CC BY
40
УДК 658.512.012.011.56:665.6
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ СХЕМ РАСПОЛОЖЕНИЯ ОБЪЕКТОВ
ПРОИЗВОДСТВЕННЫХ КОМПЛЕКСОВ
И. М. Зуга, В. Г. Хомченко
В статье предложен метод многокритериальной оптимизации схем взаиморасположения объектов производственных комплексов различных отраслей промышленности. Оптимизация схем ведется из условия минимизации затрат на коммуникационные связи между объектами, площади, периметра и размеров территории, занимаемой проектируемым комплексом. Приведен пример многокритериальной оптимизации
Ключевые слова: схема, взаиморасположение, объекты, оптимизация
Рациональное размещение объектов производственных комплексов различных отраслей промышленности имеет большое народнохозяйственное значение, так как позволяет, сокращать затраты на создание и эксплуатацию коммуникационных связей между объектами и уменьшать площади, необходимые для размещения проектируемого предприятия, а так же, улучшать некоторые другие качественные характеристики.
Проблема размещения объектов возникает на этапе разработки генеральных планов производственных комплексов. В настоящее время из-за отсутствия соответствующего математического и программного обеспечения при проектировании генеральных планов удается рассмотреть весьма ограниченное число вариантов распределения объектов предприятия на выделенной территории. При этом количественной оценки рассматриваемых вариантов, как правило, не производится, а при выборе окончательного варианта полностью полагаются на опыт и интуицию проектировщиков.
Данная статья посвящена разработке метода многокритериального оптимизационного синтеза схем размещения объектов производственных комплексов, а именно - из условия минимизации затрат на реализацию коммуникационных связей между объектами, минимизации площади, занимаемой объектами территории, а также минимизации периметра и размеров в плане проектируемого производственного комплекса. Оптимизацию можно вести как по одному из указанных критериев, так и по любому необходимому их сочетанию, используя соответствующие методы многокритериальной оптимизации.
В настоящее время достаточно развитыми являются методы решения задач о назначении, когда требуется разместить те или иные объекты производственных комплексов на заранее выделенные места [1-8].
В данной работе проектирование схем размещения объектов ведется при условии, что места расположения объектов предварительно не назна-
Зуга Игорь Михайлович - член Совета Федерации Федерального Собрания РФ, канд. техн. наук, тел. 8-904-824-9898
Хомченко Василий Герасимович - ОмГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. 8-913-615-3791
чены, а определяются в ходе оптимизационного поиска по принятым критериям [9-12].
Такая проектная ситуация наиболее характерна при разработке генеральных планов производственных комплексов, в частности, машиностроительной, нефтегазоперерабатывающей и некоторых других отраслей промышленности.
В начале задача поиска оптимального взаиморасположения объектов относительно друг друга решается в некоторой локальной системе координат. После ее решения производится пересчет полученных координат расположения объектов в абсолютную систему координат, связанную с соответствующими геодезическими отметками.
Важным условием проектирования схем генеральных планов предприятий является выполнение требований по регламентированным минимально допустимым расстояниям между объектами на просвет.
Получим необходимые для оптимизационного синтеза схем критериальные и целевую функции.
Критериальную функции. Кс, характеризующую количественно качество схем расположения объектов по затратам на создание и эксплуатацию коммуникационных связей, запишем в виде следующую зависимость [9]:
Кс(У) = Щ~1Щ+1Щ(у), (1)
где ( ) -
- относительные коммуникационные затраты между ¿-м и ]-м объектами; с^ - уровень удельных коммуникационных затрат между ¿-м и ]-м объектами; - длина коммуникаций, измеряемая при оптимизационном синтезе по кратчайшему расстоянию между центрами геометрических образов -го и -го объектов; - вектор координат и центров -го и -го объектов размерностью 4 п х 1: у = (*1.У1;х].У]У;
- число объектов рассматриваемой производственной структуры.
Координаты и центров геометрических образов 1 -го и ] -го объектов являются в рассматриваемой оптимизационной задаче свободными параметрам синтеза ( ¿ =1,..., п; ] =1,..., п).
В качестве геометрических образов объектов в зависимости от конфигурации объектов принимаются либо окружности, либо прямоугольники, охватывающие контуры объектов в плане.
Уровень удельных коммуникационных затрат , оценивается в абсолютных или в относительных единицах (например, в баллах по принятой шкале).
