CC BY
41
УДК 004.942
В. Г.
И. М. ЗУГА ХОМЧЕНКО
Совет Федерации Федерального собрания РФ, г. Москва
Омский государственный технический университет
НОРМАЛИЗАЦИЯ ПРОСТРАНСТВА КРИТЕРИЕВ В ЗАДАЧАХ ОПТИМИЗАЦИИ СХЕМ РАСПОЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ КОМПЛЕКСОВ
Выполнена нормализация четырехмерного пространства критериев качества схем расположения объектов производственных комплексов. Введены нормализующие коэффициенты, позволяющие представить гиперпространство критериев близким к единичному гиперкубу.
Ключевые слова: схема расположения объектов, критерии качества схем, нормализующие коэффициенты, единичный гиперкуб.
№
Одними из основных критериев оценки качества схем расположения объектов производственных комплексов различных отраслей промышленности, таких как нефтегазоперерабатывающая, машиностроительная и другие, являются затраты на реализацию коммуникационных связей между объектами, площадь, габариты и периметр территории, занимаемой этими объектами [1—4]. Названные критерии качества схем расположения объектов имеют разные размерности, принимаемые ими значения могут значительно отличаться друг от друга. В связи с этим при многокритериальной оптимизации схем размещения объектов по перечисленным выше критериям необходимо провести их нормализацию, которая в данном случае должна быть сведена к получению таких значений каждого из критериев, которые бы были сопоставимы со значениями других. Кроме того, нормализация пространства критериев необходима для накопления опыта разработчиков и создания соответствующей базы данных.
Одним из способов обеспечения сопоставимости критериев является перевод их в относительную (безразмерную) форму путем деления на некоторую опорную (базовую) величину той же размерности. Выбор значения этой величины, как правило, субъективен и подчинен желанию свести возможные изменения относительных значений критериев в установленный диапазон. В нашем случае будем стремиться приводить относительные критерии к значениям, близким к единице. Однако строгой границы интервалов изменения значений критериев, выраженных в относительной форме, устанавливать не будем, так как в каждой задаче оптимизации опорные значения критериев, которые можно принять для нормализации критериев, заранее не известны.
При нормализации четырех перечисленных выше критериев будем иметь в виду, что крите-
рий Б, характеризующий площадь, измеряется в м2, а критерии Р и С, оценивающие соответственно периметр и габариты, — в метрах. Критерий С, относящийся к коммуникационным затратам, может в нашем случае быть измерен либо в стоимостных единицах, например в рублях, при стоимостном выражении удельных затрат с, руб*м-1 (затрат на погонный метр), либо быть безразмерным при выражении удельных затрат в некоторой предварительно принятой безразмерной балльной системе — с, 1*м-1.
Для нормализации критерия С, характеризующего затраты на реализацию коммуникационных связей между объектами, будем использовать коэффициент нормализации к этого критерия, равный некоторому идеальному значению критерия С, которое он может принять в случае, когда все объекты находятся друг от друга точно на минимально допустимом расстоянии. Такое значение критерия С не всегда достижимо в принципе. Нетрудно показать, что даже в самых простейших схемах возможны сочетания регламентированных минимально допустимых расстояний, при которых их одновременное выполнение невозможно. Тем не менее такое идеальное значение критерия С вполне может быть принято в качестве опорного для его нормализации.
Для расчета коэффициента нормализации критерия затрат будем использовать следующую формулу:
кс - Х-=1 Хн+1 счйч'
(1)
где
регламентированное минимально до-
пустимое расстояние между 1-м и ,-м объекта-
ми, измеряемое в метрах; с,.
удельные затраты
на реализацию коммуникационных связей между 1-м и ,-м объектами, выражаемые, как отмечалось, либо в руб.*м-1, либо в 1*м-1; п — число объектов.
Из формулы (1) видно, что размерность коэффициента нормализации кс и критерия С будут совпадать при любом из принятых способов оценки удельных затрат. Такое совпадение размерностей величин кс и С обеспечит в дальнейшем безразмерность относительного критерия Со, характеризующего коммуникационные затраты между объектами.
