Об одной аддитивной задаче Хуа-Ло-Кена Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 20. Выпуск 4.

УДК 511.2 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-32-45

Об одной аддитивной задаче Хуа-Ло-Кена

И. Аллаков, А. Ш. Сафаров

Аллаков Исмаил — доктор физико-математических наук, профессор, Термезский государственный университет, физико-математический факультет, кафедра "Алгебра и геометрия" (г. Термез, Узбекистан). e-mail: iallakov@mail.ru

Сафаров Абдувахит — аспирант, Термезский государственный университет (г. Термез, Узбекистан).

e-mail: asafarovl977@mail.ru

Аннотация

Пуст X достаточно большое вещественное число и к > 2 натуральное число, М множества натуральных чисел не превосходящие X, которые непредставимы в виде суммы простого и фиксированной степени простого числа, Ей (X) = cardM. В настоящей работе доказана теорема

Теорема. Для достаточно больших X справедлива оценка Ей (X) С X7, где

{ 1 - (17612, 983fc2(lnк + 6, 5452))-1, при 2 < к < 205, 1 - (68fc3(2lnк + lnlnк + 2, 8))-1, при к> 205, 1 - (137&3 ln к)-1, при к>е628.

В частности из этой теоремы следует, что оценка и 7 < 1 — (137fc3 ln к)-1, полученная В. А. Плаксиным для достаточно больших к, остается справедлив ой при ln к > 628.

Ключевые слова: Характер Дирихле, пули L-функции, гипотеза Римана, исключительное множество, исключительный нуль, оценка снизу, оценка сверху.

Библиография: 16 названий. Для цитирования:

И. Аллаков, А. Ш. Сафаров. Об одной аддитивной задаче Хуа-Ло-Кена // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 4, с. 32-45.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. N0. 4.

UDC 511.2 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-4-32-45

About one additive problem Hua Loo Keng's

I. Allakov, A. Sh. Safarov

Allakov Ismail — doctor of physical and mathematical Sciences, Professor, Termez state University, faculty of physics and mathematics, Department of "Algebra and geometry" (Termez, Uzbekistan). e-mail: iallakov@mail.ru

Safarov Abduvohit — graduate student, Termez state University (Termez, Uzbekistan). e-mail: asafarovl977@mail.ru

Abstract

Let X be enough big real number and к > 2 be a natural number, M be a set of natural numbers n not exceeding X, which cannot be written as a sum of prime and fixed degree a prime, Ek(X) = cardM. In present paper is proved theorem.

Theorem. For it is enough greater X —equitable estimation Ek(X) с X1, where

{ 1 — (17612, 983fc2(lnк + 6, 5452))-1, при 2 < к < 205, 1 — (68fc3(2lnк + lnlnк + 2, 8))-1, при к> 205, 1 — (137fc3 ln к)-1, при k>e628.

In particular from this theorems follows that estimation j < 1 — (137fc3 ln к)-1, got by V. A. Plaksin for it is enough greater к, remains to be equitable under ln к > 628.

Keywords: The Dirichlet charakter, Dirichlet L-function, exceptional set, representation numbers,exceptional zero, exceptional nature, main member, remaining member..

Bibliography: 16 titles. For citation:

I. Allakov, A. Sh. Safarov, 2019, "About one additive problem Hua Loo Keng's" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 4, pp. 32-45.

1. Введение

I. Формулировка результатов. Пусть Х-достаточно большое вещественное число, к > 2- натуральное число, М - множество натуральных чисел п < X, непредставимых в виде

П = р\ + Ръ , (1)

и удовлетворяющие условию

(п — 1, П Р) = 1, (2)

р

<р(р)\к

где р\,р2,р — простые числа, <р(р) — функция Эйлера (см.[5-7]) .

В. А. Плаксин [8,9], рассмотрев Е^(X) = сагйМ, доказал, что Е^(X) ^ X7, где 0 < ^ < 1 всегда и 7 < 1 — (137&3 1п к)-1 при достаточно большом к.

