НОРМАЛЬНЫЙ ПРОГИБ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ЖЁСТКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ, НАГРУЖЕННЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ УСИЛИЕМ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики.

№2 (75) / 2021.

УДК 539.3

©2021. В.Н. Чехов, С.В. Закора

НОРМАЛЬНЫЙ ПРОГИБ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ЖЁСТКИМ ВКЛЮЧЕНИЕМ, НАГРУЖЕННЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ УСИЛИЕМ

В рамках теории типа С.П. Тимошенко с применением многозначных аналитических решений получено уточнённое аналитико-числовое решение для трансверсально-изотропной пологой сферической оболочки с круговым жёстким включением, нагруженным поперечным усилием. В результате численных исследований установлено, что при увеличении параметра поперечного сдвига и уменьшении радиуса жёсткого включения величина нормального прогиба возрастает в несколько раз. Также обнаружено, что влияние поперечного сдви-га особенно важно для относительно небольших диаметров жёстких включений.

Ключевые слова: аналитическое решение, теория типа С.П. Тимошенко, пологая сферическая оболочка, трансверсально-изотропный материал, жёсткое включение, нормальный прогиб.

Введение. Тонкостенные оболочки широко применяются в качестве элементов несущих конструкций в промышленности и в строительстве. Поэтому исследования напряженного состояния оболочек с концентраторами напряжений в виде отверстий [1—5], включений [2, 5, 6, 8], сосредоточенных [7] и локальных воздействий [2, 3 (гл. 24)] остаются востребованными.

В классе задач о нагружении оболочек усилием и моментом через жесткое круговое включение аналитические решения и численные результаты получены лишь для изотропных (в рамках классической теории Кирхгофа-Лява) сферической [3 (гл. 24), 8] и цилиндрической [2] оболочек.

В тоже время, в связи с широким применением в технике композитных материалов, стали актуальными задачи для трансверсально-изотропных оболочек. Такие материалы, как правило, обладают низкой сдвиговой жёсткостью, поэтому для них наиболее приемлемой является сдвиговая модель, сформулированная С.П. Тимошенко. На базе этой теории в [1] был предложен метод решения задач для трансверсально-изотропных оболочек с отверстиями и включениями. Затем, на базе этой же сдвиговой модели, Пелех Б.Л. [4] предложил несколько упрощённый вариант уравнений «технической теории трансверсально-изотропных оболочек». Этими методами был решён ряд задач для трансверсально-изотропных оболочек с отверстиями, включениями и подкрепляющими кольцами [2, 4, 5]. Значительная часть результатов по изучению концентрации напряжений около отверстий и жёстких включений в оболочках, изготовленных из металлических и композитных материалов, получена также с использованием вариационных конечно-разностных методов (например, в [9]) и наиболее полно изложена в обзорной статье [10]. Но все эти задачи и их решения предполагали нагружение оболочки равномерным внутренним давлением, растяжением или кручением.

В данной статье в рамках теории С.П. Тимошенко предлагается аналитическое решение задачи и реализуются численные исследования нормального прогиба при нагружении поперечным усилием, приложенным через круговое абсолютно жёсткое включение в пологой трансверсально-изотропной сферической оболочке. Ранее подобные исследования были проведены лишь для сосредоточенных воздействий [7].

1. Постановка задачи. Рассмотрим пологую трансверсально-изотропную сферическую оболочку с круговым недеформируемым включением (рис. 1). Предполагаем, что жёсткая шайба нагружена поперечным усилием Fz.

Для решения задачи применялась система однородных разрешающих дифференциаль-ных уравнений, основанных на учитывающей деформации поперечного сдвига [2] уточнён-ной теории типа С.П. Тимошенко:

У2У2и - V2w = 0; + Ч2и - 25Ч2Ч2и = 0;

(1)

Рис. 1.

