1.1)

) Хю Р<р<Х

д^ = (X ;а)= £ <-1 е(пга), г = 1,2 (1.2)

Р<щ<Х П1=1 (тосСВ)

где Р достаточно большое действительное число, зависящее от X . При этих обозначениях, используя свойство характеров Дирихле [24,25], имеем

Б = Бг -Б2 = * ^ 1прг1 пр2((рг + Р2)а) ^ хв(Iг)Хв(Рг) ^ Хв(Ь)хв(Р2) =

^ ( ) Р<Р1,Р2<Х ХЮ ХЮ

= ^пР2((Р г + Р2) а) = ^ К(п,Б)е(па), (1.3)

Р<Р1 ,Р2<Х Р<п<2Х Р1=Ь,Р2=Ъ(тосСВ)

где

К(п,Б)= ^ 1п рг 1п р2. (1.4)

П=р1+р 2

Р<Р1,Р2<Х Р1 =11,Р2=12 (шоёД)

Если 2 < и < 1, то используя суммирование по частям (см. лемма 3.5 работы [23]), получим

дУ(Х;а) « тт (сГи, , (1.5)

где ||а|| — означает расстояние от а до ближайшего целого числа, т.е.

а, если0 < а < г,

.. .. I а, бсл-кл.^ ^ г\ ч

||а| = Ь г ^ / 1

11 — а, если г < а < 1.

Полагая

р = х Ь5ид = хр-г, (1.6)

делим интервал [0,1] на основные и дополнительные подинтервалы. Для 1 < а < д < Р, (а, д) = 1 через М(д, а) обозначим основной интервал [| — , | + ]. Ясно, что основные

интервалы не пересекаются, так как

а а д д'

1 2Р д + д' 1 1

> — > - > =--1--.

дд' дд'(2 дд'2 д(2 д'(2

Объединение основных интервалов обозначим через N . Далее, пусть Т — множество тех а, для которых 2-г < а < 1 + 2-г,а N Таким образом, Т — объединение дополнительных интервалов. Теперь К(п, И) можно представить в виде

К(п,0) = Кг (п,Б) + К2(п,Б), (1.7)

где

Кг(п,0)= Б(а)е(—па)йа, К2(п, И) = Б(а)е(—па)йа. ./м Зт

При изучении R(n, D) будем использовать следующее леммы.

Лемма 1.1 Пусть % — характер Дирихле модуля q < Р и L(s,%) — соотвествующие L — функции Дирихле, тогда:

а) функции L(s,%), s = а + it в области:

0,0019128 , . „19 . .

1 — , „—< а < 1, midt |< Р-4, (1.8)

n Р

могут иметь единственный вещественный нуль 5 = 1 — ß для одного вещественного примитивного характера % по модулю 5 < Р; (если существует такой вещественный исключительный нуль, то положим Eß = 1, иначе положим Eß = 0).

б) если L(s,х) имеет такой (исключительный) нуль, то область (1.8) можно заменить на область

а > 1--ln(-1- ) , |i| < Р£, 51 пР < —; (1.9)

81/пР \2005IпР) 1 1 < < 200е' v ;

в] этот исключительный нуль удовлетворяет неравенствам

0,4961 5 0,3

< 1 — 5 < -г1-:.

51/21 п2 5 Inq'

Доказательство леммы 1.1 имеется в работах [14,25,26,27]. Лемма 1.2 Пусть

N = (1 + 16 5), 0 < 5 < 0, 01 и exp(ln1/2X) < Р < XЫ,ХР-1 < h < -X, 115 v J 2

тогда

VV* max max (h + X |

^2#X(P)1 np

x—h

iC2 exp (—ca^) , Eß = 0;

\C4 exp (—Cb^nXX) (1 —ß)lnP, E~ß = 1,

где

x

E lnp — E 1, ПРИ 4 = 1,

x—h x—h<n^x

x

E X(p) lnp + E nß-1, при Eß = 1,

x-h x-h<n^x

n>0

x

E x(p) lnp, в остальных случаях.

x- h

^2#x(p) lnp

=

Доказательство леммы 1.2 имеется в работах [13,14,28].

Лемма 1.3 [13]. Пусть хо— главный характер по модулю ц,х%— примитивные характеры по модулю г г, г = 1, 2; гз = [ г 1, Г2] — наименьший общий кратный пи г 2- Тогда для т = 0

Е ^Щ) 1С»Х2Х0 (тМХ1Хо)т(х2Хо)| < ^т),

где суммирование ведется по всем ц кратным п и г 2.

