Неявные и нестационарные решения околозвуковых уравнений Текст научной статьи по специальности «Физика»

3. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные течения вязко-пластических сред. М.: Изд-во МГУ, 1970.

4. Сафрончик А. И. Неустановившееся движение вязко-пластической среды между параллельными стенками с учётом эффектов пристенного скольжения и "запаздывания" восстановления структуры // Аэродинамика. Вып 4(7). Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. С. 166 - 181.

5. Slibar A., Paslay P. R. Petarded Flow of Binghan Materials // J. of Appl. Mech. 1959. March. P. 107-112.

6. Kolodner J. J. Free boundary problem for the heat eguation wich applications otchange of phase // Comm. on Pure and Appl. Math. 1956. Vol. IX. № 1.

УДК 533.6.011

Г. Д. Севастьянов

НЕЯВНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ ОКОЛОЗВУКОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Уравнение Линя-Рейснера-Цяня (ЛРЦ) для низкочастотных безвихревых околозвуковых течений идеального газа (и=М2 -1; М - число Маха)

= uyy + un-2uxt,

(1)

■> XX

запишем для неявных ЗО-решений р{и, х, у, г, ?)= 0 (х, у, г - декартовы координаты, / - линейное время)

(ру + ^ ' - и¥гх Уии + (Руу + - 2Р1х - «^К2 +

+ {Ргх + и(Рх)2и - [ру \ - (р/ \ + 2РХРШ + 2.^„^ =0 (2)

Если Р = Р„(и)= 0, Рп - полином и-го порядка с п коэффициентами ак(х, у, г, ?), то для них получим п дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) как нулевые коэффициенты полинома (и-1)-го порядка по и из (2). Эти решения назовём /'-неявными решениями (1).

Если п = 1, то имеем явные решения (1): и = и(х, у, 2, г). При п = 2, разрешив Р = Р2(и)= 0, получим: и = ±а + Р; тогда а - полуразность двух решений (1), р - их полусумма, они определяются из системы

V+pn

= рл, + ргг-2рг„ и = ± а + рб,

J XX

(аР)хс = ауу +azz ~ 2otx

Kxt-

В стационарном случае (— = 0), считая, что р

dt

Л, В. Овсянникова для (1):

(3)

решение

$ = В{у,2)х2,6В1=Вуу + Вг2, (4)

получим:

1) обобщённое С. И. Похожаевым [1] решение Томотики-Тамады

а = А(у,г\ 2ВА = Ауу+А22; (5)

2) обобщение решения И. А. Чернова [2]

15

а = А{у,х)4х, —ВА = Ауу + А12. (6)

а

В плоском случае (— = 0) решение (6) описывает складку поверхно-дг

сти Р = 0 в пространстве хуи (п = 2). Решение (4) - (5) использовано автором для описания соплового течения с плоским скачком уплотнения [3]. В нестационарном случае в (5) можно ввести ? как независимый параметр: Л(у, г, {)= а. Решение со скачком в нестационарном потоке получено в [4] для частного случая, когда и стационарно, а две другие координаты возмущённой скорости (у, и1) нестационарны.

При п = 3 /<" = Р3(и)= 0 описывает сборку поверхности ? = 0 в про-

странстве хуи

'д д

=— = 0 Для трёх коэффициентов Р3 имеем три дь дг

ДУЧП из (2). Это неявное Р-решение можно применить для описания вершины местной сверхзвуковой зоны со скачком уплотнения (возникает катастрофа сборки, когда устраняется трёхзначность и(х, _у)).

При п = 4 в биквадратном случае Р = Р2(и2)=0, откуда

и2 = ±у + 5.

