Исследование нестационарных переходных процессов в вязкопластичных средах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.5; 532.135

ИССЛЕДОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В ВЯЗКОПЛАСТИЧНЫХ СРЕДАХ

А.И. Сафрончик, М.И. Сафрончик

Саратовский государственный университет, кафедра вычислительного эксперимента в механике E-mail: [email protected]

Рассматривается переход от одного стационарного режима течения вязкопластичной среды между параллельными плоскостями к другому. Задача ставиться в рамках пятипараметрической модели, позволяющей учесть различие в поведении материала при нагружении и разгрузке, а также возможное проскальзывание вдоль твердых стенок. Гистерезис деформаций учитывается с помощью гипотезы Слибара-Паслая, а для учета «пристенного» скольжения предложена модель плавного перехода от прилипания к проскальзыванию. Решение задачи строится методом «мгновенных» собственных функций Меламеда-Гринберга.

Research into the time-depended transactional processes in viscoplastic fluids

A.I. Safronchik, M.I. Safronchik

The paper presents problem of transition from one steady-state conditions of viscoplastic fluid flow to another between parallel planes. The problem definition is given within the limits of five-parameter model, which permits to take up differences between behavior under stress and without stress and possible slippage along the solid walls. Hysteresis of deformation is considered by means of model of smooth transition from adhesion to slippage. The solution is determined by method of momentary eigenfunctions of Melamed-Grinberg.

Рассматривается переход от одного стационарного режима течения вязкопластичной среды между параллельными плоскостями к другому. Постановка задачи дается в рамках пятипараметрической модели, позволяющей учесть различие в поведении материала при нагружении и разгрузке, а также возможное проскальзывание вдоль твердых стенок.

Гистерезис деформаций учитывается с помощью модели Слибара — Паслая [1], которая для случая чистого сдвига имеет следующий вид:

Нагружение

Разгрузка

т-т В = Г]

dV

dn

dV

sign— при т >тст г-тэ=?7 an

dV

dn

dV

Sign- при T >Тл

dn

(1)

n dV

U =- при т < г cm

dn

n dV

и =- при X S Tj

dn

Здесь тст — статический предел текучести; тд — динамический предел текучести; г] — структурная вязкость; V — скорость; п — нормаль к направлению скорости.

Для учета «пристенного скольжения» предлагается, в отличие от общепринятого подхода [2,4] — наличие вязкого смазочного слоя, другой подход, суть которого состоит в следующем: при достижении на твердой стенке касательным напряжением некоторого критического значения т, материал начинает скользить вдоль этой стенки. Скорость скольжения предлагается считать пропорциональной разнице между фактическим и критическим напряжениями:

т-т=М^ж~Утв). (2)

В этом случае удовлетворяется условие плавного перехода от «прилипания» к проскальзыванию вдоль твердой стенки. Легко заметить аналогию с гипотезой Н.П. Петрова для вязкой

жидкости [2], при этом коэффициент X можно условно назвать коэффициентом «внешнего» трения вязкопластичной среды о твердую стенку. Наиболее вероятным соотношением между параметрами является тд < тст < т.

Пусть вязкопластичный материал, заполняющий пространство между двумя параллельными плоскостями, находящимися на расстоянии 2Н, движется в одном направлении под дей-

*

ствием постоянного перепада давления. Если перепад давления достаточно большой, > —,

и действует значительное время, то течение станет стационарным. Для нахождения распределения скоростей решается краевая задача:

аЯ

+ —= 0 {Их<у< Н);

йу1 711

(3)

'ОГ^

с1У

-т = XV (Н)\

)у=Н

(4)

с1у

— т„

)у=К

(5)

Здесь кх — половина высоты «ядра» течения (зоны, движущейся как одно целое без взаим-

т I

ного скольжения слоев) к = — . Ввиду симметрии задача решается в области {кх < < Н).

АД

Система координат выбрана как показано на рисунке.