Пуассона, V2 = ^ + +

1 д2

Здесь их— искомые функции усилий, прогиба и поперечного сдвига; V - коэффициент

ир 1 ~р др 1 Ш1 ~ оператор Лапласа в полярной системе координат (р, в), где р = - безразмерный радиус - вектор, г ■ егв = х + 5 = — относительный безразмерный параметр податливости поперечным

, где К = цСф, с = ]%!у/12(1 — г/2), Е - модуль Юнга, С\ - модуль

2КЯ сдвигам,

трансверсального сдвига, ц = 5/6 - коэффициент сдвига, Я - радиус срединной поверхности оболочки, Н - толщина оболочки, г - мнимая единица.

2. Построение аналитических решений. Решения системы дифференциальных уравнений (1) определим с помощью цилиндрической, полигармонической и аналитической частей:

п

и = и с + 1-иа

w = wc.

В (2) аналитическая часть иа, согласно [2], имеет вид:

(2) (3)

иа (г, в) = (а1 + а2) [(1 + 21п г) г еов в - 2г 8т в] +

+ (А + /32) (1 + 1п г) + (71 + 72) ^ сое в.

(4)

При этом, согласно [2], необходимо выполнить условия однозначности комплексных смещений:

а1 = -а2, в1 = -@2, 71 + 72 = 4геЕ(1 + V )аь

(5)

а главный вектор и главный момент внешних усилии, приложенных к жесткой шайбе, имеют представления [2]:

Fx = 2nEhcRIm(ai - a2), (6)

Fy = 2nEhcRRe(ai - a2), (7)

Fz = nEhcIm(ei - fa), (8)

Bz = -nEhcRRe(pi - fa), (9)

Bx = nEhcRe [(yi - 72) + 2icR (1 - v) (ai + a2)] , (10)

By = nEhclm [(7i - 72) - 2icR (1 - v) (ai + a2)] . (11)

Комплексные неизвестные постоянные aj , fa , 7j (j = 1,2) определяются из системы уравнений (5)-(11) при заданных значениях соответствующих компонент.

3. Аналитическое решение при заданном поперечном усилии. Задано Fz = -FZ, а остальные компоненты - равными нулю. Из системы уравнений (5)-(11) получим

iF0 iF0

Аналитическая часть (4) упростится и примет вид:

Ua(r) = 2fa(l + \nr) = -^^ЕиГ^ (12)

Из (12) очевидно следует, что для этого случая нагружения цилиндрические части в (2) и (3) также будут содержать только 0-ю гармонику, а полигармоническая часть в (3) для w отсутствует wp = 0. Цилиндрические части решения, убывающие по абсолютной величине при удалении от контура Г , имеют три различные аналитические формы в зависимости от диапазона изменения параметра податливости поперечным сдвигам 5 [2]. Решение уравнений (1) запишем в полярных координатах р, в на срединной поверхности оболочки в виде:

- в интервале 0 < 5 < 1:

Uc = aKi (ар) cos в, wc = a2aKi (ар) cos в; (13)

- для 5 = 1:

Uc = AK0(p)+ BpKi(p), wc = (A - 2B) K0(p)+ BpKi(р); ()

при 5 > 1:

Uc = А^(шр) + BKo^/u),

(15)

wc = ш2ЛХ0(шр) + w-2BKo^/w).

Здесь Кт (z) — цилиндрические функции Макдональда; ш = у/5 + л/ö2 — 1, а = [л/1 + 5 + iyj 1 — , а = А + iB , где А, В — вещественные постоянные. На границе Г1 абсолютно жёсткого включения ставились деформационные краевые условия

етт Irl =0, ктт In =0 , (16)

или етт |г1 =0, кпт |г1 =0, что эквивалентно (16), так как для деформационных краевых величин, записанных в виде (17), между коэффициентами при неизвестных постоянных А, Вдля 0-й гармоники существуют зависимости

р ' ктт — кпт

=

Vv —

4. Выражения для деформационных краевых величин, усилий и моментов. Выражения для деформационных краевых величин, вошедших в (16), имеют вид:

