Неустранимые погрешности локально сглаженного тригонометрического ряда Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 203 1974

НЕУСТРАНИМЫЕ ПОГРЕШНОСТИ ЛОКАЛЬНО СГЛАЖЕННОГО ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОГО РЯДА

И. Э. НААЦ

(Представлена научным семинаром УВЛ ТПИ)

В работе [1] показано, что значение неустранимой погрешности второго рода при аппроксимации в среднем тригонометрическим полиномом возрастает с увеличением степени- полинома, т. е. сходимость приближения в целом нарушается. В настоящей заметке рассматривается один из методов уменьшения влияния неопределенности в значениях узлов на точность и устойчивость приближения, существо которого состоит в локальном сглаживании аппроксимирующего тригонометрического ряда, построенного по экспериментальным данным.

Операция локального сглаживания заключается в замене исходного ряда новым рядом, согласно соотношению [2]

А

Т„(*)4" ]тп(х-Ь)Я, (1)

-А 2

где Н — интервал усреднения. Иными словами, исходный ряд Тл(х) заменяется новым Тл(х), полученным из первого путем усреднения на интервале длиной /г с центром в точке х.

Если значение /г выбрано из условия

= ——— , (2) N 2л+1

то метод локального сглаживания в применении к тригонометрическим полиномам называется методом а-множителей [2]. Применяя преобразование (1) к тригонометрическому полиному Тп(х) в его канонической

форме, получим

АЛ

а » 5Ш~2~

т„(*) = -^ + йг-{аксо$1гх+Ькът1гх) (3)

£ к=1 _

при А, удовлетворяющем (2).

Сохраняя прежней формулировку задачи [1], для неустранимой погрешности второго рода получим выражение

. М

- 1 » 8Ш"Т

^-^^тткгА^М+^Л) (4)

£ Ь—) / I

или в окончательном виде

И2 2 п

?-(п-1)У\ук\ (5)

При выводе соотношения (5) использовалось равенство

п И1? 1

(6)

к=1

2 ?

доказательство которого основано на известной формуле

п 1 -рИгп

- . (7)

1 1-е иг

ш== 1 1 с

Считая последовательность отсчетов ук (й = 0, 1..., 2п), ограниченной константой М, получим неравенство

а22-*-^-(л-1)(2л + 1)М2. (8)

При достаточно больших п неравенство (8) можно упростить

- У*

'2

АЖп, (9)

Интересно сопоставить значения неустранимых погрешностей для несглаженного и сглаженного рядов. Отношение погрешностей дает

—^ •л/' "(1+1) (Ю)

СТ2 у 3 у (п+1)(2

или при больших п

а.»

о2 У 6

1)(2л+1)

= —1,28... (11)

Из последнего соотношения видно, что во втором случае неустранимая погрешность 02 при больших п несколько меньше неустранимой погрешности для несглаженного ряда. Для небольших п, что наиболее часто встречается в практике приближения, уменьшение погрешности более существенно. В частности, при п — 2; 3; 4 соответствующие значения о2/о2 равны 1,98; 1,68; 1,56. Незначительность выигрыша в уменьшении погрешности для сглаженного ряда при больших п вызвано тем,

что при возрастании п интервал сглаживания Л—Я) и эффект сглаживания сказывается все меньше и меньше. В делом нужно отметить, что сглаживание приближающего ряда с помощью а-множителей не решает проблемы устойчивости процесса приближения при вариации последовательности узлов в ограниченных пределах.

При большом числе отсчетов, когда !г достаточно мало, интервал сглаживания можно взять большим, нежели /г. Пусть, например, интервал локального усреднения б = тк, где т — целое и 1г определяется согласно (2). Тогда преобразование (1) примет вид

и отношение

т. е. в т раз оказывается больше первоначального значения. Таким образом, увеличение интервала локального усреднения делает процесс приближения более устойчивым. Однако при этом необходимо, чтобы т оставалось значительно меньшим в противном случае ис-

кажение аппроксимирующего ряда, вызванное локальным усреднением, будет значительным. Оценку этого искажения можно найти в работе [2].

л

(12)

ЛИТЕРАТУРА

1. И. Э. Н а а ц. Приближение в среднем тригонометрическими полиномами по приближенным узлам (настоящий сборник).

2. К. Л а н ц о ш. Практические методы прикладного анализа. Физматгиз. М., 1961.