CC BY
30Конвективные течения.... Вып. 2
ТЕРМОКАПИЛЛЯРНАЯ УСТОЙЧИВОСТЬ ГОРИЗОНТАЛЬНОГО СЛОЯ ЖИДКОСТИ С КОНЦЕНТРАЦИОННЫМИ ИСТОЧНИКАМИ ТЕПЛА
Е.С. Братчикова
Пермский государственный педагогический университет, 614990, Пермь, Сибирская, 24
Рассмотрен в условиях невесомости плоский слой бинарной жидкости, одна из компонент которой с течением времени “выгорает” с выделением (или поглощением) тепла. В такой системе возможно механическое равновесие с меняющимся со временем распределением температуры и концентрации. Исследована термокапиллярная устойчивость этого состояния в квазистационарном приближении. Приведены нейтральные кривые для монотонных возмущений при различных значениях безразмерных параметров. Выявлено, что в такой системе существуют два механизма поддержки возмущений.
1. КВАЗИСТАЦИОНАРНЫЕ РЕЖИМЫ
Рассмотрим механическое равновесие в горизонтальном слое несжимаемой жидкой смеси с концентрационными источниками тепла в условиях невесомости. Будем считать, что мощность тепловыделения Q пропорциональна концентрации активной компоненты С . Поведение жидкости в слое описывается уравнениями переноса импульса, теплопроводности и диффузии. Ввиду того, что одна из компонент смеси химически активна (в жидкости происходит эндо-или экзотермическая реакция), в уравнении теплопроводности появляется добавочный член, описывающий разогрев жидкости. В уравнение для концентрации активной компоненты добавлено сла-
© Е.С. Братчикова, 2005
гаемое, описывающее убыль ее вследствие выгорания, пропорциональное концентрации - N2С . Коэффициент N2 определяет скорость выгорания.
Пусть слой ограничен твердой г = 0 и свободной недеформи-руемой границей г = И (рис. 1). Твердая граница слоя либо теплоизолирована, либо изотермическая. Концентрация тепловыделяющей компоненты на твердой границе постоянна, на свободной границе отсутствует ее поток. На этой границе выполняется ньютоновский закон теплоотдачи, коэффициент поверхностного натяжения зависит от температуры и имеет место равенство вязких и термокапиллярных сил.
Рис. 1. Форма области, система координат и граничные условия
В начальный момент времени температура и концентрация активной компоненты в каждой точке жидкости предполагаются одинаковыми. В этих условиях в системе возможно механическое равновесие (V = 0 ) с меняющимся со временем распределением температуры Т0 и концентрации С0. Для перехода к безразмерным переменным выберем в качестве масштаба длины толщину слоя И , времени - И2 ¡V , скорости - с/И, где V - кинематическая вязкость смеси, с - ее температуропроводность. В качестве единиц измерения концентрации выберем начальную концентрацию актив-
ной компоненты С8, температуры - Q0CSh2 / к , где к - коэффициент теплопроводности жидкости.
Распределения То и С0 описываются уравнениями диффузии и теплопроводности:
Рг- ^С° = ДСо - N2Со (1.1)
Рг^° = ДТо + Со (1.2)
и должны удовлетворять следующим начальным и граничным условиям:
1 = о: То = о, Со = 1
ЭТ
2 = о: Со = 1, 1) = о, 2) То = о (1.3)
Э2
=,: 9Со = о, ЭТо
Эя Э>2 о
Система уравнений содержит следующие параметры подобия: Рг = V / с - число Прандтля, Ргл = V / Б - диффузионное число Прандтля (число Штидта), Ьв = Б /с - число Льюиса.
Точное решение сформулированной задачи для концентрации тепловыделяющей компоненты может быть представлено в виде:
^ ск^-N2) ^ 2N2 ^-^Р+р1 . л
Со = -Сш-+57^г+1)в - 51П(Я2) <14>
где 1 = р(п - о.5).
Система уравнений (1.1) - (1.3) имеет стационарное решение:
п = ^(N - N2)
Со =
о ^
1Ч „ 2 • Ш Ш Б! + 1 1 - сН(И - N2)
1) Т0 —------------1------------1---------------- (1-5)
N N Б! N2сШ
2) Т — 2 • Б! (1 1 ) , 1 ск(N - N2)
2) Т0 = о (1 ,, Т) +0 о
N (Б! +1) с^ N2 N
К такому состоянию система приходит, когда время стремится к бесконечности. Некоторые другие предельные стационарные состояния, достигающиеся при других граничных условиях, и их устойчивость рассмотрены в работах [1, 2].
Рис. 2. Распределение концентрации тепловыделяющей компоненты Ьв = 0.05 (цифры у кривых отмечают значение параметра выгорания, штрихи - значения безразмерного времени: ' - t = 0.1, '' - 0.5, ''' - 2; штриховые кривые - предельные стационарные профили)
На рис. 2. для разных моментов времени представлены профили концентрации тепловыделяющей компоненты смеси. Видно, что с течением времени концентрация активной компоненты монотонно убывает со временем во всех внутренних точках слоя. Для N — 8 при безразмерном времени t — 2 профиль концентрации уже совпадает с предельным.
