Неустойчивость границ проводящих слоев элементов интегральных схем под действием электрического тока и механических напряжений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.4, 530

Неустойчивость границ проводящих слоев элементов интегральных схем под действием электрического тока и механических напряжений

Т.М. Махвиладзе, М.Е. Сарычев

Физико-технологический институт им. К. А. Валиева РАН, Москва, 117218, Россия

Развита теория, описывающая влияние электромиграции ионов, протекающей в границе (интерфейсе) слоев проводящих соединенных материалов под действием электрического тока, на устойчивость изначально плоской формы этого интерфейса при учете действия механических напряжений, генерируемых подложкой (остаточных напряжений). Сформулирована и решена система уравнений, описывающая взаимосвязь изменений профиля интерфейса и механических напряжений, которые возникают в интерфейсе за счет потоков ионов, инициированных малым пространственно-периодическим возмущением интерфейса. Найдены критерии нарастания амплитуды возмущений со временем, т.е. критерии неустойчивости формы интерфейса в зависимости от внешних условий. Для более детального анализа и оценок рассмотрены два частных практически значимых случая, когда интерфейс образован соединением одинаковых материалов и когда соединенные материалы существенно различаются так, что в одном из них диффузионной подвижностью ионов можно пренебречь. В этих случаях аналитически получены и исследованы выражения для зависимостей границ областей значений длин волн возмущения, при которых имеет место неустойчивость интерфейса, от внешних условий (температуры, плотности тока и остаточных механических напряжений, генерируемых подложкой); получены также выражения для характерных времен экспоненциального нарастания амплитуды возмущения. Проведенные оценки показывают, что возникновение электромиграционной неустойчивости интерфейса возможно при достаточно распространенных для ускоренных экспериментов условиях. Например, при T ~ 100-500 °C, \j | ~ 1010-1012 А/м2 длины волн возмущений (например вибрационной природы), инициирующих неустойчивость, составляют X ~ 10-1000 мкм. Результаты работы могут представлять интерес при исследовании проблемы повышения надежности микро- и наноэлектронных структур.

Ключевые слова: электромиграция, диффузия, механические напряжения, химический потенциал

DOI 10.55652/1683-805X_2022_25_1_26

Instability of interfaces between conducting layers of integrated circuit elements under the influence of electric current and mechanical stresses

T.M. Makhviladze and M.E. Sarychev

Valiev Institute of Physics and Technology RAS, Moscow, 117218, Russia

A theory is developed that describes the effect of electromigration of ions at the interface between conductive layers under electric current on the shape stability of the initially flat interface, taking into account the mechanical stresses generated by the substrate (residual stresses). A system of equations is formulated and solved to describe the correlation between changes in the interface profile and mechanical stresses arising in the interface due to ion fluxes initiated by a small spatially periodic perturbation of the interface. Criteria for the perturbation amplitude growth with time are determined, i.e., the criteria for the shape instability of the interface depending on external conditions. Two particular practical cases are analyzed in detail and evaluated: the interface between identical materials, and the interface between dissimilar materials such that the diffusion mobility of ions in one of them can be neglected. Analysis is carried out using analytical expressions for the dependence of the perturbation wavelength ranges corresponding to the interface instability on external conditions (temperature, current density, residual mechanical stresses generated by the substrate). Expressions are also derived for the characteristic times of exponential perturbation amplitude growth. The obtained estimates show that the electromigration-induced instability of the interface is possible under typical conditions of accelerated experiments. For example, for T ~ 100-500°C, \j \ ~ 1010-1012 A/m2 the perturbation wavelengths (e.g., vibrational) that induce instability are X ~ 10-1000 ^m. The results of this work may be useful for increasing the reliability of micro- and nanoelectronic components.

Keywords: electromigration, diffusion, mechanical stresses, chemical potential

© Махвиладзе Т.М., Сарычев М.Е., 2022

1. Введение

Одним из процессов, оказывающих влияние на надежность функционирования многослойных межсоединений в микро- и наноэлектронных элементах, в частности на их адгезионную прочность [1], является возникновение неустойчивости формы поверхностей и межслойных границ (интерфейсов) проводящих материалов вследствие электромиграции ионов в этих материалах. Механизм развития такого рода неустойчивости был предложен и теоретически проанализирован в работах [2-5].

В работе [2] была предложена теоретическая модель, показавшая, что в результате электромиграции в интерфейсе между двумя проводящими материалами, которая возникает под действием поперечного электрического поля, первоначально плоская форма интерфейса может оказаться неустойчивой относительно пространственно-периодических возмущений. Согласно этой модели, массоперенос и механические напряжения, генерируемые в интерфейсе такими возмущениями, в определенных областях значений параметров системы могут вызывать неограниченный рост их амплитуды.