В настоящей работе улучшен результат В. А. Плаксина [9]. А именно доказана Теорема. Для достаточно больших X справедлива оценка Е^(X) ^ X1,

где

{1 — (17612, 983й2(1п к + 6, 5452))-1, при 2 < к < 205, 1 — (68й3(21п к + 1п1п к + 2, 8))-1, при к> 205, 1 — (137й31п к)-1,при к>е628.

В частности из этой теоремы следует, что оценка ^ < 1 — (137к31пк)-1, полученная В. А. Плаксиным [9] для достаточно больших к, остается справедлив ой при 1п к > 628. Доказательство теоремы основывается на идеи работ [1,9] и на результаты работ [2-4]. 2 Обозначение и деление единичного интервала

Пусть е — произвольное малое положительное число, X > Хк,е,Хк,е — достаточно большое

положительное число, будем считать что 2

о , X = Рк= X17е, т = хд-1, А = т-1, г = Я0,3, Ь = 1пX, I = 1п1пX,

С\,С2,... — эффективные вычислимые положительные постоянные, в худшем случае зависящие от е,к,Хке.

Далее, пусть

Я(п) = к ^ 1п р\ 1п р2

П=р!+р%

^ <Р1,Р% <х

Тогда

Як (а) = к ^ 1п р е(арк). 4 <рк<х

Н-Д

К(п) = / ^ (а)Бк (а)е(—па)йа. J-A

Теперь на интервале интегрирования выделим множестве М1 больших и множество М2 малых дуг обычным способом (см., напр. [10,15]) для подобных задач. В рассматриваемом случае большая дуга — это М1(а, д) = (| — А, | + А), где 1 < д < 0 < а < д и (а, д) = 1. Поэтому М1 = и а,д М1(а, д) и М2-множество тех а, для котор ых —А < а < 1 — А и а </ М1. Таким образом, мы будем иметь

Я(п) = Я1(п) + К2(п) (3)

где

Я1(п) = / 81(а)Бк (а)е(—па)йа, Я2(п) = / 81(а)Бк (а)е(—па)йа. (4)

ЗМг -Ш2

Ясно, что если Я(п) > 0, то для п существует представление в виде (1) с условием (2) (см. [12,14]).

2. Основная часть.

3. Малые дуги. Покажем, что

£ Щ(п) < ХР2-5£. (5)

п<Х

Согласно тождеству Персеваля имеем

V" Щ,(п) = / |51(а)5^(а)12(1а = тах (а)|2 / |51 (а)2(1а < т\т2.

:<х -'м2 М2 -Ш2

Здесь

т2 = / |^1(а)|2^а < V 1п2 р< 0,7ХЬ. (6)

0

4 <р<х

и

Для т1 = тах(а)| используя теоремы 7.1 [16], при ро = (17к2(21пк + 1п1пк + 2,8)) 1,

М2

4е < ро, находим

т1 < С1Р1-3£. (7)

Согласно (6), (7) получим

^ В%(п) < 0, 7ХЬс21Р2-6е < ХР2-5£.

п<Х

Из (5) следует, что при к > 2 количество п < X, для которого В,2(п) > Р1-2е не больше чем Е^1 (X) < X1-. Таким образом

Ып) < Р1-2£ (8)

для всех п < X, за исключением не более чем Е^1 < (X)1-£ значений п из них. 4. Большие дуги. Ясно, что в силу (4)

(9)

Ч /»А

¿д^ -А У У У

где суммирование по всем а, с условием 1 < а < д, (а, д) = 1.

Сначала несколько преобразуем К1(п). Для этого введем обозначения:

ик(х, л) = к ^ х('Р)1пре(ркV), (10)

^ <рк <Х

Тк (г]) = к е(пк Ч) и Тк (т]) = — к п/3-1е (пк т]).

