Неустойчивость поверхности раздела при наличии термодиффузии в условиях невесомости Текст научной статьи по специальности «Физика»

Вычислительные технологии

Том 11, № 1, 2006

НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПОВЕРХНОСТИ РАЗДЕЛА ПРИ НАЛИЧИИ ТЕРМОДИФФУЗИИ В УСЛОВИЯХ НЕВЕСОМОСТИ*

М. В. ЕФИМОВА Институт вычислительного моделирования СО РАН

Красноярск, Россия e-mail: andr@icm.krasn.ru

Stability of the interface between two immiscible newtonian fluids to monotonous perturbations is studied. A linear profile of concentration is assumed for both fluids. Explicit dependencies of Marangoni number versus wave number and other physical parameters were found. Neutral stability curves were numerically obtained in the case of the glycerin — water system.

1. Основные уравнения и равновесное состояние

Рассмотрим движение двух несмешивающихся несжимаемых теплопроводных вязких жидкостей с общей границей раздела. Обозначим через Qj (] = 1, 2) области, занятые жидкостями, через рj, Vj, Xj, ср, — соответственно плотности, кинематические вязкости, коэффициенты температуропроводности, удельной теплоемкости жидкостей. Далее предполагается, что эти параметры — положительные постоянные. Тогда движение жидкостей описывается системой уравнений при к £ Qj:

1

Ujt + Uj у Uj +--▽ Pj

pj

Uj Auj ;

div u Ojt + uj

j

▽Oj

0;

Xj AOj ;

Cjt + uj ■ ycj

dj △

kj kg

Oc

Cj +'ir Oj

(1.1)

(1.2)

(1.3)

(1.4)

где и (х, Ь) — вектор скорости; pj — отклонение давления от гидростатического; вj — температура; Cj — концентрация; вс — средняя температура слоев, внешние силы отсутствуют.

Обозначим через Г поверхность раздела жидкостей. Предположим, что коэффициент поверхностного натяжения а на границе раздела зависит от температуры и концентрации: а = а(в, с). Сформулируем, следуя [1, 2] (в [1] рассмотрен лишь случай стационарного

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 05-01-00836-а) и Программы Президента Российской Федерации для поддержки ведущих научных школ Российской Федерации (грант № НШ-902.2003.1).

© Институт вычислительных технологий Сибирского отделения Российской академии наук, 2006.

течения и c = 0), условия на поверхности Г:

ui = U2; (1.5)

u ■ n = Vn; (1.6)

0i = O2, ci = ac2; (1.7)

(P2 - Pi)n = 2aHn + Viia; (1.8)

A2f2 - Ai fi = 0; (1.9) an an

, 1'dc2 k2 5в2\ , /5ci kl двЛ

+ = Pidi Ьт1 + • (1.10)

5n в2 dn J \ 5n ei 5n

Здесь n — единичный вектор нормали к Г, направленный из Qi в Q2; Vn — скорость перемещения поверхности раздела Г в направлении n; Pj = (-Pj - Pjg ■ x)E + 2pjVjDj — тензоры напряжений; E — единичный тензор; H — средняя кривизна поверхности Г (H > 0, если Г выпукла наружу области Qi); Vii = V — (n ■ v)n — поверхностный градиент; Aj = XjPjcpj — коэффициенты теплопроводности; u и в — значения вектора скорости и температур обеих жидкостей на Г, попарно совпадающие в силу (1.5), (1.7), так что Vii ■ u есть поверхностная дивергенция вектора u, во втором равенстве (1.7) а есть постоянная равновесия Генри.

Обычно используется линейная зависимость поверхностного натяжения от температуры и концентрации

а(в, c) = a0 - y(c - c0) - ат(в - в0), ат = const > 0, 7 = const > 0. (1.11)

Области Qi и Q2 могут контактировать не только друг с другом, но и с твердыми телами. Поверхности твердых тел, контактирующих с жидкостями, обозначим через i. На них ставятся условия прилипания

ui = ai(x, t), x e Qi П E:, (1.12)

где ai(x, t) — скорость движения стенки E:. Кроме того, будем считать, что температура в точках Ei удовлетворяет одному из условий

дв-

-- = hi(x,t), вi = bi(x,t), x e Qi П Ei, (1.13)

dn

с заданными функциями hi(x,t),bi(x,t).

