CC BY
38НЕУСТОЙЧИВОСТЬ РАВНОВЕСИЯ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ БИНАРНОЙ СМЕСИ В ДВУХСЛОЙНОЙ СИСТЕМЕ С ДЕФОРМИРУЕМОЙ ГРАНИЦЕЙ ПРИ НАЛИЧИИ ПОПЕРЕЧНЫХ ВИБРАЦИЙ
Р.В. Бирих 1, Р.Н. Рудаков 2
1 Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24 2 Пермский государственный технический университет, 614990, Пермь, Комсомольский пр., 29а
Рассматривается устойчивость равновесия неизотермической системы, состоящей из двух плоских слоев несмеши-вающихся жидкостей с близкими свойствами в условиях невесомости. Исследуемая неустойчивость связана с возникновением неоднородности поверхностного натяжения границы раздела жидкостей из-за неоднородности температуры или концентрации растворимой в обеих жидкостях поверхностно активной компоненты или высокочастотным вибрационным воздействием. Показано влияние интенсивных высокочастотных вибраций на термокапиллярную неустойчивость и неустойчивость системы с двойной диффузией. На фоне общей стабилизации равновесия относительно возмущений, которые нарушали устойчивость, наблюдалось появление новых областей монотонной и колебательной неустойчивости в области средних и коротких волн. В случае чисто термокапиллярной неустойчивости, нейтральные возмущения "вибрационной" моды появляются при меньших по абсолютной величине числах Марангони.
ВВЕДЕНИЕ
Нарушение механического равновесия жидкостной системы, состоящей из нескольких слоев, может быть связано со случайным изменением поверхностного натяжения границы раздела слоев. За© Бирих Р.В., Рудаков Р.Н., 2003
висимость поверхностного натяжения от температуры или от концентрации поверхностно активного вещества (эффект Марангони) служит причиной этих отклонений.
1. УРАВНЕНИЯ ВИБРАЦИОННОЙ КОНВЕКЦИИ
В условиях невесомости рассмотрим два слоя несмешивающихся жидкостей, имеющих толщины Н1 и И2, ограниченные снаружи твердыми плоскостями с температурами 01 и -0 2. Температура плоской границы раздела при механическом равновесии принята за начало отсчета. В обеих жидкостях в растворенном виде присутствует третья компонента с концентрацией С. Коэффициент поверхностного натяжения границы раздела линейно зависит от температуры и концентрации а=О0 -ОтТ -ОС (С — Г0), где Г0- концентрация примеси на границе раздела в равновесии. Будем предполагать, что вся система как целое может подвергаться высокочастотным поперечным колебаниям (вибрациям) вдоль единичного вектора в с частотой О и амплитудой Ь. Геометрия слоев и система координат показана на рис. 1.
Рис. 1. Геометрия системы
В подвижной системе координат, связанной с осциллирующим сосудом, уравнения движения жидкости, учитывая линейную зависимость плотности от температуры и концентрации в силах инерции, можно записать в виде:
~\ /
Г1 -ЬтТ -утс')( д + (V V >'; =
= —— Ур + ут Av' - 8(1 - рлг - утС')№г тэ Ш ,
Рт (1.1)
д_ + VУГ = ХшАГ,
^ + VУС' = ВтАС', дд
divv/ = 0 .
Г) ^ ^ ГТ1/ /—*/ _
Здесь V , р , 1 и С - относительная скорость, полное давление, температура жидкости и концентрация примеси, Ут , %т, Бт , Рт, Ьт и Ут - кинематическая вязкость, температуропроводность, коэффициент диффузии, плотность, температурный и концентрационный коэффициенты плотности жидкости в слое т.
