Неустановившиеся течения вязкопластичной среды с учётом пристенного скольжения и <<запаздывания>> восстановления структуры Текст научной статьи по специальности «Физика»

где aha2 = const > 0, время Т не задано. Граничные условия (4), (5) произвольны.

Задача решается в два этапа. На первом этапе на основании принципа максимума Л. С. Понтрягина получаются выражения оптимального управления и сопряженной системы уравнений для исходной непрерывной задачи. На втором этапе, используя предельный переход [1], в котором верхнее значение величины тяги неограниченно возрастает, строится аналитическое решение задачи оптимального разворота с импульсной тягой, реализующее двухимпульсную схему управления.

Получены явные соотношения, определяющие величины и направления импульсов тяги, скачки фазовых переменных и время разворота КА.

Приводится полный аналитический алгоритм решения задачи импульсного оптимального разворота, реализующий двухимпульсную схему управления.

Работа является продолжением [2].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ильин В. А., Кузмак Г. Е. Оптимальные перелеты космических аппаратов М.: Наука, 1976.

2. Молоденков А. В. Решение задачи оптимального разворота сферически симметричного КА с ограниченной и импульсной тягой при произвольных граничных условиях // Бортовые интегрированные комплексы и современные проблемы управления: Сб. тр. междунар. конф. Ярополец, 1998. С. 58 - 59.

УДК 532.5;532.135

А. И. Сафрончик

НЕУСТАНОВИВШИЕСЯ ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОПЛАСТИЧНОЙ СРЕДЫ С УЧЁТОМ ПРИСТЕННОГО СКОЛЬЖЕНИЯ

И "ЗАПАЗДЫВАНИЯ" ВОССТАНОВЛЕНИЯ СТРУКТУРЫ

В связи с запросами техники широкое развитие получила гидромеханика вязкопластических сред. Изучению движения таких сред посвящено значительное число как теоретических, так и экспериментальных работ [1,2]. Экспериментальными исследованиями был выявлен ряд интересных особенностей в поведении вязкопласгичных материалов или как их ещё называют структурных жидкостей. В частности, было замечено, что при достаточно больших скоростях движения возникает аномалия в поведении сопротивления (сопротивление падает). Снижение сопротивления объясняют обычно тем, что вблизи твёрдых стенок образуется вязкий слой (дис-

персионная среда), вязкость жидкости в котором значительно меньше, чем в остальном потоке.

Отмечалось также, что эффект снижения сопротивления возникает в трубах и каналах с пористыми стенками. Этот эффект получил название "пристенного" скольжения и, хотя его природа ещё полностью не выяснена, делаются попытки его практического использования.

Теоретические исследования совместного движения вязкой и вязко-пластической жидкостей особенно в нестационарном случае весьма ограничены [3,4]. Неизвестно, как связана толщина вязкого слоя с остальными параметрами процесса. Поэтому при решении задач приходится принимать её постоянной, что позволяет выяснить достаточно полно качественную картину течения. Количественные характеристики требуют экспериментального уточнения.

В настоящей статье рассматривается другой подход, основанный на известной гипотезе Н. П. Петрова, сформулированной им ещё в начале века. Для рассматриваемого случая вязкопластической среды эту гипотезу можно сформулировать так: условие прилипания на твёрдой стенке нарушается при достижении касательным напряжением некоторой критической величины х*, причём само напряжение начинает изменяться пропорционально разности скоростей жидкости и твёрдой стенки:

Другим интересным эффектом является различное поведение материала при нагружении и разгрузке: разрушение структуры происходит при одних предельных напряжениях сдвига, а восстановление при других, значительно меньших.

Другими словами, имеются два предела текучести: статический хст и динамический хд.

Связь между компонентами тензоров напряжения и скоростей деформаций задаётся реологическими уравнениями Слибара-Паслая [5] Нагружение Разгрузка

ЭУ ЗУ

х-хд=Л-т>хст х-хд=п~х>хд

0 = ^ х<тст . 0 = ^ х<х

дп ст дп

Модель, описывающая поведение среды с учётом обоих эффектов,

содержит пять параметров:

хст - статический предел текучести;

хд - динамический предел текучести;

х* - критическое напряжение, при котором нарушается условие "прилипания";

т] - структурная вязкость; X - коэффициент "внешнего" трения.