Отметим, что если все дополнительные условия синтеза схем по регламентированным минимально допустимым расстояниям между объектами в принципе выполнимы, то минимально возможное значение нормализованного критерия коммуникационных затрат будет в точности равно единице. В общем случае этот критерий может принимать значения, равные единице или большие единицы.
При нормализации критерия Б, характеризующего площадь территории, занимаемой объектами, следует иметь в виду, что минимальное значение этого критерия при принятых в работе [1] допущениях равно нулю. Это соответствует такому положению объектов, при котором центры их геометрических образов расположены на одной прямой. Несмотря на то что минимум этой частной критериальной функции известен априори, проблема поиска оптимального расположения объектов не является тривиальной в связи с тем, что при размещении центров геометрических образов объектов на одной прямой должен быть выполнен ряд дополнительных условий, в частности, по минимально допустимым расстояниям между объектами. При условии, что площадь территории, занимаемой объектами, измеряется в м2, значения этого критерия в зоне, далекой от расположения оптимума, может быть заметно большим по сравнению со значениями других критериев.
В качестве коэффициента к( нормализующего критерий Б, следует принять такое целое значение, которое было бы близко к предполагаемой реальной площади проектируемого производственного комплекса. В частности, величине к( можно придавать значения из ряда: 10 000 м2, 20 000 м2 и так далее. В этом случае в ходе минимизации относительного критерия, характеризующего площадь, он в окрестностях оптимума, приближаясь к минимально возможному нулевому значению, будет принимать значения, близкие к единице и, следовательно, сопоставимые в названной окрестности с нормализованными значениями других критериев, выраженных в относительных единицах. В проводимых нами исследованиях в качестве основного опорного значения площади примем 10 000 м2, следовательно,
к( = 10 000 м2.
Такое значение коэффициента к( обосновывается, кроме того, и тем, что в качестве предварительной (начальной) территории расположения объектов может быть принят квадрат площадью 100 м х 100 м.
Принятая квадратная территория начального расположения объектов дает основания и для выбора коэффициентов нормализации критериев Р и С, характеризующих соответственно периметр и габариты.
Коэффициент нормализации кр периметра Р примем равным периметру начального квадрата, то есть
к =400 м.
р
Имея в виду размеры начального квадрата и учитывая то обстоятельство, что при минимизации размеров территории, занимаемой объектами,
выпуклый многоугольник, охватывающий центры геометрических образов объектов в плане, стремится вписаться в окружность [1], целесообразно в качестве коэффициента кд, нормализующего критерий С, принять значение численно несколько большее длины диагонали начального квадрата, а именно:
к =200 м.
д
Приведем в общем виде зависимости для расчета нормализованных значений С , Б , Р и С
о о о о
четырех упомянутых выше критериев С, Б, Р и С качества схем расположения объектов производственных комплексов:
С =С/к , Б = Б/к, Р =Р/к , С =С/к .
о с о го р о д
Если проектировщик в качестве значений коэффициентов нормализации критериев Б, Р и С примет рекомендованные значения, то представленные выше формулы для расчета величин Бо и Со запишутся в следующем виде:
Б =Б/10000, Р =Р/400, С =С/200.
о о о
На основании изложенного можно сформировать критериальную функцию Ъ для многокритериальной оптимизации схем расположения объектов производственных комплексов в следующем виде:
Ъ = к С +к Б +к Р +к С ,
су о IV о ру о ду о
где к , к. , к и к — весовые коэффициенты част-
су гу ру ду
ных критериальных функций соответственно С, Б, Р и С.
Решение ряда тестовых задач подтвердило правильность принятого подхода к выбору коэффициентов нормализации.
Покажем это на примере.
Пусть заданы: размеры а и Ь геометрических образов (прямоугольников) объектов в плане соответственно в направлении оси абсцисс и в направлении оси ординат локальной системы координат (табл. 1), уровни с удельных коммуникационных затрат (табл. 2) и регламентированные минимально допустимые расстояния <3 между 1-м и ]-м объектами на просвет (табл. 3). Назначим координаты начального расположения центров геометрических образов объектов х и у (табл. 4).