Eh етт = Te - vTp Eh2

Eh2 6 ¿V3 - Зг/2

— ктт = ^ (Ge ~ vGp) - -

2

K>TV = -^—Г—^-Нгв — öV 3 — 3z/2

EhKn

h

dT 1 dSpe

= -(1 + г/)—JT ~ 8 dr r du

P

iRdQe c dp '

c

Выражения для усилий и моментов, вошедших в (17), имеют вид:

Eh d2U Eh

Te = irRew r = n

Eh

Hrß = —— (1 — v) cRe 5 R

■ReV U — Те, Т = Тг + Тв,

r< Eh Gr = ——cRe R

fldx X2 dp \p dO

d_9 dp2

— v

d f 1 dg dp \p dO 1 dg 1 d2g p dp p2 дв2

Qr —

c Eh д (1 dU Sre —дДе^

Eh Гс „ /1 dy д ~

-RnRe{-pdö-YpV 9

Eh

Ge = —(1 + v) cReV2g - Gr, R

Eh /~c~ (dy 1 d ~

-1iHRe\dp+-Pdev g

(17)

(18)

где д = ш + 26У2ш - 452У2и .

Подставляя усилия и моменты (18) с учётом (17) в краевые условия (16) и приравнивая члены при одинаковых гармониках, получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных вещественных постоянных А, В. Поскольку комплексные неизвестные постоянные а] , в] , 1з (у = 1, 2) предварительно найдены, то аналитическими частями (12) также определятся правые части системы.

После решения полученной системы по (13)—(15) находим нормальный прогиб ш.

5. Описание результатов численных исследований. Были проведены расчёты для трансверсально - изотропной сферической оболочки с коэффициентом Пуассона V = 0, 3 при различных значениях радиуса жёсткой шайбы ро и параметра сдвига 5. В таблицах и на графиках приведены значения вычисленного безразмерного нормального прогиба на срединной поверхности оболочки

W =

Здесь

р о

й =-, (19)

пс ■ зса

где зса - масштабный множитель.

На графиках и в таблице и приведены значения вычисленного безразмерного нормального прогиба W в увеличенном масштабе 10:1, т.е. при значении масштабного множителя в (19) зса = 10.

На рисунке 2 приведены графики безразмерного нормального прогиба W на контуре Г1 кругового жёсткого включения в зависимости от параметра сдвига 5 при различных значениях радиуса жёсткой шайбы ро.

Ро

и 1 2 3^4

Рис. 2.

На рисунках 3, 4 показаны изменение нормального прогиба W при удалении от жёсткой шайбы радиуса ро при различных значениях параметра сдвига 5, в том числе для р0 = 3 (рис. 3) и для р0 = 0.4 (рис. 4).

Из рисунков 2, 3, 4 видно, что при увеличении параметра 5 и уменьшении радиуса жёсткой шайбы ро значения нормального прогиба Wзначительно возрастают. Это подтверждается также и таблицей 1, где представлены результаты вычисленных значений нормального прогиба W в зависимости от 5 и ро. Например,

W 0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

■

1

-К

"V \

- v 5=2 Ч

1

7 Р

Рис. 3.

Рис. 4.

из таблицы 1 видно, что при 5=0 (т.е. для изотропной оболочки) и уменьшении ро от 3 до 0.02, значения нормального прогиба W увеличились 9.5 раза, а при 5=2 и тех же изменениях ро значения нормального прогиба W увеличились в 67 раз.

Таблица 1. Значения прогиба W в зависимости от S и ро.

<5 0.02 0.1 0.3 0.6 1 2 3 5

0 3.91 3.70 3.05 2.24 1.53 0.72 0.41 0.18

0,5 12.32 8.17 5.11 3.18 1.96 0.83 0.45 0.19

1 20.14 12.09 6.78 3.90 2.27 0.90 0.48 0.20

2 34.61 18.91 9.45 4.96 2.71 1.00 0.52 0.21

3 48.04 24.84 11.56 5.73 3.01 1.06 0.54 0.22

4 60.74 30.16 13.32 6.35 3.24 1.11 0.56 0.22

5 72.87 35.02 14.84 6.85 3.42 1.15 0.57 0.22

Следует также отметить следующее. Из таблицы 1 видно, что при ро=5 и увеличении 5 от 0 до 5, значения нормального прогиба W увеличились в 1,23 раза. А при ро=0,02 и тех же изменениях параметра 5, значения прогиба W увеличиваются уже в 18,6 раз. Таким образом, влияние деформации поперечного сдвига является особенно существенным при малых площадках жёстких шайб.