Для оценки площади территории, занимаемой размещаемыми объектами проектируемого предприятия, будем использовать критерий Щ [10], представляющий собой площадь выпуклого многоугольника, охватывающего центры геометрических образов объектов (рис. 1). Критерий Щ, определяется как сумма площадей треугольников, образованных отрезками, соединяющими некоторый полюс многоугольника с центрами геометрических образов объектов, образующих выпуклый многоугольник, и сторонами многоугольника [13].
Щ(Уи) = Y^ikfu(vM),
£
где ки - площадь -го треугольника (и =1,..., и); нумерация треугольников ведется в направлении против часовой стрелки относительно полюса т 1 разбиения); Ум - вектор координат ут и шт центров объектов, образующих выпуклый многоугольник ( Ум = (рт, шт)); и - число треугольников, составляющих выпуклый многоугольник. Непосредственно из рис. 1 видно, что и = М -2 ,
где - число вершин выпуклого многоугольника.
£
Площадь ки и - го треугольника определим по величине его полупериметра и сторон, а именно:
(2)
к f = VPu(Pu-L m)(Pu-lu)(Pu
Рис. 1. Расчетная схема площади выпуклого многоугольника
Необходимо отметить, что расчет площади выпуклого многоугольника имеет определенные трудности, связанные с необходимостью перманентного поиска на каждом шаге итерации координат центров именно тех объектов, которые образуют на данном шаге итерации выпуклый многоугольник.
Для автоматического вычисления площади выпуклого многоугольника (критерия ) в условиях возможной смены вершин, образующих многоугольник, необходимо принять вполне определенную последовательность этой процедуры.
В качестве полюса разбиения многоугольника на треугольники будем использовать нижнюю точку многоугольника (рис. 1), для определения которой применим условие: ут1=тт(у1), (1=1,.,п);
где - ордината нижней точки выпуклого многоугольника в текущей итерации.
Критерий качества схемы расположения объектов из условия минимизации площади территории (площади выпуклого многоугольника) будет равен:
гДе: Ри = 0 ■ 5(Lm + lu+ Lm+0 -
(и = 1,., U;m = =1,..., М - 2);
- полупериметр и -го треугольника; Lm и 1и -длины соответственно стороны и-го треугольника, выходящей из полюса m1, и стороны, противолежащей этому полюсу:
= V (х m ! V
( m = 1,
m + 1У + &m ±-Wm +1У;
M -1);
1и = V (vm+2 (U = 1,
Vm+1У + (Wm+2 - Wm+1)2
, U; m = 1,
М - 2).
Обратим внимание на две особенности целевой функции (2), важные с точки зрения влияния на нее свободных параметров синтеза и возможного ее предельного минимального значения.
Первая особенность: параметрами критериальной функции (2) являются лишь координаты центров тех объектов, которые образуют вершины выпуклого многоугольника на данной вычислительной итерации.
Это обстоятельство делает рассматриваемую в данной работе оптимизационную задачу принципиально отличной от известных задач нелинейного программирования, а именно, поиск минимума критериальной функции при переменном составе ее свободных параметров.
Вторая особенность: при принятых допущениях предельное минимальное значение критериальной функции (2) равно нулю, что соответствует расположению всех центров геометрических образов объектов на одной прямой линии и вырождению многоугольника в отрезок на этой прямой. Такое решение не является тривиальным, поскольку и в этом случая должны выполняться дополнительные условия синтеза. С учетом концепции идеализированного проектирования [14] это решение может быть принято в качестве окончательного, если оно не будет противоречить другим требованиям технологического, экологического, либо какого-то иного характера.
)
Длина периметра является одним из показателей, характеризующих компактность территории, занимаемой предприятием. Этот показатель может оказывать заметное влияние на экономичность создания производственной системы в случае необходимости строительства некоторых защитных сооружений, обхода территории данного предприятия магистральными коммуникациями и т. п.
Имея в виду ранее принятые допущения, в качестве критерия, адекватно отражающего в оптимизационном процессе длину периметра занимаемой предприятием территории, будем считать сумму сторон выпуклого многоугольника [11], образованного центрами геометрических образов тех объектов, которые создают этот выпуклый многоугольник (рис.1). Таким образом, критерий качества схемы расположения объектов из условия минимизации периметра может быть рассчитан по формуле:
Кр( ум) = + ьм, (3)
где ;
^м = у м - Хщ^ + (^м - УтО2.
