КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ С ЖЕСТКИМ КРУГОВЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ, НАГРУЖЕННЫМ НОРМАЛЬНОЙ СИЛОЙ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0136-4545

^Курнал теоретической и прикладной механики. №2(59) / 2017.

УДК 539.3

©2017. В.Н. Чехов, С.В. Закора

КОНЦЕНТРАЦИЯ НАПРЯЖЕНИЙ В ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ С ЖЕСТКИМ КРУГОВЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ, НАГРУЖЕННЫМ НОРМАЛЬНОЙ СИЛОЙ

В рамках уточненной теории типа С. П. Тимошенко, которая учитывает деформации поперечного сдвига, получено аналитическое решение задачи о напряженном состоянии пологой трансверсально - изотропной сферической оболочки с круговым абсолютно жестким включением, нагруженным нормальной силой. В результате численных исследований обнаружено значительное увеличение напряжений в оболочке при увеличении параметра поперечного сдвига материала оболочки и уменьшении радиуса жесткой шайбы. Проведено сопоставление результатов, полученных по уточненной и технической теориям.

Ключевые слова: напряжения, трансверсально-изотропная, сферическая, оболочка, жесткое включение, нормальная сила, теория типа Тимошенко.

1. Введение. Широкое применение тонкостенных оболочечных элементов конструкций в различных отраслях промышленности и техники (авиа и ракетостроение, судостроение и т. д.) обусловило актуальность исследований напряженного состояния оболочек с концентраторами напряжений в виде отверстий [1-5], включений [2, 5, 6], сосредоточенных [7] и локальных воздействий [2, 3 (гл. 24)]. Они, как и прежде, остаются теоретически и практически востребованными.

Для оболочек, нагруженных усилием и моментом через жесткую шайбу, аналитические решения и численные результаты, то есть практически решённые задачи, получены лишь для изотропных (в рамках классической теории Кирхгофа-Лява) сферической [3 (гл. 24), 8] и цилиндрической [2] оболочек.

В последнее время, в связи с широким применением в технике композитных материалов стали актуальными задачи для трансверсально-изотропных оболочек. Классическая теория, построенная на предположениях Кирхгофа-Лява, для таких оболочек является неприемлемой, поскольку не учитывает поперечные сдвиги. Наиболее приемлемой с точки зрения инженерных приложений справедливо считать сдвиговую модель, сформулированную С.П. Тимошенко. На базе этой теории Гузем А.Н., Чернышенко И.С. и Шнеренко К.И. [1] был предложен метод решения задач для трансверсально-изотропных оболочек с отверстиями и включениями. Затем, на базе этой - же сдвиговой модели, Пе-лех Б.Л. [4] предложил несколько упрощённый вариант уравнений «технической теории трансверсально-изотропных оболочек». И тем и другим методом был решён ряд задач для трансверсально-изотропных оболочек с отверстиями, включениями и подкрепляющими кольцами [2, 4, 5]. Но все эти задачи предполагали нагружение оболочки равномерным внутренним давлением, растяжением или

кручением. В данной статье рассмотрена задача для пологой трансверсально-изотропной сферической оболочки с круговым абсолютно жестким включением, нагруженным нормальной силой Р.

2. Постановка задачи. Для решения задачи применялась система однородных дифференциальных уравнений теории типа С. П. Тимошенко, которая учитывает деформации поперечного сдвига [2]

V2V2U -V2w = 0, V2V2w + У2и - 25У2У2и = 0, (1)

(1 - V) ¿V2* - % = 0.

Здесь и^,х - искомые функции усилий, прогиба и поперечного сдвига; V2 =

д2 1 д 1 д2 ^ г ~др5 + ~р др + -оператор .Лапласа в полярной системе координат, где р =

- относительный безразмерный радиус-вектор с началом в центре кругового включения, г ■ егв = х + гу, 5 = ^^ - относительный безразмерный параметр податливости поперечным сдвигам, где К = ¡лО\Н, Е - модуль Юнга, С\ -модуль поперечного сдвига, /х = 5/6 - коэффициент сдвига, с = /г/\/12(1 — г/2), V - коэффициент Пуассона, Я - радиус срединной поверхности оболочки, Н -толщина оболочки, г - мнимая единица.