В работе [3] механизм развития неустойчивости, предложенный в [2], был дополнен учетом электромиграции вакансий в объемах смежных материалов. Было, в частности, выяснено, как изменяются условия возникновения неустойчивости формы интерфейса в реальных тонкопленочных микроструктурах и в каких случаях они определяются параметрами объемной электромиграции, идущей непосредственно внутри соединенных тонкопленочных слоев. В то же время в работах [4, 5] при анализе устойчивости открытых поверхностей было показано, что важным фактором (в том числе и в условиях электромиграции [5]) при этом могут являться и механические напряжения, возникающие, например, вследствие несоответствия коэффициентов теплового расширения материалов подложки и лежащего на ней слоя в ходе его осаждения (остаточные напряжения) [4].

В настоящей работе развита детальная и более общая теория явления неустойчивости интерфейса, описывающая развитие электромиграционной неустойчивости формы интерфейса между двумя проводящими материалами. Развитая теория учитывает не только действие внутренних механических напряжений, возникающих вследствие мас-

сопереноса, но и остаточных напряжений, обусловленных разнородностью материалов подложки и осажденного на нее слоя. Получены и исследованы уравнения кинетики изменений возмущений во времени. Аналитически найдены и проанализированы условия, при которых влияние внешних (остаточных) механических напряжений на устойчивость границы может быть существенным. В ряде частных случаев даны оценки возможных значений напряжений, длин волн возмущений, плотностей протекающего тока и температур, при которых могут реализовываться эффекты неустойчивости.

2. Формулировка модели. Основные соотношения

Рассмотрим бесконечно протяженный и бесконечно тонкий плоский интерфейс (плоскость (х, г)), образованный двумя линейно-упругими проводящими материалами 1 (нижний) и 2 (верхний). Будем считать, что материал 2 представляет полубесконечный по оси у слой (ось у направлена вверх, от материала 1 к 2, а у = 0 отвечает плоскости интерфейса), а материал 1 — плоский слой толщины Н, лежащий на подложке и располагающийся в полуплоскости у < 0 (у = -Н — граница материала 1 и подложки). Считаем также, что все величины, относящиеся к соединенным материалам 1 и 2, не зависят от координаты г и компонента г вектора смещения для всех точек системы равна нулю, т.е. применимо приближение плоской деформации.

Различие микроскопических характеристик материала подложки и лежащего на ней слоя материала 1, а также технологические операции формирования этого слоя приводят к остаточным механическим напряжениям ош в нем [4]. Как и в работе [4], будем считать, что это остаточное напряжение ош в слое материала 1 направлено вдоль оси х, не зависит от х и у и носит характер либо сжатия (ош > 0), либо растяжения (ош < 0).

Пусть поперек интерфейса в направлении от материала 1 к материалу 2 вдоль оси у действует электрическое поле, генерирующее электрический ток, который в определенных условиях может вызвать в интерфейсе массоперенос за счет электромиграции (электродиффузии) ионов обоих материалов. Электромиграция описывается с помощью так называемого эффективного заряда ионов, характеризующего силу их увлечения электронным ветром [6].

В данных условиях рассмотрим кинетику пространственного возмущения плоского интерфейса, которое имеет вид

к( х, ^ = Л(08т(юх), (1)

где к — изменение профиля интерфейса вдоль оси у, отсчитываемое от его исходного положения — плоскости у = 0; А — амплитуда, зависящая от времени V, ю = 2п/Х и X — длина волны. Амплитуда А(0 предполагается малой по сравнению с X, поэтому далее при анализе ограничимся линейным по А(0 приближением (см. [2, 3]).

Возмущение (1), во-первых, инициирует неоднородное распределение электрического потенциала вдоль интерфейса. Кроме того, оно вызывает упругие деформации и механические напряжения в материалах 1 и 2, также неоднородно распределенные вдоль границы. Оба эти фактора приводят к возникновению потоков ионов смежных материалов вдоль интерфейса [2] и тем самым изменяют амплитуду возмущения (1). Дополнительный вклад в эти потоки должны вносить и остаточные напряжения ош. Для их учета рассмотрим кинетику возмущения (1), которую аналогично [2] будем описывать следующей системой уравнений:

ди1 дк д^ дt дt дх '

ди2 дк дЗ2

(2)

дt дt дх где и12 — упругие смещения вдоль оси у интерфейса со стороны материалов 1 и 2, вызванные возмущением (1); Зх^ — потоки объема за счет ионного переноса вдоль интерфейса, т.е. объем атомов данного материала, переносимый через единицу длины интерфейса по г в единицу времени. Отметим, что далее для простоты будем считать (см. п. 3), что упругие смещения вдоль оси у точек материала 1 по границе с подложкой равны нулю.