Одним из важных параметров, характеризующих компактность размещения объектов на территории, является расстояние между наиболее удаленными друг от друга объектами. Без потери общности в качестве критерия , отражающего габаритный размер территории, примем максимальное расстояние между центрами геометрических образов таких объектов [12], а именно:
( ) (4)
Рассматриваемые в данной работе четыре критерия являются на достаточном удалении от их оптимальных значений согласными - минимизация одной целевой функции сопровождается минимизацией остальных трех. Однако в области, близкой к глобальному минимуму, картина меняется и критерии (1) - (4) становятся противоречивыми.
С учетом изложенного оптимизационное проектирование схем размещения объектов в условиях многокритериальности предлагается вести в соответствии с комплексной целевой функцией, представляющей собой линейную комбинацию ранее принятых критериальных функций (1) - (4) и некоторой функции штрафа 5(У) [15]:
5(У) на рельеф целевой функции (5) для улучшения сходимости вычислительного процесса.
Решение оптимизационной задачи (5) в общем виде можно представить следующем образом:
2щ1п = т¿п Z(у,ут),
У,Ум^
где - область допустимых значений свободных параметров синтеза , определяемая функцией штрафа ( ).
Весовые коэффициенты , , , дают возможность учитывать предпочтения лица, принимающего решения, вплоть до формирования необходимого состава критериев, придавая соответствующим коэффициентам значения, равные нулю. Необходимо иметь в виду, что значения весовых коэффициентов должны отвечать условию
к с + к ^ + кр + кд = 1 .
Коэффициенты , , , выполняют важную нормирующую роль, позволяющую исключить негативное влияние на сходимость вычислительного процесса того факта, что критериальные функции (1) - (4) имеют разную размерность, а их абсолютные значения могут отличаться друг от друга на порядок и более. Значения нормирующих коэффициентов должны быть назначены проектировщиком таким образом, чтобы обеспечить в ходе итерационного поиска сопоставимый диапазон изменения первых четырех слагаемых целевой функции (5). Например, если территорию возможного расположения объектов производственного комплекса можно принять близкой к квадратной размером 100*100 м2, то можно рекомендовать следующие значения коэффициентов: кпГ = 10000 м2, кпр =400 м, кпд=200 м.
Коэффициент , нормирующий коммуникационные затраты, должен зависеть не только от расстояний между объектами, но и от уровня удельных коммуникационных затрат между каждой парой объектов. В связи с этим в качестве значения коэффициента в данной работе принимается такое значение относительных или абсолютных (в зависимости от принятой размерности уровня затрат) коммуникационных затрат, которое бы они имели при идеальном выполнении регламентированных минимально допустимых расстояний на просвет для всех без исключения пар объектов, то есть:
г = ^Кс(У) + ^Щ(Ум) + ^Кр(Ум) +
«п/
+ -^Кд(У) + рБ(У),
(5)
где , , , и , , , - соответ-
ственно весовые и нормирующие коэффициенты критериальных функций; - коэффициент, позволяющий регулировать влияние функции штрафа
кпс = Т1\Л 1Ц]=1+1к1] (у),
где ( ) ;
- регламентированное минимально допустимое расстояние между объектами на просвет.
Работоспособность предложенного подхода к формированию комплексной целевой функции (5) подтверждена решением ряда тестовых примеров.
Приведем решение одного из тестовых примеров в локальной системе координат.
Пусть требуется найти оптимальное по приведенным выше четырем критериям размещение пяти объектов при следующих исходных данных:
- размеры объектов в плане (табл. 1);
- уровни удельных затрат (табл. 2);
- регламентированные минимально допустимые расстояния между объектами на просвет (табл. 3);
- нормирующие коэффициенты: к„и=10000 м2, кПр =400 м, кпд=200 м.
Сходимость вычислительного процесса в ходе оптимизационного поиска существенным образом зависит от принятого начального решения. В связи с этим для проверки устойчивости хода вычислительного процесса выполним решение поставленной оптимизационной задачи при двух вариантах начального расположения центров геометрических образов объектов: первый вариант (табл. 4); второй вариант (табл. 5).
Первый вариант характеризуется тем, что в начальном положении объекты находятся на близком расстоянии друг от друга с нарушением регламентированных минимально допустимых расстояний.