§2. Дополнительные интервалы Рассмотрим В,2(п,0) . В силу равенству (1.7) и тождества Парсеваля [29], имеем

VR2(n,D)= / IS(a)l2da < (max|Si(a)|)2 / IS2(a)l2da, (2.1)

„ jt t Jt

здесь

г г i+Q-1 г i+Q-1

/ IS2(a)l2da < |S2(a)l2da < ^ lnpilnp2 e((p1 — p2)a)da < ^ ln2p

Jt Jq-1 P<pip2<x Jq-1 P<p<X

Согласно, теореме 5.2.1 К.Прахара [27] при X > 2 и D < X1/2 , имеем

£ lnp« т ■

p< X p=l (modD)

Поэтому

X

X

ISi(a)l2da < (/nX) V lnp ^^—InX. (2.2)

Jt V(D)

P< p< X p=l (modD)

Для того, чтобы оценить max |Si ( a)| будем использовать оценки, полученный в работе

а£Т

[16], согласно которым: если R ^ q ^ R и 1 ^ R ^ X 3, (a, q) = 1,

a - -a д

2 R

^ тогда

д М'

Б (а) «ХИВТ2 (1пХ)Т . (2.3)

Согласно теореме Дирихле об аппроксимации существуют такие д ^ Я и а с условием 1 ^ а ^ q , (а, д) = 1, для которых |а — сщ-г| ^ ^Я)-1- Это означает, что а еМ ^ ,а), если д ^ Р. Значит для а е Т имеем д > Р и, следовательно, в (2.3) можем полагать К = Р. Теперь из (2.1),(2.2),(2.3) следует

(к,») « Р^ш1пг2х- (24)

п^Х ^ ( )

3. Упрощение интеграла по основным интервалам.

Согласно обозначению (1.1) имеем

Бг = Бг (X; а) = ^Хи (к) ^ Хи (Рг) (Iпрг) е (Рга), 1 = 1,2. ^ ( ) Хю Р<р^х

Так как а = ^ + г] и если р > Р и д ^ Р, то (р, (¡) = 1. Отсюда следует, что

е (Ра) = -V-)Е Хд (Ра) г (Хд) е (рг)) Используя (3.1) в (1.1), Si можем написать в виде:

Б = шГтУ) (к) ^ Хо (Рг)(1п Рг) ( -\Хд М Т(Хд )е (рГ])

^ ( ) ХБ Р<Рг^Х (д) ХЧ

д ( ак \

ю (П)м (а) Е (1 ^ХДд (к)е ("-) Е (1 пР^Хо ЫХд (Pí)е(Р. (3.2)

^ ( ) ^ ХО, Хд Н=г ^ 4 ' Р<р^,Х

Для удобство обозначим:

1 q (ahN

= mw) (iг)£Ха(h)e

Gi = Yl (lnPi)XD (Pi)Xg (Pi)e(Piv) г = 1,2.

P<Pi<X

Рассмотрим Gi. Так как произведение характеров есть характер, ведущий модуль которого равняется наибольшему общему кратному модулей [10,26], то можем полагать

XD (И) Xg (*) = X» W .ш = JDj = f.

Следовательно, Gi = Е Inp-iXm (Pi) е (pi,rj) = Gi (xm. . Из (2.2) получим

Si = AiGi (Xm. i?). (3.3)

Применяя леммы 2.4 и 2.5 работы [11],при Q' = D. Q" = g. Q = ш находим xm = Xrn> т0ГДа и только, когда

*=^W £ ^(г i)xd (h)e (т) =

= Е' 4-) = H (q)^W(-Ъ к) =Ьг г = 1, 2. (3.4)

<р (D)<p (q) ^ \qj (% (D)p(*) U ) ^ ( )

h = 1

h = k (mod d)

где H(q) равен 1, если ,D) = 1. иначе H(q) равен 0. У нас р > Р обеспечивает, что Gi (xm. v) = Gi (xm. v). гДе Xm- примитивный характер по модулю ш. Далее, положим,

О (Хш, V) = 9? (X, V) + ^ (Х°, V) , Сг (ХшХ°т, V) = gf (Х, V) + Wг (Х°тХш, V) (3.5)

и (Хт, ц) = Wi (~Хт, ц), если Хт = Хт Хт = ХтХ^, главный характер по модулю

т, а Хт — исключительный характер по модулю т, Сначала пусть не существует исключительный нуль /5, тогда, используя (3.3) и (3.5) из (3.2), находим

^ = Н (?) (п^^ 6 ^ ( ^ (Х, Ч) + ^ (Хт, .

Отсюда

^ -^2 = МА29{1) (Х, Г]) 5(2) (Х,П) +А1А29{1) (Х, Г1)Ж2 (Хт,ч) + +А1А2^12) (Х, Г]) Wl (Хт, V) + А1А2^1 (Хт, Г}) ^2 (Хт, Г}) .

Следовательно,

^ 2 (Я.\ ^ / \

ЕЕ'/ ^ (—шу)Ла = £Н (9) Е' е ^ (* 1+*2)) х

^р а=1 м{д>в) ^р ^ и; 0=1 /

х J 5,i1) (X, v) 5,i2) (X, v) е (-па) da+

М (q,a)

+ ^ I А^д^ (Х,Л)Ш2 (Хт,п)^(—па)йа+

д 4 Р а=г М(д,а)

д' Г

+ Е Е I А1А29(1] (х,п)Жг (Хт,я)е(—па)йа+

д 4 Р а=1 М(д,а)

+ Е ^ AlA2Wl (Хт, Г]) ^2 (Хт, г]) е (—па) йа =

д 4 Р а=1 М(д,а)

= Мг + М2 + М3 + МА. (3.6)

На правой части (3.6) второе и третье (М^ и Мз) слагаемые оценивается одинаково. Рассмотрим М2. Имеем а = а + V и