На рис. 3 представлены профили температуры для теплоизолированной твердой границы (а) и изотермической твердой границы (б). В случае теплоизолированной твердой границы профили температуры при малых временах, t = 0.1, для параметров выгорания N = 1 и N = 4 в пределах графика совпадают.
а
Рис. 3. Распределение температуры в слое: а - теплоизолированная твердая граница, б - изотермическая твердая граница; Ьв = 0.05, Ы = 1; обозначения соответствуют рис. 2
2. УСТОЙЧИВОСТЬ КВАЗИСТАЦИОНАРНЫХ СОСТОЯНИЙ
Исследуем в квазистационарном приближении устойчивость механического равновесия слоя жидкости с распределениями температуры и концентрации, обсуждение которых проведено выше. Т.е. будем считать, что за время развития возмущений профили температуры и концентрации не успевают изменяться и функции С0, Т0 считаются зависимыми только от I, а время в них выступает как фиксированный параметр. Амплитуды малых нормальных возмущений скорости, температуры и концентрации
(V 2 ,Т, С) = ^( 2),в( г)Я( I)} ехр[-1 + 1(\х + к2 у)] (2.1)
удовлетворяют системе обыкновенных однородных дифференциальных уравнений:
- Я(м>”-к 2w) = (^/К - 2к^"+к4w)
- 1Ргв = (в'-к2 в) + ц- ^Т0'
(2.2)
- 1Ргйт = (г('-к 2Г1) - Ьв ~1^>С 0' к2 = к2 + к 22
Г раничные условия для этой системы в принятых предположениях о свойствах границ следующие:
I = 0: w = w' = 0, Т = 0, 1) в = 0, 2) в = 0
(2.3)
I = 1: w = 0, wл’ = -к 2вЫа , Т = 0, в' = -Б1в
Для системы (2.2) методом Рунге - Кутты строилось четыре линейно независимых решения, удовлетворяющих условиям г = 0 . Граничные условия I = 1 определяли число Марангони, при котором существуют нетривиальные решения с 1 = 0 (нейтральные возмущения). Число Прандтля во всех расчетах принималось равным 1, число Био в большинстве расчетов считалось равным 1 как при расчете квазистационарных профилей температуры, так и для возмущений.
Обсудим результаты расчета критериев устойчивости. На рис. 4 представлены нейтральные кривые зависимости Ма(к) для теплоизолированной твердой границы. Пунктиром обозначены нейтральные кривые для предельных стационарных состояний. При больших к и больших значениях параметра выгорания имеются области, где неустойчивость системы возникает раньше, чем система придет к стационарному состоянию. При N = 0 предельная кривая соответствует задаче с однородными внутренними источниками тепла [3].
На рис. 5 показаны те же зависимости для изотермической твердой границы. В численном эксперименте обнаружена сильная зависимость устойчивости слоя от параметра Льюиса. Для малых значений параметра, Ьв = 0.05 , когда коэффициент диффузии Б мал,
существенное влияние на устойчивость оказывают возмущения концентрации.
Рис. 4. Нейтральные кривые для слоя с теплоизолированной твердой границей; Ьв = 0.05, Ы = 1
Рис. 5. Нейтральные кривые для слоя с изотермической твердой границей; обозначения на рисунках соответствуют рис. 2
При малых временах и значениях параметра выгорания N < 4 температура и концентрация тепловыделяющей компоненты распределены так, что в слое возникает неустойчивость при положительных и отрицательных значениях числа Марангони. В области
длинных волн неустойчивость наблюдается при Ма(к) < 0, в области коротких волн - при Ма(к) > 0 . По мере изменения профилей температуры и концентрации со временем отрицательная ветвь нейтральной кривой смещается в область больших отрицательных значений числа Марангони. При этом асимптота между положительной и отрицательной ветвями сдвигается к оси к = 0. Затем длинноволновая ветвь появляется при плюс бесконечности и сливается с положительной коротковолновой ветвью.
Рис. 6. Нейтральные кривые для слоя с изотермической твердой границей Ьв = 0.05, N = 1, Ы = 1 (цифровые значения у кривых показывают значения безразмерного времени; штриховая кривая - нейтральная кривая стационарного состояния)
Деформация нейтральных кривых для N = 1 с изменением профилей температуры и концентрации со временем иллюстрирует рис. 6. Цифры у кривых показывают моменты времени, для которых исследовалась устойчивость состояний. Для контроля за длинноволновой неустойчивостью на оси ординат откладывалось значение Мак2 . Неустойчивость при больших значениях параметра выгорания имеет место только при Ма(к) > 0. По мере выхода профилей температуры и концентрации к предельным значениям порог неустойчивости понижается. В предельном состоянии для всех
N > 0 неустойчивость имеет место при Ма(к) > 0 . Замечено также, что в области длинных волн нейтральные кривые, соответствующие разным параметрам выгорания, ведут себя немонотонно. В области коротких волн порог неустойчивости тем выше, чем больше параметр выгорания.