Если через твердые поверхности Ei нет потока вещества, то

да ki дв,: ^ . Л

si. + Ж ai = 0 x e (1Л4)

Соотношения (1.1)—(1.10) следует дополнить начальными условиями

Qi = Q0; (1.15)

ui(x, 0) = u0(x), x e Q0; (1.16)

вi(x, 0) = в?^), x e Q0; (1.17)

ci(x, 0) = c0(x), x e Q0. (1.18)

Если поверхности Ei не имеют общих точек с Г, то постановка нестационарной задачи о термокапиллярном движении закончена. Сформулируем эту задачу. Требуется найти области Qi (i = 1, 2) и функции Hi, pi, $i, Cj, определенные в областях Qi так, чтобы выполнялись уравнения (1.1)—(1.3), граничные условия (1.4)—(1.10), (1.12), (1.13), (1.14) и начальные условия (1.15)—(1.18).

Заметим, что в [3] доказана разрешимость плоской стационарной задачи о чисто термокапиллярном течении одной жидкости. В работе [4] доказана глобальная разрешимость одномерной нестационарной задачи с двумя коэффициентами вязкости, правда, без термокапиллярного эффекта. В [5] изучена линейная устойчивость поверхности при наличии диффузионного переноса между двумя несмешивающимися вязкими жидкостями.

В данной работе рассматриваются два несмешивающихся несжимаемых плоских слоя смесей с общей поверхностью раздела y = 0. Плоскости y = ±/ суть непроницаемые твердые стенки. Считается, что данная конфигурация находится в покое: Uj = 0, j = 1, 2. При указанных выше условиях задача о термодиффузионном равновесии с поверхностью раздела [6], как можно видеть, имеет решение

п , л $10 — $20 . $20 + Л$10

uj = °, р3 = const, $1 = + ^ГТ",

Л($10 — $20) . $20 + Л$10 , ,

$2 = (Л + 1)1 y + ^ГТ", (1.19)

k1 ($10 - $20) , к2Л($10 - $20) , C1 = - (Л + 1)1 y +C0, C2 =--(Л + 1)1 y +C0-

В (1.19) $10, $20 — температуры твердых стенок при y = ±/ соответственно; Л = Л1/Л2 — отношение коэффициентов теплопроводностей; kj = kg/$c, kg — коэффициенты термодиффузии; C0 — концентрация на границе раздела (все эти величины предполагаются постоянными).

Замечание 1. Поверхностно-активные вещества на поверхности y = 0 отсутствуют, а в законе Генри C2 = ас1 постоянная а полагается без ограничения общности равной единице.

2. Задача о малых возмущениях

Для изучения устойчивости равновесного состояния двух слоев жидкостей (1.19) воспользуемся уравнениями малых возмущений, полученных в общем виде в [6]. Будем рассматривать только стационарные возмущения, тогда в линеаризованной задаче исчезают все производные по времени.

Выберем в качестве масштаба длины, скорости, давления, температуры и концентрации соответственно величины

, ($Ю - $20) У] Н ($ю - $20) . =

Г I2 ' х ' $с ' 3 -1'2

Уравнения малых возмущений в слоях = (1 > п > 0 , —то < £ < то}, П2 = {—1 < п < 0, —то < £ < то} (£ = х/1, п = у/1) будут иметь вид

дс ■

VPj = AUj, div Uj =0, ATj = £j Vj, A(Cj + Prj Tj ) = Sj Vj , (2.1)

где

1

Л

£i

Л +1'

£2

Л + 1:

Sj = di' =

(2.2)

*3

Граничные условия на поверхности раздела п = 0 сводятся в этом случае к следующим (влиянием поверхностной вязкости пренебрегаем, так как она обычно очень мала):

дС2

U2 = vUi, V2 = Vi = 0, C2 + R = kA Ci + R ;

дп

дс1

Т + R = X (ji + fi R

дп X V дп

дп

дТ2 = Ли дТг

д'П X дп

pv2Pi - P2 + 2V2n - 2Р^2Vin = WeR?í; U2n + V2? - pv2(Uin + Vi?) = -M (V2 + ^ R) - Sr (C2 + 9C- Rj

дС2 + R + Pr2 дТ2 =

дп дп2 дп

где введены обозначения: v = v1/v2, ke Прандтля;

pdke[ + ^дт"^1 R + Pri "д"1

дп дп2 el ke,

ki/ke, X = Xi/X2, p = Pi/P2; Pr

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7) число

We

M

Sr

(Jpl

2

P2V| ОТ($10 - ^2ü)l

P2V2X2 7ke2l(^io - Ы p2V%9c

Граничные условия на твердых стенках: U1 = 0, Т1 = 0, V1 = 0,

число Вебера; число Марангони; число Соре.