^ <пк <Х ^ <пк <Х

Сумму Шк(х,^) определим следующим образом

Ш(хо, г]) = ик(х0, г]) — Тк(т]), Шк(Ххо, г]) = ик(Ххо, ч) — Тк(г?)

и

Ш(х, V) = ик(х, V) если х = хо, х = х^хо. (11)

Здесь х — характер Дирихле по модулю д,хо — главный характер по модулю д,х — исключительный примитивный характер по модулю г,г1д (см. [11]). Далее пусть

\ к Рк(х) = рк(д,х,а) = У2 х(^е(-).

v=1

Использую эти обозначения, находим

й(«) = щ <Р1(хо)Т1(г?)+Р1(;ехо)ТГ1(г?)+ ^ ^(х^х, V) > . (12)

^ \imodq) )

Отметим, что здесь первые два члена являются главными членами, а третий - остаток. Если Е^ = 0 или г \ д то в правой части (12) следует опускать второй член. Так как для

любого х, | (]хк)' | < к1т]1Рк 1 < кХ17е 1 < 1 при X > Хк,£ ,0 <х < Р, 0 <е< д^. Как и в

[8] (см.§3 работы [3]), при Р1 = имеем

р

Тк(]) = к [ е(1кт)сИ + 0(1) = V ^^ + 0(1) = (т) + 0(1).

^ .„т1 к

Аналогично

т = - Е 1тт) +о(1) = г;(т)+о(1).

у т1 к

4 <т<Х

Поэтому, для Бк (а) подобно (14) в главных дугах, имеет место представление 1

-(Я)

(а) = { Рк(Хо)Гк(]) + ^(ххо)Гк(]) + Е Рк(х)Жк(Х, ]) + 0(1) \ . (13)

х(тос(д)

Здесь использовали оценку (см. (6), [9])

(р,Х,а)1<к^р ,р \а. (14)

В (15) также первые два члена - главные члены, третий член остаток. Поскольку

О (Е Е [ Ы - + т) (1Т I « АХЯ2 « X51е

то из (11) получим

Д1(п) = Кз(п) + К4(п) + 0(Х51£), (15)

где главный член (произведение главных членов в (12) и (13) )

А

1

Ез(п) = Е Е У {^Ы^(Х0)Т1(т)Гк(т) + ^(хо)^(ХХо)Т1(т)Гк(]) +

1 2(,

д<ЯГ а=1,(а,д)=1-А

+Р1(ХХо)Рк(Х0)Т1(т)Гк( ]) + ВДхо)^(ХХо)Т1 (т)Гк(]) } х

4

хе(—(—+ т)п)йт = ^ В-з\п) =1

и остаток

1 9 А

^Н = Е -щ Е ] {р (Хо)Т1(т) Е ^ (Х)^к (Х, т)+

д<Я а=1,(ад) = 1_А х{т°((д)

+Р1(ХХо)Т1(т) £ ^ (Х)^ (х,т) + Рк (Хо)Гк (]) Е ^(Х^Х, т) +

х(то(д) х(тойд)

+рк(ХХ0)Гк(]) Е ^1(Х^)^1(Х,Т)+ Е *1(Хт(Х, ]) х

х(то(д) хг (то(д)

5

х Е ^ (х2)^ (х2, V) } е(—(+ л)№ =

Х2(тоЛц) г=1

4.1. Главный член. Согласно (15) главный член Кг(п) является суммой четырех слагаемых,

которые изучаются одинаково. Поэтому мы ограничимся с подробным рассмотрением одного

(2) (3)

из этих слагаемых. Например, Щ ) (п) (в [9] подробно рассмотрен Щ )(п)).

1 д (А

Щ2)н = Е -^йлТ,р1(хо)Рк (ххо) здадм—щ)йЯ =

д<д V (д) а=1 ■]-А

r/q

^G(f, Хо,Х*, n)Ar(n, Q)I3.