Для N = 0 нейтральная кривая состоит из двух ветвей, но профили температуры и концентрации с течением времени изменяются таким образом, что порог устойчивости понижается, а асимптота между ветвями нейтральной кривой смещается в область более коротких волн.
В случае больших значений числа Льюиса, Ьв = 8 , также обнаружены области неустойчивости с Ма(к) > 0 и Ма(к) < 0 . При малых значениях коэффициента выгорания, начиная с некоторых распределений температуры и концентрации, изменяющихся во времени, появляются области неустойчивости с отрицательными значениями параметра Марангони. Для больших N неустойчивость имеет место только при положительных значениях параметра Ма-рангони.
Рис. 7. Нейтральные кривые для распределений в момент времени ґ = 2 при N = 1, Ві = 0: а - слой с изотермической твердой границей; б — слой с теплоизолированной твердой границей; 1 - концентрационные источники тепла, Ье = 0.05, 2 -внутренние источники тепла (профиль температуры такой же, как у 1), 3 - концентрационные источники тепла, Ье = 8, 4 - внутренние источники тепла (профиль температуры такой же, как и для кривой 3)
В исследуемом слое существуют два механизма поддержки возмущений: пирсоновский, когда более горячий элемент жидкости поднимается на поверхность, в связи с этим уменьшается коэффициент поверхностного натяжения и граница приходит в движение, увлекая за собой близлежащую жидкость; и диффузионный, когда к границе поднимается элемент жидкости, который несет с собой активную компоненту, которая на границе выделяет тепло, тем самым уменьшая коэффициент поверхностного натяжения.
Для исследования действия этих механизмов были рассмотрены два случая: слой с концентрационными источниками тепла и слой с однородными источниками тепла, имеющие одинаковый профиль температуры. Как и следовало ожидать, чем меньше диффузия тепловыделяющей компоненты, тем интенсивнее проявляется механизм, связанный с концентрационными источниками тепла. Это иллюстрирует рис. 7, на котором сравниваются нейтральные кривые названных выше задач.
Заключение. Исследована термокапиллярная неустойчивость механического равновесия плоского слоя бинарной смеси с квази-стационарными профилями температуры и концентрации. Изменения профилей температуры и концентрации в слое обусловлены уходом от их однородного начального распределения и выгоранием тепловыделяющей компоненты смеси.
Обнаружены два механизма поддержки возмущений: пирсонов-ский механизм, связанный с выносом на свободную поверхность нагретой жидкости, и механизм, обусловленный выносом на поверхность тепловыделяющей компоненты смеси и изменением в связи с этим температуры ее поверхности. Из-за сложного температурного профиля пирсоновский механизм при большой диффузии приводит к появлению областей с Ма > 0 (коротковолновая неустойчивость) и Ма < 0 (длинноволновая неустойчивость). Для медленной диффузии тепловыделяющей компоненты существенным оказывается второй механизм неустойчивости.
При некоторых значениях волнового числа к неустойчивость равновесия может возникать раньше, чем система придет к стационарному состоянию. Минимальные критические значения параметра Марангони всегда соответствуют предельному стационарному распределению температуры и концентрации в слое.
Автор благодарит Р.В. Бириха за руководство работой и В.И. Якушина за полезные обсуждения.
Братчикова Е.С. БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Yakushin VI. Thermocapillary instability and finite amplitude convective flows in a plane liquid layer with concentrated heat sources // Abstr. Intern. Conference “Advanced problems in thermal convection” / Perm State University. Perm, Russia, 2003. P. 253.
2. Якушин В.И. Термокапиллярная неустойчивость плоского слоя жидкости с концентрационными источниками тепла // Конвективные течения... / Перм. гос. пед. ун-т. Пермь, 2003. С. 62-74.
3. Андреев В.К., Родионов А А., Рябицкий ЕА. Возникновение термокапиллярной конвекции в жидком цилиндре, цилиндрическом и плоском слоях под действием внутренних источников тепла // ПМТФ. 1989. № 2. С. 101-108.
THERMOCAPILLARY STABILITY OF PLANE LAYER OF LIQUID WITH CONCENTRATION SOURCES OF HEAT
E.S. BRATCHIKOVA
This research considers the plane layer of binary liquid in weightlessness. Either component of liquid burns off with emission or consumption of heat as time passes. There is a possibility of mechanical balance with changing in the course of time distribution of temperature and concentration. Analysing the stability of this state we will only consider quasi-stationary approximation. Neutral curves for monotonic disturbances with different values of dimensionless parameters are presented. It has been discovered, that in such a system there are two mechanisms of disturbance support.
