43
gL
NOCHIZIQLI TENGLAMALAR SISTEMASINI YECHISHNING ITERATSIYALAR USULI ALGORITMI
M. N. Esonturdiyev
Chirchiq davlat pedagogika universiteti, Chirchiq, O'zbekiston [email protected]
M. O'. Berdiqulova
Chirchiq davlat pedagogika universiteti, Chirchiq, O'zbekiston munisaberdiqulova44@gmail .com
Umumiy holda n noma'limli n ta nochiziqli algebraik yoki transendent tenglamalar sistemasi quyidagicha yoziladi:
Xi, X'
f (X1 f2 ( X1
2,
X , X'
2,
X,
X,
-) = o]
,)=o
) = o
fn ( X1
nochiziqli tenglamalar sistemasi ushbu
X1 = (X1, X2, ..., Xn ), X2 = $2 (X1, X2, ..., Xn )
(1)
xn = (x1, X2 , ..., xn )
(2)
ko'rinishga keltirilgan bo'lsin, bu erda <pi,<p2, •••, <P„ - haqiqiy funksiyalar
bo'lib, ular bu sistema izolyasiyalangan (xj^x^, x*) echimining biror atrofida
aniqlangan va uzluksiz [1].
Qulaylik uchun quyidagi vektorni kiritamiz:
x = (x1;x2, ..., xn) va <p(x) = (<pl(x),<pz(x), ...,<pn(x)).
U holda (2) ni quyidagi vektor shaklida yozish mumkin:
x = p( x). (3)
(3) tenglamaning x* = ( ) vektor-ildizini topish uchun ko'pincha
quyidagi iteratsiyalar usulini qo'llash juda qulay:
= k = 0,1,2,..., (4)
xv
October 20, 2023 Republican Scientific and Practical Conference
>
510
gL
yoki
.X
(k+1)
.
(1( X
(k+»- (%(X
(k) . (k),
(k) . (k),
n
..., X(k)),
n
.
(k+1)
= (n (X
(k) (k)
.
2
X(k))
k = 0,1,2,
,(0)
bu erda yuqoridagi indeks iteratsiyalar yaqinlashishi nomerini bildiradi; x( 7 « x boshlang'ich yaqinlashish. Usulning blok-sxemali algoritmi 1-rasmda tasvirlangan.
Agar (4) iteratsion jarayon yaqinlashivchan bo'lsa, u holda ushbu
% = lim x
k —ro
(k)
(5)
limitik qiymat (4) tenglamaning ildizi bo'ladi. Haqiqatdan ham, agar (5) munosabat bajarilgan desak, u holda (4) tenglikda k — ro bo'yicha limitga o'tib, (( x) funksiyalarning uzluksizligidan quyidagiga ega bo'lamiz:
lim x^k+1)
k —^ro
= (
k—ro
ya'ni % = ((%).
Shunday qilib, % - (3) vektor tenglamaning ildizi.
Agar, bundan tashqari, barcha x(k) (k = 0,1, ... ) yaqinlashishlar biror Q - sohaga
tegishli bo'lsa, u holda % = x* ekanligi yaqqol ko'rinadi [4].
Soddaroq qilib aytganda, (4) iteratsion jarayon
x(0) = (X(0) X(0) Jx l^v . Jx
V 1 ' 2
x
(0)
1-rasm. Nochiziqli tenglamalar sistemasini echish uchun iteratsiyalar usulining blok-sxemali algoritmi.
- boshlang'ich
yaqinlashishdan boshlanib, bitta iteratsiyadan keyin barcha argumentlar orttirmasining moduli berilgan s miqdordan kichik bo'lmagincha davom ettiriladi, ya'ni
October 20, 2023 Republican Scientific and Practical Conference
2
2
>
n
511
Technoogies^n^hemmucaiiommimrocmm
gi
(k+1) _ (k) X X
= max'
1<i< n
(k+1) _ (k) Xj Xj
<s.
Bu shartga teng kuchli bo'lgan quyidagi shartdan ham foydalanish mumkin:
(k+1) _ (k) X X
(k+i) _ (k) X X
№
= max ^ X k+1) - x( k) I }<s
1<i < n
'J
Oddiy iteratsiya usuli dasturlash uchun juda qulay, ammo u quyidagi muhim kamchiliklarga ega:
a) ||p'(x)^ < 1, bu erda p' - vektor-funksiyaning (Yakob matrisasi), Ц-Ц^ belgi
bilan esa matrisa normasi kiritilgan: (( x)|| = max
1<i < n
i=1 dXi
E
b) agar boshlang'ich yaqinlashish aniq echimdan uzoqroq tanlangan bo'lsa, u holda a) shart bajarilishiga qaramasdan, usulning yaqinlashishiga kafolat yo'q; demak, boshlang'ich yaqinlashishni tanlashning o'zi ham soda emas ekan;
c) iteratsion jarayon juda sekin yaqinlashadi.
Xulosa qilib aytadigan bo'lsak nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishning Iteratsiyalar usuli dasturlash uchun juda qulay hisoblanib ko'p masallarni yechishga yordam beradi.
REFERENCES
[1] Abduxamidov A.U., Xudoynazarov S. Hisoblash usullaridan amaliyot va laboratoriya mashg'ulotlari. - Toshkent: O'qituvchi, 1995.
[2] Воробева Г.К., Данилова А. Н. Практикум по вычислителной математике. - М: Высшая школа, 2012.
[3] Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 2020.
[4] Фозилов Ш.Х., Эсонтурдиев М.Н. Разработка алгоритмов расчета лимитов водных ресурсов в системах машинного водоподъема. - журнал "Научный вестник Наманганского государственного университета". - №8 2023, ISSN:2181-0427, ст. 57-67.
да
2
October 20, 2023 Republican Scientific and Practical Conference
512
