CC BY
8ISSN 0136-4545 !Ж!урнал теоретической и прикладной механики. №3—4 (64—65) / 2018.
УДК 539.3
©2018. В.Н. Чехов, С.В. Закора
НАПРЯЖЁННОЕ СОСТОЯНИЕ ТРАНСВЕРСАЛЬНО -ИЗОТРОПНОЙ ПОЛОГОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ С ЖЁСТКИМ КРУГОВЫМ ВКЛЮЧЕНИЕМ, НАГРУЖЕННЫМ ИЗГИБАЮЩИМ МОМЕНТОМ.
Применение многозначных аналитических решений в рамках теории типа С.П. Тимошенко позволило получить уточненное аналитическое решение задачи о напряженном состоянии пологой сферической оболочки с круговым жестким включением, нагруженным изгибающим моментом. В результате численных исследований установлено, что при увеличении параметра поперечного сдвига и уменьшении радиуса жесткого включения относительные напряжения возрастают в несколько раз. Также обнаружено, что влияние поперечного сдвига особенно важно для относительно небольших диаметров жестких включений.
Ключевые слова: аналитическое решение, теория типа С.П. Тимошенко, пологая сферическая оболочка, трансверсально-изотропный материал, круговое включение, деформация поперечного сдвига.
Введение. В различных областях современной техники широкое распространение в качестве элементов конструкций получили тонкостенные оболочки. Под действием различных факторов в них могут возникать высокие концентрации напряжений, которые необходимо учитывать при проектировании и эксплуатации таких конструкций. К настоящему времени достаточно полно разработаны методы определения напряженного состояния и решен ряд задач для оболочек с концентраторами напряжений в виде технологических отверстий [15], включений [2, 5-7] и локальных воздействий [2, 3]. В меньшей степени исследовано распределение напряжений в тонкостенных оболочках, нагруженных усилием и моментом через жесткое включение; аналитические решения и численные результаты получены для изотропных (в рамках классической теории Кирхгофа-Лява) сферической [3, 7] и цилиндрической [2] оболочек.
Всё большее применение в современной технике находят композиционные трансверсально-изотропные материалы. Поэтому является актуальным получение решений перечисленных выше задач для трансверсально-изотропных оболочек. Трансверсально-изотропные материалы, как правило, обладают низкой сдвиговой жёсткостью, для которых гипотезы классической теории не соблюдаются, и наиболее приемлемой для них оказалась сдвиговая модель, сформулированная С.П. Тимошенко. Наиболее плодотворным стал разработанный в [1,2] на базе теории типа С.П. Тимошенко метод решения задач для трансверсально-изотропных оболочек с отверстиями и включениями. На базе этой - же сдвиговой модели в работе [5] был предложен приближённый вариант «технической теории трансверсально-изотропных оболочек». Использование этих подходов позволило получить результаты для трансверсально-изотропных оболочек с отверстиями,
подкрепляющими кольцами и включениями [2,4,5]. Ряд результатов по изучению концентрации напряжений около отверстий и жёстких включений в оболочках, изготовленных из композитных материалов, получен также с использованием вариационных конечно-разностных методов (например, в [8]) и наиболее полно изложен в обзорной статье [9]. Но в постановке этих задач и их решении предполагалось нагружение оболочки равномерным внутренним давлением, растяжением или кручением.
В данной статье в рамках теории С.П. Тимошенко предлагается аналитическое решение и численные исследования задачи о напряженном состоянии пологой трансверсально-изотропной сферической оболочки при ее нагружении изгибающим моментом, приложенным через круговое абсолютно жесткое включение. При этом здесь, в отличие от [10], применяются многозначные решения [2], что и позволило исследовать случай нагружения изгибающим моментом.
1. Постановка задачи. Рассматривается пологая трансверсально-изотропная сферическая оболочка с круговым недеформируемым включением (рис. 1). Предполагается, что жёсткая шайба нагружена изгибающим моментом Бу.
Рис. 1.
