CC BY
14
ИЗВЕСТИЯ
ТОМСКОГО ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПОЛИТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА имени С. М. КИРОВА
Том 187
1974
НЕУСТРАНИМАЯ ПОГРЕШНОСТЬ ИНТЕРПОЛИРОВАНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИМИ ПОЛИНОМАМИ
И. Э. НААЦ
(Представлена научным семинаром вычислительной лаборатории)
Известно, что наличие неопределенности в исходной совокупности данных приводит в задачах приближения функций к возникновению дополнительных погрешностей, которые получили название неустранимых [1]. При этом различают неустранимую погрешность первого рода, обусловленную неопределенностью в отсчетах функции f(*£), и второго рода, обусловленную неточностью фиксации узлов, т. е. абсцисс отсчетов xi (i = О, 1 ...). Определить среднеквадратичную неустранимую погрешность первого рода тригонометрической интерполяции не составляет особого труда в предположении аддитивности погрешностей измерения и значений функции f(x), В частности, для тригонометрических полиномов на дискретном множестве точек {х) (¿—0, 1 ... 2п) неустранимая погрешность первого рода в\ равна среднеквадратичной погрешности измерения G0 значений функции [2].
Целью настоящей работы является построение оценки для неустранимой погрешности второго в задачах приближения тригонометрическими полиномами.
Пусть дана последовательность значений некоторой функции f(x){yi}(i=0,l....2n) в системе точек , положение которых на интервале [0,2я] известно с квадратичной погрешностью d. При этом будем считать, что на множестве р реализаций (р измерений по определению положения узлов интерполирования) точки {х(\ в среднем образуют систему равноотстоящих узлов. Тогда систему [х{\ на множестве реализаций можно представить как систему случайных величин вида
Х'щ — значение абсциссы х£ в ^-ом измерении {ц = 1,2....р), х(0 — равностоящие точки на отрезке (0,2л;), в1д — случайное смещение х{ц от х10в ц-ош измерении. Поскольку в рассматриваемом случае неопределенность в положении абсцисс х( связана с погрешностью измерения, то естественно предположить, что система = 2п-\-1) случайных величин е1 на множестве р измерений (выборки объема р) обладает следующими свойствами:
(1)
где
М[е(] = О,
= № ПРИ (2)
(О при ¿т^у •.
для всех I и ] (X/ = 0,1...2п).
В дальнейшем будем считать, что измерение значений всех абсцисс осуществляется одними и теми же средствами и поэтому ¿1... = ^2л==
=<*. (3)
Величина характеризует среднеквадратичное отклонение абсцисс 0,1...2/г) от равноотстоящей (фундаментальной) системы узловд:/0. Рассмотрим следующую задачу: оценить среднеквадратичное отклонение тригонометрических интерполяционных полиномов, построенных по отсчетам ¿/¿(¿=0, 1...2 п) и системе узлов (1),от полинома, построенного по тем же отсчетам и системе равноотстоящих узлов {х£0}.
Величина отклонения полинома Тпд(х)9 построенного по узлам хя\ от полинома Тп(х) по узлам х[0 определится как разность
Кя(х) = ТП9(х)-Тя(х). (4)
Отклонение &пд(х) на выборке случайных величин х{ (I = ОД...2/г) является случайной функцией по л; на отрезке приближения. Полагая число узлов нечетным, т. е. N = 2п + 1, выражение (4) приведем к виду
2 2п
2 (cos k(x—xi0—Biq)—cos k(x—xi0)) k=l
(5)
Далее будем считать, что значения отклонений е£ достаточно малы по сравнению с шагом интерполирования
k~xio — x{^i)0~ —-—
2п+1
для всех q и i. Тогда можно принять приближенное равенство
cos k{x—хш—eiq) —cos k(x— xi0) =—zlq -k-sin k(x—xi0). (6)
С учетом (6) (5) перепишется в виде
О 2л { п \
= О , 1 ' 23 »i'Ь{х-х£0) . (7)
2П~f-i г=о \ k=\ J
Из выражений (2) и (7) следует, что
М[ Дл(*)] = 0. (8)
Таким образом, полином Тп(х) является математическим ожиданием для полиномов Тпд(х) в первом приближении.
Определим величину дисперсии для отклонения Дп(дг) , т.е.
D[K(x)}^M(^{x)l (9)
Используя (2) и выполнив соответствующие вычисления, получим
В дальнейшем будем считать, что последовательность отсчетов {у,} ограничена ¡в своей совокупности, т.е. имеется такое число М, что для всех I справедливо неравенство
Ы<М. (И)
Тогда для £>[Дл(л;)] можно записать
4й2М2 2п I п \2
Поскольку узлы хш образуют систему равноотстоящих точек, то
2 п 2 п
^соъкх^ — 0.
1=0 1=0
Используя эти равенства, можно показать, что
„3,
и для дисперсии величины Дя(*) получим оценку
В[Ья(х)]^П+1) <РМ\ (14)
3
Интересно отметить, что £[ДЛ(*)] не зависит от х, т.е. неустранимая погрешность второго рода а2 равномерно распределена по отрезку интерполирования. Это свойство являете^ следствием равномерного распределения узлов х{0 .
Принимая в качестве неустранимой погрешности (второго рода верхнюю грань значений величины 0[Дя(х)], получим
о2=с1М^ЩгЪ. (15)
При п > 1
я С1МП /1Й\
ап7Т- (16>
Из (16) можно получить значение относительной погрешности
? — °2 ^п
(17)
Полученные результаты приводят к следующему выводу: неустранимая погрешность второго рода, обусловленная неточностью фиксации узлов, в тригонометрической интерполяции возрастает с увеличением числа отсчетов (соответственно порядку полинома). Иными словами, в то время как погрешность интерполирования (метода приближения) уменьшается с увеличением числа М(тоже п), общая погрешность приближения с учетом неустранимых погрешностей не может быть сделана
сколь угодно малой, если при этом существенно не уменьшать неопределенности, связанной с заданием исходных данных. Поэтому при интерполировании по совокупности приближенных данных необходимо весьма осторожно подходить к оценке требуемого числа отсчетов. Объем данных определяется не только требуемым значением погрешности приближения, но и погрешностью, с которой известны эти данные. Это особенно относится к абсциссам интерполирования, поскольку при увеличении N процесс интерполирования становится неустойчивым, если при этом ё не стремится к нулю.
По всей видимости, аналогичные выводы будут справедливы и для произвольного расположения узлов интерполирования на отрезке приближения, однако в настоящее время этот вопрос мало исследован [3].
ЛИТЕРАТУРА
1. И. С. Б е р е з и н, Н. П. Жидков. Методы вычислений, т. 1. Физмат-гиз. М., 1962.
2. И. Э. Н а а ц. Применение тригонометрической интерполяции в задачах дискретного измерения 1. Изв. ТПИ, том 168, 1967.
3. А. Зигмунд. Тригонометрические ряды, т. 2. «Мир». М., 1965.
