Монотонные возмущения равновесного состояния двухслойной системы бинарных смесей Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.59

Монотонные возмущения равновесного состояния двухслойной системы бинарных смесей

Марина В. Ефимова*

Институт вычислительного моделирования СО РАН, Академгородок, 50/44, Красноярск, 660036,

Россия

Получена 18.06.2010, окончательный вариант 20.07.2010, принята к печати 20.08.2010

Исследована устойчивость относительно монотонных возмущений равновесного состояния системы бинарных смесей с общей поверхностью 'раздела и одной свободной границей. Найдены явные формулы зависимости числа Марангони от волнового числа и других физических параметров. Показано, что деформация границ раздела приводит к понижению критического значения числа Марангони.

Ключевые слова: термодиффузия, устойчивость, число Марангони.

1. Постановка задачи

В условиях отсутствия массовых сил рассмотрим систему, состоящую из двух несмешиваю-щихся несжимаемых вязких смесей с общей поверхностью раздела, ограниченных твердой стенкой и свободной поверхностью. Обозначим через Qj (j = 1, 2) области, занятые смесями. Начало координат поместим на поверхность раздела; ось x направлена горизонтально, ось y — вертикально вверх. Тогда уравнение твердой границы y = —l, свободной поверхности — y = l. Движение системы описывается уравнениями Навье-Стокса, конвективного теплообмена и концентрации с учетом термодиффузии. Зависимость поверхностного натяжения от температуры и концентрации на поверхности раздела и свободной границе описывается формулой

Oj(в, с) = oj — ю3Т(в — в0) — '<s?c(с — с0), '<s?c = const < 0, ю3Т = const > 0,

где о о > 0 — постоянная, а со, во — концентрации и температуры в некоторой точке поверхности раздела или свободной границы.

Будем считать, что на поверхности раздела смесей заданы условия равенства скоростей, температур и баланса концентраций. Кроме того, на поверхности раздела должно быть выполнено кинематическое, динамическое условие, а также условие равенства потоков тепла и вещества через поверхность раздела.

На твердой стенке задана температура, выполнено условие прилипания и условие отсутствия потоков вещества.

На свободной границе удовлетворяем кинематическому и динамическому условиям, условию теплообмена и отсутствия потока вещества. В этом случае не учитываются процессы адсорбции-десорбции на свободной поверхности.

Состояние термодиффузионного равновесия системы двух бинарных смесей с общей

*efmavi@mail.ru © Siberian Federal University. All rights reserved

поверхностью раздела у = 0 описывается формулами

и.

= 0, р, = сопБ^ $1 =

С1 = --

Q - - $5) к1 + в1(к +1)

Q - в($10 - $5) ( + ?) + $ к1 + в1(к + 1) (У + 0 + $10'

Q - в($10 - $5) (к + ?) + $ к1 + в1(к +1) (кУ + ° + $10'

«1 У + С0, С2 = -

Q - в($10 - $а) , + Л к1 + в1(к +1) а2кУ + ЛС0'

(1.1)

В (1.1) к = ^1/^2 — отношение коэффициентов теплопроводности; Л — постоянная равновесия Генри; с0 — концентрация на границе раздела; в — коэффициент межфазного теплообмена; $а — температура газа; $10 — температура твердой стенки; Q — заданный внешний поток тепла, а, = кд/$с — параметр термодиффузии, где кд — коэффициент термодиффузии, $с — средняя температура слоя (все эти величины предполагаются постоянными). Считается, что значения а, < 0 соответствуют нормальной термодиффузии, при которой тяжелые компоненты стремятся перейти в более холодные области, а легкие — в более нагретые.

2. Задача о малых возмущениях

Для исследования устойчивости равновесного состояния двух слоев жидкостей (1.1) введем малые возмущения скорости, давления, температуры и концентрации: и, Р, Т, К. Проводя линеаризацию по возмущениям, можно получить задачу для возмущения скорости,

давления, температуры и концентрации в каждой смеси [1]:

-, -,

И,-т + УР, = ДИ,;

-2 -2

И, =0;

-2 (2.1) Тт + V е, = ДТ,;

А,'

К,т - ,V,е, = ^Д(К, + Рг,Т,). -2 -2

Граничные условия на поверхности раздела п = у/1 = 0 сводятся в этом случае к следующим:

и = -иь V = -V, К2 - е2Й1 = Л^(К1 - е1Й1); Т2 + е2Й1 = Рг(Т1 + е1 Д1), Т2п = кРгТ^; + - р-2(^1п + ^) = -М(Т25 + е2Й15) - 7зМ(К25 - е2Й15); (2.2)

р-2Р - Р2 + - р-2 ) = , Й1т =

К2п + РГ2Т2П = ^ (К1п + РГ1Т1П).