Потоки ^1,2 определяются общим соотношением

зр =

р кТ

, р = 1, 2

(3)

где цр — химический потенциал ионов р-го материала в интерфейсе; V1 — градиент вдоль интерфейса (с учетом малости амплитуды возмущения (1) VI * д/дх); 5 — ширина интерфейса; Вр — коэффициент диффузии ионов р-го материала в интерфейсе; к — постоянная Больцмана; Т — температура.

Подставляя в (3) цр = ц,ро) + Лцр, где ц(р0) — соответствующий химический потенциал для невозмущенного (плоского) интерфейса; Дцр — его изменение под действия возмущения (1), включающее вклады, связанные с кривизной профиля интерфейса, появлением внутренних напряжений [2] и наличием остаточных напряжений, запишем потоки З следующим образом (см. также [3]): Зр =-Ьр + qpVly + Vlo + Vl(ЛFp)], (4)

где Ьр = 5ВрО,р/кТ; у — коэффициент поверхностного натяжения интерфейса; 0,р — атомарные объемы в материалах 1 и 2; qp = гр/ар, гр — эффективные заряды ионов в потоке электронов (электронном ветре) [6, 7]; ф = ф(х, 0 — электрический потенциал вдоль профиля интерфейса; К — локальная кривизна профиля интерфейса:

)р- * Нхх = -ЛЦ)< 8т(юх), (5)

К = К(х,0 =— 2 3

(1 + Нх2)3

Нх=дк/дх, Нхх = д2Н1дх2. В (4) верхний знак перед у относится к материалу 1, а нижний — к материалу 2; о(х, 0 — нормальные напряжения, действующие в интерфейсе на поверхность каждого из соединенных материалов со стороны другого материала вследствие возмущения (1) [2, 3]; ДFp(x, ^ — изменение свободной энергии (в расчете на единицу объема) за счет возникновения упругих деформаций поверхности р-го материала в интерфейсе в результате действия возмущения (1) и подложки.

Используя для электрического потенциала ф = ф(х, 0 в интерфейсе результаты [2], полученные решением соответствующего двумерного уравнения Лапласа для распределений потенциалов ф1(х, у) и ф2(х,у) в смежных материалах 1 и 2, имеем:

Ф = Ф1(х, у = Н(х, t)) = Ф2(х, у = Н(х, t)) = 2Р1Р2

-]Н(х, t),

(6)

Р1 +Р2

где рр — удельное сопротивление материалов; ] — плотность тока, текущего поперек интерфейса под действием приложенного электрического поля.

3. Распределение механических напряжений и деформаций, вызванных возмущением интерфейса

Величины с(х, t) и ЛРр (х, t), входящие в (4), определяются компонентами тензора механических напряжений окк (где /, к=х, у, г), вызывае-

мых в интерфейсе возмущением (1). Используя приближение плоской деформации, представим отличные от нуля компоненты а1к = а^ (х, у) в следующем виде [8]:

5 А

д \

ду2 ,С уу 5x

à 2Х

2 'Сxy Sxöy' (7)

ар (аХХ +аУУ ),

где х(х, у) — бигармоническая функция (так называемая функция напряжения [8], удовлетворяющая уравнению А = 0); V р — коэффициент Пуассона в соответствующем материале. В случае возмущения (1) общее выражение отвечающего ему частного решения для %(х, у) может быть записано следующим образом (см. [4, 5]):

Х(х, у > 0) = (а + Ьу)ехр(-юу)8т(юх), (81)

1 2

Х(х, у < 0) = -(а + Ьу)ехр(юу)8т(юх) + -у , (82)

где а и Ь — константы. Отметим, что выражение (82) подразумевает выполнение условия Ню >> 1. Это означает, что на подложке (у = -Н) влияние возмущения (1) исчезает и а ХХ ( х, у = -Н) = ада.

Подставляя выражение (8]) для функции %(х, у) в соотношения (7) при у > 0 (материал 2), получим аналогично результатам [2] компоненты тензора напряжений в следующем виде:

а ХХ = ю(юа - 2Ь + юЬу )ехр(-юу )8т(юх),

уу

= -ю (a + by)exp(-ray)sin(rax),

(9)

с xy = -ra[b - ю(а + by )] exp(-ray )cos(rax).