Таблица 1
Размеры геометрических образов объектов в плане, м
№
1 2 3 4 5
объектов
а 40 20 60 40 30
Ь 20 20 40 40 10
Таблица 2
Удельные коммуникационные затраты с руб./м
1/] 1 2 3 4 5
1 - 2 20 15 1
2 - - 1 18 16
3 - - - 5 10
4 - - - - 3
Таблица 3
Регламентированные минимально допустимые расстояния d между объектами, м
1 / , 1 2 3 4 5
1 - 70 100 110 60
2 - - 45 150 130
3 - - - 80 95
4 - - - - 20
Таблица 4
Координаты x и у начального расположения центров геометрических образов объектов, м
№
1 2 3 4 5
объектов
X 80 60 110 140 120
У 100 130 150 125 90
Из сравнения полученных значений критериев в относительной форме видно, что эти значения вполне сопоставимы как до решения оптимизационной задачи, так и после.
Выше нормализация пространства критериев производилась применительно к абсолютным системам координат. Следует заметить, что предложенный подход может быть использован и для нормализации критериев в пространстве относительных локальных координат. Для этого достаточно линейные размеры и координаты перевести в относительные единицы [1], оставив без изменения два возможных варианта исходной размерности удельных коммуникационных затрат.
В заключение можно отметить, что полученный подход к нормализации критериев обеспечивает достаточную их сопоставимость и может быть использован при многокритериальной оптимизации схем расположения объектов производственных комплексов, как при использовании абсолютных систем координат, так и с использованием относительных.
>
Таблица 5
Координаты x и у оптимизированного расположения центров объектов, м
№
1 2 3 4 5
объектов
X 68,53 19,82 92,64 211,08 165,41
У 32,70 127,95 189,27 106,77 61,70
При принятых исходных данных: кс=1,436*104 руб.; С = 5,829*103 руб.; Р = 2С,875*103 м2; Р = 210,501 м; С = 80,156 м.
В результате оптимизационного поиска получена схема расположения объектов с координатами их центров, представленными в табл. 5.
В полученной оптимизированной схеме критерии качества приняли следующие значения:
С=1,439*104 руб.; Б=1,675*104
Р=511,811 м;
Библиографический список
1. Зуга, И. М. Автоматизированное проектирование схем размещения объектов предприятий из условия минимизации занимаемой ими площади / И. М. Зуга, В. Г. Хомченко // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. —
2011. - № 2 (90). - С. 163-167.
2. Зуга, И. М. Автоматизированное проектирование схем размещения объектов предприятий из условия минимизации коммуникационных затрат / И. М. Зуга, В. Г. Хомченко // Омский научный вестник. Сер. Приборы, машины и технологии. —
2009. - № 3 (83). - С. 96-99.
3. Зуга, И. М. Проектирование схем размещения объектов из условия минимизации габаритных размеров занимаемой территории / И. М. Зуга, В. Г. Хомченко. - Омск, 2009. -7 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.05.2009, № 425-В2009.
4. Зуга, И. М. Проектирование схем размещения объектов из условия минимизации периметра занимаемой ими территории / И. М. Зуга, В. Г. Хомченко. - Омск, 2009. - 8 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.05.2009, № 348-В2009.
С=192,426 м (увеличение значений критериев объясняется тем, что в принятом исходном положении не выполнялись требования по регламентированным минимально допустимым расстояниям между объектами на просвет, а в полученном оптимизированном решении они выполнены для всех пар объектов с достаточно высокой точностью).
Нормализованные значения критериев при исходном расположении объектов и после оптимизационного поиска равны соответственно: Со = 0,405, Б =0,287, Р =0,526, С =0,401 и С = 1,000, 8°=1,675,
о о о о о
Р =1,280, С =0,962.
ЗУГА Игорь Михайлович, кандидат технических наук, член Совета Федерации Федерального собрания Российской Федерации. Адрес для переписи: [email protected] ХОМЧЕНКО Василий Герасимович, доктор технических наук, профессор (Россия), заведующий кафедрой автоматизации и робототехники Омского государственного технического университета. Адрес для переписки: [email protected]
Статья поступила в редакцию 11.12.2014 г. © И. М. Зуга, В. Г. Хомченко
2
м