М2 = £ ^ I АгА2д((1) (Х,Я)т2 (Хт, г])е(—па)йа =

д 4 Р а=1 М (д,а)

£

д4Р

(1)

^ рм (?) а=1

^Хт (*2)е к —п) Т (Хт) X

а=1 Хт ^ '

1

х I д^ (X, т]) (Хт,ч) е(пг])ёг] « ^ ■ —^т—) (N1 г — п)т (Хт) х

М (д,а)

т<РО

\2 /X

' „о

д? (х, V)

-

/

\2

т (Хт, Ц)12йц

/

Используя оценку (см. лемма 3.5, [23])

(Х,а) 4 шт[а-и,['~

-ьт)

и лемму 1.3, получим

Аналогично для Мз, имеем

Х\ 1 | N1 г —п1

м2 « © т'2-

Х\ 1 | N12 —п1

Мз« (!) йжт^) ^

Теперь рассмотрим М4. В силу (3.6) имеем

= е е'

(3.7)

(3.8)

(3.9)

1

, ф2 {В)^2 ш Е ^ (1г)ЕХ (кг)е{ х

д 4 Р а=г М(д,а) * ( ) * (Ч) \Х» Н1 = г 4

(т)

1

х

1

1

д (аН2\

Е Х.О (12)^Хд (к2)е ( —) т (Хт, V) т2 (Хт, г])е(—щ)йг) « ХО, Хд ^2 = 1 ^

« Е 1СХтХ'т (1—П + Ь + ЫМ^Т^) \

т<РО

■ У тг (Хт, V) т2 (Хт, V) е (—щ) йг] «

1—П + 1г + 121

V ( I— п + 1г + к])

где

/ 1 /дЯ

Wi = Е Е^ (Хт), т (Хт) т4РО Хт

Таким образом, из (3.6), получим

\

т (Хт,л)1

2 , 1 = 1, 2.

\-г/д Я

/

* (п,в)=Мг + о((§) тА +о((£) т2| +

Б) ^ (]п — N121)

Б) ^ (1п — N111

I п —~ тм)

^ (]1П — к — 121) )

(3.10)

Теперь рассмотрим Мг. Согласно (3.6), имеем

Мг = Е д 4 Р

м2 (I) (о) V2 (!)

I/ а=1

д 1 / д Я

Е' е (Iг + к) — п] [ д1г) (X, г,) д{2) (X, г,)е(—щ)йг1.

п = 1 /

-г/д Я

В силу (2.7)

Следовательно,

Поэтому

1 /2

1/дЯ

9?) (X, V)

с1г] « I Г] 2 ¿7] « дЯ

У д1г (X, ) д!2"1 (X, е (—щ) йг] = п + 0 (дЯ).

м2 (I)

М1 £ Ф2 (О) <Р2 (I)

с' Сд ( ^(11 + 12) —п\)(п + О (дЯ)).

Оценим остаточный член в (3.11), используя равенство

V (0)

Сд (п) = м (Яг)

<Р (Яг)'

где дг = (д1+2ю , находим

«Ям (1}

(3.11)

д4Р

2 Г™ ,дЧ Сд (^ (к + 12 —п\) «Я^Э

V2 (п)^2 (I) ^Р (дг)

<^Х1+5 Р-1.

X

1

1

2

Главный член в (3.11) можно написать как сумму по всем д> 1 в виде (см.[13,14])

~ ц2 т ~ и2 т

£ -щй® с(|~ ° 1+ы—п|—5 -штг) с ^1+ь>—п|)

(п + 0 (,«)) = п-Б) I £ + 0 (Х1+Р-1(1 пЫР)»<пХ) =

8 = 1 £ \ п

( 8 ,Бп) = 1 (г ,Б) = 1

( Х1+5 ч

= п- Н+^р^), (з.12)

где

- <")=ш t е . (3.13)

8=1 1\п

(в, Бп) = 1 (г, Б) = 1

п

- <-> = П (>— П (! + р—г) =

р|Бп р\п

р>2 р\ Б

= л Б И р(р —1) И (р —1)2 И р — 1 (314)

= л -Б) ип И р—2, (3Л4)

р>2 р\Б р\п

р> 2 р \ Б

где Л = 1, если Б четное; при Б нечетном Л = 2. Отсюда (см. [11])

Б п .

- (п) » ТТ^'^-. (3.15)

-(Б) -(п)

Таким образом, в расматрываемым случае, учытивая (3.12) из (3.10), находим

.1 (,Б)=п-(п.) + О (р-Б) +0 ((Б) 1 +

+0 ((Б) ^ +0 . (3.16)

Теперь предположим, что пусть существует исключительный нуль /5, тогда в правой части (3.6) дополнительно появляется ещё пять членов, т.е. в месте (3.6) получим

9, г

ЕЕ / ^е (—па) йа = М1 + М2 + М3 + М4 + Е1 + Е2 + Е3 + Е4 + Е5,

^Р в=1 М (д ,в)

где

Е1 = Е Е' / А1А2^(1) (Х, г}) 42) (Х,г,)е (-™ — щ^ч

д^р в=1 м (д,в)

Е2 = ЕЕ' I А1А2 9{1 (Х, л) 9? (X, п) е (—^ — щ) сЩ

д4Р а=1

М (д,а)

Ез = ЕЕ' I АгА2д^ (х,П)д{~] (х,п)е (—^ — щ) ^

д4Р а=1

М (д,а)

Е4 = Е Е' I А1А29(Х,п)т2 (Хт,Л)е (—— —пЛёг]

д4Р а=г М (д ,а) 4 д 7

Е5 = £ ¿' у АхА2д{2 (Х,п)тг (Хт,л)е (—у —Щ^т].