Решение однородной системы дифференциальных уравнений (1) будем определять с помощью функций и и w, которые при р убывают по абсолютной величине и не зависят от угла 0 [2]

в интервале 0 < 5 < 1: и = г (А + 1Б) К0(ар); w = а2 и; при 5 > 1 : и = АКо(ар) + БКо(вр), w = а2АКо(ар) + в2БКо(вр); (2) X = 0 на всех интервалах.

Здесь А и Б - действительные неизвестные постоянные; Кп(ар) - функции Мак-дональда; а = (л/1 + 5 + г л/1 — <5); а = л/5 + л/82 — 1, ¡3 = ^ при 5 > 1.

На границе Г абсолютно жесткого включения ставились деформационные краевые условия

етт |г = 0, ктт |г = 0. (3)

Выражения для этих деформационных краевых величин имеют вид

ЕНетт = Тв - vTr,

ЕН^ _ 6

2 К'тт ~ Н

(4)

Выражения для усилий и моментов, которые отвечают однородным решени-

Г

ям (2), имеют вид [2, 6]

Т =

БН1 ди

Де— + Т.Г

Яр др

БГ0 = О,

(5)

Ое = О, ИГ0 = О,

где д = ш + 25У2ад - 4^2У2и.

Основное напряженное состояние оболочки описывается частным решением для сплошной оболочки, нагруженной нормальной сосредоточенной силой, полученным с помощью двумерного интегрального преобразования Фурье в работе [7] в виде

грО _ Р 2-/ГС

йд р

д=1

Ит0 = 0, = 0, 00 = 0

р

2

д=1

Ко(рлД}) +

--К^Р^/Тд)

М0 =

р

2

2п (й2 - й\)

Е(-!)д йд

р2

Ко(р\/%) + т^А'Прл/^")

Ру йд

(6)

Мв =

р

2п (й2 - д=1

Е(-!)д йд

иК0(р\/%) - —-^К^р^/Тд)

р йд

Ов = -

р

д=1

где

1

1

2

2

Подставляя усилия и моменты (5) с учетом (2), (6) в граничные условия (3), получаем систему линейных алгебраических уравнений относительно действительных неизвестных А и В. Подставляя полученные в результате решения системы значения А и В в формулы (2), находим функции и и -ш, а далее по формулам (5) определим усилия и моменты.

Приведем полученные аналитические выражения для усилий, моментов, деформационных краевых условий и постоянных А, В.

1) В интервале 0 < 5 < 1:

1 ЕЪ

Тг =---—1т (ааК\),

р К

п ЕЬт &г=с——1т,

К

п Е1г т Со = с—1т

К

а,а (—К\ + а Ко

V Р

1 — V

а | -К1 + К0

ар

1- V

а |--К1 + и Ко

ар

Яг = (ааК1)'

где а = А + гВ, К0 = К0(ар), К = К(ар).

Деформационные краевые условия (3) на границе Г абсолютно жесткого включения, т.е. при р = р0, примут вид

\_Eh_ ро Я

1т \aLEt (ро)] + е°ТТ = 0

ЕЪ

(7)

—У3(1 - 1У2)——Гт \aLKt (р0)] + к°т = О,

р0

К

где LKt (р0) = (а5 — а) К\; LEt (р0) = а [ар0К0 + (1 + V)К\]. В результате решения системы (7) получены следующие аналитические выражения для постоянных А и В:

А=

В=

РоК (ЬЕН

РоП (к ЕЪ

-£°ТТКеЬК1 + к°ттПеЬЕ1 / Уз (1 - V2)

е°тт1т,Ыа - к°ТТ1т,ЬЕ1 / У3(1-г/2)

где (1,\ = —1т (уЫИ (ро) ■ ЬЕ1 (ро)) • Здесь и далее обозначено:

е°ТТ = (Т° - , = £ - <) -

¿уз - 3и2 [к

Ро

<2°, Ро = Го/УсЁ,

где тв - радиус жесткой шайбы. 2) В интервале 5 > 1:

1 БН

% = —— [аК! (ар) А + (ЗК1 (/Зр) Б], р Я

Т^Ъ I о

Яг = —д а/ д № (ар) А + (13р) В]

Тв =

а

а Ко (ар) Н—(ар) р

БН

А +

(/Зр) + -Кх ((Зр)

р

Сг = —с [ЬСг (а) А + ЬСг (¡3) В], Я

БН

Св = —с [ЬСв (а) А + ЬСв (р) В]. Я

Здесь приняты следующие обозначения: ЬСт (х) =

К0 (хр) + ———Кг (хр) хр

ЬСв (х) =

иКо (хр) — ^—^-Кг (хр)

Деформационные краевые условия (3) на границе Г абсолютно жесткого включения примут вид

ЕЪ_ К

^ [ЬЕ (а) А + ЬЕ (/3) В] + е°тт = О,

1 т?ъ

— У3(1-^2) [ЬК (а) А + ЬК (¡3) + к°тт = 0.

р Я

В этом случае получены следующие аналитические выражения для постоянных А и В:

А=

Я

В = —

й2БН Я

й2БН

ЬК (13) £°тт - ЬЕ (13) к°ттРо/ У3(1-^2) ЬК (а) £°тт - ЬЕ (а) к°ттро/\/ 3(1-г/2)

Здесь обозначено:

й2 = ЬК (а) ЬБ (в) - ЬК (в) ЬБ (а),

х

ЬЕ (х) = — (1 + V) Кг (хро) + х2К0 (хр0), р

ЬК (х) = (х3 - х5) К1 (хрв).

3. Численные исследования. Численные исследования проведены для трансверсально-изотропной сферической оболочки с коэффициентом Пуассона

v — 0.3 при различных значениях параметра податливости поперечным сдвигам ô и радиуса жесткой шайбы р0.

Были вычислены коэффициенты концентрации мембранных и изгибистых напряжений, а по ним и относительных эквивалентных напряжений по энергетической теории прочности [2,6]

7„Т _ Те

Ко — г 1

7 Т _

r ~ d '

ko —

6 Ge hd '

7„В _ r hd '

(8

ко — кт ^ кв , кг — кг ^ кг , keq — к^ + к^ кг ко, (9)

где d = Р/10пс.

Относительным эквивалентным напряжением к^ на внешней поверхности оболочки в формулах (9) отвечает знак «+», а напряжением к^ на внутренней поверхности - знак «—».

На приведенных ниже рисунках по вертикальной оси графиков отложены значения относительных напряжений: тангенциальных к^ — пунктирной, к^ — штрих-пунктирной; изгибных к^ штриховой, ко штрих-двух-пунктирной линиями; эквивалентных на внешней поверхности оболочки к— сплошной линией.

На рис. 1, 2 и в табл. 1, 2 приведены значения напряжений на контуре включения в зависимости от параметра сдвига шайбы 5 и радиуса жесткой шайбы

Рис. 1.

Рис. 2.

Из табл. 1, 2 и рис. 1 видно, что увеличение параметра 5 ведет к увеличению напряжений

кг , к^ , к^ , кед , кц^п .

При этом рост эквивалентных напряжений происходит в основном за счет изгибных напряжений. Наибольшие эквивалентные напряжения находятся на внешней поверхности оболочки.

Таблица 1

Ро = 2.

6 ку ¡¿а кв ГЬГ кв ь.Ех1 ^ед лед

0.0 0.553 0.166 1.700 0.509 2.002 1.019

0.5 0.638 0.191 2.058 0.112 2.558 1.462

0.8 0.675 0.202 2.237 -0.090 2.857 1.727

1.0 0.695 0.209 2.346 -0.213 3.043 1.897

2.0 0.770 0.231 2.810 -0.741 3.861 2.664

3.0 0.819 0.246 3.190 -1.180 4.548 3.321

4.0 0.855 0.256 3.520 -1.560 5.150 3.902

5.0 0.882 0.265 3.816 -1.890 5.691 4.429

Таблица 2

Ро = 4.