Я

/г, 0

"/71

-н

к

-^

-► "Т" Ядро

-►

-► _ _ * _ _

-------- А

Распределение скоростей легко находится и представляется в виде

УХ{У) = ^-ЛН2-У2)-ЩН-У) 4(^-т*). 2?7/ ту Я I

(6)

АР2

Пусть теперь перепад давления «мгновенно» уменьшился до значения -у-, причем тэ дР2 т

— < —— < ——. Возникнет нестационарный переходный процесс, который при продолжитель-Н I Н

ном воздействии этого перепада давления будет стремиться к другому стационарному режиму, в котором уже будет отсутствовать «пристенное скольжение», а распределение скоростей определяется по формуле

у2)'

(Н-у), И2< у <Н, /г2 =

дА

(7)

В этом нестационарном процессе можно выделить два характерных временных этапа: этап, предшествующий восстановлению структуры, и этап её частичного восстановления. К началу переходного процесса напряжение во всей области течения превосходит тст, а на границе «ядра» равно гст, учитывая, что восстановление структуры происходит в областях, где напряжение меньше тд. На первом этапе размеры «ядра» остаются неизменными, а напряжение на его поверхности падает от тст до тд. Как только напряжение на границе «ядра» достигнет тд, начнется второй этап - восстановление структуры. «Ядро» течения начнет увеличиваться, причем по неизвестному заранее закону.

Такое развитие событий возможно лишь в случае выполнения условия

2 ^ гд

АА

аР^Т

(8)

В противном случае этап восстановления структуры будет отсутствовать, и переход от одного режима к другому будет происходить при неизменных размерах «ядра» течения.

При выполнении условия (8) этап, предшествующий восстановлению структуры, может происходить по двум возможным сценариям: либо все время 0 < I < Т со скольжением (г (Н, /) > г * иг(А1,1)=гД либо частично в интервале 0 < г < Ц со скольжением (г(#,/)> г* и т(Ии Г,) > тд), а в интервале < / < Г без скольжения (т(Н, г) > т * и г(/гь Т)> тд). Прекращение скольжения вдоль твердой стенки в первом случае происходит уже на этапе восстановления структуры.

Рассмотрим для определенности второй случай. Математическая постановка задачи имеет вид

эк

д2к аА

--у—^ +—^ <у<Н, 0<t<tx

Э* ду2 р1 Ух(у, 0) = Ух(у) - начальное условие определяется формулой (6),

Эу

_ ч

(9)

(10)

)у=\

ХГх(Н, 0 + 77

дУх

ау

= тд-т .

(11)

)у—Н

Здесь через г(?]) обозначается напряжение на поверхности «ядра» г(Аь/) — т ((/), а V = — —

Р

аналог кинематической вязкости. Решение задачи (9) - (11) строится операционным методом. В изображениях она принимает вид

Ч

о1у

+ ХУ(Н,Б) = г,-г ,

V " )у=н

(13)

V )у=ь 1

V

Решение этой задачи может быть записано в виде

(14)

Гх(у,Я) = Ух(у) +

лА

р1Б

ск{Н-у\--\

V

+

+С

\ V Я V V V V

(15)

Постоянная С определяется по формуле

С = —

(16)

Опыт исследования переходных процессов для вязких жидкостей показал, что эти процессы весьма кратковременны. Можно предположить, что и для вязкопластичных сред время переходного процесса также невелико. Для малых времен, что соответствует большим по модулю значениям 5, формулы (15) и (16) значительно упрощаются:

р1Б

(17)

Учитывая связь между градиентом скорости и напряжением на границе «ядра», найдем закон изменения касательного напряжения на этой границе. Для малых времен он имеет вид

дл - да

Обращая (16) и (19) и обозначив А=--, получаем:

р1

(18)

Ух(у,0 = Ух(у)-А

г-

А

Згу

2-V Л

21-

(.н-у)

2 \

ЛН-у)1

е +

-ег/с

)

(19)

Т1(0 = гст-2Я А

*+ --

2У

еф

2

■сн-\ул—е

7ГУ

(20)

Момент прекращения скольжения вдоль твердой стенки 1 — Ц определяется из условия УХ(Н, г,) = 0, откуда

аРх-аР2

р1

Зт] \ к

\Р,Н « Л -г

/

(21)

У

В интервале ^ < г < Г условие скольжения (13) заменяется условием прилипания УХ(Н, ?) = 0. Вводя новый отсчет времени сформулируем краевую задачу для временного интерва-

ла 0 <в< Г-Г,:

ЭК* Э2ГХ дД

-— = V-£..)—=

Э0 Эу2 р1

V ¿У,о)=К(УЛ); У\(Н,6)=0;

V )у=Ь\

г(1х+в)-хд _

?