д4Р а=г М(д,а)

Ясно, что Ег,Е^и Е4, Е5 оцениваются одинаково. Согласно лемме 5.4 работы [11] имеем, если существует исключительный характер по модулю — = дИй-1, то А^(хо, Хд, Я, а) = = ^ЁГМд)Хт(а1 г)Т(Хт). Поэтому

Е4 = Е Щд) ^СХХ0 (]П — (11 + 12)])Т(хт)Т(ХтХ0)х

д4Р Х™

г\д

х ! д^ (X, Г]) т2 (Хт, V) е (—Щ) йг) «

__1_

чЯ

' пП

1/2

« Е ^ЩМ(Я)Т(ХСтХ0)СХтХ0 (](г 1 + 12) —п])

\

д{~] (X,V)

I т (Хт, Г,)]2йг,)1/2 «

« ЩЩ Е ^МШХтХт^Х^ (]—П + (11 + 12)])Х^ШХт*) «

\

X1/2 а(а)

« Що) Т(ХтХ°т)СХтХ°т (]—П + 11 + 12]) т2 (Хт) «

// Х1/2 ] 11 + 12 —П\ ш ( ,

« 2,ъ\ т , 1-^т2(Хт).

Ф2(Щ у (]к + к — п\)

Так как,

1

д(1 (х, V)

« Е 1 е(п1 "ч) Е 1 е(—п2л)^

0 Р<т4Х Р<П24Х

1

1

1

1

1

п - п -

п1 п2

р<п-]_,п2<,х

е(щ — п2)г]йг] = ^ п2(Р 1) ^ Х

(3.17)

Р<п4Х

Так, что, согласно лемме 1.3, будем иметь

Х1/2 | к + 12 — п|

Е4 + Е5 «

-2(Б) - (|к + /2 — п|) Теперь будем исследовать Е1 и Е2. Имеем

Е1 + Е2 = 2

ЕЕ' / А1 А25(1) № ^ ^ (Хт, Г})е ( — ^ — щ\(г,

д^Р в=1

м (д,в)

<

« Е г(ХтХ°т)СЯтХОп (\—п + к + Ы) х

г\д 1

чЯ

^У 5(1) (Х, Г?) 5-(~1) (Х, г{)е(—пг1)йг].

В силу (3.7) д(1) (Х, г?) « ||?у|| 1 и д(2) (Х, г?) « ||?у|| Р. Следовательно,

р

1

чЯ 2

(3.18)

д(1) (Х, г?) дР2) (Х, Т])е(—щ)йг]« / т] 1 13йт] « д(

/ 5(1) (Х, г?) 42) (Х, г?) е (—п г?) (ц «/" £(1) (Х, г?) ^ (Х, г?) е (—пг?) (ц + 0(<?() =

о

чЯ

= 3 (п) + 0(д (),

где

3(п)= 5,(1) (Х, г]) д(? (Х, т]) е (—щ) йг] = / ^ е(п1 г?) ^ п^3 1 е(п2т])е(—пт]) с(т] =

0 0 Р<п ^Х Р<П2^Х

У^ п^3 1 е((п1 + п2 — п)т])(1г1 = ^

п

/3-1

(3.19)

Р<П1,П2^Х о

Теперь из (3.18) получим

п= п +П2, Р<П1 +П2 ^Х

Е1 +Е2 = Е ^-(ХтХт)С,тХо (|—п + /1 + Ы)(3(п) + 0(д()). (3.20)

3\<?

1

1

1

1

и

1

1

1

1

2

Аналогично для Ез находим

-2

где

Ез = -(щ Е Сд(-„)(/(„) + 0(дЯ))

г\д

К„) = у 9{~) (X, ч) д{~) (X, ч) е(—щ)(1г] + 0(д Я). (3.21)

о

Очевидно, что

3(„) < X и 1(„) < X. (3.22)

Обозначая через Й4 остаток в (3,20) оценим его. Согласно лемме 2.4 [13]

К4 = -щ Е -Щ т(ХХо)С^Хо (\1 1 + 12 - „\) «

\

л

Яг ^ д^(д) ((д^п-ь-2|Л д \

« -2(щ) ^ ф) ^ г ^ \(д,„)У

\

Для оценки суммы стоящей на правой части последнего соотношения будем использовать

(2.21)

X1+5

К -1 (\„ - к - Ы , г) (lnlnX)(/„„Р)4 1пР <

-2(щ)

« ^^-1 (\„ - 11 - ^2\ ,г),

(\ „- 1 - 2\ , ) „- 1 - 2 . в (3.20), которое обозначим через К5, т.е.

К « 1+&Р-1 (\„ - Н - , Г) .