Для решения задачи используется система однородных разрешающих дифференциальных уравнений, основанных на уточнённой теории типа С.П. Тимошенко, учитывающей деформации поперечного сдвига [2]:
= 0; (1)
+ Ч2и - 25Ч2Ч2и = 0; (2)
(1 - ^) ¿У2Х - % = 0. (3)
Здесь и, ш, х— искомые функции усилий, прогиба и поперечного сдвига; V -коэффициент Пуассона; , V2 = щч + + ^¡тд^т — оператор Лапласа в полярной системе координат (р, в), где р = - безразмерный радиус - вектор, г ■ егв = х + £ = - относительный безразмерный параметр податливости поперечным сдвигам, где К = цСф., с = И ^ у/12(1 — и'2), Е - модуль
Юнга, С\— модуль трансверсального сдвига, ц = 5/6 - коэффициент сдвига, Я - радиус срединной поверхности оболочки, Н - толщина оболочки, г - мнимая единица.
2. Построение аналитических решений. Решения системы дифференциальных уравнений (1)-(3) определяются с помощью цилиндрической, полигармонической и аналитической частей:
п
и = ис + г-иа, (4)
w = wc + —Wp. (5)
R ~2
Аналитическая часть Ua в (4) согласно [2] имеет вид:
Ua (r, в) = (ai + a2) [(1 + 2ln r) r cos в — 2r sin в] +
(6)
+ (А + /32) (1 + In г) + (7i + 72) - cos в.
При этом согласно [2] необходимо выполнить условия однозначности комплексных смещений:
ai = -a2, в1 = -в2,
(7)
71 + Y2 = 4icR(1 + V )а1.
Главный вектор и главный момент внешних усилий, приложенных к жёсткой шайбе, определяются согласно [2]:
FX = 2nEhcRIm(a1 — a2), Fy = 2nEhcRRe(a1 — a2), FZ = nEhcIm(e1 — f32).
(8)
Bz = —nEhcRRe(fÍ1 — &). BX = nEhcRe [(y1 — y2) + 2icR (1 — v) (a1 + a2)] . BY = nEhclm [(y1 — y2) — 2icR (1 — v) (a1 + a2)].
Комплексные неизвестные постоянные <Х/, ¡3j , 7j (j = 1,2) определяются из системы уравнений (7)-(8) при заданных значениях соответствующих компонент.
3. Аналитическое решение по уточненной теории типа С.П. Тимошенко при нагружении изгибающим моментом Бу. Задано Бу = B0 а остальные компоненты полагаются равными нулю. Из системы уравнений (7)-(8) следует, что
ai = 0, а2 = 0,
Pi =0, в2 = 0,
71 =
72 =
2ттЕ1гс '
iBY
(9)
2nEhc
Аналитическая часть (6) примет вид:
Ua (r,e )=2Ъ
cos(6) cos(6)
(10)
т пЕНет
Цилиндрические части решения в (4), (5), убывающие по абсолютной величине при удалении от контура Г1, имеют три различные аналитические формы в зависимости от диапазона изменения параметра податливости поперечным сдвигам 5 [2]. Для данного случая цилиндрическая и полигармоническая части будут содержать только 1-ю гармонику: - в интервале 0 < 5 < 1:
для ô = 1 :
- при ô > 1 :
Uc = aKi(ap) cos 6, wc = a2aK1(ap) cos 6;
Uc = [AKi(p)+ BpK0(p)]cos 6, wc = [(A - 2Б) Ki (p) + BpK0 (p)] cos 6;
Uc = [AKi(up) + BKi(pfu))] cos 6,
wc
= [u2AKi(up)+ u-2BKi(p/u)] cos 6.
(11)
(12)
(13)
Для всего диапазона ô :
x = M ■ Ki(Xp) sin 6,
F a
w„ = — cos 0.