6. Исследования точности и достоверности полученных результатов. При численной реализации все вычисления проводились в среде пакета Maple. Точность вычислений регулировалась с заданием значения системной переменной Digits, которая здесь принималась равной Digits = 15. Были проведены нижеследующие численные исследования точности и достоверности полученных результатов при различных значениях относительного радиуса жёсткой шайбы ро и параметра сдвига 5.

1) Для проверки результатов был проведён расчёт значений нормального прогиба W также несколько иным способом, представленным в работе [11], где основное напряжённое состояние оболочки описывается частным решением для сплошной оболочки, нагруженной нормальной сосредоточенной силой, полученным с помощью двумерного интегрального преобразования Фурье в работе [7]. При этом уже не используются многозначные аналитические решения (4)—(12), а нормальный прогиб и записывается в виде

и = ис + иР,

где

р 2

2™ (20)

Остальные соотношения и путь решения такие же, как и в [11].

Проведённая таким способом проверка показала полное (стопроцентное) совпадение частных результатов раннее осуществленного анализа с приведёнными здесь численными результатами. То есть, оба способа решения приводят к одинаковым результатам.

2) Для сравнения с результатами других авторов были проведены вычисления прогиба и при весьма малом относительным радиусом жёсткого включения ро = 0, 02. При сравнении с результатами работы [7] для сплошной сферической оболочки при действии нормальной сосредоточенной силы получено совпадение результатов при 5 =0. При увеличении параметра 5 результаты численно отличаются, но качественно график распределения и аналогичен [7].

3) Для проверки формул (13)-(15) были проведены расчёты W (ро,5) при 5 = 1, а также при значениях 5 = 1 — 10_12, и 5 = 1 + 10_12, близких к 1. Получено совпадение результатов, полученных по разным формулам (13)-(15) для 5 < 1, 5 = 1 и 5 > 1.

Так, для значений ро=0.02, 0.1, 0.3, 0.6, 1, 2, 3,5 (исходных данных - табл. 1), отличие полученных для 5 = 1 ± 10_12значений W (ро) не превышало 10_7 % от значений W (ро, 5) при 5 = 1. При этом для ро= 0.02 относительное расхождение составляло А%=0.14*10_7 % и величина перемещения, согласно таблице 1, составляет W (ро, 5)= 20.14. При ро=5 расхождение составляло А% =0.64*10_11 %, а значение перемещения W (ро, 5)= 0.22 (чем и объясняется меньшее расхождение).

4) Проверялась точность выполнения исходных дифференциальных уравнений (1). Так, были проведёны расчёты для значений

ро = 0.1, 0.3, 0.6, 1, 2, 3, 5; 5 = 0, 0.5, 1, 2, 3, 4, 5. (21)

Абсолютная погрешность составляла от 0.5*10_15 до 0.1*10_7 и зависела от значений ро, 5, т.е. (как видно из табл.1) и от W (ро, 5); относительная погрешность W (р0, 5) при этом составляла от 0.2*10"14 до 0.3*10"9.

5) Контролировалась точность удовлетворения заданных граничных условий в точках контура. Для значений ро,5 из (21) абсолютная погрешность выполнения граничных условий не превышала 0.103*10_6. При этом значение перемещения W (ро, 5) = 35 - максимальное при ро=0.1, 5=5. Погрешность относительно значений W (ро, 5); составляла 0.3 * 10_8.

В случаях, представленных в таблице 1, максимальное значение абсолютной погрешности выполнения граничных условий составляло 0.9* 10_4. Погрешность относительно максимальных значений W (ро,5) = 72.9 (при ро=0.02, 5=5) не превышала 0.124 * 10_5.