Теперь распространим суммирование в оставшихся членах в равенствах (3.20) и (3.21) на все д ^ 1, это внесет дополнительные погрешности Кб и К7, где

к = -(щ Е Сд (\-„+^+12\) /(„),

\

К7 = Е Г(ХтХ0)СХтХ0 (\„ - 11 - Ь\) 3(„).

\

Для Кб имеем:

Кб < !> () (<

\

1

4 Хг г -г( * \ ^ -1(1\ -г ( ^ ^ 4

4 ЩЩV^—ь—ыУ)) ^1* ( )ср V^—к—Ш)) 4

I >Р г 1

* г0 Е Е > р«

4 --1

V2(о)<р(г)* \,(]п — к — Ы ,*); ^ ' <р2(к)

X1+5 X1+5

« Р-1 (]п — 11 — 12] , *) (1п1пХ)(1п1пР)4 « --Р-1 (]п — к — к] , *)

Аналогично,

2Хг ^

Й7 4

г\д

(д,] п — к — к ] ),

X1+5

« щи)1*-1 (]п—к—ы ^).

В силу лемм 2.1 и 2.2 [11], первая бесконечная сумма в (3.19) есть

1 те

«

д(п) = т2(ХтХ0)Сд (] —п + к + Ы) ч> 2(д)

^ ( ) д=1

\

Ф2(П)Х( 1)м{(г,п)) <р(г)

\п-Н-12\,г )

1

х II о—огл?) п {1+а—г))- ™

р\пО р\И,р>2

А для второй суммы справедлива оценка

¿Щ Е т(Х„,Хо)сххо и-п+11+Ч)4 ¡^ 9 ^ 1——1]}.

\

Таким образом, собирая все оценки, в случае Е^ = 1 имеем

а^п, О) = а(п)п + тт + 3х2(») у ]¡¡n~-и) ъ +

0 (*^- ¿Щ) (*^- ^ — ч — «И ((§Г^—^+

\1/2 ]«1]

+ ° (ДОТ) тт) +

Б) <р(] п — N1 г])

+о( х 1/2 ^ +12 — + о{ х 12 ^ +12 — (3 24)

+и{^2(П) V (]к + к —п\) + и\<£2(В) V (]к + 12 — п\) . (3.24}

X

4. Оценка исключительного множества

Данной параграф посвящен доказательству теоремы 1. Понятно, что, если докажем R(n,D) > 0, то это означает, что для данного n существует представление в виде (0.2). В силу (1.7)

R(n, D) = Ri(n, D) + R2(n, D) (4.1)

и

R(n,D) > Ri(n,D) -R2(n,D).

Покажем, что

Ri(n,D) > |R2(n,D)|

v vl — 8

для всех четных n из интервала — < n ^ X, за исключением самого большого значе-

ния n из них. В силу (2.4) имеем Е R2 (n,D) ^ 2р 1п12Ж. Отсюда следует, что

п^Хп=1 (mod D)

количество, n ^ X,n = /(modD), для которого

R2(n,D) > DX/P1/3; (4.2)

не превосходит

X X1—^

« ЩГйз1п12х < ш■ <4Л>

n,

n ^ X, n = l(modD) выполняется неравенство

R2(n, D) < DX/P1/3 . (4.4)

Количество исключаемых n,n ^ X, n = l(modD) не более чем X1—5/<p(D) . Сначала предположим, что Ер = 0. Тогда из (3.10) и леммы 1.2 (см. также [23]) получим

D , , л X1+5 X n ( С3 \ X n ( С3 \

R1 (n,D) > Mn) - С1 - <*-6Л) - C4DVn)exp I-3Ts).

Так как согласно (3.14),

n D

^(n)» vn • vm, (4-5)

то, отсюда следует

n D X X 1+& X n / C3 \

R1(n,D) >C5 vn • vm • т- C1 Щр - C2 dW)'exp ^)-

X n / C3 \ n D / Xй <p(n) <p(D)

X n 3 n D

-C4Dw(n)exp I-адJ > vn) • ~!MD)x C6 - C1

Dv(n) \ 35 J tp(n) <p(D) VU 1 <p(D)P n D 1 D ( C3 \ 1 / C3 \ D \ nD

1 D 3 1 3 D n D

D ^ ^^ eXP I-^) - C4 D eX4- W J V(DjJ ^ ШШХ > X, (4.6)

для любого -2 < n ^ X, n = /(mod D), при достаточно малом 5 > 0. В случае Е^ = 1 и г ){m, оценка (4.6) остается в силе. Пусть Ер = 1 и r\m. Тогда из (3.24) и леммы 1.2 получим

3 ~2/„л ^ |n - h - /2|

R1(n, D) > na(n) + a(n)I(n) + ~Xf(n)

2ArV V(*0 v (|n - /1 - k|)

X1+15 _X——(\ 1 1\ л X In — Nl2\ п р ( С10\

—с7p-(d) — с8Р-Щ(In —11 — Ы,г) — С9В-(\n — Nl2\)(1 — вЫРехр <Г ы) -

_Cll X (1_ в) ЫРехр (-^ ^Jn—lhL _ С12 X Il1 +l2-nI х C11D(1 в )lnPexP{ 66J<p(In — N11|) °12D- (| h + I2 -n\)

x exp ( — Ц) (1 — Й VP — C13—^ ■^(п——^ exP (—64) ^ — в> ^—

_ X \n — h — I2I ( C16\ >

°15D1/2-2(D) ' - (\n — h — ¿2|)eXPV 66 J '