r
Здесь Кт (г) - цилиндрические функции Макдональда; ш = у/5 + \/~д'2 — 1, а = (\/1 + ^ + ¿л/1 — ) о = А + гВ , где А, В, М и ^ - вещественные постоянные; Л = 1
На границе Г1 абсолютно жесткого включения формулируются деформационные краевые условия
£гг |гх = 0, ктт |гх = 0,
(15)
кпт |Г1 = 0, кти |Г1 =
4. Выражения для деформационных краевых величин, усилий и моментов. Выражения для деформационных краевых величин, вошедших в (15) имеют вид:
ЕНетт = Те - иТр,
Е1г2 6 бУг^ь? /В
-Ктт — — [ив — Ъ><^гр)---\
2
ЕН2
Н
Р
ГМ<Ще е йр '
(16)
йТ 1 йБрв И
к
ти
2
Выражения для усилий и моментов, вошедших в (16), имеют вид:
ЕН
Тг = —Е(Я2и - Те, К
Т = Тг + Те,
ЕН
Нго = — (1-й) сЯе. К
д (1 дд др \р дО
п ЕЪ р
&г = ——сне
К
11
Л2 др \рд6
д2д /1 дд 1 д2д др2 \рдр р2 дб2
(17)
с ЕК д (1 ди Б* —д-Де^
ЕЪ
Св = —— (1 + и) сЛеУ2д - Ог, К
с (1 дх д ^2
^т —
^ Е1г Гс „ (д\ 1 9
где д — ш + 25У2ш - 452У2и .
При подстановке усилий и моментов (17) с учётом (16) в краевые условия (15) и приравнивании членов при одинаковых гармониках, может быть получена система линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных вещественных постоянных А, В, Е, М. Поскольку комплексные неизвестные постоянные <Х/, ^ , ^ = 1,2) предварительно найдены в (9), то аналитическими частями (10) также определятся правые части системы.
После решения полученной системы отискиваются безразмерные коэффициенты концентрации мембранных, изгибных и касательных напряжений
%
кВ —
т т
ттв
Здесь
Те кг Тг
' (1' (1'
6 Се (1Ъ, '' кг 6 Сг
Бгв й ' т В — ттв - _ 6Нго
Г _ В Пу
(18)
псу Кс-вса где вса- масштабный множитель.
Затем вычисляются относительные эквивалентные напряжения по энергетической теории прочности [2]:
— кв ^ кв , кг — кг ^ кв ,
(19)
к — т т + т в
ктв — ттв ± ттв,
кед = ^к'2 + Щ — кгк@ + 3 к2@. (20)
Относительным эквивалентным напряжениям на наружной поверхности оболочки к^ в формулах (19), (20) соответствует знак «+», а на внутренней к^ — знак «—».
5. Численные результаты. Были проведены расчёты для трансверсально - изотропной сферической оболочки с коэффициентом Пуассона V=0.3 при различных значениях радиуса жёсткой шайбы ро в зависимости от параметра сдвига 5. В таблицах и на графиках для нагружения моментом Бу приведены значения вычисленных напряжений на контуре Г кругового жесткого включения в увеличенном масштабе 10:1 , т.е. значение масштабного множителя в (18) зеа = 10.
На рис. 2 приведены графики относительных эквивалентных напряжений в зависимости от параметра сдвига 5 в точке 0=0. На рис. 2 эквивалентные напряжения на наружной поверхности оболочки к^Х показаны сплошными линиями, а на внутренней поверхности к^ - длинными штрих пунктирными; над линиями указаны соответствующие им значения радиуса жёсткой шайбы ро.
На рис. 3 приведены графики относительных напряжений в зависимости от угла 0 при значениях параметров ро=0.7 и 5=1. На рис. 3 эквивалентные
^Ед"
30
60
40
20
- ВУ Я: = Л
.6 = 0 /у V Ро = 0.5^
/ / X Ро
/ Р\ = 1
Я; = - Л
Рис. 2.
Рис. 3.
напряжения на наружной поверхности оболочки к^ показаны сплошными линиями; мембранные напряжения кт - штрих - двух - пунктирными линиями, к^ - штрих - пунктирными; изгибные напряжения к^ - пунктирными линиями и к^ - штриховыми линиями.
В табл. 1 и 2 представлены результаты вычисленных напряжений для значений ро=2 (табл. 1) и ро=0.4 (табл. 2 ) при различных значениях параметра сдвига 5 (от 0 до 4). Из табл. 1, 2 и рис. 2 видно, что наибольшими являются относительные эквивалентные напряжения кна наружной поверхности оболочки, а наиболее опасными будут точки 0 = 0 и 0 = п. При этом из табл. 1, 2 и рис. 3 видно, что наибольший вклад в рост относительных эквивалентных напряжений к^', к^ вносят изгибные напряжения к^ и кв.