Выводы. Таким образом, численные исследования для трансверсально-изо-тропной сферической оболочки с круговым жёстким включением, нагруженным поперечным усилием, показали, что при увеличении параметра поперечного сдвига материала оболочки 5 и уменьшении радиуса жёсткого включения ро величина нормального прогиба Wзначительно возрастает и может увеличиться в несколько раз.

1. Гузь А.Н. Сферические днища, ослабленные отверстиями / А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, К.И. Шнеренко - Киев: Наук. думка, 1970. - 323 с.

2. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями / А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, Вал. Н. Чехов [и др.] . - К.: Наук. думка, 1980. - 636 с. - (Методы расчета оболочек: В 5 т. / Под общ. ред. А.Н. Гузя. - Т. 1.)

3. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник: В 3 т. / под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Па-новко. - М.: Машиностроение, 1968. - Т. 1. - 831 с.

4. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жёсткостью / Б.Л. Пелех - К.: Наук. думка, 1973. - 248 с.

5. Пелех Б.Л. Распределение напряжений возле отверстий в податливых на сдвиг анизотропных оболочках / Б.Л. Пелех, А.А. Сяський. - К.: Наук. думка, 1975. - 198 с.

6. Chekhov V.N. Stress concentration in a transversely isotropic spherical shell with two circular rigid inclusions / V.N. Chekhov, S.V. Zakora // Int. Appl. Mech. - 2011. - Vol. 47, No. 4 -P. 441-448.

7. Khizhnyak V.K. Stress-deformed state of transversally isotropic shells under concentrated loads / V.K. Khizhnyak, V.P. Shevchenko // Soviet Appl. Mech. - 1972. - Vol. 8, No. 11 - P. 1188-1193.

8. Shevchenko V.P. Stresses in a Spherical Shell Loaded Through Rigid Inclusions / V.P. Shevchenko, S.V. Zakora // Int. Appl. Mech. - 2015. - Vol. 51, No. 2 - P. 159-166.

9. Maksimyuk V.A. Nonlinear deformation of thin isotropic and orthotropic shells of revolution with reinforced holes and rigid inclusions / V.A. Maksimyuk, E.A. Storozhuk, I.S. Chernyshenko // Int. Appl. Mech.-2013, - Vol. 49, No 6. - P. 685-692.

10. Maksimyuk V.A. Variational-difference methods in linear and nonlinear problems of the deformation of metallic and composite shells (review) / V.A. Maksimyuk, E.A. Storozhuk, I.S. Chernyshenko // Int. Appl. Mech.-2012, - Vol. 48, No 6. - P. 613-687.

11. Чехов В.Н. Концентрация напряжений в трансверсально-изотропной сферической оболочке с жестким круговым включением, нагруженным нормальной силой / В.Н. Чехов, С.В. Закора // «Журнал теоретической и прикладной механики», ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет».- 2017. - № 2(59). - С. 27-39.

Нормальный прогиб сферической оболочки с жёстким включением V.N. Chekhov, S.V Zakora

Normal deflection of a transversely isotropic spherical shell with rigid inclusion loaded with transverse effort..

Within the framework of the theory of the S.P. Timoshenko, using multivalued analytical solutions, a refined analyti-cal-numerical solution was obtained for a transversely isotropic shallow spherical shell with a circular rigid inclusion loaded with a transverse effort. As a result of numerical studies, that with an increase in the transverse shear and a decrease in the radius of the rigid inclusion, the deflection value increases several times. It was also found that the ef-fect of transverse shear is especially important for small diameters of rigid inclusions.

Keywords: analytical-numerical solution, theory of S.P. Timoshenko, shallow spherical shell, transversal isotropic material, rigid inclusion, normal deflection..

Крымский федеральный университет им. В.И. Вернадского, Получено 08.09.2021

Симферополь

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк

V.I. Vernadsky Crimean Federal University, Simferopol Donetsk National University, Donetsk

chekhov40@mail.ru zakora41@yandex.ua