2f~\ V ' Л.о> л. 1 "rv") ~ !Çz(r) Г

Здесь использовали мультипликативность G(т,Хо,Х*Хо,n). Рассмотрим I3. Так как в силу леммы 1[9]

[1/2 _

/ Ti(r])Tlc(r])e(-nr])dr] 1А

< т1,

ТО

f1/2 i ^ тФ-1)/ь i

h = Ti(V)T!c(r])e(-nV)dV + 0(т * ) = - Е —ТГ/к =J3 + *.

1/2 т+п1=п

3 <т,п1<Х

Здесь J3 <С Р.Таким образом, согласно леммам 6, 7 [9] находим, что

«32V) = G^^(A(»)+°(Q-)) {J3 + °(Г*)} =

= ^K^'"' (A(n)J' + O (A(n)rij3Q-0r + Q-0Jri)) .

Отсюда в силу лемму 8 [9] и

L-k < a(n) < Lk, (n)Ar (n, Qr-1) < Lk, r< Q, (16)

(см. следствие леммы 5 работы [4] ), получим

^<n> = P(f(A(n)J. С

Обращаясь аналогичным образом с остальными слагаемыми из (15), находим

R^(n) = A(n) (Ji + Р^^Ъ^ъ + ^^^Jt + К^^Л + 3 \ p(r ,n) p(r ,n) p(r ,n) )

( , n) 2 ( , n)

+°(Р1-^) + °[F 1-34^) = A(n)J + O (Р1-3*) + O[F 1-34

для всех n < X за исключением E^22 (X) ^ X1-3,4e значений n из них. Здесь

-i Г-1

1 n -

J1 S m1- 1/k, Ji ^

ni+m=n ni+m=n

¡з-1 м

^ т к ^ п\ т к

33 = — т1-цк, 34 =

т1-1/к' ^ т1-1/к

пг+т=п пг+т=п

шЦ- <П1, т <Х, <П < X

3 ^ //^ < л-у 2

Нетрудно показать, что

31 «Р г = 1, 2, 3, 4. (18)

Например:

31 = Е т-1+* = Е т-1+* < р.

п=пг+т т=п-пг

4 <пг,т<Х ^ <т<

Рассмотрим 3. В доказательстве теоремы мы предполагаем, что Х/2 < п < X и к > 2 поэтому справедливо неравенство Р/8 <31 < Р. Следовательно, если Е^ = 1, то используя лемму 6 [9] и (18) из (17), находим

3 = 31 + 0 » ?0,33 '

(-033(п, . Таким образом, если (п, г) < г1/4, то

3 = 31 +0 (^) >Р (8 + 0(г-2/25)) .

В силу леммы 1 [2] г ^ Ь21-2. Поэтому при достаточно большом X отсюда получим

3 > 0,12Р.

Пусть теперь Е^ = 1 и (п, г) > г1/4 ^ Ь1/4. Тогда используя рассуждения приведенные в §6 [3] будем имеет:

3 = 31 + Р(г,Х*,Х*,п)34 >31 — 34 > 31(1 — ^-1),

р(г, п)

а при к- четном

3 = 31 + Р("^,п)3з > 31 — 3з > 31(1 — р(п, г)

Поэтому, применяя теорему о среднем и лемму 1.2, убедимся, что

3>3!= 3!а—М^ > 1Р(1 — ь)гпг =

= \р((1 — 0)Ы2)е(Т-1)1пЕ > СпР(1 — 0)1 пг, 8

где С11 = 0,124. обозначим

8

Таким образом, из (17) находим

С12 = тт(^ 1;0,12; 0,124^=0,12. (19)

¡С12А(п)Р(1 — 0)1 пг + 0 (Р 1-3,5е) , если ЕТ = 1 и (п, г) > гг; Кз(п) > < 3 _ . т (20)

\С12А(п)Р + 0 [Р1 3,5£) , в противном случае.