Из рис. 2 и табл. 1, 2 видно, что при увеличении параметра поперечного
В.Н. Чехов, С.В. Закора Таблица 1. Значения напряжений в зависимости от S при ро =2
S 9 kj kj bB ГЬу, bB ыв тт тгд тв тгд 7, Ext "'eq bint "'eq
0 0 0.342 0.102 1.820 0.546 0.000 0.000 1.922 1.314
тг/2 0.000 0.000 0.000 0.000 0.342 0.000 0.592 0.592
0.5 0 0.418 0.126 2.101 0.195 0.000 0.000 2.375 1.649
тг/2 0.000 0.000 0.000 0.000 0.418 -0.110 0.534 0.915
1 0 0.466 0.140 2.329 -0.070 0.000 0.000 2.761 1.977
тг/2 0.000 0.000 0.000 0.000 0.466 0.013 0.829 0.784
2 0 0.525 0.157 2.696 -0.480 0.000 0.000 3.394 2.551
тг/2 0.000 0.000 0.000 0.000 0.525 0.261 1.361 0.457
3 0 0.561 0.168 2.995 -0.802 0.000 0.000 3.912 3.038
тг/2 0.000 0.000 0.000 0.000 0.561 0.483 1.809 0.135
4 0 0.586 0.176 3.252 -1.073 0.000 0.000 4.357 3.463
тг/2 0.000 0.000 0.000 0.000 0.586 0.682 2.196 0.166
Таблица 2.Значения напряжений в зависимости от S при ро =0.4
S 9 kj kj bB ГЬг bB ыв тт тгд тв тгд 7, Ext ""eq bint ""eq
0 0 0.835 0.251 21.377 6.413 0.000 0.000 19.742 18.258
тг/2 0.000 0.000 00.000 0.000 0.835 0.000 1.446 1.447
0.5 0 1.464 0.439 39.913 -12.054 0.000 0.000 2.375 1.649
тг/2 0.000 0.000 0.000 0.000 1.464 3.395 8.416 3.345
1 0 1.704 0.511 49.201 -21.225 0.000 0.000 63.834 61.326
тг/2 0.000 0.000 0.000 0.000 1.704 10.631 21.364 15.463
2 0 1.955 0.586 61.208 -33.067 0.000 0.000 84.238 81.471
тг/2 0.000 0.000 0.000 0.000 1.955 20.905 39.595 32.823
3 0 2.092 0.628 69.485 -41.236 0.000 0.000 98.381 95.475
тг/2 0.000 0.000 0.000 0.000 2.092 28.339 52.709 45.460
4 0 2.181 0.654 75.905 -47.580 0.000 0.000 109.378 106.385
тг/2 0.000 0.000 0.000 0.000 2.181 34.239 63.081 55.527
сдвига материала оболочки 6 и уменьшении радиуса жёсткой шайбы ро относительные напряжения возрастают в несколько раз. При этом влияние деформации поперечного сдвига особенно существенно при малых площадках жестких шайб. Так из табл. 1 видно, что при ро=2 и увеличении 6 от 0 до 4 наибольшие напряжения k^* в точке д=0 увеличиваются в 2.3 раза. А из табл. 2 видно, что при ро=0,4 и тех же изменениях 6 напряжения kfq* увеличиваются уже в 5.5 раз.
6. Достоверность полученных результатов. Все вычисления проводились в среде пакета Maple. Точность вычислений можно регулировать, задавая значение системной переменной Digits, которая здесь принималась Digits = 15.
Проверялась точность удовлетворения заданных граничных условий в точках контура. Так, для случаев, представленных в табл. 2, при численной реали-
зации абсолютная погрешность выполнения граничных условий не превышала 10"9; при этом максимальное значение напряжений не превышало 110. В случаях, представленных в табл. 1, соответственно - 10_12; при этом максимальное значение напряжений не превышает 4.5 ( чем, по-видимому, и объясняется большая точность).
Проверялась точность выполнения исходных дифференциальных уравнений (1)-(3) с неизвестными коэффициентами и с коэффициентами, определёнными после решения системы. Абсолютная погрешность не превышала 10_9 и соответственно - 10"10.