Приведём для уравнения (1) в плоском случае — = 0 однопарамет-

дг

рические решения (и, х - функции г, у и параметра р; хр ф 0) из Р-класса [6] с помощью структурной формулы

х = а0{р,1)+а2{р,1)уг-, 5 = 1; и = Бхр + х2 + 2х, =ю0+(й2у2', (7)

аг=а2р+2а2, + 4а1, ®0=а0р+2 аог (8)

Введём переменные:

$ = 2р-и Л = Р, (9)

тогда

а2=а2ц+4а1, со о = а0^, (10)

■2--П-П + 2аг\ -2со2г = 0, (г = а0р). (11)

Частные случаи:

1) при со2 = 0 [6] имеем

а, =-* , ., vc = z„ = T(i\Ja^,

2 4г| + Л(5) л v=/v

а0р = z = ТШ^ГЩ + /(р, ао = ]f{p,t)dp + g(i). (12)

В стационарном случае (R = const) отсюда получаем [6] решение уравнения Трикоми у = v • (и - и0 ), и0 < 0, описывающее срыв дозвуковой струи с края щели (v пропорционально углу наклона скорости);

1 1

-, С02 =-

3 Р 9/7

ние которого равно

2) при а2 = — , со2 =7ГТ из ^ 1) имеем линейное уравнение, реше-

Z = с^)ц2П + c2fe)rf1/3 = f(p, t\ а0 = ]f{p, t)dp + g(0,

соо = К(р,0Ф + К0, K(p,t)=z4, (13)

т. е. решение (1) записано в квадратурах

1 1

x = a0(p,t)+ — 5 = 1, и-(о0{р, (И)

Зр 9р

В стационарном случае

г а \

а?

V

решение (14) есть решение Заслав-

ского-Клепиковой [7] для трансзвукового срыва сверхзвуковой струи с края щели, укреплённого бортиком (см. также [6]).

Произвольные функции в решениях выбираются, исходя из конкретных течений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Похожаев С. И. Об одной задаче Л. В. Овсянникова // ПМТФ. 1989. № 2.

С. 5 - 10.

2. Чернов И. А. Полиномо-параметрические решения трансзвуковых уравнений // Аэродинамика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. Вып. 14(17). С. 91 - 102.

3 Севастьянов Г. Д. Околозвуковой скачок в переходной части сопла Лаваля // Аэродинамика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1993. Вып. 13(16). С. 27 -35.

4. Велъмисов П. А. К теории околозвуковых неустановившихся течений газа // Аэродинамика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. Вып. 4(7). С. 3 - 25.

5. Севастьянов Г. Д. Однопараметрические функции, непрерывные через околозвуковой скачок уплотнения // Математика, механика, математическая кибернетика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. С. 100 - 102.

6. Севастьянов Г. Д. Струю-ура элементарных околозвуковых решений // Аэродинамика. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1997. Вып. 14(17). С. 109 - 117.

7. Заславский Б. И., Клепикова Н А. Об одном классе точных частных решений уравнений околозвуковых течений газа // ПМТФ. 1965. № 6. С. 65 - 68.

УДК 539.3

Ю. В. Шевцова

ПОГРАНСЛОЙ В ОКРЕСТНОСТИ КВАЗИФРОНТА В СКОШЕННОЙ КРУГОВОЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКЕ

Рассмотрим тонкую круговую цилиндрическую оболочку из изотропного материала со скошенным краем с относительной полутолщиной т) = И / Я (2/г - толщина оболочки). Положение точек оболочки в пространстве зададим векторным равенством:

Р(аиа2,а3) = М(аиа2) + а3п, (1)

где Р(аьа2,а3) - радиус-вектор точек оболочки в трехмерном пространстве, М(а1,ос2) - радиус-вектор точек срединной поверхности, п- единичный вектор нормали к срединной поверхности. Срединную поверхность оболочки отнесем к полугеодезической системе координат, а 2-линии которой являются геодезическими, ортогональными краю, причем параметр а!определяет длину геодезической. Такая система координат является ортогональной в окрестности края, однако координатные линии данной системы координат не совпадают с линиями кривизны. В силу этого нарушается необходимое и достаточное условие триортогоиалыюсти [1] системы координат, введенной равенством (1).

Будем считать, что лицевые поверхности оболочки свободны от внешних нагрузок, т.е.

а3/=0,(/ = 1,2,3), (2)

где а у напряжения.

Рассмотрим случай только однородных начальных условий

и*=тт-=°.(* = й). (3)

дг

где и! - перемещения.

Граничные условия на торце а, = 0 зададим следующим образом: стп =ф(а2,а3)Я(0, и2 = г/3 = 0, (4)

Я(Г) - функция Хевисайда, ф(а2,а3) - четная функция от переменной а3.