Граница раздела жидкостей под влиянием конвективного движения может отклоняться от плоской. Считая эти отклонения малыми, граничные условия на поверхности раздела жидкостей 2 = £'(х , У , /) запишем в виде:
(дv'x ^ ^ дv'x ^ да
7 [~эХ~+~дТ )2 -^1["дХ"+"дТ ) =~~дХ ’
ъ ^+^1 7 +^1 =-да
/2 [ ду д2 )2 ^ ду д2 ) ду
272("дГ]2 - 7("дГ1 -(р2 - р1 ^ = -аА{С', (1.2)
' ' т' т' к дт; к дТ'
^ = V 2, 11 = Т2, =К2-дГ,
с[ = с2, о,^ = о2дс2,
1 21 д/ 2 дГ
V 1'= ^, 1' = (-^-ЭТД)
д/ дх ду
где 1 - вектор нормали к границе раздела из первой жидкости во вторую, кт - теплопроводность жидкости. На твердых границах слоя поставим следующие условия:
2' = -И1: V' = 0, Т' =01, С' =5!,
(1.3)
= И2: у' = 0, Т2' = -02,.С'2 =Б2.
Если период колебаний слоя много меньше гидродинамического, теплового и диффузионного времени, но звуковой предел не достигается, тогда в движении жидкости можно выделить быструю компоненту, с нулевым значением средних характеристик, и медленную компоненту, описывающую осредненное по периоду колебаний движение. Следуя общей схеме получения осредненных уравнений вибрационной конвекции [1], введем наряду с медленным временем ґ быстрое время т = Ш и примем следующее представление для физических величин:
у' = у(ґ) + ~(ґ, т), р = р(ґ) + Ор(ґ, т),
Т = Т (ґ) + 0-1Г(ґ,т), С' = С(ґ) + 0-1<~(ґ,т), (1.4)
С' = С«) + ^-1Г(ґ,т).
Подставляя эти выражения в уравнения конвекции, в первом порядке из уравнения Навье-Стокса и граничного условия для давления и в нулевом порядке из остальных уравнений получим следующую задачу для быстрой компоненты движения:
Эр 1
(1 -РшТ -7шС)ЭЭТ =----------УР + (1 -РшТ -УтС)*ЬО.С^т,
Эт Рш
аіуу = о,
р р (1.5)
ЭТ~ + РУТ = о, — + РУС = о,
Эт Эт
2 = С(Х,у,Ґ): Д = р2 ,р! • 1 = р2 • 1 = Эт =
г = -\, Н2 : = 0.
Задача для быстрой компоненты движения содержит характеристики медленной составляющей движения Т, С и 1, которые при интегрировании по т должны рассматриваться как константы. От-
метим также, что в силу малости амплитуды пульсационнои компоненты движения, условие на границе между слоями жидкостей ставится на поверхности раздела, определяемой осредненным движением.
Решение системы (1.5) можно представить в виде:
v = w(x,y,z,t) ■ bW sint,
T = F(x,y,z,t) ■ pmbWcost, (1.6)
T = (wVT)■ bWcost, C = (wVC)bWcost,
Z =-(w ■ l)bWcost.
Медленные функции w (x,y,z,t) и F(x,y,z,t) в соответствии с (1.5) должны удовлетворять условиям:
(1 bmT -7mC)W = -VF - (1 bmT - gmC)S , dVW = 0 ;
(1 7)
z = Z: Рф1 =P2ф2, w1 ■1 = w2 ■1; z = -h ,h2: wz = 0 .