После решения системы вычислялись составляющие главного вектора и главного момента, определяемые как интегралы в соответствии с [2] (например: Bz = р2 Sr$de и т.д.). Получено хорошее совпадение с заданными компонентами: абсолютная погрешность не превышала 10_9, при этом максимальное значение не превышало 20^.
Для сравнения были проведены расчёты при 5 = 1 и при 5 = 1 ± 10_12, т.е. близких к 1. Получено совпадение результатов, рассчитанных по разным формулам: (11) для 5 < 1, (12) для 5 = 1 и (13) для 5 > 1.
7. Решение задачи по технической теории трансверсально-изотроп-ных оболочек. Рассматривается та же задача, для решения которой применяется техническая теория, предложенная Б.Л. Пелехом [4,5] и учитывающая деформации поперечного сдвига. В этом случае система однородных дифференциальных уравнений имеет вид
V2V2U - V2w = 0; (21)
V2V2w + V2U = 0; (22)
(1 - ^) 5V2X - X = 0. (23)
(т.е. в уравнении (22) по сравнению с (2) опущено слагаемое с параметром податливости поперечным сдвигам.)
Решение системы дифференциальных уравнений (21) - (23) определяется с помощью цилиндрической, полигармонической и аналитической частей
R
U = Uc + i-Ua, (24)
R
w = wc + —Wp. (25)
Цилиндрические части решения, которые убывают по абсолютной величине при удалении от Г1 и не зависят от угла в, записываются в виде
Uc = iaK1(ap)cos(e'), wc = -aK1(ap)cos(e'). (26)
F
X = M • Ki(Xp) sin в, wp = — eos 6>. (27)
Здесь a = \Гц А = , 1 ; a, = А + i,B .
Далее решение задачи строится аналогично основному случаю, описанному выше для решения по уточненной теории (в разделах 2 и 4). Т.е. остаются прежними: аналитическая часть Ua (6),(10); краевые условия на границе Г (15); выражения для деформационных краевых величин (16); выражения для усилий и моментов (16); комплексные постоянные aj ,fîj (7), (9) и формулы для расчёта напряжений (18) - (20).
8. Сопоставление результатов, полученных по технической и уточненной теориям. В табл. 3 и табл. 4 приведены значения коэффициентов концентрации напряжений в зависимости от 5 в наиболее опасной точке 0 = 0 контура Г , полученных по технической теории и по уточненной теории для значений радиуса жёсткой шайбы ро=2 и ро=0.4 при v=0.3.
Таблица 3.Сопоставление результатов, полученных по технической и уточненной теориям при ро =2
S теории kr kg Z-B ГЬу, 7, в kg 7, Ext ^eq 7„Int ^eq £% A
0 техн. 0.342 0.102 1.820 0.546 1.922 1.314
уточн. 0.342 0.102 1.820 0.546 1.922 1.314 0.0% 4-10"15
0.1 техн. 0.378 0.113 1.880 0.466 2.032 1.361
уточн. 0.361 0.108 1.882 0.464 2.018 1.377 -0.7% 0.21
0.15 техн. 0.395 0.119 1.879 0.420 2.058 1.358
уточн. 0.370 0.111 1.911 0.426 2.066 1.411 0.4% 0.31
0.2 техн. 0.412 0.123 1.859 0.370 2.069 1.342
уточн. 0.378 0.113 1.940 0.389 2.112 1.444 2.1% 0.41
0.27 техн. 0.435 0.130 1.808 0.293 2.064 1.300
уточн. 0.389 0.117 1.980 0.341 2.176 1.492 5.1% 0.54
0.3 техн. 0.445 0.134 1.780 0.257 2.058 1.278
уточн. 0.393 0.118 1.996 0.320 2.203 1.512 6.6% 0.60
0.35 техн. 0.463 0.139 1.730 0.194 2.047 1.240
уточн. 0.400 0.120 2.023 0.288 2.247 1.547 8.9 % 0.69
0.4 техн. 0.482 0.145 1.681 0.128 2.041 1.208
уточн. 0.406 0.122 2.050 0.256 2.291 1.581 10.9% 0.77
0.5 техн. 0.529 0.159 1.634 -0.011 2.093 1.199
уточн. 0.418 0.126 2.101 0.195 2.375 1.649 11.9% 0.94
Приведены также значения е отличий наибольших относительных эквива-
„ 7 (кЕх4уточн—кЕх4техн) лентных напряжении , полученных по этим теориям е = -— '¿-¿'^ут0чн- *
100%. В последнем столбце таблиц приведены А- абсолютные значения погрешностей выполнения (и невыполнения) дифференциального уравнения (2) системы (1)-(3) А = |У2У2,ш + V2и — 25У2У2и| при подстановке в них решений (26)-(27), полученных по технической теории.