Согласно лемме 8 [4] А(п) > 0 для всех Х/2 < п < X, за исключением ^ Xо'88 значений п. Следовательно , (20) справедливо для всех п < X, за исключением Е^2 (X) ^ X1-34е значений п из них .

4.2. Остаток. Теперь рассмотрим В4(п) .Согласно (15) Щ^п) является суммой пяти слагаемых. Нетрудно заметить, что в!^1 (п)) и в!^2(п), а также В^(п) и в!4\п) дает одинаковый вклад в В4(п). Поэтому ограничимся рассмотрением в4\п), в4\п) и в4\п). Сначала рассмотрим В45)(п), которое является более общим среди рассматриваемых В^(п).

Имеем

1 Я I ( \ (А

в[5\п) = Е ^ Е Е ЪШЪ Ше (— -п) Ш1(х1, г,)Шк (х2, ^(—щ)^ =

< ^ (Ч) Х1,Х2(шойо) а=1 \ У / ■>-А

= Е Е С(д,х1,х2,п) 15(хъх2). (21)

1<Я Х1,Х2(то4д)

Пусть х^^ характер по модулю д индуцированный примитивным характером по тойг3, 5 = 1, 2; г = [г 1, Г2], д = дг-1. Тогда Ь(х1, х2) = Ы6, 6).

Обозначим

Ш (х) = ( Г т (х, г?)|2^) 2 и Ш = ЕЕ* Ш (х). (22)

' г<Ох(тойг)

Используя пункты 3 и 4, в4\п) можем представить в виде

^>2(г)

в45)(») = Е Е Е* Е*С(''т.шг(23)

Г<я [г 1,Г2]=Г

Правую часть этого представления разобьем на две суммы: в первую сумму включаем все г с условием г < 2, а во вторую сумму все остальные г, т.е. 2 < г < Q. Таким образом,

В[1)(п) = В5(п) + Вб(п).

Оценим Вб(п).

|Вб(«)| < Е Е Е* Е*|с"^ни,(П^/г)|.

г<г<я \г 1 ,г2]=г ?1 й ^ ( ) г ( )

Отсюда в силу оценки (21), используя лемму 6 [2] , получим

!В6Н|< и" Е тй Е 1) Е*т(6).

г<г<(.5 [г1,г2]=г б ь

Обозначая правую часть этого соотношения через 2(п), изучим среднее значение оценки 2 (п). Используя лемму 3 [2] и оценки

Е (п,Г) < Хт(г)

п< Х

имеем

X 1 Р

V 2(п) < хш^г-о,3 < —~х 1— < ХР2-о,3.

п<Х 2 , Х1

Отметим, что здесь мы использовали лемму 4 [5] для оценки и . Возможность применения этой леммы для оценки будеть показано в конце этого пункта. Из полученной оценки следует, что для всех п < X, за исключением

Е{3)(Х) «X^ад71

значений п, имеет место неравенство

^(п) < Р1-17; Яб(п) « Р1-17.

К каждому слагаемому суммы Я5 (п), в силу уеловий г < 2 и О;0,7 < Qr-1, применимы леммы 6 и 7 [9] . Поэтому, если из множества п < X, исключить

Е^)(Х) «X 1-1,7е

чисел, то для оставшихся п будет иметь место оценка

| Д5(п)| < А(п^^к + 0(РЯ-°,1).

Таким образом,

П{45)(п) < А(п)Ш1Шк + 0(РЯ1-1,7е). для всех <п < X, за исключением

Е(к](Х)+ Е^ (X) «Е((?\Х)

значений п.

Теперь рассмотрим К^1 (п). Имеем

Е41) Н = Е Е --2((1)°((1 ,Х0,Х,п) Д(Х)

1<Я х(то(д)

(ср. (21)). Поэтому в этом случае, вместо (23) получим

4%) = Е Е -2(г)С(ч,Х0,1,п) 11(ОАг(п,Я/г).

