Интерполяционный процесс С. Н. Бернштейна по приближенным данным Текст научной статьи по специальности «Математика»

ИЗВЕСТИЯ

ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА

Том 203 1974

ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЙ ПРОЦЕСС С. Н. БЕРНШТЕИНА ПО ПРИБЛИЖЕННЫМ ДАННЫМ

И. Э. НААЦ

(Представлена научным семинаром УВЛ ТПИ)

В настоящей работе рассматривается интерполяционный процесс С. Н. Бернштейна для случая, когда исходные данные являются приближенными, т. е. отсчеты и узлы, в которых они производятся, известны с определенной погрешностью. Наличие указанных погрешностей существенно влияет на качество приближения, как это уже было показано в работе [1].

Интерполяционный процесс С. Н. Бернштейна строится на основе тригонометрических интерполяционных полиномов согласно выражению (имеется в виду первый процесс С. Н. Бернштейна [2]) .

и{<п)(х)

Т„,о(х)-рТ/гд(х)-К..ТЛ)<?(л') <7+1

(1)

где

и

00

Р

У

т=1

а0

У± соътх ыпгпх),

О 2л 1 ¿=0

Мт —

и(п)

и ГП

2/г+1 ¿Го

для системы равноотстоящих узлов

2п+

2 2п 2 2"

(2)

(3)

2 «к

2 /г+1

(4)

Интерполяционный тригонометрический полином (2) по системе (4) можно записывать также в виде

1 2 п О

Т 2/(**)-

2/1+1 &

. 2 р+1 , ч эт——С*—**)

х—х,

вт

Полиномы (1) с учетом (2) и (3) принимают следующее выражение:

иУ(х)

1

(2я+1)(?+!) ¿5

2 га

эш^г— (х-Хь)

. X-X и

БШ--

(6)

Рассмотрим неустранимые погрешности первого и второго рода для интерполяционного процесса (6).

Неустранимая погрешность первого рода обусловлена наличием неопределенности в последовательности отсчетов ук = 1, 2п). Рассматривая случайное множество последовательностей отсчетов (множество реализаций), можно записать его свойства

ЩУо/,УЛ..-У2п}=-ЩУо'}М{У11..М{уГ2п}=Уо,Уи...У2п ) (7)

£>{*/(/,!//... У2п}=О{у0'},О{у1'\... о {у2п}=а№... <&

В дальнейшем будем считать, что

а0 = а1 —

(8)

Для случайного множества последовательностей отсчетов можно построить случайное множество полиномов

для которого

{и[п\х)У,

м {и[п\х)у=и[п\х).

(9)

Неустранимую погрешность для этого случая будем определять выражением

Используя общую форму интерполяционных полиномов

г„\ 2п

и{Лх)= 2Кхк)-к„,я(х-хк),

(10)

(11)

при условии (7) и (8), можно показать, что

2л ¿=0

(12)

Аналогично можно сформулировать задачу и для неустранимой погрешности второго рода [1]. При этом уже случайное множество поли-

номов {11^ (х)}" строится на случайном множестве последовательностей узлов интерполирования, в среднем совпадающих с последовательностью равноотстоящих узлов (4). Тогда значение неустранимой погрешности второго рода определится выражением

/г=и

Считая последовательность отсчетов ограниченной в совокупности некоторой постоянной М, получим неравенство

(14)

/г— О

Для того, чтобы получить конкретные значения оценок согласно (12) и (14), необходимо вычислить значения соответствующих сумм для ядра кп.д(х—хк).

Опуская весьма трудоемкие и громоздкие вычисления, запишем окончательный результат

2 п | У &п.а{х— Хк) ---

(IV/ !)•(</

• / ч

81П 2 (Х~~Хк)

эт

х—х.

1 >

Я\Я

3 (2Л+1)(<7 + 1) (15)

и соответственно

2и - 2_</(<72-|-37+2)(29:,-2<7+3)

У^ьм-х*)}-

к-О

18(<7 + 1)(2л+1)

(16)

В результате для неустранимых погрешностей получим следующие выражения:

4 д\д

а/^-з,

2

3(2л+1)(<7+1)

(17)

, (РМ2 д(д-+3д+9.)(2д3~2д+3)

а.у .-----. (1б

18 (2// ! ){д 1)

Проведем обсуждение полученных результатов. При достаточно больших п и ц для неустранимой погрешности а можно дать более простое выражение, а именно:

Откуда видно, что при возрастании ц и п (д<п) значение 01 остается в определенных пределах, определяемых значением погрешности измерения а0-

Следовательно, первый процесс С. Н. Бернштейна для приближенных отсчетов остается устойчивым при возрастании порядка интерполяционного полинома. Аналогичные результаты справедливы и для тригонометрического интерполяционного полинома [3]. При этом необходимо заметить следующее. Поскольку общая структура погрешности приближения определяется выражением

+ (20)

где 0Л — среднеквадратичная погрешность приближения по точным данным, определяемая лишь сходимостью интерполяционного процесса, то открывается возможность оценки требуемого объема N исходных данных при заданных значениях а, а0 и й. При этом обычно полагают, что все \три составляющие <тл> в\ и 02 должны быть одного и того же порядка.

Для неустранимой погрешности второго рода 02 при больших п ид (<7<Сп) также можно дать более простое неравенство

(21)

" ^ 3у 2п+1

Откуда видно, что неустранимая погрешность второго рода в интерполяционном процессе С. И. Бернштейна весьма резко возрастает с увеличением числа ц. Это значит, что процесс С. Н. Бернштейна является неустойчивым относительно смещений узлов на отрезке интерполирования. Объясняется этот факт следующим образом. При возрастании ц в интерполяционном процессе С. Н. Бернштейна наблюдается усиление локализации ядра кп,ц (х—хк) в области центрального максимума, находящегося в точке хк. Хотя это благоприятно сказывается на сходимости полинома к приближаемой функции, влияние случайной вариации последовательности узлов относительно системы равноотстоящих узлов {хк} на значение полинома в любой точке отрезка приближения становится значительным. Аналитически это сказывается в увеличении значений производной от ядра в 6-окрестности точки хк при возрастании ц.

Таким образом, интерполяционный процесс, построенный методом суммирования по.системе тригонометрических интерполяционных полиномов, становится более чувствительным к неопределенности в фиксации узлов интерполирования. Поэтому применение таких сложных аппаратов приближения, каким является интерполяционный процесс С. Н. Бернштейна, оправдано только в случае весьма точных измерений исходных данных.

ЛИТЕРАТУРА

1. И. Э. Н а а д. Приближение в среднем тригонометрическими полиномами по приближенным узлам. (Настоящий сборник).

2. И. П.Натонсон. Конструктивная теория функций. М., 1949.

3. И. Э. Н а а ц. Применение тригонометрической интерполяции в задачах дискретного измерения. Изв. ТПИ, т. 168., изд. ТГУ, Томск. 1968.