дС1 + P дТ1 0 1

+ Pr^^— = 0, п = 1;

(2.8)

дп

дп

дС дТ

U2 = 0, Т2 = 0, V2 = 0, дс2 + Pr2 -Т = 0, п = -1.

(2.9)

(2.10)

дп дп

Уравнения (2.1)—(2.10) являются спектральной задачей относительно числа Марангони. Ищем ее решение, пропорциональное exp(ia£), a — безразмерное волновое число. В слоях 0 < п < 1 (j = 1) и -1 < п < 0 (j = 2) решение имеет вид

Pj (п) = Aj вЬап + Bj еЬап, Uj (п) = yHj + 2 Bj п) ^ап + iVF + 2 Aj п) cChaп,

1

1

Vj(п) = [Dj + 2 Ajп) ^ап + 2 Bjchап, Т (п) = [Qj- £jAjп + 8a£jBjп2) йЬап +

+

N2 + I — £2 В — 1 2 1 2а 22

сЬап,

С (п)

ф . — £ (^ — РГ] ) А2 п + 2В2 (^ — Рг2 ) п2

8а2

8а

п

вЬап+

+

м + £2 (А2 — В2— Рг2) + £2 — Рг2) / в — ±2. 1 п + °2 2 + 16а3 + о.. I 2 х- I I +

2а

В

4а

8а

сЬап,

где А2-, В2, , Р, , , N2, Ф2- , М2- —постоянные, которые зависят от волнового числа а; величина V =1 при 3 = 1 и V = V при 3 = 2.

Для начала предположим, что Ше ^ 1, это часто выполнено для экспериментов в условиях орбитального полета. В этом случае поверхность раздела можно считать недефор-мируемой, т. е. Я = 0, и граничные условия (2.5) не учитываются в дальнейшем анализе.

Число Марангони находим из граничного условия (2.6) при п = 0 (после "отделения" переменной £; учтены также равенства V = V2 = 0 при п = 0):

М

¿(^2^ — рр ) — аБгС^

аТ2

Подставив в формулу постоянные Н1, А1, Н2, А2, N2, М2, найденные из граничных условий (2.3)—(2.10), получим после длинных преобразований выражение для числа Ма-рангони:

Р (а)а£1£2(1 — х)

Srх(pdk0 £1в1 — £282Р)

1 + р^

Р (а)а£1£2(1 — х)Р (1 + р^)

. . 1 сШа ста —--

а

а

а2 д(а)

+ й(аП ,

(2.11)

где

сШа(а + 1) — вЬа(сЬа + авЬа) 2а + сШа(а + 1) — сЬавЬа

р(а) =--Й—ТУ-; Ь(а) = ~ '

а2 (а — сЬавЬа)

а(а) = 1 +

сЬавЬа а — сЬавЬа'

#(а)

а2 (а — сЬавЬа) сШа

вЬ а

а

При этом в (2.11) х = х1/х2 = 1. В случае х =1 N1 = N = 0 и возмущение температуры на поверхности раздела равно нулю. Значит, термокапиллярный эффект на ней отсутствует. Однако можно найти критическое число Соре:

Sr

8р (1 + рр )(1 + р^) (р^ £1^1 — £2«2Р )Р (а)

(2.12)

где

1 сШа

Р(а) = — —

2

а

а

а2д(а)

+ а(а).

Как видно из рис. 1, в системе глицерин — вода усиление термодиффузионного эффекта наблюдается в области коротких волн, а в системе вода — глицерин — в области длинных волн.