5 к^ кт 1-В гьг 1-В Ь,Ех1 Кед 1.1 пЬ лед

0.0 0.202 0.061 0.556 0.167 0.674 0.314

0.5 0.219 0.066 0.608 0.105 0.756 0.371

0.8 0.225 0.068 0.632 0.075 0.796 0.403

1.0 0.229 0.069 0.647 0.056 0.821 0.424

2.0 0.242 0.073 0.706 -0.020 0.924 0.517

3.0 0.250 0.075 0.753 -0.082 1.007 0.597

4.0 0.256 0.077 0.793 -0.134 1.079 0.668

5.0 0.261 0.078 0.828 -0.180 1.143 0.732

Из табл. 1 видно, что при ро = 2 и 5 = 0.5 напряжения к^1 увеличиваются на 28% по сравнению с 5 = 0 (что соответствует классическому решению по гипотезе Кирхгофа-Лява). Более существенное изменение наибольших напряжений происходит при дальнейшем увеличении параметра 5: для ро = 2 при 5 = 5 они увеличиваются на 184% по сравнению с 5 = 0.

С увеличением радиуса шайбы напряжения и влияние пониженной поперечной сдвиговой жесткости на напряженное состояние уменьшаются, как это видно из табл. 2 и рис. 1, 2. Так из табл. 2 видно, что по сравнению с приведенным выше примером в случае ро = 4 при значении параметра 5 = 0.5 увеличение составляет уже только 12%, а для 5 = 5 — 70% по сравнению с 5 = 0.

В табл. 3 и на рис. 3 показано поведение напряжений при удалении от шайбы по меридиану сферической оболочки. Из табл. 3 для радиуса шайбы р0 = 1 и 5 = 2 видно, что при р = 5 + 6 концентрация напряжений составляет 3% + 2% от их значений на границе шайбы. То есть на расстоянии (4 + 5)ро от границы шайбы напряжениями можно практически пренебречь. Это наглядно подтверждается и графиком на рис. 3 для радиуса р0 = 2 при 5 = 2. Видно, что при удалении от границы шайбы напряжения затухают; при р = 10 + 12, то есть на расстоянии (4 + 5)ро от границы шайбы напряжения значительно снизились и ими можно

практически пренебречь.

В табл. 4 и на рис. 2 и приведены значения наибольших относительных

* 1 ■'о _ 2 : £ = \

1 1 1 , * \ 1 \

ч \ 1 \

ц. 1 «ь V *

2 4 6 3 10 12 14 р

Рис. 3.

Таблица 3

Ро = 1-,5 = 2.

Р ку к1 1-В Гьг кв ь.Ех1 1ЛпЬ Лед

1. 2.083 0.625 11.418 -6.220 17.000 14.063

2. 0.919 -0.489 2.672 -0.838 4.408 1.951

3. 0.471 -0.348 1.035 -0.179 1.827 0.501

4. 0.283 -0.229 0.479 -0.038 0.924 0.194

5. 0.188 -0.161 0.240 -0.003 0.529 0.139

6. 0.133 -0.119 0.125 0.004 0.331 0.127

7. 0.100 -0.091 0.067 0.004 0.223 0.116

8. 0.077 -0.072 0.037 0.003 0.160 0.102

Таблица 4

Ро 1,Ех1

6=0. 5=1. ¿=2. 0-1 СО ¿=4.

0.5 9.292 44.128 75.973 104.860 131.577

1. 4.845 11.380 17.000 21.875 26.236

2. 2.002 3.043 3.861 4.548 5.150

3. 1.081 1.416 1.662 1.865 2.041

4. 0.674 0.821 0.924 1.007 1.079

5. 0.459 0.536 0.588 0.630 0.665

6. 0.333 0.378 0.408 0.431 0.451

эквивалентных напряжений kf^*на границе жесткой шайбы в зависимости от радиуса шайбы и параметра податливости. Из табл. 4 видно, что при р° = 6 и изменении 5 от 0 до 3 напряжения kfqxt увеличились в 1.3 раза, а при ро = 0.5 и тех же изменениях 5 напряжения увеличились уже в 11.3 раза. Таким образом, влияние деформации поперечного сдвига особенно существенно при малых площадках жестких шайб.