Во втором варианте объекты в начальном положении наоборот расположены заведомо на больших расстояниях друг от друга, чем это необходимо исходя из минимально допустимых расстояний между ними.
Таблица 1
Размеры объектов в плане, м: а - размеры объектов в направлении оси абсцисс; Ъ - размеры объектов в направлении оси ординат
№ объектов 1 2 3 4 5
а 40 20 60 40 30
Ъ 20 20 40 40 10
Таблица 2 Уровни удельных затрат
№ объектов 1 2 3 4 5
1 2 20 15 1
2 1 18 16
3 5 10
4 - - - - 3
Таблица 3
Регламентированные минимально допустимые расстояния между объектами на просвет, м
№ объектов 1 2 3 4
1 70 100 110 60
2 45 150 130
3 80 95
4 - - - - 20
Таблица 4
Координаты начального расположения цетров геометрических образов объектов, м (первый рант)
№ объектов 1 2 3 4 5
X 80 60 110 140 120
У 100 130 150 125 90
Таблица 5
Координаты начального расположения цетров геометрических образов объектов, м (второй вариант)
№ объектов 1 2 3 4 5
X 40 0 100 250 200
У 10 150 220 150 50
Для расчета критериальных функций ( ), Щ(Ум), Кр(Ум) и Кд(У) и функции штрафа 5(7) составлена соответствующая программа в пакете МаШСАБ. Поиск оптимизированных схем расположения объектов велся с использованием блока 01уеп-Мш1ш17е этого пакета.
Значения критериальных функций КС(У), ( ), ( ) и ( ), найденные в результате оптимизационного поиска для рассмотренных вариантов, представлены в табл. 6. Из табл. 6 следует, что оптимизированные значения этих функций, полученные, по сути, из противоположных по отношению к оптимальному расположению объектов начальному решению, практически совпадают, что подтверждает устойчивость движения итерационного процесса к минимумам комплексной целевой функции (5) и частных критериальных функций (1), (2), (3) и (4).
Таблица 6
Оптимизированные значения критериальных функций
Критерии KC(V) Kf(VM) Кр( vm, Kp(V)
Вариант № 1 14340 16750 511,8 192,4
Вариант № 2 14400 16770 512,0 192,4
В табл. 7 и 8 приведены значения координат оптимизированного расположения объектов соответственно для первого и второго вариантов, а на рис. 2 выпуклые многоугольники, в вершинах которых находятся центры геометрических образов объектов. На рис. 2 изображены первый и второй варианты решения задачи, при этом начальные решения отмечены штриховыми линиями, а оптимизированные - сплошными. Центры первых объектов в начальном и оптимизированном положениях соединены тонкими сплошными линиями, нумерация объектов ведется по часовой стрелке. Отметим, что оба варианта решения обеспечивают требования по заданным минимально допустимым расстояниям (табл. 3) между объектами на просвет.
Таблица 8
Координаты оптимизированного расположение центров геометрических образов объектов, м (второй вариант)
Из анализа табл. 7 и 8 и рис. 2 можно сделать вывод, что в результате оптимизации при разных начальных решениях получено два практически одинаковых взаиморасположения объектов относительно друг друга, но в различных местах локальной системы координат, что и является одним из доводов использования локальных систем координат на первом этапе синтеза схем расположения объектов.
xltfiMk(ü),tír<iL),x2k(il),)rt(j),>¡5(j)
Рис. 2. Многоугольники, стороны которых соединяют центры геометрических образов объектов в начальных и оптимизированных положениях: 1 - первый вариант решения; 2 - второй вариант решения
В заключение отметим, что полученная в данной работе комплексная целевая функция (5), представляющая собой, по сути, математическую модель многокритериальной оптимизации схем размещения объектов предприятий, является основой для разработки на машинных языках высокого уровня системы автоматизированного проектирования генеральных планов производственных комплексов.
Литература
1. Козловский, В. А. Организационные и экономические вопросы построения производственных систем [Текст] / В. А. Козловский. - Л.: ЛГУ, 1981. - 216 с.
2. Курейчик, В. М. Комбинаторные аппаратные модели и алгоритмы в САПР [Текст] / В. М. Курейчик, В. М. Глушань, Л. И. Щербаков. - М.: Радио и связь, 1990. -216 с.