Из табл. 3 и табл. 4 видно, что при ¿=0 результаты, полученные по обеим
Таблица 4.Сопоставление результатов, полученных по технической и уточненной теориям при ро =0.4
6 теорих кг ^9 ;„В ГЬу, ;„В ^е ;„Ех1 ^ец ^ец £% А
0 техн. 0.835 0.251 21.377 6.413 19.742 18.258
уточн. 0.835 0.251 21.377 6.413 19.742 18.258 0.0% 10"11
0.15 техн. 1.192 0.358 28.008 -1.773 29.933 27.942
уточн. 1.142 0.343 29.578 -1.802 31.475 29.566 4.9% 3.54
0.16 техн. 1.208 0.362 28.147 -2.172 30.301 28.293
уточн. 1.156 0.347 29.973 -2.196 32.093 30.169 5.6% 3.78
0.17 техн. 1.222 0.367 28.257 -2.564 30.637 28.613
уточн. 1.169 0.351 30.359 -2.580 32.699 30.760 6.3% 4.01
0.2 техн. 1.264 0.379 28.417 -3.689 31.467 29.400
уточн. 1.206 0.362 31.464 -3.680 34.449 32.468 8.7% 4.72
0.3 техн. 1.368 0.411 27.190 -7.044 32.389 30.246
уточн. 1.310 0.393 34.711 -6.903 39.678 37.584 18.4% 7.08
0.4 техн. 1.430 0.429 23.357 -9.943 30.671 28.562
уточн. 1.394 0.418 37.478 -9.645 44.213 42.030 30.6% 9.44
0.5 техн. 1.450 0.435 16.915 -12.465 26.513 24.598
уточн. 1.464 0.439 39.913 -12.054 48.244 45.986 45.0% 11.80
0.6 техн. 1.429 0.429 7.753 -14.599 20.377 18.996
уточн. 1.524 0.457 42.098 -14.214 51.887 49.566 60.7% 14.16
0.7 техн. 1.360 0.408 -4.333 -16.268 14.602 14.682
уточн. 1.577 0.473 44.088 -16.178 55.218 52.842 73.6% 16.52
теориям, совпадают. Но далее, из табл. 3 для р0=2 видно, что при ¿=0.3 относительные эквивалентные напряжения к^0*, полученные по уточненной теории, превышают их значения, полученные по технической теории на 6.6 %. При последующем увеличении параметра податливости 5 это отличие растет: например, при 5= 0.5 оно составляет уже 11.9%.
Для меньших значений радиуса включения диапазон параметра податливости, при котором отличие не превышает 6%, уменьшается. Так из табл. 4 для ро=0.4 видно, что отличие в 4.9% достигается при 5= 0.15; при 5= 0.2 оно составляет уже 8.7%, а при 5=0.7 даже 73.6%.
Таким образом, из табл. 3 и табл. 4 следует, что при увеличении параметра податливости 5 увеличивается отличие относительных эквивалентных напряжений к^', полученных по разным теориям. Объяснение этому дает анализ последнего столбца таблиц для А. При увеличении параметра податливости 5 растет погрешность А невыполнения дифференциального уравнении (2) исходной системы (1) - (3) при подстановке решения (26), (27), полученного по технической теории.
Таким образом, чтобы не превышать погрешность в 5- 6%, техническую теорию [4] следует применять для небольших значений параметра податливости 5.
Например, чтобы не превышать погрешность в 5%, при ро=2 следует брать 6<
0.27. а при р0= 0.4 - соответственно ¿<0.16.
Выводы. Получено аналитическое решение задачи о напряженном состоянии пологой трансверсально - изотропной сферической оболочки с круговым абсолютно жестким включением, нагруженным изгибающим моментом. При этом здесь, в отличие от [10], применяются многозначные решения [2], что и позволило исследовать такой случай нагружения.