Л

р1

7-

Тст о

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

Решение этой задачи будем искать в виде суперпозиции двух решений:

Здесь ^(у, + #) — решение на предыдущем временном отрезке, продолженное для боль-

ших значений времени. Для функции и(у, в) получается краевая задача:

у < Н, 0 <0<Т-^;

и {у, 0) = 0;

ди д2и

-= V—=-,

д1 Эу2

з з

-е ;

Эу и

3

Л

(28)

(29)

(30)

(31)

(и +е

о

■О

/J

(32)

Здесь Г](?) находится по формуле (20). Окончание данного периода находится из условия г2(Г- /[) = тд. Решение строится операционным методом и в изображениях представляется в виде

V

р1

дА 1 'г

^ж о

^ -о-*)."

(33)

г

(34)

Обращая формулы (33) и (34), получаем

(

р1

^-^¡г^Щ ег/с Ур-

А ( , ^

7)

(35)

аР

т2^-?1)=т1(0—Г1

да 1 1

о

/

Время окончания рассматриваемого периода определяется из уравнения

Л

А^ 1

лД

тЧ--.Мж

1 ^"сш о

(36)

(37)

С момента £ = Т начнется этап восстановления структуры материала. Задача значительно усложняется, так как она решается в области с неизвестной границей. Вводя новый отсчет времени с г = 0, сформулируем краевую задачу для этого этапа:

дК г)К лА -у—^ + -

дТ ду2 р1 '

А(0 <у<Н, Г >0;

Ух(у,0) = Ух(у)-А

ДВ

р1

Т-

дА

А з^

2Т -

(Н-у)

2 Л -(Я-.УГ

е +

я-П

1 1 ст,

1 '' —

Л ' г, ^

ег/с

2

т=к

(38)

УХ{Н, 0 = 0;

/ -Лг/ \

V дУ )у=к о

= 0;

(39)

(40)

(41)

Решение задачи (9), (38) — (41) строится методом «мгновенных» собственных функций Меламеда — Гринберга [5]. Рассмотрим функцию Ух(у, г), представленную рядом Фурье:

т, / Ч V1 , / ч • л(2к — 1)(Н — у) = (055111 ——-—— ■ х ^ к 2(Я — А(0)

(42)

¿=1

Коэффициенты ряда определяются обычным способом

я

4(0 =

Я - А(0

| £ Су» 0

эш

А(0

тс(2к -\){Н — у) 2(Я — А(0)

с1у

(43)

Интегрируя два раза по частям и требуя, чтобы функция ^(у, г) удовлетворяла уравнению (9) и условиям (39) и (40), получим

(2£ —1)2ТГ2У

н

4(0 = -

. к{2к - \){Н - у)

-эш

4(Я-А(0Г " Я-А(0а;о Ж 2(#-й(0)

Входящий в (44) интеграл связан с соотношением и

йу +

4дА

(2к - 1)яр/ (44>

I

А(0

Э/ 2(Я-А(0) &

{-\ГХ{К] (Н-у)Ух(у,Г)сов^2к-ШН-у^у. х 2(Я-А(0) /?,г) 7 -)(Ч

Я - А(0

4(0

(45)

2(Я-А(0)

Заменив ^(у, её представлением в виде ряда (42), запишем

н

I (Н-у)Ух(у,0СО8

л(2к-\)(Н-у)

с1у =

но н

= 2^(0 |(Я-7)С08

2(Я-А(0) л(2к-\)(Н-у) . я{2т-\\Н-у)

т=1

А(0

2(Я-А(0)

- вш -

2(Я-А(0)

Я-А(г)

— ХЛДО | -

ж=1 0

(т + к — \)П2 . (т - к)пг

Я-А( 0

+ БШ-

Я - А(0

¿¿г -

(Я-А)2(24-_1) у л (() <-!)'"