Чтобы получить уравнения для медленной компоненты движения, подставим (1.4) и (1.6) в исходную систему уравнений (1.1) -
(1.3), и усредним их по периоду колебаний системы. В результате вместе с (1.7) получим следующую замкнутую систему для характеристик медленной компоненты движения:
dv 1
(1 -PmT gmC )(^ + (VV) V) =-------Vp + Vm DV -
^ Pm
b2 W2 b2 W2
- (1 bm T gmC) - (wV)w + Pm (wVT)(w + S) +
b2W2
+ gm —-— (wVC)(w + s), div v = 0 ,
dT + vVT =%mDT , Щ + vVC = Dm DC;
z i n
z = Z: V1 = V2,(V ■ 1) = ^ >
h2 Г Svi + ЭО Г Svz + ЭО = J_c_, (1.8)
^ dx dz )2 ^ dx dz ) dx
Л
- + -Эу Эг
Л
- + -Эу Эг
Эа
ЭУ '
- (Р2 - Р1) +
Ь2 О2 ЭФ
+----------[Р2
ЭФ1
2
2 •1) -р1 •1)] = -оА1С:
Э2 Э2
Т1 = Т2, к ^ = к2 ^, С1 = С2, — Эс1 = -2 ЭС2; 1 21 Э/ 2 Э/ Э/ 2 Э/
2 = -й1,Н2 : у = 0, Т1 = 01, Т2 = -02, С1 = 51, С2 = 52.
2
2. ОСНОВНОЕ СОСТОЯНИЕ И УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ВОЗМУЩЕНИЙ
В рассматриваемой системе возможно механическое квазиравновесие с осредненной скоростью, равной нулю, и линейным распределением температуры и концентрации:
у о = ^ w о = ^
Т0,ш =-0ш2 / Нш =-AшZ, Со,ш =-Вш2 +Г0, Ф о,ш =- 2(1 -ГшГо) - 1 2 2(РшАш +УшВш Ь
со следующими константами
(0! +02)к2 . (01 +02)к1
А1 = ^--------------, А2 =
кхк2 + Н2кх кхк2 + Н2кх
в (5, -52)В2 в (51 -52)Б1
В1 = 1 тл ,7 т-ч , В2 =
Го =
51Р1Н2 + 52 -2 Н1 Н —2 + Н2
(2.1)
Рассмотрим устойчивость состояния (2.1) относительно малых возмущений. Уравнения для возмущений могут быть получены из уравнений (1.7) - (1.8) линеаризацией относительно состояния (2.1). Используя для описания возмущений те же символы, что и для пол-
8о
ных характеристик медленной компоненты движения, запишем уравнения малых возмущений в безразмерном виде:
Эу 1
(1 - ет АЛ.т - е ут С0 т) — =------ур + ут Ау +
' ' Э Рт
+ [Дл6т («У Т0,т ) + ГтСс ^УС0,т )]* ,
ЭЭТ + УУТо,т = Ст Рг-1 АТ ,
ЭС (2.2)
+ УУСо,т = Ът$С4АС ,
(1 -еТРтТ0,т -ес7тС0,т )« = -УФ + (РтТ + ^тС)* ,
div у = 0, w = 0 ;
р = щС , & = щв , Сг = <.иъ™к), 0с = <*ИЗД2,
Т 2п С 2п
ет = рЭ , еС = /6 , £=?£ / рЭ .
Здесь в качестве масштабов выбраны суммарные характеристики системы:
к = кх + к2, V = п + п2, г = Г + Г2, Р = г/п,
С = С + С2 , к=к1 + к2 , ^ = А + D2,
Р = Р + Р, /=/1 +/2, Э = Э1 + Э 2, 6 = 6 - 62,
а в качестве единицы времени, скорости, давления, температуры и концентрации выбраны к 2 / V, V/ к, гп / к2, Э и 6, соответственно. Для дополнительных функций w и Ф в качестве масштабов выбраны ЬЭ и рЭк , соответственно. Такой выбор масштабов делает описание физических свойств каждого слоя симметричным, и все вошедшие в уравнения относительные характеристики слоев изменяются от 0 до 1.