Граничные условия на твердой стенке:

и =0, Т1 =0, Vl =0, К1п + Рг1 Т1п =0, п = -1. (2.3)

На свободной границе при п =1 имеем

Й2т = V», = -ЦМ(Т2? + £2^2^) - 72М(К^ - £2^2^);

-Р2 + 2^2п = ^е2Й255; (2.4)

Т2п + Вг(Т2 + £2^2) = 0, К2п + РГ2Т2П = 0. Соотношения (2.1)—(2.4) приведены в безразмерной форме. Использованы следующие единицы измерения расстояния, времени, скорости, давления, температуры и концентрации соответственно:

р , (д - - вд ))у3- (д - в(0ю - вд ))д3- . = 12

, -2 1 ' I2 ' (к1 + £/(к + 1))х, ' (к1 + £/(к +1)) , 7 ' ■

Введены также обозначения

1 к VI «1 Х1 Р1 , «1

£1 = тп, £2 = тп, - = _' ^ = _' х = —, р = —; « = -г;

к + 1 к +1 -2 «2 Х2 Р2 «2

V,- V, РГ1

о,- = -р- — числа Шмидта , Рг, = —--числа Прандтля , Рг = ——;

«з Хз Рг2

жТ ®2«2 Ж^2 п. в

71 = «т, 72 = 73 = Ж1Рь; В = ь — число Био;

«Т «Т Р ' 2 «ТР ' 2 к2

жТ - в(^10 - вд)) ^ тл/ ,

—^-——-—----число Марангони, 1Уе, =-^

(к1 + в1(к + 1))Р2 -2X2 3 Р2V22

Д, = п, • X — нормальная составляющая вектора возмущений на поверхности раздела (. = 1) и на свободной границе (. = 2) [1].

Число Марангони М задает интенсивность термокапиллярного воздействия на границе раздела и свободной поверхности, а капиллярный параметр №е характеризует способность границы к деформации. Плоской недеформируемой поверхности соответствует бесконечно большое значение №е. Поскольку знак числа Марангони зависит от знака д - - вд),

то положительные значения числа Марангони соответствуют подогреву свободной поверхности, а отрицательные значения — нагреву твердой стенки.

Решение краевой задачи (2.1)—(2.4) ищем в виде нормальных волн

(и, V, Р, Т, К, Д) = (и(п), V(п), Р(п), Т(п), к(п), Д) ехр^о£ - ¿Ст). (2.5)

Здесь а — волновое число, С = Сг + ¿С — комплексный декремент. Критерием устойчивости равновесного состояния (1.1) служит знак мнимой части декремента: значения параметров задачи, для которых ^ < 0, соответствуют области устойчивости, если существуют такие значения параметров, что ^ > 0, то имеет место неустойчивость, случаю ^ = 0 соответствует граница устойчивости (нейтральные возмущения).

После подстановки (2.5) в линеаризованные уравнения (2.1) и граничные условия (2.2)-(2.4) получаем спектральную краевую задачу для амплитуд нормальных возмущений

Ц' + (— ¿С - а2)и3 - ¿аР3 = 0;

V,'' + (—¿С - а2)^- - Р, = 0;

Vj

¿аЦ + V, = 0; (2.6)

Т'' +(Х2¿С - а2)Т, - £,V, =0;

К' + (Т"¿С - а2)К + Рг,(Т'' - а2Т) + ^V,£, = 0

с условиями на твердой стенке п = —1

Ui =0, Vi = 0, Ti = 0, Kin + PriTin = 0. (2.7)

На поверхности раздела п = 0 будем иметь

U2 = vUi, V2 = vVi, K2 — £2Ri = A^(Ki — £iRi); T2 + £2Ri = Pr(Ti + eiRi), T2n = kPrTin; U2n + ¿«Vi — pv2(Uin + iaVi) = —Mia(T2 + e2-Ri) — 7sMia(K2 — e2Ri); (2.8)

K2n + Pr2T2n = d^ (Kin + PriTin); pv2 Pi — P2 + 2(V2n — pv2Vin) = —a2 WeiRi, —iCRi = Vs.