г<( £(то(г)

Далее, оценивая так же, как в случае В,4\п) и учитывая

|Д(Х)1 < жк(Х)^ £ |Т1(т)|2^ < 3Wfc(Х)Х1,

к[1)(п) < 3А(п)Шк(X)1 + 0(Р1-17).

находим Так как

|Ых) < Ж1(Х)^У 2 г(т)|2^ < 3Р(X)-гWl(х),

то, поступая с в!"43(п), совершенно аналогично, получим

|Е43)(п)| < 3А(п)РХ-IWl + 0(Р1-17).

Таким образом, собирая полученные оценки для ^(п) из (15), находим

В.1(п) < А(п) (WfcX2 + 6WlX 1Т + WlWk^ + 0 (Р1-17) .

Суммы Wl, Wk в правой части (24) оценим при помощи лемм 3 и 4 [5]. Для Wk в силу (22) и (11), (12) имеем

(24)

= Е Г

г<Ох(то(г)

(

V

А А

к Е Х(р)пре(ркт)

§ <рк<Х

\ 2

/

Применим лемму 3 [3] при 5 = 2а ъ © = 1, получим

/

=„ е Е*

1~<Ох(то(г)

Ей

Х(р)^ пр

х<рк <х+2 А ^ <рк <Х

йх

Отсюда

и>1 = „ Е Е*

г<Ох(то(г)

ГХ+2 А

IX

3

а е Х(р)1 пр

х<р<х+И Цг < рк<Х

2 V

йх

<

2, 5671иХV* ( тах тах ( к +

^сх^г )\>та ^<4 V Я)

1

х+И

Е Х(р)пр

Применение леммы 4 [7] дает (17е < к)

Wl =Х 2

1 \С1зехр (—175) , если Е^ = 0;

[С1зехр (—15) (1 — 0)г•пД если Ет = 1,

где С13 = 5,1392, С13 = 2791,157. При к > 1 учитывая, что при 1 < ©1 < 2

(25).

(26)

1 \ к 1 Л ©1 \ _ 1 Л . 1 \ 1 . хк

1 V 1 ( ©1 \

х+ ^ = х к 1 + ,1 V 2А/ \ 2кАх

< х М 1 +

^ + ЛА х)

= х^ +

А х

обозначая у = х^ и Л = ^ах, 113 находим

wк < ь- е Е*

г<Ох(то(г)

' гХ + 1

ГЛ + 2л

1Х/3

1/2

|А Е^ Х('[)пр ^йх

<

х<рк<х+ 2л

/

<

2, 5671ЙХ1/2 Е Е

тах тах

= 2р

г<Ох(то(г) У< :3РИ1< 2Р

р У+Н1

Е Х(р)1пр

Хк

2

2

2

оо

И

Теперь применяем лемму 4 [5], при Р = Q, X = Р, тогда

Р (С[3вхр (—) , если Е^ = 0;

Шк = — { ~13 1 ) ( ' _ р ' (27)

X1 [С3вхр (—(1 — если ^ = 1,

где С13 = С13к, С13 = С13^ и 17ек < к. В силу (26) и (27) из (24) получим, если Ер = 0

В4(п) < СиА(п)Рехр (—+ О (Р 1-1,7е) , (28)

где С14 = 135, 75318 при к = 2, Сы = 178, 87091 при к = 3 и См = 48, 91Л + 25, 0196 при к > 4. Если Е^ = 1, то

В1(п) < СиА(п)Рехр (—^Ь) (1 — $)1 п2 + О (Р1-17) , (29)

где

С14 = е9,726(ке°,1<91 + 1) = е9,726(1,2 1 05Й + 1), к > 2.

3. Заключение

Доказательство теоремы.