4. Достоверность полученных результатов. Вычисления проводились на PC в среде пакета Maple-13. Точность вычислений можно регулировать, задавая значение системной переменной Digits.

Проверялась точность выполнения дифференциальных уравнений (1) с вычисленными после выполнения граничных условий и решения системы коэффициентами A и B. Абсолютная погрешность не превышала 10_1° при Digits = 15.

Проверялась точность удовлетворения заданных граничных условий в точках контура Г. При задании Digits = 15 для случаев, представленных в табл. 5, при численной реализации абсолютная погрешность выполнения граничных условий не превышала 10_12; при этом максимальное значение напряжений не превышало 9.

Проведено сравнение с результатами работы [8], полученных в рамках классической теории Кирхгофа-Лява. При ширине перемычки между включениями s = 7.5, то есть, когда их взаимовлияние практически отсутствует, получено совпадение результатов из таблиц 1, 2 при 5 = 0.

Для сравнения с результатами других авторов проведены вычисления прогиба w согласно [7] в сферической оболочке при действии нормальной сосредоточенной силы, и расчеты w по рассматриваемой здесь методике при весьма малом относительном радиусе жесткого включения р° = 0.02. Получено совпадение результатов при 5 = 0. При увеличении параметра 5 результаты численно отличаются, но качественно график распределения w аналогичен [7].

5. Решение задачи по технической теории. Рассмотрим ту же задачу, но для ее решения применим техническую теорию, которая учитывает деформации поперечного сдвига, предложенную Б.Л. Пелехом [4, 5]. В этом случае система однородных дифференциальных уравнений имеет вид (во втором уравнении системы (1) опущено слагаемое с параметром податливости поперечным сдвигам)

V2V2U -V2w = 0, V2V2w + V2U = 0, (1 - v) 5V2x - X = 0. (10)

Решение системы дифференциальных уравнений (10) определим с помощью цилиндрической, полигармонической и аналитической частей

R

U = Uc + i-Ua, (11)

R

w = wc + —wp. (12)

Аналитическая часть Ua согласно [2] имеет вид

Ua (r, в) = (ai + a2)[(1 + 2 ln r) r cos в — 2r sin в] +

+ {Pi + fh) (1 + In r) + (71 + 72) 7 cos в.

При этом согласно [2] необходимо выполнить условия однозначности комплексных смещений

ai = -a2, ¡3i = —fa, 7i +72 = 4icR(1+v)ai, 71 +72 = —4icR(1 +v)ai. (14)

Главный вектор и главный момент внешних усилий, прилагаемых к жесткой шайбе, определяются согласно [2]

(15)

FX = 2nEhcRIm(al — a2), FY = 2nEhcRRe(al — a2),

Fz = nEhcIm(ßi — ß2), Bz = —nEhcRRe(ßi — fo),

BX = nEhcRe [(y1 — 72) + 2icR (1 — v) (al + a2)] ,

BY = nEhclm [(y1 — y2) — 2icR (1 — v) (al + a2)] .

Комплексные неизвестные постоянные aj , ßj , 7j (j = 1, 2) определяются из системы уравнений (14)—(15) при заданных значениях соответствующих компонент главного вектора и главного момента внешних усилий.

В данном случае задано Fz = —P, а остальные компоненты - равны нулю.