Наиболее вероятным соотношением между параметрами, по-

*

видимому, является тд < тст < т .

При воздействии на вязкопластическую среду немонотонной нагрузкой можно выделить несколько характерных временных этапов её поведения.

Примерная схема развития и затухания течения изображена на рисунке.

/[ Разрушение структуры без "пристенного" скольжения /-г Разрушение структуры со скольжением Переходный этап со скольжением IV \ Переходный этап без скольжения Восстанов- --- ление структуры | __

*—

О г, ь 'з и и /

Характерные временные этапы в развитии и затухании течения вязкопластичной среды

Нами были рассмотрены наиболее типичные нестационарные задачи: течение Куэтта между пластинами и соосными цилиндрами, течение в плоской, круглой и трубе кольцевого сечения, а также вращательные движения между соосными цилиндрами.

Ограниченный объём данной статьи не позволяет подробно изложить постановку задач на всех временных этапах, а тем более выписать решения этих задач. Отметим только, что для всех временных этапов, кроме переходного, решались задачи с "искомой" границей, каковой является граница (или границы) "ядра" течения (область, где отсутствует взаимное скольжение слоёв). Для решения использовался метод Колоднера [6] или разработанная нами его модификация [2]. На переходных этапах решаются задачи с постоянными границами ("ядра" не изменяют своих размеров).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Мирзаджанзаде А. X, Гурбанов Р. С. Обзор работ по гидродинамике вязко-пластических сред в бурении. Баку, 1963.

2. Сафрончик А. И. Некоторые задачи неустановившегося течения вязкопласти-ческой среды: Дис. ... канд. физ.-мат. наук. Ростов н/'Д, 1962. 109 с.

3. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные течения вязко-пластических сред. М.: Изд-во МГУ, 1970.

4. Сафрончик А. И. Неустановившееся движение вязко-пластической среды между параллельными стенками с учётом эффектов пристенного скольжения и "запаздывания" восстановления структуры // Аэродинамика. Вып 4(7). Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. С. 166 - 181.

5. Slibar A., Paslay P. R. Petarded Flow of Binghan Materials // J. of Appl. Mech. 1959. March. P. 107-112.

6. Kolodner J. J. Free boundary problem for the heat eguation wich applications otchange of phase // Comm. on Pure and Appl. Math. 1956. Vol. IX. № 1.

УДК 533.6.011

Г. Д. Севастьянов

НЕЯВНЫЕ И НЕСТАЦИОНАРНЫЕ РЕШЕНИЯ ОКОЛОЗВУКОВЫХ УРАВНЕНИЙ

Уравнение Линя-Рейснера-Цяня (ЛРЦ) для низкочастотных безвихревых околозвуковых течений идеального газа (и=М2 -1; М - число Маха)

= uyy + un-2uxt,

(1)

■> XX

запишем для неявных ЗО-решений р(и, х, у, г, ?)= 0 (х, у, г - декартовы координаты, / - линейное время)

(ру + ^ ' - и¥гх Уии + (Руу + - 2Р1х - «^К2 +

+ {Ргх + и(Рх)2и - [ру \ - (р/ \ + 2РХРШ + 2.^„^ =0 (2)

Если Р = Р„(и)= 0, Рп - полином и-го порядка с п коэффициентами ак(х, у, г, ?), то для них получим п дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) как нулевые коэффициенты полинома (и-1)-го порядка по и из (2). Эти решения назовём /'-неявными решениями (1).

Если п = 1, то имеем явные решения (1): и = и(х, у, 2, г). При п = 2, разрешив Р = Р2(ч) = 0, получим: и = ±а + Р; тогда а - полуразность двух решений (1), р - их полусумма, они определяются из системы

V+pn

= рл, + ргг-2рг„ и = ± а + рб,

J XX

(аР)хс = ауу +azz ~ 2otx

Kxt-

В стационарном случае (— = 0), считая, что р

dt

Л, В. Овсянникова для (1):

(3)

решение