Граничные условия на деформируемой поверхности раздела жидкостей с учетом малости возмущений могут быть снесены на плоскость г = 0 :
У1 = У 2 , V г =■
К
Эл
г+ЭО +^| = м«.р,.-{ЭТ+$а С +
Эх Эг )2 ^ Эх Эг )1
Эх Эг Эх
+М$ • Бс 1
(ЭС1 +эс^ дС
Эх дг Эх )
Эvг Эv,
Эу дг
Г21 —- + —- I -Г —- + —- I = Ма • Рг I —1 +
Эу Эг )
/ ЭТ1 + Э70д дС
Эу Эг Эу
+Му • Бс 1
ЭСг +эс^ дС
ду дг ду
( Эv ^ (Эv ^ 1 ЭФ 02
2Г21 -^) - 2Г1 |-^т) - (р2 -Р1) + °те [Р2
-Р1м>гЛ=-СаА 1С,
дг
дТ0,
дТ
дТ!
дТ
Т1 + -01- С = Т2 + -02 С, = Г^^^
С+
Эг
дС0,1
дг
Эг
ЭС
дг
ЭС1
С = с2 +—^С, А—L = б,
дг
дг
дг
дС2
дг
(р1Ф1 р2Ф 2)еТ =С(р1(1 р2(1 еС/2Г0));
Л г ,1 = Л г 2 ;
(2.3)
* г ОтЭк л ^ 0С6к г* °0к
Ма = —-------, Му = —— , Са = —°—
ГС
ГС
Гп
На плоскостях, ограничивающих слои жидкостей, будем считать, что скорость жидкости, возмущение температуры, возмущение потока примеси и поперечная компонента амплитуды вибрационной скорости равны нулю:
= -к1,к2 : у = 0, Т = 0, дС/ дг = 0, = 0.
(2.4)
+
2
-
г,2
Кроме относительных характеристик слоев жидкости в задачу вошли безразмерные параметры: вибрационные аналоги чисел Грасгофа 0Т и Ос , числа Марангони Ма и Му (последние характеризуют величину термо- и концентрационно- капиллярных сил, их положительному значению соответствуют градиенты температуры и концентрации, направленные от 2-го слоя к 1-му), капиллярный параметр Са , числа Прандтля Рг и Шмидта Бс и, наконец, малые параметры еТ и ес. В уравнениях движения и граничных условиях везде, где параметры еТ и ес появляются рядом с единицей, их следует считать равными нулю.
Рассмотрим далее нормальные возмущения, периодические вдоль осей х и у , т.е. будем считать, что все неизвестные функции
пропорциональны ехр(-Ал + 1кхх + 1к у). Из системы (2.2) - (2.4)
удобно исключить давление, продольные компоненты скорости и вектора w и функцию Ф . Тогда для амплитуд возмущений поперечной скорости, температуры, концентрации, г -компоненты w и деформации границы раздела (v(г), в(г), с(г), л(г), X) получим следующую краевую задачу:
со следующими граничными условиями на твердых плоскостях:
- к V) = пт (Vж - 2к V + к V) + к2Отл , -Яв = Рг-Ст (в"- к2 в) + ат V,
- Ас = Бс~1Бт С - к2 с) + Ьт V,
- к 2Л + к 2(Ртв + ЯГтС) = ^
(2.5)
а1 = к2 /(к1к2 + к2к1), а2 = к1 /(к1к2 + к2к1),
Ь1 = Б2 /(к1Б2 + к2Б1), Ь2 = Б1 /(к1Б2 + к2Б1);
г = -к1 ,к2 : V = V7 = в = с = л = 0
(2.6)
и граничными условиями на поверхности раздела:
г = 0 : v1 = v2 = -АХ, V = v'г,
Г 1^1 + к \) Г 2 (V 2 + к2 V 2) =
= -к 2[ Рг АМа(в1 - а1Х) + Бс '^^у(с1 - Ь1Х)]
А(^1 -Р2У + ГС<-3к М)-ГС^-3к 2v,2) + (27)
+ к 1в^110Т (р1 -р2)м!1 = к4СаХ, в1 - а1Х = в2 - а2Х, к1в1/ = к2в2, с1 - Ь1Х = с2 - Ь2Х , Б1с1 = Б2с2 ,
Л = ^2, (рХ -Р2 л2)^Т = -к Х(Р1 -Р2).