У нас 17 е < кк-1 = 115; ил и е < Есл и ^^^ = 0, то для почти всех п < X (за

исключением ^ ^¿(А) значения ) согласно (15), (20) и (28), имеем

К(п) > А(п)Р | ^С12 — Смехр (—+ О (р^^ + Ь*Р^ + Р^^)

} > 0,01А(п)Р > РЬ-к > Р1-£, (30)

где

£< ^ = -^. (31)

17е2 = (1045, 5876к(1пк + 6, 5452))-1, к > 2; Если Е^ = 1 и (п, г) < го,3,то в силу (15), (20), (29) для почти всех п < X, Х < п < А(за исключением ^ Е^1 (X) значений п) снова имеем (30) с

£ < £3 =-(32)

С15 = С1 С14,

17е3 = (137,67088к(1пк + 6, 75183))-1, при к > 2.

%

исключаемых п, Х <п < X, в этом случае есть

Пусть теперь Ез = 1 и (п, г) > r0,3, тогда исключаем те п, для которых г > Р2е. Количество

44)(*) « Е (^,г)г-(о,3 < х < ХР-о5.

п Х

Для оставшихся п, модуль г, будет малым, т.е.г < Р2е < г. Следовательно,

Р

'■А

для всех п, <п < X, (за исключением Ек (X) « X1 значаений п, п < X,) где

Ri(n) > 0,1С 12р(n)(1 - ß)lnZ + О (P 1-1'7s)

£< £4 = Cj/Hklni^^^ (33)

V 9 с12 J

17 £4 = (137,67088k(lnk + 13,181599))-1, при ,k > 2.

В силу леммы 2 [5]

(1 - 0)lnZ > C2(4£P£ln2P)-1.

Поэтому

Ri(n) > C16P 1-£A(n)L-2 + 0(P1-17) > C17P 1-L-k-2 + 0(P1-17) > Ci8P1-15 > P1-16

(34)

для всех n < X, за исключением Ek(X) ^ X1 e/k значаений n, из них . Положим e = min (17k; £1] £2; £з) ^^^да в силу (31), (32), (33) получим е = £2. Теперь из (30), (34), (8) получим утверждение сформулированной теоремы. Отметим, что ^ < £2 ЩЩ k > 205, а также ((137k3/nk)-1 < ^ < £2 при Ink > 628, то есть если 2 < k < 205^о 7 = 1 — , если же k > 205, то 7 = 1 — f и в частности если k > е628, ^о можно пологать 7 = 1 — шк31 nk.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОИ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Аллаков И. О представлении чисел суммой двух простых чисел из арифметической прогрессии // Известия ВУЗов. "Математика". Казань, 2000. № 8(459). С. 3-15.

2. Аллаков И. Сонлар назариясининг баъзи бир аддитив масалаларини аналитик усуллар билан ечиш: Монография. Т.: "Таълим2012. 200 с.

3. Аллаков И. Об одной бинарной аддитивной задаче с простыми числами из арифметической прогрессии // Докл. АН РУз. 1991. № 7. С. 9.

4. Аллаков И. О числах, представимых в виде суммы простого и фиксированной степени простого числа // Алгебра и её приложения: Тезисы докладов международной конф. 5-9 августа 2002. Красноярск, 2002. С. 3-4.

5. Архипов Г. И., Чубариков В. И. Об одной тернарной задаче с простыми числами // Алгебра и теория чисел: Современные проблемы и приложения: Тез. докл. V междунар. конф. 19-20 мая 2003. Тула, 2003. С. 18-19.

6. Виноградов А.И. О бинарной проблеме Харди-Литтлвуда // Acta arithm. Варшава, 1985. V. 46. Р. 33-56.

7. Жукова A.A. Проблема Харди-Литлвуда // Изв. Вузов. Математика. 2000. 2(453). С. 4149.

8. Плаксин В. А. Исключительное множество суммы простого и фиксированной степени простого числа. Петрозаводск, 1984. 33 с. Деп. в ВИНИТИ, 23.10.84. № 7010-84.

9. Плаксин В. А. Об одном вопросе Хуа- Ло -Кена // Мат. заметки. 1990. № 3(47). С. 78-90.