Предполагая далее, как и в [2], что вдоль интерфейса выполняется условие аХу (х, у = 0) = 0, из (9) получим соотношение между постоянными интегрирования Ь = юа. Подставляя это соотношение в (9), получим, что а Х

yy

' Сxy ~ a.

Распределение компонент тензора механических напряжений в материале 1 (у < 0) может быть найдено из (82) и (7) аналогичным образом. Формально они получаются из выражений (9) заменой ю на (-ю) и учетом вклада ада в аХХ от второго слагаемого в (82), что с использованием граничного условия аХу (х, у = 0) = 0 (т.е. Ь = -юа) дает:

x = с7 + аю (1 + ray) exp(ray) sin(rax), с yy = ara2(1 -ray)exp( ray ) sin (rax), с xy = -ra3ay exp(ray)cos(rax).

(10)

Таким образом, решение (8) для функции напряжений х(х, у) обеспечивает затухание напряжений, вызванных возмущением профиля интерфей-

са, вглубь материалов 1 и 2 так, что при достаточно большой толщине слоя материала 1 (относительно длины волны возмущения X = 2//ю) имеет место аХХ (х, у = -Н) = ао0. В отсутствие возмущения (а = 0) равенство аХХ (х, у) = ада выполняется во всем слое материала 1.

Используя закон Гука [8], можно найти распределение тензора упругих деформаций 8(р в материалах 1 и 2. В частности, компонента е(ур^ описывается следующим выражением:

,( p) =

-yy

= -^[(1 -Vp )с yy-v p (1 + V p )с xx ], (11)

где Ер, ур — модуль Юнга и коэффициент Пуассона р-го материала соответственно. Подставляя в (11) соотношения (10) и (9), получим

1 + v

Уу =(1 - 2V! - ray) exp(юу)с + е^,

s(2) = -

yy

1 + v2

(12)

(1 -2 v2 +ray)exp(-юу) с,

где

а = аю2 8ш(юх), е01} = . (13)

е1

Как следует из (9), (10) и (13), на граничных поверхностях материалов 1 и 2 в интерфейсе (у = 0) имеет место ауу (х, у = -0) = а и ауу (х, у = +0) = -а, т.е. величина а, определяемая выражением (13), задает взаимное давление материалов 1 и 2 друг на друга, которое возникает под действием возмущения (1) и обуславливает соответствующие вклады аОр в химические потенциалы материалов в интерфейсе (см. (3) и (4)).

Учтем далее, что согласно общему определению компонент тензора деформации [8] 8^) = су, где = (х, у)— распределение смещений вдоль оси у в р-м материале, т.е. Щ(х, у = 0) = щ и ^2(х, у = 0) = и2 (см. уравнения (2)). Интегрируя тогда соотношения (12) по у соответственно в интервалах (-Н, 0) и (0, да) и используя условие Ню >> 1, получим для упругих смещений щ и и2 материалов 1 и 2 при у = 0:

= ¡^У =

- H

2(1 -vQ

Е1ю

с + u(0) -

raG1

Г,

7 (2) 1 2(1 -v2) '2 =-'еУ> = £>

(14)

с = -

raG9

0 1±2ш 2 где и1(0) = 801)Н, Ор = Ер/ (2(1 -V р)) и учтено, что ^2(х, у = да) = 0 и в соответствии со сделанным в п. 2 допущением х, у = -Н) = 0. Из (14) следует соотношение

8

и = (и1 -<)) + u2 =, G =

G1G2

(15)

а G G1 + G2

где параметры Gl,2 определяются согласно (14). В силу (15), и = и(х, t) — суммарное смещение вдоль оси у в интерфейсе за вычетом однородного (вдоль х) вклада и1(0), причем с учетом определений (13)и(15)

аю

и =—sin (юх) = U (t) sin (юх), G

(16)

т.е. а = (^<)и и, следовательно, амплитуда Щ() ~ а должна быть такого же порядка малости, как и амплитуда Л(?) возмущения (1).

Получим теперь соотношение для величины изменения свободной энергии ЛFp (х, t) деформации поверхностей материалов 1 и 2 в интерфейсе под действием возмущения (1) (см. (4)). Используя общее выражение для свободной энергии деформированного состояния ЛF = сгквгк/2 [8] и учитывая, что, согласно закону Гука, тензор деформации связан с тензором напряжений линейной зависимостью

8к = -к(1 + у)с,к -ус,к5,к] Е

и что в приближении плоской деформации в=

8 хг =В уг = 0, С хг = С уг = 0 С гг = у(с хх + С уу ) [8],

получим:

af=4G*[(i-v)(c2Xx+o2yy)

-2VCT xxCT yy + 2ст 2У ],

(17)

где G* = Е/ 2(1 + у) — модуль сдвига деформируемого материала.