Условия на свободной границе для нахождения амплитуд нормальных возмущений будут следующими:

П = 1 : U2n + ¿aV2 = —YiMia(T2 + e2R2) — 72 Mia(K2 — e2R2);

T2n + Bi(T2 + e2R2) = 0, K2n + Pr2T2n = 0; (2.9)

—P2 + 2V2n = —a2We2R2, —iCR2 = V2.

3. Монотонные возмущения

Для таких возмущений комплексный декремент C = 0. В этом случае уравнения (2.6) могут быть проинтегрированы. Действительно, полагая L = d2/dn2 — a2, легко получить, что L2Vj = 0. Откуда, с учетом Vj(0) = 0, найдем (Cj, C2 и т.д. — постоянные)

Vj(п) = 2"~Ciпch an + 2""C2nsh an + sh an, 2a 2a

и(п) = -V' =»

a

C.i(ch -п + -п sh -п)+

2a2j

+ 77-2 C2(sh -п + -п ch -п) + C3 ch -п 2a2jj

(3.1)

i 1 1

Р(п) =--LU = -Ci ch -п + -C2 sh -п.

a a j a j

Функции Tj (п), Kj (п) определяются из неоднородных уравнений LTj = ej Vj, LKj = —(Prj + )ej Vj,

где

Si ■ 1

V2 I —, j = 1,

Wj = dj = v (3.2)

j 1 S2, j = 2.

С использованием первого равенства из (3.1), получим

£ '

Т (п) = 7То С (п2 вИ ап - — СЬ ап) + С2 (п2 сЬ ап - — ^ ап)

8а2 "

+

+ ^ ап + С^ вИ ап + С® сИ ап,

2а

К (п) = -

(Ргд + ^ )£3-

2а

с1 2 п (3-3)

—-(п2 вЬ ап--сИ ап)+

4а а

+—2 (п2 сИ ап — п ¡И ап) + С?п сЛ-ап 4а а ■

+ С6 вИ ап + С7 сИ ап.

Таким образом, определению подлежат четырнадцать постоянных С1,.., С7 и две постоянные Дх, Й2- Для этого имеются шестнадцать граничных условий (2.7)—(2.9). Подстановка явных формул (3.1), (3.3) приводит к системе линейных однородных уравнений относительно этих постоянных. Приравнивание к нулю ее определителя и дает уравнение для числа Марангони М, которое зависит от всех параметров задачи Ргд, £д, ■ ^ед, V, Л, ф, й и волнового числа а. Конечно, мы не вычисляли определитель шестнадцатого порядка, а понижали порядок системы до третьего — все постоянные выражались через С^, Дх, Д2. Например, из условий ^2(0) = vUl(0), и( —1) = Ух( —1) = 0 легко выводятся равенства

С2 = (сШ а--^ ) С|, С? =--V- С1.

1 V вИ2 а) 1 1 2зИ2 а 1

Далее используются граничные условия при п = 0 и специфика выражений (3.1) и (3.3). В результате на число Марангони получим квадратное уравнение

М 2/1 + М/2 + /з = 0, (3.4)

где /1, /2, /з — функции, зависящие от волнового числа а и других параметров системы. Эти функции явно находятся при подстановке решений в граничные условия, но из-за громоздкости они здесь не приводятся. В плоском случае имеются две нейтральные кривые (ниже на рисунках они изображены сплошной и пунктирной линиями соответственно), обозначающие границу устойчивости равновесного состояния относительно монотонных возмущений.

Анализ механизмов неустойчивости осложняется наличием в задаче довольно большого числа независимых параметров, каждый из которых вносит свой вклад в развитие неустойчивости системы. В таких ситуациях целесообразно выделить частные случаи, в которых на появление и развитие неустойчивости влияет изменение какого-либо параметра.