Здесь и далее штрих означает дифференцирование по г . Краевая задача (2.5) - (2.7) определяет порог устойчивости квазиравновесия и форму критических движений.
3. МЕТОД РЕШЕНИЯ
Краевая задача (2.5) - (2.7) может быть сведена к задаче Коши методом дифференциальной прогонки [2]. Запишем дифференциальные уравнения (2.5) в обоих слоях жидкости в виде единой системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:
У + Ау = 0, (3.1)
в которой компоненты вектора-столбца у являются искомыми функциями поперечной координаты г :
у(г) = {V 1^1,V:,V' в,в;,С1,с1,^1,,
г " п п' / ГлТ
V2 , V 2 , V 2 , V 2 ,в2,в2, С2, С2, ^, ^2) ,
где нижний индекс означает номер слоя. Элементы матрицы А размерности 20x20 определяются дифференциальными связями между у1 (г) и уравнениями (2.5). Для примера приведем ненулевые элементы этой матрицы, относящиеся к первому слою, в случае монотонной неустойчивости ( А= 0 ):
А12 = -1, А2 3 = -1, А34 = -1, А4Д = к4, А43 = -2к2,
А4,9 = к ^ /п1 , А5 6 = -1 , А6,1 = а1 Рг/ С1 , А5,6 = -к , А7, 8 = -1 ,
В обсуждаемой краевой задаче граничные условия поставлены в трех точках: в точке г1 = -к1 задано п1 = 5 условий, в точке г 2 = 0
- п2 = 10 и в точке г3 = к2 - п3 = 5 . Граничные условия при г = г[ отрезка [-кь к2] запишем в виде:
где Ь - матрица размерности пх х 20 .
Распространим связь (3.2) на всю область интегрирования, введя функциональное соотношение:
Для того чтобы (3.4) выполнялось при любых г необходимо положить:
Таким образом, вместо исходной системы (3.1) интегрируются уравнения (3.5) до любой точки отрезка [-к1, к2 ], в которой удается получить все начальные условия для задачи Коши. Обратной прогонкой можно найти неизвестный вектор у (7).
В рассматриваемой задаче интегрирование удобно вести от точек г = -к1 и г = к2 до г = 0. Граничные условия (2.6) определяют начальные условия для матриц Ь1 и Ь3. Приведем ненулевые значения элементов матрицы Ь1:
Ь,(г.) • У(г.) = ^
(3.2)
Ь/г) • у (г) = 0 .
(3.3)
(3.4)
Ь [(г) - Ь ,(г) • А(г; = 0.
(3.5)
Ь1,1 1, Ь2,2 1, Ь3,5 1, Ь4,8 1, Ь5,9 1
и матрицы Ь3:
После интегрирования получаем значения этих матриц в точке г = 0 . Теперь в этой точке имеем систему 20 уравнений для 20 компонент вектора у(0):
Ь1(0) • у(0) = 0,
Ь 2(0) • у(0) = 0, (36)
Ьэ(0) • у(0) = 0 ,
где матрица Ь 2(0) определяется граничными условиями (2.7).
Однородная система уравнений (3.6) имеет нетривиальное решение при равенстве нулю ее определителя. Из этого условия находятся критические значения параметров краевой задачи (2.5) - (2.7).
Для определения функций у(г) во всей области необходимо решить задачу Коши - проинтегрировать систему уравнений (3.1) с начальными условиями при г = 0 до внешних границ слоев ( г = -к1 , г = -к2 ).
4. РЕЗУЛЬТАТЫ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА УСТОЙЧИВОСТИ МОДЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ
Рассмотрим систему, состоящую из двух плоских слоев несме-шивающихся жидкостей с близкими свойствами. Как известно, в условиях невесомости неустойчивость обусловлена поверхностными эффектами на границе раздела слоев и связана с несимметричным движением жидкости в слоях. В численном эксперименте характеристики жидкостей в разных слоях будем считать одинаковыми. В этом случае асимметрия движения в слоях создается только различием в толщине слоев. Исследуем влияние на термокапиллярную неустойчивость диффузии третьей растворимой поверхностно активной компоненты и влияние высокочастотных поперечных вибраций на устойчивость бинарной смеси.