, . , . . 3 2. , . r In — h —12\ X

> na(n) + a(n)I(n) + ^Xr(n — h — h)-2(f) • - {{n — h — h{) D~

X W X 1+ .. , , . . / X n X n

—C7 TWn \ — C8 (In — h — Ы , r) — I + ^18'

P-(D) 8P-2(D)Kr 1 2" y \ D -(n) D-(n)

• ехр (—Ц) (1 — в) lnP) (1 — в) InPexp (—Ц) . (4.7)

(I n- 1 - 2I , ) = 1,

D r n p-r / 1 \ D r n

a(n) 4 —щVW) Ф) pi v — if) * —щVm. (.8)

p\nD

Поэтому, учитывая (4.5) и (4.8), из (4.7) находим

n D D г n ~ r n X

R1(n D) > C19n • -n • -D) — C20-(D)-2(f) -n)I(n) — C21 -2(f) -n) D —

X 1+ ( X n X n ( C10 ч\ ( C10 \ —C22 P-D) — \C17 D-n) +C18 DW)exv 60)) C22exp y—~65). (49)

Отсюда при X < n 4 X, n = ¿(mod D), имеем

D n / 1 r r 1 -(D) Xs-(n)

-(D) -(f) ' X VC23 — C24 —ЩWW) — 021 WW) — C22 DnP

( -(D) -(D) ( c10 \

V °17~D--+ c18—^exp {— ) C22exp ( ^^ J ) »

(-))

n D

» X, (4.10)

-( n) -( D)

так как в силу леммы 1.1с, имеем г ^ lnP. Если (\n — I1 — I2I ,г) > 1, то третий член

(I n - 1 - 2I , )

быть большим. В связи с этим отбросим те четные n, n 4 X, n = ¿(modD), для которых (\n — I1 — 12I , г) > P1/2. Тогда для оставшихся n этот остаточный член не больше чем

X ^ P 1/2 X(4 11) ^ P-2(D) Р ^ Р1/2-2(d) . (4.11)

n

^ DP 1/2 4 вр 1/2 ) ^ DP 1/2— ,

Е Е 14 Е вкп 4TPtm^ * , (4Л2)

d\r d\ln—li—l 2| d\r

d>P 1/2 n4X, n=l (modD) d>P 1/2

так как d(r) ^ Г, при любом 5 > 0. Остаётся рассмотреть такие n, - < n ^ X, n = /(modD), 1 < (|n - h - hi , r) ^P1/2.

Так как

|a(n)| ^a(n) П (P - 2)—1 (4.13)

p\r p\nD p>3

то, при условии, что произведение в (4.13) не пустое, то из (4.10) имеем

п , ™ v n D / 1 Xй v(D) v(n)

R1(n,D) >X • C19 -- C19 - 7

v(n) v(D) \ 19 3 19 ' Pv(D) D n

v(n)\

'P 1/2v(D) D ^ n J

XS 1 V(n)\ ( ( C10\\ ( C10 Л

•»—) - УC17 + C186^ \ -66 )) С22вХР \ -66 )) >>

»X ' („П(Щ) »X. (4.14)

Если произведение пустое, то согласно лемме 2.1 работы [13] (\„ - /1 - I2\ ,Г) > 24 и так как рассматриваемые „удовлетворяют уел овию („, Г) ^ Р1/2, то

Г < 24 Р1/2. (4.15)

Имеем

„а(„) + а(„)/(„) ^ „а(„) - а(„) /(„) . (4.16)

Здесь

Дп)= Е (fc(n -fc))/3—1 ^n-n/—1 =np

,„(n 1 ^nn/—1 =nP

P<k<n—P

Применяя формулу Лагранжа о конечном приращении, находим

n - np = (1 -fi)ne logn ^ (1 -р)np logn = (1 - р)n(logn)np 1. Из леммы 1.1c и (4.15) следует, что

1 - р » r—1/2log—2r ^ P—1/4log—2P. (4.17)

Следовательно,

n - np = (1 - р) n(logn) exp ^(р - 1)Zogn^ ^ (1 - р) n(logn) exp ^ j ^

^ (1 - P) n (log =2) exp (-g) > C24(1 - P)n log P.

Используя это неравенство в (4.16), получим

na(n) + a(n)I(n) ^ a(n) (n - np » —- • —— (1 - P)n logP »

V / v(n) V(D)

»vnra*1 "P)lnp (4Л8)

X > 0

чем половина правой части (4.18). Поэтому

X X 1+г

R1(n D) > М1 - P) Dnv—1(n) lnp - С27 p 172V2(D) >

х ( х6 1пР \ Х ( Х&(6^)1пР\

^ ЪР1/4 1пР VС28 - С29Р 1/^2(0)) > ЪР^ЪР VС28 - С29х35/2^2(Ъ)) >

Х БХ ,

> ЪРХПР > Р1Х3. (4.19)

Далее, пусть Е*(Ъ, Х) — количество четных чисел Х/2 < п < Х, непредставимых суммой двух простых чисел из арифметической прогрессии. Тогда из (4.1),(4.3), (4.4), (4.6),(4.10), (4.14) и (4.19) следует утверждение

Е*(Б,Х) < с8:)Х 1-г^-1(Ъ). (4.20)

Оценка (0.3) следует из (4.4), (4.6), (4.10), (4.14) и (4.19), если учесть, что Х/2 < п ^ Х, п = /(шоё Ъ) и

Ы(п,Б) > Щ (п,Б) — |Ы2 (п,Б)| .