На рис. 1а приведен характерный вид нейтральных кривых для монотонных возмущений, построенный при Л = 1, Ы = 10, Рг = 12, 92, V = 7, 8, р = 1, х = 0, 6, ф = 1, й = 2,71 = 72 = 73 = 1, для недеформируемых поверхности раздела и свободной границы = то).

Каждая точка этой кривой дает критическое значение числа Марангони для возмущения с данным волновым числом. Область неустойчивости лежит над соответствующей кривой.

При нормальной термодиффузии система будет неустойчивой при подогреве свободной поверхности (М > 0) относительно длинноволновых возмущений. Относительно же коротковолновых возмущений (рис. 1б) равновесное состояние двухслойной системы будет устойчивым при подогреве как твердой стенки, так и свободной поверхности.

Влияние концентрационных эффектов на поверхности раздела и свободной границе показано на рис. 2а и 2б соответственно.

Обнаружено, что в диапазоне длинных волн снижение концентрационных эффектов на поверхности раздела (73 = 0) достаточно сильно дестабилизирует состояния равновесия.

Рис. 1. Зависимость М от волнового числа а: для недеформируемых поверхности раздела и свободной границы а) в диапазоне длинных волн; б) в широком диапазоне волн

Рис. 2. Зависимость M от волнового числа а: а) при 73 = 0; б) при 72 = 0

Устойчивость будет наблюдаться только при подогреве твердой стенки. Состояние равновесия будет устойчиво при подогреве свободной поверхности при коротковолновых возмущениях.

Если же концентрация на свободной границе мало влияет на поверхностное натяжение (Y2 = 0), то длинноволновые возмущения будут устойчивы как при нагреве твердой стенки, так и при незначительном подогреве свободной поверхности, при этом критическое значение числа Марангони увеличивается. При возмущениях для а > 0, 67 (что соответствует умеренным волнам) наблюдается дестабилизация равновесного состояния. Более того, в диапазоне 0, 95 < а < 1,043 решений (3.4) не существует, поэтому на графике наблюдается разрыв.

Деформация границ раздела приводит к появлению разрывов на графике в диапазоне

длинных и умеренных волн, где уравнение (3.4) не имеет решений (рис. 3а). Область устойчивости лежит на каждом отрезке существования решений уравнения (3.4) ниже соответствующих кривых.

Рис. 3. Зависимость М от волнового числа а для деформирумых поверхности раздела и свободной границы: а) в диапазоне длинных волн; б) при больших волновых числах

Коротковолновые возмущения, как и для случая недеформируемых поверхности раздела и свободной границы, будут устойчивы как при подогреве твердой стенки, так и при нагреве свободной поверхности (рис. 3б).

Рис. 4. Зависимость М от волнового числа а: а) при 73 = 0; б) при 72 =0

Если на поверхности раздела концентрация слабо влияет на поверхностное натяжение границы раздела (73 = 0), то в этом случае "разрыв" смещается в сторону умеренных волн. При возмущениях с длиной волны а < 0, 25 устойчивость возможна при нагреве свободной поверхности, при 0, 25 < а < 0, 71 состояние равновесия будет устойчивым, только при нагреве твердой стенки. Характерная кривая представлена на рис. 4а.

Слабое влияние концентрационных эффектов на свободной границе (72 = 0) стабилизирует равновесие системы (рис. 4б), причем для длинноволновых возмущений (а < 0,132) критическое значение числа Марангони увеличивалось и устойчивость возможна при подогреве свободной поверхности. При а > 0,132 устойчивость будет наблюдаться во всем диапазоне длин волн.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 08-01-00762) и интеграционного проекта № 116 СО РАН.

Список литературы

[1] В.К.Андреев, В.Е.Захватаев, Е.А.Рябицкий, Термокапиллярная неустойчивость, Новосибирск, Наука, 2000.

Monotonous Perturbations of an Equilibrium Condition of Two-Layer System of Binary Mixes

Marina V. Efimova

Stability concerning monotonous indignations of an equilibrium condition of system of binary mixes with the general interface and one free boundary is investigated,. Formulas of dependence of number of Marangoni from wave number and other parametres are found. It is shown that interface deformation leads to critical value of number of Marangoni decrising.

Keywords: thermal diffusion, the number of Marangoni, stability.