Вначале рассмотрим устойчивость двухслойной системы в отсутствие вибраций. В однокомпонентных жидкостях порог устойчивости существенно зависит от различия в толщине слоев и для колебательных возмущений от числа Прандтля. Эта проблема исследована в работах [3-5]. Однако структура нейтральных кривых от названных параметров зависит слабо. В данной работе, для примера, рассмотрена система с к1 = 0.7 и Рг = 1. На рис. 2 приведены нейтральные кривые и кривые дисперсионных отношений при
Мз = 0, 0Т = 0, ОС = 0 и Са = 105. Сплошные линии выделяют области монотонной неустойчивости, штриховые линии - колебательной неустойчивости. Область, лежащая выше кривой 1, соответствует пирсоновскому механизму неустойчивости. Под кривой 2 расположена область неустойчивости, обусловленная деформацией границы раздела.
Рис. 2. Нейтральные и дисперсионные кривые при асимметрии по толщине слоев для к1 = 0.7, Са = 105, Мз = 0, в = 0.
Рис. 3. Нейтральные и дисперсионные кривые при асимметрии по толщине слоев для к1 = 0.7, Са = 105, Мз = -2000, в = 0.
В условиях невесомости, как видно из рис. 2, наблюдается абсолютная длинноволновая неустойчивость. Ниже кривой 3 лежит область термокапиллярных колебаний, не связанная с деформацией границы раздела [6], а выше кривой 4 расположена деформационная колебательная мода. При к < 0.25 имеют место термокапиллярные волны, а при больших волновых числах дисперсионная кривая показывает, что термокапиллярный эффект поддерживает капиллярные волны. Штрихпунктирная кривая на рис. 2 б описывает дисперсионный закон для капиллярных волн на границе раздела идеальных жидкостей:
о2 =-
Са • к3
рх еі^к/^) + г2 е1й(к/2)
(4.1)
Влияние второго процесса переноса, описывающего изменение концентрации растворимого поверхностно активного вещества, на вид нейтральных кривых иллюстрирует рис. 3. На нем представлен случай достаточно большого градиента концентрации активной компоненты, направленного из толстого слоя в тонкий: Мз = -2000. Градиент концентрации стабилизирует монотонную пирсоновскую неустойчивость (кривая 1) и дестабилизирует монотонную деформационную моду в области к < 0.06 (кривая 2). Порог абсолютной неустойчивости сдвигается в область положительных чисел Маран-гони (область неустойчивости лежит ниже кривой 2).
Рис. 4. Нейтральные и дисперсион- Рис. 5. Нейтральные и дисперсионные кривые при асимметрии по ные кривые при асимметрии по
толщине слоев для к1 = 0.7, толщине слоев для к1 = 0.7,
Са = 105. Из = 0, в = 106
Са = 105. Из = -2000, в = 106
Главным эффектом является возникновение новой области колебательной неустойчивости выше кривой 5, соответствующей встречным градиентам концентрации и температуры. Нейтральная
кривая этой моды примыкает к кривой монотонной неустойчивости и существует в сравнительно узком диапазоне волновых чисел. В приведенном примере критическое число Марангони колебательного возмущения лежит ниже критического числа для монотонных возмущений. Связь критического числа Марангони с М,з для этих возмущений в системе с плоской границей раздела приведена в [7].
Влияние высокочастотных поперечных вибраций на Марангони неустойчивость иллюстрируют рис. 4 и рис. 5. На первом из них приведены нейтральные и дисперсионные кривые для термокапиллярной неустойчивости при достаточно большом вибрационном числе Грасгофа: в = 106 . Видна заметная стабилизация монотонной пирсоновской неустойчивости. В области волновых чисел с наибольшей стабилизацией появляется новая мода колебательной неустойчивости и монотонная мода неустойчивости при нагреве системы с другой стороны. Механизм этого изменения устойчивости для случая недеформируемой границы обсуждался в [6].