(46)

2 л тФк=\ (т + к-1)(т-к) 2л (2к'-\) Используя формулы (44), (45) и (46), а также значение скорости «ядра» в виде ряда

^М^^Енгл.ю, (47)

т=1

получим бесконечную связанную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для коэффициентов ряда

,,, Л (2к-Х)2л\ А , . й'(*)

4(0 + ' 2 А(0 + „„ Ак(0 =

4дА

4 (Я-КОГ А'(0

2 (Я-А(0)

I АЛО

(-1Г+*(2ш-1Г (2Аг-1)яр/ 2(Я-Л(0)т^=1 (л»+ *-!)(«-*)

(48)

Положив

Л (О

>/я-А( О

_ приведем уравнение (48) к более простому виду:

4 да

4 (Я-А(/)) А'(/)

(2к-\)пр1^Н -кЦ) (—\)т+к (2т —\)2

(49)

При выполнении расчетов бесконечная система укорачивается до конечного числа уравнений. В работе [5] показано, что решение укороченной системы вида (49) стремится к точному при неограниченном увеличении числа уравнений. К системе уравнений (49) присоединим соотношения, вытекающие из условий (41) и (47):

¿я 1 да

А=1 Vя л Р 1

где = — скорость «ядра» течения.

Переходя к безразмерным переменным по формулам

*

у — Ну, * = —= а— (а>1), А = —А, = —. запишем расчетные формулы в безразмерном виде:

(50)

- 41 4

а-1

яЯ

(51)

Л-\ п - /г Sencm-Send

erfc——(l_Aj)J—е 47 = -

7Г

2аЯ

дА Y

1 — ——^ V 1 У

, , 4а Sen

4(1 -А (О)2 (2к-1)лф -А (Г)

ОД V- Б ,тЛ-1)т+"(2ш-1)2

тк I Д-СП

2(1 ~ А (О) tn*k=\ (m + k — l)(m — k)

(53)

Начальное значение Вк(0) определяется по формуле

1

sin

(l-A(O)2

Условия (50) в безразмерной форме приобретут вид

F(0

2(1-Aj)

Лг=1

л/l — Л (F)

=, А(0 =

а А о * dF

a—-oew--—

(54)

(55)

Решение системы (53) находится методом последовательных приближений. Сходимость метода обеспечивается теоремой сравнения Вестфаля. Снабдив последовательные приближения индексом п = 0, 1, ..., придадим расчетным формулам окончательный вид:

ВкМ) = Вк(0)е

(1к-\)2к2^ dt, 4 OU-Mi»2

+ -

4a—^ Sen* j

дР 4 -h„«T))2

(2k-X)n

Ф-Ьпв)

(2к-1)2л2' da

у (-\r+k(2m-l)2'rBm(ghfn^) 2jt=l(m + k-\)(m-k)l 1-Ал(£)

l(\-h„(a))z

(56)

Send

k=l

aP,

dt

(57)

- - Sencm

За нулевое приближение берется Aq(/ ) = -j-. Коэффициенты ряда и скорость «ядра»

aSen

течения для нулевого приближения имеют вид

Bk.0(t) = Bk{0)e

¿(-1 )k-%0(J) =

(2*-oVr \6a^Sen(\-k)2 r --^ дЯ 17

Еч2

Mi-h)

+ ■

!1

¿-15 лгч. W

k=1

(2*-l)V

hit)-

(2к-\)2я2Т ^

1-е 4(1-^2

Sen'

&P-, „ *

a—-Sen — -

dt

(58)

Отметим, что при неограниченном увеличении времени, любое из приближенных значе-

— г /

ний высоты «ядра» течения стремится к точному кп{°°) = —-—. Предварительные расчеты для

//дР,

реального диапазона чисел Сен-Венана, перепадов давления и коэффициентов «внешнего» трения показывают, что уже первое приближение удовлетворительно описывает поведение границы зоны течения.

Библиографический список

1. Slibar А., Paslay P.R. Retarded Flow of Bingam Materials //J. ofAppl. Mech. 1959. March. P. 107-112.

2. Петров Н.П. Гидродинамическая теория смазки / Под ред. Л.С. Лейбензона. М., 1934. С. 245.

3. Огибалов П.М., Мирзаджанзаде А.Х. Нестационарные движения вязкопластичных сред. М., 1970. С. 430.

4. Сафрончик А.И. Неустановившееся течение вязко-пластичной среды между параллельными стенками с учетом эффектов пристенного скольжения и запаздывания восстановления структуры // Аэродинамика. Саратов, 1975. Вып. 4(7). С. 166-181.

5. Меламед В.Г. Сведение задачи Стефана к системе обыкновенных дифференциальных уравнений // Изв. АН СССР. Сер. геофиз. 1958. № 7. С. 848—869.