Приведенные в статье численные исследования показали, что при увеличении параметра поперечного сдвига материала оболочки и уменьшении радиуса жёсткого включения относительные эквивалентные напряжения в ней растут и могут увеличиться в несколько раз. Влияние деформации поперечного сдвига особенно существенно при малых площадках жестких шайб. Уменьшить напряжение можно путем увеличения радиуса жесткой шайбы. Техническая теория трансверсально-изотропных оболочек [4] применима для небольших значений параметра податливости 6.
Результаты работы вместе с разработанной в среде Maple программой расчета могут быть использованы в инженерной практике с целью определения величины концентрации напряжений и подбора оптимального радиуса шайбы для уменьшения опасных напряжений.
1. Гузь А.Н. Сферические днища, ослабленные отверстиями / А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, К.И. Шнеренко - Киев: Наук. думка, 1970. - 323 с.
2. Теория тонких оболочек, ослабленных отверстиями / А.Н. Гузь, И.С. Чернышенко, Вал.Н. Чехов [и др.] . - К.: Наук. думка, 1980. - 636 с. - (Методы расчета оболочек: В 5 т. / Под общ. ред. А.Н. Гузя. - Т. 1.)
3. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник: В 3 т. / под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Па-новко. - М.: Машиностроение, 1968. - Т. 1. - 831 с.
4. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жёсткостью / Б.Л. Пелех - К.: Наук. думка, 1973. - 248 с.
5. Пелех Б.Л. Распределение напряжений возле отверстий в податливых на сдвиг анизотропных оболочках / Б.Л. Пелех, А.А. Сяський. - К.: Наук. думка, 1975. - 198 с.
6. Chekhov V.N. Stress concentration in a transversely isotropic spherical shell with two circular rigid inclusions / V.N. Chekhov, S.V. Zakora // Int. Appl. Mech. - 2011. - Vol. 47, No. 4 -P. 441-448.
7. Shevchenko V.P. Stresses in a Spherical Shell Loaded Through Rigid Inclusions / V.P. Shevchenko, S.V. Zakora // Int. Appl. Mech. - 2015. - Vol. 51, No. 2 - P. 159-166.
8. Maksimyuk V.A. Nonlinear deformation of thin isotropic and orthotropic shells of revolution with reinforced holes and rigid inclusions / V.A. Maksimyuk, E.A. Storozhuk, I.S. Chernyshenko // Int. Appl. Mech.-2013, - Vol. 49, No 6. - P. 685-692.
9. Maksimyuk V.A. Variational-difference methods in linear and nonlinear problems of the deformation of metallic and composite shells (review) / V.A. Maksimyuk, E.A. Storozhuk, I.S. Chernyshenko
// Int. Appl. Mech.-2012, - Vol. 48, No 6. - P. 613-687. 10. Чехов В.Н. Концентрация напряжений в трансверсально-изотропной сферической оболочке с жестким круговым включением, нагруженным нормальной силой / В.Н. Чехов, С.В. Закора // «Журнал теоретической и прикладной механики», ГОУ ВПО «Донецкий национальный университет».- 2017. - № 2(59). - С. 27-39.
Напряжённое состояние трансверсально - изотропной пологой сферической оболочки V.N. Chekhov , S.V Zakora
Stressed state in a shallow transversely isotropic spherical shell with a rigid circular inclusion that is loaded by a bending moment..
In the framework of the refined theory of the S.P. Timoshenko type, which takes into account the deformations of the transverse shear, an analytical solution of the problem for the stress state of a shallow transversely isotropic spherical shell with a circular absolutely rigid inclusion is obtained. The shell has been loaded by a bending moment through the rigid circular inclusion. As a result of numerical studies, a significant increase in the stresses was observed with an increase of the shear parameter and a decrease in the radius of the rigid inclusion.
Keywords: stresses, bending moment, transversely isotropic, spherical, shell, rigid circular inclusion, Timoshenko type theory..
Таврическая Академия Крымского федерального университета Получено 07.12.18
им. В.И. Вернадского, Симферополь
ГОУ ВПО "Донецкий национальный университет", Донецк
chekhov40@mail.ru
zakora41@yandex.ua