Мы доказали теоремы для четных чисел п из интервала Х/2 < п < Х. Это доказательство

1< п< Х

Имеем

Е (Ъ, Х) < Е 1 < 2У + Е Е 1 ^ 2^ + Е Е*(Б,Х), (У ^с^).

п^Х У<2к^Х 2к<п^2к+1 Ь^21пХ

Д(п,Д)=0 К(п,0)<А(п,ё)

(4.21)

Здесь через А(п, 5) обозначена правая часть неравенства (0.3). Из (4.20) и (4.21) находим

Е(D, X) << 1 + Е с8 < csX 1-S<p-1(D).

h^21nX

Теорема доказана.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аллаков И. О гольдбаховых числах.// Чебышевский сборник, 2008. № 9(1), С.13-17.

2. Виноградов И.М. Метод тригонометрических сумм в теории чисел // Наука, \!.. 1980. С.200.

3. Виноградов И.М. Особые варианты метода тригонометрических сумм. // Наука, \!.. 1976. С.95

4. Хуа-Ло-Ген. Аддитивная теория простых чисел. // Тр. Матем. пне. им. В.А.Стеклова., 1947. С.3-179.

5. Xva-Ло-Ген. Метод тригонометрических сумм и её приложения в теория чисел. // Мир, А!.. 1964. С.18-19.

6. Corput,J.G.van.der. Sur l'hypothese de Goldbach pour Presque tous les nombers pairs. // Acta arithm. Варшава, 1937. V.2. pp. 266-290.

7. Чудаков Н.Г. О проблеме Гольдбаха. // Докл. АН СССР, 1937. 17, С.331-334.

8. Estermann Т. On Goldbach's problem: Proof that almost all even positive integers are sums of two primes.// Proc.Lond. Math. Soc. № 2(44), 1938, C.307-314.

9. Hardy G.H. and Littlewood J.E. Some problems of partitio numerorum; III: On the expression of a number as sum of primes. // Acta Math., 1923. № 44. C. 1-70.

10. Vaughan R.C. The Hardi-Littlewood method. Second edition. //Cambridge University Press. 1997. 2, C. 176-256.

11. Лаврик А.Ф. К бинарным проблемам аддитивной теории простых чисел в связи с методом тригонометрических сумм II.M. Виноградова. //Вестник ЛГУ. 1961. № 13. С.11-27.

12. Vaughan R.C. On Goldbach's problem. // Acta arithm. 1972 v.22. p. 21-48.

13. Montgomery H.L., Vaughan R.C. The exceptional set in Goldbach's problem. // Acta arithm. 1975., № 27. p. 353-370.

14. Аллаков И. Исключительное множество суммы двух простых. Диссертация на соисканию ученой степени кандидата физ.-мат.наук. Ленинград. ЛГУ, С. 148, 1983.

15. Виноградов А.И. О бинарной проблеме Харди-Литтлвуда. Acta arithm. № 46, 33-56 (1985).

16. Архипов Г.И.,Чубариков В.И. Об исключительном множестве в бинарной проблеме гольд-бахова типа. Докл.РАН, 387, 3, С. 295-296 (2002).

17. Плаксин В.А. Об одном вопросе Xva- Ло -Кена. Мат. Заметки. № 3(47). С. 78-90 (1990).

18. Аллаков И. Решение некоторых аддитивных задач теории чисел аналитическими методами. (Таълим, Ташкент, 2012).

19. Allakov I., Safarov A.Sh. Exceptional set of the sum of a prime number and a fixed degree of a prime number. Russian Mathematics. 64, C. 8-21 (2020).

20. Wu Fang. On the solutions of the systems of linear equations with prime variables. Acta Math. Sinica. 7. 102-121 (1957).

21. Liu M.C. , Tsang K.M. Small prime solutions of linear equations. Proc. Intern. Number. Th. Conf. 1987. Laval University. Cand. Math. Soc. pp. 595-624 (Berlin- New York .1989).

22. Чубариков B.H. Многомерные проблемы теории простых чисел. Чебышевский сборник, Вып. 12, т. 4, С. 176-256 (2011).

23. Аллаков И. О представление чисел суммой двух простых чисел из арифметической прогрессии. Известия ВУЗов. "Математика". 8(459). С. 3-15 (2000).

24. Карацуба А.А. Основы аналитической теории чисел. (Наука, \!.. 1983).

25. Davenport Harold. Multiplicative Number Theory. (Shringer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin. Second edi., 1997).

26. Montgomery H.L. and Vaughan R.C. Multiplicative number theory. I. Classical theory. (Published in the United States of America by Cambridge University Press, New York. 2006).

