CC BY
29
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО
ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
1969
Том 168
ПРИМЕНЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ИНТЕРПОЛЯЦИИ В ЗАДАЧАХ ДИСКРЕТНОГО ИЗМЕРЕНИЯ. I
И. Э. НААЦ
ХПредставлена научным семинаром вычислительной лаборатории ТПИ)
Метод дискретного измерения непрерывных величин находит самое широкое распространение в измерительной технике, особенно при контроле распределенных технологических параметров. В этом методе непрерывная регистрация распределения параметра Р{1) по длине поля Ь заменяется дискретными измерениями в отдельных точках поля 1К. При необходимости представить непрерывное изменение параметра Р{1) на отрезке [О, Ц по дискретным отсчетам Р(1К) используют интерполяционные формулы.
В статье рассматриваются основные вопросы применения тригонометрической интерполяции для решения этой задачи.
Тригонометрические интерполяционные полиномы, благодаря своей связи с рядами Фурье и гармоническим анализом, весьма наглядны и удобны для приложений.
Каноническая форма тригонометрического полинома имеет вид
п
= Л + ^ | \-Ьтът-^т1у (1)
т- 1
При этом коэффициенты
2 п 2л
А - —--YP(Ik); ат =--—V Р(1к) cos ш1к\
2п+ \ Ь К h т 2п+\^ L
к= 0 к=М)
2/1
= p</«)SInTm/- (2)
2п 1 ¿J L
к О
называются коэффициентами Фурье-Лагранжа [1J. В этих выражениях N = 2п + 1 — число точек отсчета (узлов интерполирования), равномерно распределенных по длине поля L с шагом А = £/2й + 1. Интерполяционная формула (1) может быть записана также в виде
2л sin (2п + 1) — —- 2«
Тп (I) = %Р(1к) -tl-U " S Р{Ц ^ {1)■ (3)
к 0 (2я+ 1) sin -г
В целях упрощения записи в дальнейшем будем пользоваться нормированной переменной х — 2гЛ;Ь, (0 ^ х .. 2~) и функцией действительного переменного f{x).
1. Определение неустранимой погрешности интерполирования. Известно, что интерполирование по приближенным отсчетам, полученным в результате измерений, приводит ь: появлению так называемой неустранимой погрешности интерполирования \2\. В отличие от устранимой погрешности неустранимая погрешность не может быть уменьшена за счет увеличения числа узлов: она определяется погрешностью измерения отсчетов -0-
Под неустранимой погрешностью понимают среднеквадратичное уклонение интерполяционного полинома Тп(х), вычисленного по приближенным отсчетам от полинома, построенного по точным
значениям /(хк). Согласно сказанному имеем
' и к=п /=-1
где
с] —число измерений в точке хКу
р.— вероятность появления /-го результата измерения /(а*Л7-). Величина
я
/<**)- (I--5)
является среднеквадратичной погрешностью измерения параметра в точке хк. Поскольку измерения во всех точках поля производятся одним и тем же прибором с погрешностью з0, т. е.
— 3/1 = ... 3/2л = 30)
И
2п 1
О
то окончательно
о.. = V (1.3)
Таким образом, среднеквадратичная неустранимая погрешность тригонометрической интерполяционной формулы равна среднеквадратичной погрешности измерения отсчетов з0. Наличие неустранимой погрешности накладывает определенное ограничение на точность приближения и выбор числа узлов.
2. Оценка коэффициентов Фурье — Л а г ран ж а. Сред-
неквадратичная погрешность интерполирования определяется суммой отброшенных членов интерполяционного ряда (1), т. е. в общем случае
}
2 _
2
При этом величина (а~—на которую уменьшается общая погрешность при добавлении к ряду нового ч;:ена, равна
>п, п-\-1
Для определения указанных величин необходимо оценить величину коэффициентов ап и Ьп. Согласно (2) имеем
2 п
2
С1!П = —-- У/(хк) cos тхк. (2.3)
2п + 1 ¿J
к-' О
Применив к этому ряду преобразование Абеля, получим
2л-I
[ / ( ХК)-/(ХКЛ ,)] 5« + f(X2n)-s,n
2л-I
2
к -- О
(2.4)
2л + 1
где
К
SK = ^ cos тх~>. (2.5)
v - О
Так как
J _ gim/i (к I-1)
SK =
1 — е
/77 /г
(2.6)
где h — 2~2п -f 1 и 5:!/7 -- 0, то для оценки модуля коэффициента имеем неравенство
2л-1
' ' - 2 — max \SK\ • У \f(xK)-f(xK:{)\ (2.7)
I Я
2 п
К-Л)
Справедливо следующее неравенство
Тогда
где
Соответственно
max^,[< 2/Z +1- • (2.8)
4 т
(2.9)
2т
2л- 1
+ (2.10)
/с=- О
!--f £ г (2Л1>
к - п + 1
п, л +1
I/2 4л3
;2.i2)
В полученных формулах величина V определяется только свойствами интерполируемой функции /(х). Ограниченность этой величины при неограниченном возрастании п является необходимым и достаточным условием сходимости интерполяционного ряда (1).
Для проведения численных расчетов погрешности интерполирования необходимо оценить величину V. В следующей статье дается оценка этой величины для случайного параметрического поля.
Выводы
1. Определена неустранимая погрешность интерполирования тригонометрическими полиномами, построенными по приближенным отсчетам.
2. Дается выражение для расчета устранимой погрешности интерполирования, опредеяемой числом членов интерполяционного ряда.
ЛИТЕРАТУРА
1. А. Зигмунд. Тригонометрические ряды. Изд-во. «Мир», 1965.
2. И. С. Берез и и, И. П. Жидков. Методы вычислений, т. I, Изд-во Физмат-гпз, 1962.