Из системы уравнений (14)—(15) получим а\ = 0, а2 = 0, ß\ = — 2^еис> = 2жEhe' Т1 = 72 = 0. Аналитическая часть (13) упростится и примет вид

Ua (г) = 2ß1 (1 + In г) = (16)

Из (16) очевидно, что для этого случая нагружения цилиндрическая часть также будет содержать только нулевую гармонику, а полигармоническая часть отсутствует wp = 0. Цилиндрические части решения, которые убывают по абсолютной величине при удалении от Г и не зависят от угла в, запишем в виде

Uc = iaKr(ap), wc = —aKr(ap). (17)

Здесь а = \Гц а = А + гВ.

На границе Г ставились краевые условия (3), а выражения для деформационных краевых величин имеют вид (4).

Выражения для усилий и моментов имеют вид (5), но

Т° = 0, T0 = 0, С0Г = 0, G0e = 0, Q0r = 0. (18)

То есть частные решения определяются аналитической частью Ua из соотношений (5) при условиях (18).

Система уравнений строится аналогично основному случаю, описанному выше. При этом, поскольку комплексные неизвестны постоянные otj, ßj, 7j (j = 1, 2)

предварительно найдены, то аналитической частью (16) также определяются правые части системы.

Согласно (7)-(9) были найдены безразмерные коэффициенты концентрации напряжений и проведены численные исследования.

6. Сопоставление результатов, полученных по технической и уточненной теориям. В табл. 5 и табл. 6 приведены значения коэффициентов концентрации напряжений, полученных по технической теории [4, 5] - в верхней строке, а по уточненной теории типа С.П. Тимошенко - в нижней строке.

Из табл. 5 и табл. 6 видно, что значение наибольших относительных эквивалентных напряжений на внешней поверхности оболочки к^', полученные по технической теории, превышают их значения, полученные по уточненной теории.

_Таблица. 5

Ро = 2.

5 к^ кт 1-В гьг 1-В ыв ь.Ех1 1.1 пЛ. Лед

0.0 0.553 0.553 0.166 0.166 1.700 1.700 0.509 0.509 2.002 2.002 1.019 1.019

0.1 0.591 0.573 0.177 0.172 1.785 1.780 0.424 0.421 2.140 2.119 1.091 1.103

0.2 0.630 0.592 0.189 0.177 1.823 1.855 0.324 0.339 2.241 2.233 1.132 1.191

0.3 0.674 0.608 0.202 0.183 1.868 1.926 0.212 0.260 2.363 2.345 1.189 1.281

0.35 0.700 0.616 0.210 0.185 1.921 1.960 0.155 0.222 2.459 2.399 1.250 1.326

0.4 0.729 0.624 0.219 0.187 2.017 1.994 0.099 0.184 2.602 2.453 1.352 1.371

0.5 0.807 0.638 0.242 0.191 2.468 2.058 0.009 0.112 3.158 2.558 1.789 1.462

0.6 0.938 0.651 0.281 0.195 3.722 2.120 0.012 0.042 4.521 2.660 2.929 1.551

0.7 1.217 0.663 0.365 0.199 7.482 2.180 0.339 -0.025 8.369 2.760 6.278 1.640

В табл. 5 для ро = 2 при 5 = 0.35 превышение составляет 2.5%, а при 5 = 0.4-6%. При последующем увеличении параметра податливости это превышение растет: например, при 5 = 0.6 оно составляет уже 70%, а при 5 = 0.7 даже 203%.

Для меньших значений радиуса включения диапазон параметра податливости, при котором отличие не превышает 6%, уменьшается. Так для ро = 0.4 из табл. 6 видно, что отличие в 5.4% достигается при 5 = 0.2, а при 5 = 0.5 оно составляет уже 73%.

Таким образом, чтобы не превышать погрешность в 5-6%, техническую тео-

Таблица 6

Ро = 4.