При наличии поверхностно активной компоненты (рис. 5) стабилизация термокапиллярной неустойчивости проявляется не столь ярко и сдвигается в область более коротких волн. Практически полностью подавляется колебательная мода, связанная с встречными градиентами температуры и концентрации (кривая 5). Следует обратить внимание на то, что колебательная мода, описываемая кривой 3, практически во всей области имеет дисперсионный закон, близкий к (4.1). Длинноволновые деформационные моды неустойчивости слабо чувствительны к вибрационному воздействию.
Перейдем теперь к рассмотрению геометрически симметричной двухслойной системы (к1 = 0.5). Причиной неустойчивости в этом случае может быть различие в вязкости жидкости в слоях. На рис. 6 приведены нейтральные и дисперсионные кривые для системы с п1 = 0.3 при отсутствии ПАВ (Мз = 0) и вибрационного воздействия (вт = 0 ). Видно, что имеются три моды колебательной неустойчивости. Ниже кривой 1 (рис. 6 а) расположена область термокапиллярной неустойчивости при нагреве со стороны более вязкой жидкости, сдвинутая в сторону коротких волн из-за деформируемости границы раздела жидкостей. Ниже кривой 2 и выше кривой 3 лежат области существования незатухающих капиллярных волн.
Обратим внимание, что капиллярные колебания поддерживаются при нагреве системы с любой стороны. Однако при нагреве со стороны более вязкой жидкости дисперсионный закон для колебаний
при малых к переходит в дисперсионный закон для продольных термокапиллярных волн.
Присутствие ПАВ по-разному влияет на указанные моды неустойчивости. Это демонстрирует рис. 7, на котором приведены те же кривые для М& = -2000. Как видно на рис. 7 а, кривые 2, 3 в соответствии с противоположным действием ПАВ несколько сдвигаются в сторону положительных чисел Марангони, а область термокапиллярной неустойчивости под кривой 1 увеличивается существенно, сдвигаясь в область Ма > 0 .
Рис. 6. Нейтральные и дисперсионные кривые при асимметрии по кинематической вязкости для VI = 0.3, Са = 5000. Ыь = 0,0=0
Рис. 7. Нейтральные и дисперсионные кривые при асимметрии по кинематической вязкости для VI = 0.3, Са = 5000. Ыь = -2000,0=0
Влияние различия в динамической вязкости жидкостей в слоях (^1 = 0.3) на неустойчивость равновесия иллюстрируют рис. 8 и рис. 9. На первом из них приведены нейтральные и дисперсионные кривые для чисто термокапиллярного эффекта. Заметим, что наблюдаемые неустойчивости при рассматриваемой асимметрии слоев, имеют место только при деформируемой границе раздела [3].
Добавление градиента растворимого ПАВ (рис. 9, Ms = -2000) в целом приводит к аддитивному эффекту - нейтральные кривые сдвигаются в область больших положительных чисел Марангони.
4000і
-4000-
-8000J
" Ма / V 2/ а к
1 1 1 \ 1 1 2\ 1 1 1 1 1 3 4 5
- 1
V3
\ \
\ N
Рис. 8. Нейтральные и дисперсион- Рис. 9. Нейтральные и дисперсионные кривые при асимметрии по ные кривые при асимметрии по
динамической вязкости для Т)\ = 03, динамической вязкости для Т)\ = 03,
Са = 5000. Ыз = 0, 0=0 Са = 5000. Ыз = -2000, 0=0
Порог длинноволновой неустойчивости становится равным Ыа = 2000 (область неустойчивости ниже кривой 1). Нейтральная кривая колебательной неустойчивости (кривая 2) изменяется слабее, чем монотонной неустойчивости (кривая 1), и для Ыз = -2000 области неустойчивости начинают перекрываться. Мы встречаемся с интересным случаем, когда неустойчивость равновесия имеет место при любых значения температурного числа Марангони.