10. Чубариков В. Н. Многомерные проблемы теории простых чисел // Чебышевский сборник, том 12. Вып. 4(2011). С. 176-256.

11. Davenport. Н. Multiplicative Number Theory, Third edition, Graduate Texts in Math. 71, 2000. New York: Sringer-Verlag. 178 p.

12. Jorg Brudern. Representations of natural numbers as the sum of a prime and a k-th power. //Tsukuba Journal of Mathematics. Vol. 32, No. 2 (December 2008), pp. 349-360.

13. Montgomery H. L., Vaughan R. C. The exceptional set in Goldbach's problem // Acta arithm. 1975. V. 27. R 353-370.

14. Montgomery H.L. and Vaughan R. C. Multiplicative number theory. I. Classical theory. Published in the United States of America by Cambridge University Press, New York. 2006. 552 p.

15. Vaughan R. C. The Hardi-Littlewood method. // Cambridge University Press, Nev York. 1997. 233 p.

16. Vinogradov A. I. The metod of trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Moskov: Nauka, 1980. 144 p.

REFERENCES

1. Аллаков И. О представлении чисел суммой двух простых чисел из арифметической прогрессии // Известия ВУЗов. "Математика". Казань, 2000. № 8(459). С. 3-15.

2. Аллаков И. Сонлар назариясининг баъзи бир аддитив масалаларини аналитик усуллар билан ечиш. Монография. Т.: "Таълим2012, 200 с.

3. Аллаков И. Об одной бинарной аддитивной задаче с простыми числами из арифметической прогрессии // Докл. АН РУз. 1991. № 7. С. 9.

4. Аллаков И. О числах, представимых в виде суммы простого и фиксированной степени простого числа // Алгебра и её приложения: Тезисы докладов междунар. конф. 5-9 августа 2002. Красноярск, 2002. С. 3-4.

5. Архипов Г. И., Чубариков В. И. Об одной тернарной задаче с простыми числами // Алгебра и теория чисел: Современные проблемы и приложения: Тез. докл. V междунар. конф. 1920 мая 2003. Тула, 2003. С. 18-19.

6. Виноградов А. И. О бинарной проблеме Харди-Литтлвуда // Acta arithm. Варшава, 1985. V. 46. Р. 33-56.

7. Жукова А. А. Проблема Харди-Литлвуда // Изв. Вузов. Математика. 2000. 2(453). С. 4149.

8. Плаксин В. А. Исключительное множество суммы простого и фиксированной степени простого числа. Петрозаводск, 1984, 33 с. Деп. в ВИНИТИ, 23.10.84. № 7010-84.

9. Плаксин В. А. Об одном вопросе Хуа-Ло-Кена // Мат. заметки. 1990. № 3(47). С. 78-90.

10. Чубариков В. И. Многомерные проблемы теории простых чисел // Чебышевский сборник, том 12. Вып. 4(2011). С. 176-256.

11. Davenport. Н. Multiplicative Number Theory, Third edition, Graduate Texts in Math. 71, 2000. New York: Sringer-Verlag. 178 p.

12. Jorg Brudern. Representations of natural numbers as the sum of a prime and a k-th power // Tsukuba Journal of Mathematics. Vol. 32, No. 2 (December 2008), pp. 349-360.

13. Montgomery H. L., Vaughan R. C. The exceptional set in Goldbach's problem // Acta arithm. 1975. V. 27. R 353-370.

14. Montgomery H.L. and Vaughan R. C. Multiplicative number theory. I. Classical theory. Published in the United States of America by Cambridge University Press, New York. 2006. 552 p.

15. Vaughan R. C. The Hardi-Littlewood method. // Cambridge University Press, Nev York. 1997. 233 p.

16. Vinogradov A. I. The metod of trigonometrical Sums in the Theory of Numbers. Moskov: Nauka, 1980. 144 p.

Получено 8.10.2019 г. Принято в печать 20.12.2019 г.