3. Gilmore, P. C. Optimal and suboptimal for the quadratic assignment problem [Text] / P.C. Gilmore // T. Sos. for Ind. and Appl. Math. - 1962. - Vol. 10. - June. - Р. 305313.
4. Gordon, C. A. Heuristic algorithm and Simulation approach to relative location of facilities [Text] / C. A. Gordon, S. B. Elwood // Management Science. - 1963. -Vol. 9, No 2. - P. 294-309.
5. Hillier, F. S. Quantitative Tools for Plant Layout [Text] / F. S. Hillier // J. Indust. Eng. - 1963. - No 9. - Р. 4145.
6. Koopmans, T. C. Assignment Problems and the Location of Economic Activities [Text] / T.C. Koopmans,
Таблица 7
Координаты х, у оптимизированного расположения центров геометрических образов объектов, м (первый вариант)
№ объектов 1 2 3 4 5
X 687,5 19,819 92,6 211,1 165,4
У 32,70 127,90 189,3 106,8 61,70
№ объектов 1 2 3 4 5
X 50,173 0,003 71,37 191,7 147,2
У 10,795 104,7 161,8 88,17 42,05
Вескшап // БсопошеШса. - 1957. - Уо1. 25, N0 1. - Р. 5376.
7. Забудский, Г. Г. Оптимизация размещения технологического оборудования на генплане [Текст] / Г. Г. Забудский, Н. В. Колмычевская, Т. В. Леванова // Тезисы докладов Х Всесоюзного симпозиума по системам программного обеспечения решения задач оптимального планирования. - М., 1988. - С. 148.
8. Забудский, Г. Г. Об оценках стоимости связывающей сети в некоторых задачах размещения [Текст] / Г. Г. Забудский // Дискретная оптимизация и анализ сложных систем: сб. науч. тр. / под ред. А. А. Колоколо-ва. - Новосибирск, 1989. - С. 10-25.
9. Зуга, И. М. Автоматизированное проектирование схем размещения объектов предприятий из условия минимизации коммуникационных затрат [Текст] / И. М. Зуга, В. Г. Хомченко // Омский научный вестник. - Сер. Приборы, машины и технологии. - 2009. - №3 (83). - С. 96-99.
10. Зуга, И. М. Автоматизированное проектирование схем размещения объектов предприятий из условия минимизации занимаемой ими площади [Текст] / И. М. Зуга, В. Г. Хомченко // Омский научный вестник. - Сер. Приборы, машины и технологии. - 2011. - №2 (90). - С. 163-167.
11. Зуга, И. М. Проектирование схем размещения объектов из условия минимизации периметра занимаемой ими территории [Текст] / И. М. Зуга, В. Г. Хомченко; ОмГТУ. - Омск, 2009. - 8 с. - Деп. в
ВИНИТИ 13.05.2009, №348-В2009.
12. Зуга, И. М. Проектирование схем размещения объектов из условия минимизации габаритных размеров занимаемой территории [Текст] / И. М. Зуга, В. Г. Хомченко; ОмГТУ. - Омск, 2009. - 7 с. - Деп. в ВИНИТИ 13.05.2009, №425-В2009.
13. Гилой, В. Интерактивная машинная графика: структура данных, алгоритмы, языки [Текст]: пер. с англ. / В. Гилой. - М.: Мир, 1981. - 384 с.
14. Грундиг, К.-Г. Проектирование промышленных предприятий. Принципы. Методы. Практика [Текст]: пер. с нем. / К.-Г. Грудинг. - М.: Альпина Бизнес БУКС, 2007. - 340 с.
15. Зуга, И. М. Формирование функции штрафа при автоматизированном проектировании схем расположения объектов производственных комплексов [Текст] / И.М. Зуга, В. Г. Хомченко // Омский научный вестник. - Сер. Приборы, машины и технологии. - 2013. - №1 (117). - С. 114-118.
Совет Федерации Федерального собрания РФ Омский государственный технический университет
MULTICRITERIA OPTIMIZATION OF PROCESS FACILITIES ARRANGEMENT
DIAGRAMS
I.M. Zuga, V.G. Khomchenko
This article proposes a method for multicriteria optimization of various industries process facilities arrangement. Arrangement optimization is performed taking into account minimum expenses for communication links between facilities, areas, perimeter, and the size of the area occupied by the designed complex. An example of multi-criteria optimization is provided herein
Key words: scheme, relative positions, objects, optimization