Заключение. Рассмотрена Марангони неустойчивость равновесия неизотермической двухслойной системы с деформируемой границей, содержащей бинарную смесь с растворимой поверхностно активной компонентой. В приближении изотермически несжимаемой жидкости получены уравнения для малых возмущений в поле
поперечных высокочастотных вибраций. Рассмотрены модельные системы с близкими плотностями жидкостей в слоях, в которых Марангони конвекция вызывается асимметрией в толщине слоев или различием в вязких характеристиках жидкостей. Показано, что в системе с двойной диффузией кроме аддитивного наложения эффектов зависимости поверхностного натяжения от температуры и концентрации, приводящих главным образом к сдвигу нейтральных кривых, при встречных градиентах наблюдаются новые области колебательной неустойчивости. Высокочастотные вибрации стабилизируют равновесие, однако, в окрестности к ~4 возникают новые области монотонной и колебательной неустойчивости. Второй процесс переноса может ослаблять эффект стабилизации. Длинноволновая деформационная мода неустойчивости практически нечувствительна к вибрационному воздействию.
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, грант № 00-01-00614.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ
1.Гершуни Г.З., Жуховицкий Е.М., Непомнящий А.А. Устойчивость конвективных течений. М.: Наука, 1989. 320 с.
2.Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. Т. 2. М.: Наука, 1977. 400 с.
3.Бирих Р.В., Бушуева С.В. Термокапиллярная неустойчивость в двухслойной системе с деформируемой границей раздела // Изв. РАН. МЖГ. 2001. № 3. С. 13-20.
4.Бирих Р.В., Бушуева С.В., Рудаков Р.Н. Влияние вибраций на структуру термокапиллярной неустойчивости двухслойной системы // Молодежная наука Прикамья: (Сб. науч. тр.) / Перм. гос. техн. ун-т. Пермь, 2001. Вып. 1. С. 17-26.
5. Термокапиллярная неустойчивость поверхностей раздела реальных жидкостей / Бирих Р.В., Брискман В.А., Веларде М.Г., Рудаков Р.Н. // Конвекция в системах несмешивающихся жидкостей. Екатеринбург: УрО РАН, 1999. С. 25-44.
6.Бирих Р.В., Рудаков Р.Н. Механизмы термокапиллярных колебаний в системе с границей раздела // Вибрационные эффекты в гидродинамике. Пермь: Перм. ун-т. 1998. С. 38-48.
7.Бирих Р.В., Бушуева С.В., Рудаков Р.Н. Марангони неустойчивость бинарной смеси в системе с плоской границей раздела
// Концентрационно и термокапиллярные эффекты в сложных системах. Екатеринбург: УрО РАН, 2002.
INSTABILITY OF EQUILIBRIUM OF A NONISOTHERMAL BINARY MIXTURE IN A TWO-LAYER SYSTEM WITH A DEFORMABLE INTERFACE AT PRESENCE OF TRANSVERSAL VIBRATIONS
R.V. BIRIKH, R.N. RUDAKOV
Abstract. The stability of equilibrium of a nonisothermal system consisting of two flat layers of immiscilble liquids with close properties in weightlessness is considered. The explored instability is connected to appearance of either a non-uniformity of surface tension of the interface because of a non-uniformity of temperature and concentration of a miscible in both liquids superficially fissile components or a high-frequency vibrational effect.
The influence of intensive high-frequency vibrations on thermocapillary instability and instability of a system with a double diffusion is shown. Against a background of general stabilization of equilibrium concerning disturbances, which upset stability, the appearance of new areas of monotonic and oscillatory instability was observed in a region of mean and short waves. In a case of thermocapillary instability, the neutral disturbances of a "vibrational" mode occur at smaller on an absolute value Marangoni numbers.