6 А^Г kj hB hB uExt heq ulnt лeq

0.0 2.113 0.634 10.217 3.065 10.959 7.203

2.113 0.634 10.217 3.060 10.959 7.203

0.1 2.519 0.756 14.105 -0.613 16.553 12.327

2.379 0.714 13.865 -0.609 16.193 12.202

0.15 2.733 0.820 16.030 -2.592 19.709 15.290

2.506 0.752 15.665 -2.425 19.062 15.002

0.2 2.965 0.889 18.061 -4.741 23.193 18.564

2.629 0.789 17.450 -4.210 21.998 17.862

0.3 3.518 1.055 22.990 -9.867 31.841 26.666

2.865 0.860 20.976 -7.790 27.950 23.643

0.4 4.308 1.292 30.702 -16.975 44.952 38.891

3.089 0.927 24.449 -11.300 33.919 29.425

0.5 5.658 1.697 45.882 -28.521 68.980 61.209

3.303 0.991 27.871 -14.700 39.859 35.169

рию [4] следует применять для небольших значений параметра податливости 5.

7. Выводы. Получено аналитическое решение задачи о напряженном состоянии пологой трансверсально-изотропной сферической оболочки с круговым абсолютно жестким включением, нагруженным нормальной силой.

Приведенные в работе численные исследования показали, что при увеличении параметра поперечного сдвига материала оболочки напряжения в ней растут и могут увеличиться в несколько раз. Уменьшить напряжение можно путем увеличения радиуса жесткой шайбы.

Результаты работы вместе с разработанной в среде Maple программой расчета могут быть использованы в инженерной практике с целью определить величину концентрации напряжений и подобрать оптимальный радиус шайбы для уменьшения опасных напряжений.

Техническая теория [4] применима для небольших значений параметра податливости 5. Например, чтобы не превышать погрешность в 5-6%, при ро = 2 следует брать 5< 0.4, а при р0 = 0.4 - соответственно 5 < 0.2.

1. Гузь А.Н. Сферические днища, ослабленные отверстиями / А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, К.И. Шнеренко - Киев: Наук. думка, 1970. - 323 с.

2. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями / А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, Вал.Н. Чехов [и др.] . - К.: Наук. думка, 1980. - 636 с. - (Методы расчета оболочек: В 5 т./ Под общ. ред. А. Н. Гузя. - Т. 1.)

3. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник: В 3 т. / под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Па-новко. - М.: Машиностроение, 1968. - Т. 1. - 831 с.

4. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жёсткостью / Б.Л. Пелех - К.: Наук. думка, 1973. - 248 с.

5. Пелех Б.Л. Распределение напряжений возле отверстий в податливых на сдвиг анизотропных оболочках / Б.Л. Пелех, А.А. Сяський. - К.: Наук. думка, 1975. - 198 с.

6. Chekhov V.N. Stress concentration in a transversely isotropic spherical shell with two circular rigid inclusions / V.N. Chekhov, S.V. Zakora // Int. Appl. Mech. - 2011. - Vol. 47, No. 4. -P. 441-448.

7. Khizhnyak V.K.Stress-deformed state of transversally isotropic shells under concentrated loads / V.K. Khizhnyak, V.P. Shevchenko // Soviet Appl. Mech. - 1972. - Vol. 8, № 11 - P. 1188-1193.

8. Shevchenko V.P.Stresses in a Spherical Shell Loaded Through Rigid Inclusions / V.P. Shevchenko, S.V. Zakora // Int. Appl. Mech. - 2015. - Vol. 51, No. 2 - P. 159-166.

V.N. Chekhov , S.V Zakora

Stress concentration in a transversely isotropic spherical shell with a hard circular inclusion loaded by the normal force.

In the framework of the refined theory of the S. P. Timoshenko type, which takes into account the deformations of the transverse shear, an analytical solution of the problem for the stress state of a shallow transversely isotropic spherical shell with a circular absolutely rigid inclusion is obtained. The shell has been loaded by the normal force through the inclusion. As a result of numerical studies, a significant increase in the stresses was observed with an increase of the shear parameter and a decrease in the radius of the rigid inclusion. Comparison of the results obtained by refined and technical theories is carried out.

Keywords: stresses, transversely isotropic, spherical, shell, rigid inclusion, normal force, Timoshenko type theory.

Таврическая Академия Крымского федерального университета Получено 30.09.17

им. В. И. Вернадского, Симферополь

ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк

chekhov40@mail.ru

zakora41@yandex.ua