27. Прахар К. Распределение простых чисел. (Мир, \!.. 1967).

28. Gallagher Р.Х. A large sieve density estimate near . Inv.Math. 11, pp. 329-339 (1970).

29. Колмогоров A.H., Фомин С.В. Элементы теории функции и функционального анализа ( Наука, М., 1976).

30. Аллаков И., Исраилов М. Оценка тригонометрических сумм по простым числам в арифметической прогрессии. Доклады АН РУз., 4, С. 5-6 (1982).

REFERENCES

1. Allakov I., 2008, "About Goldbach numbers" // Chebvshevskv collection, № 9, Vol. 1, pp.13-17.

2. Vinogradov I. M., 1980, "Method of trigonometric sums in number theory" // Nauka, M., pp. 200.

3. Vinogradov I. M., 1976, "Special variants of the method of trigonometric sums" // Nauka, M., pp. 95.

4. Hua-Lo-Gen, 1947, "Additive theory of prime numbers" // Tr. Matem. ins. im. V.A.Steklov., pp.3-179.

5. Hua-Lo-Gen., 1964, "The method of trigonometric sums and its applications in number theory" // Mir, M., pp.18-19.

6. Output, J. G. van. der.. 1937, "Sur l'hvpothese de Goldbach pour Presque tous les nombers pairs" // Acta arithm. - Warsaw, Vol. 2. pp. 266-290.

7. Chudakov N. G., 1937, "On the Goldbach's problem. // Docl. USSR Academy of Sciences", № 17, pp.331-334.

8. Estermann T., 1938, "On Goldbach's problem: Proof that almost all even positive integers are sums of two primes" // Proc.Lond. Math. Soc. № 2(44), pp. 307-314.

9. Hardy G. H. and Littlewood J.E., 1923, "Some problems of partitio numerorum; III: On the expression of a number as sum of primes" // Acta Math., № 44., pp. 1-70.

10. Vaughan R. C., 1997, The Hardi-Littlewood method. Second edition. //Cambridge University Press, № 2, pp.176-256.

11. Lavrik A. F., 1961, "On binary problems of additive theory of prime numbers in connection with the method of trigonometric sums by I.M. Vinogradov" //Bulletin of LSU., № 13., pp.11-27.

12. Vaughan R. C., 1972, "On Goldbach's problem" // Acta arithm. - 1972 v.22. pp. 21-48.

13. Montgomery H. L., 1975, "Vaughan R. C.„ The exceptional set in Goldbach's problem" // Acta algorithm. № 27, pp.353-370.

14. Allakov I., 1983, "An exceptional set of the sum of two primes". Dissertation for the degree of Candidate of Physical and Mathematical Sciences. Leningrad. LSU,148(1983).

15. Vinogradov A. I., 1985, "On the binary Hardv-Littlewood problem", Acta arithm. 46, 33-56 (1985).

16. Arkhipov G. I., Chubarikov V.N., 2002, "On an exceptional set in a binary Goldbach type problem". Dokl.RAN, 387, 3, pp. 295-296 (2002).

17. Plaksin V. A., 1990, "About one question of Hua-Lo-Ken", Math. Notes, № 3, Vol. 47, pp. 78-90.

18. Allakov I., 2012, "Solving some additive problems of number theory by analytical methods", (Talim, Tashkent).

19. Allakov I., Safarov A. Sh., 2020, "Exceptional set of the sum of a prime number and a fixed degree of a prime number". Russian Mathematics. № 64, pp. 8-21.

20. Wu Fang., 1957, "On the solutions of the systems of linear equations with prime variables". Acta Math. Sinica", № 7, pp. 102-121.

21. Liu M. C., 1987(1989), "Tsang К. M. Small prime solutions of linear equation's. Proc. Intern. Number. Th. Conf. Laval University. Cand. Math. Soc. pp. 595-624 (Berlin-New-York).

22. Chubarikov V. N., 2011, "Multidimensional problems of prime number theory". Chebvshev collection, № 12, Vol. 4, pp. 176-256.

23. Allakov I., 2000, "About the representation of numbers by the sum of two primes from an arithmetic progression". News of universities. Mathematics, № 8(459). pp. 3-15.

24. Karatsuba A. A., 1983, "Fundamentals of analytical number theory", Nauka, M.

25. Davenport Harold, 1997, "Multiplicative Number Theory", (Shringer-Verlag, New York, Heidelberg, Berlin. Second edi..

26. Montgomery H. L. and Vaughan R. C., 2006, "Multiplicative number theory. I. Classical theory". (Published in the United States of America by Cambridge University Press, New York).

27. Prahar K., 1967, "Distribution of prime numbers", Mir, M.

28. Gallagher P. X., 1970, "A large sieve density estimate near", Inv.Math. № 11, pp. 329-339.

29. Kolmogorov A. N., Fomin S. V., 1976, "Elements of the theory of function and functional analysis", Nauka, M.

30. Allakov I., Israilov M., 1982, "Estimation of trigonometric sums by prime numbers in arithmetic progression", Reports of the Academy of Sciences of Uzbekistan, № 4, pp. 5-6.

Получено 17.09.21 Принято в печать 22.06.2022