По формуле (2.11) построены кривые для систем вода — глицерин и глицерин — вода, которые согласуются с найденной асимптотикой:

1

1

1

/ м ЗОА1 - 5А2 1

в случае длинных волн (а ^ 0) М ~ -

3 а2'

в случае коротких волн (а ^ то) М ~ А1а2, где

А = 8х(ру + 1); А = $>гх(рдкв£181 - £282^)

1 £1£2(1 - хУ 2 £1£2(1 - X)"(1 + ра) '

В случае деформируемой поверхности критическое число Марангони имеет вид

1+ ру Бг(ракв£1й1 - £2й2^) / 1 еШа 1 Л

М(Ше) =-^---' п , ,,-- -2----+ а(а) +

а£1д1 8а(1 + ра)£1уд1 \а2 а а2д(а) )

8гРг1£2(1 - х)(1 + Р^в) ^ ч . Бг(1 + рак9)

+--;-^-Г (а)ш(аН--г——;-гга(а)(1 - ри), (2.13)

8(1 + рд)уд1 ' д1 аШе(1 + ра) 1 л ' у '

£2(1 - Х) у, ш ч , а(а)(1 - ру)

д1 =-Г (а)ш(а) +--—-—-.

У1 8х Рг2аШе

Можно показать, что М(Ше) ^ М из (2.13) при Ше ^ то.

На рис. 2, а приведена зависимость числа Марангони в системе глицерин — вода для случая недеформируемой поверхности раздела. Минимум кривой М = 6.25^ 105 достигается в точке а = 6.71 при Бг = -10. Замечено, что при уменьшении числа Соре происходит смещение области устойчивости в область коротких волн, а при увеличении — в область длинных волн. Если поверхность деформируема, то при фиксированном Бг при увеличении Ше в области длинных волн порог устойчивости понижается (рис. 2, б).

где

Рис. 1. Зависимость числа Соре от волнового числа а в системе глицерин — вода (а) и в системе вода — глицерин (б).

1 5 10 15 20 а 0.31 0.71 1.11 а

Рис. 2. Зависимость числа Марангони от волнового числа а в системе глицерин — вода при Яг = -10: а — недеформируемая поверхность раздела; б — поверхность деформируемая; кривая 1 — We = 100, 2 — We = 10, 3 — We = 1.

м, ю"3

-5 -10 -15

15 10 5

Рис. 3. Зависимость числа Марангони от волнового числа а: кривая 1 при Яг = -10, кривая 2 — при Яг = -100.

Рис. 4. Зависимость числа Марангони от волнового числа а при Sr = -10: кривая 1 — We = 100, кривая 2 — We = 10, кривая 3 — We = 1.

В системе вода — глицерин устойчивость наблюдается в области длинных волн при Sr = — 1, -10 и в области средних волн при Sr = -100 для недеформируемой поверхности (рис. 3). В случае деформируемой поверхности раздела устойчивость наблюдается в диапазоне а = 0.51,..., 2.51 (рис. 4). Влияние деформируемости границы раздела на устойчивость проявляется в том, что при уменьшении числа Вебера понижается порог устойчивости.

Автор благодарит В.К. Андреева за постановку задачи.

Список литературы

[1] Napolitano L.G. Plane Marangoni — Poiseulle flow two immiscible fluids // Acta Astronáutica. 1980. Vol. 7, N 4, 5. P. 461-478.

[2] Пухначев В.В. Движение вязкой жидкости со свободными границами: Учеб. пособие. Новосибирск: НГУ, 1989.

[3] Лагунова М.В. О разрешимости плоской задачи термокапиллярной конвекции // Пробл. мат. анализа. Вып. 10: "Линейные и нелинейные краевые задачи. Спектральная теория". Л.: Изд-во ЛГУ, 1986. С. 33-47.

м

100

50

75

[4] Shelukhin V. Joint Motion of Viscous and Semi-Viscous Flows // Intern. Workshop "Free Boundaries in Viscous Flows". St. Peterburg, 1996. Abstracts. P. 17.

[5] ХЕННЕНВЕРГ М., Биш П.М., Винь-АдлЕР М., ЗАНФЕЛЬД А. Неустойчивость поверхности раздела и продольные волны в системе жидкость — жидкость // Гидродинамика межфазных поверхностей: Сб. статей. 1984. № 34 С. 19-44.

[6] Андреев В.К. Линеаризованная задача о малых возмущениях движения жидкости с поверхностью раздела при наличии эффектов Соре // Математическое моделирование в механике: Мат. сем. Деп. ВИНИТИ № 1999-B99. C. 12-33.

Поступила в редакцию 15 июня 2005 г.