Принимая во внимание, что в интерфейсе предполагается выполнение условия сху (х, у = 0) = 0, и подставляя в (17) выражения (10), получим для материала 1 с точностью до членов первого порядка малости по а ~ и~Л:

ЛFl = -1т[(1- ^)(с2х +с2уу )-2усххС уу ]

4G*

4G1

-[(1-Vi)q2 + 2(1-2vi)c^GUюsin(<»x)], (18)

где учтено соотношение а = (^<)и (см. (16))).

Как следует из (9) и (17), соответствующее выражение для ЛF2 оказывается второго порядка малости по а ~ и~ Л и поэтому может не учитываться в выражении (4) для потока т.к. остальные слагаемые в нем содержат вклады первого порядка по этим величинам. Тогда, подставляя (18) в выражения (4) для потоков Зр, получим:

уТ

J = J10)-L1(1-2 v1) ю2и cos( юх),

2g1 (19)

J = J(0)

22

где J ро) — потоки при = 0 (см. также [2, 5]).

4. Кинетика изменения амплитуды возмущения интерфейса

Используя соотношения (15) и учитывая, что u10) = const, преобразуем систему уравнений (2), описывающую кинетику возмущения (1), к виду

ди 8

= -—(J1 +J2),

(20)

8t 8х

8h 8

dh = --8" J (1-S) J2],

8t 8х

где ^ = и2/ и = G1I(G1 + G2) = const.

Подставляя полученные выше соотношения (4)-6), (9), (10), (18) и (19) в уравнения (20) и сохраняя в них только члены первого порядка по амплитудам A(t) и U(t), получим систему линейных уравнений для A(t) и U(t): dA dt dU

■ = a11A + a12U,

(21)

dt

= a21A + a22U,

где коэффициенты amn (m, n= 1, 2) записываются выражениями

an = -ю4 + (1 - L2] + ffl2KZ1L1 - (1 - Z*] jp,

a12 = ю3G[(1- ^)L2

- (o3Gt,L1{1- 2 v1)

2G2

(22)

а21 = - <4У(А -^2) + <2(+ г22Ь2)}р,

а22 = -ш^( А+^2) - 2^)^,

2Gl

и р = 2р1р2/(р1 +р2); } — плотность электрического тока, протекающего перпендикулярно интерфейсу.

Стандартное решение системы (21) имеет вид Л() = Л(0)[ g ехр(^) + (1 - g )ехр(С J)], и (t) = и (0)[5 ехр(^) + (1 - 5) ехр(С_ t)],

где Л(0) и и(0) — некоторые начальные значения малых амплитуд Л и и; 5} — собственный вектор матрацы {а„„}; — ее собственные числа, которые, как следует из уравнений (21), являются решениями соответствующего характеристического уравнения

(23)

1

^Кп _^тп ] = 0 и записываются следующими выражениями:

1

-п1

22

(а11а22 °12°21)-

(24)

Таким образом, из соотношений (23), (24) следует, что исходная плоская форма интерфейса будет неустойчивой относительно действия малых возмущений вида (1), если по крайней мере одно из собственных значений С±=С± (ю) окажется положительным (в этом случае амплитуда возмущения (1) будет экспоненциально расти со временем). Соответственно, для устойчивости плоского интерфейса необходимо и достаточно, чтобы оба собственных числа , определяемые выражениями (24), были отрицательны при одних и тех же значениях параметров системы.

5. Анализ условий устойчивости интерфейса и некоторые оценки

Детальный анализ устойчивости интерфейса был проведен на основании решений (23), (24) системы кинетических уравнений (21), описывающих поведение амплитуды возмущения интерфейса. Были получены общие (необходимые и достаточные) условия на коэффициенты атп, при которых имеет место расходимость решений (23). В силу громоздкости и многофакторности выражений для коэффициентов атп общий анализ устойчивости оказывается математически достаточно сложным. Поэтому здесь далее приводятся только два частных, но достаточно показательных и наглядных примера, допускающих к тому же аналитическое исследование и проведение практически полезных оценок.

1. Пусть интерфейс образован одинаковыми материалами. В этом случае, согласно выражениям (22), коэффициенты атп принимают следующий вид:

а11 = -ю уЬ,

а12 = _ю3ОЬ(1 -2 у1)

а„

4в*

(25)

2 —*

а21 = 2ю 2 Ь/р,

а22 = _2ю ОЬ

1 + (1 -2у)

4О*

где Ь = Ь1= Ь2 = 5£>:О/(кТ), = Д = Б2, 0 =

О = 02, 2 * = 2 * /0, 2 * = 2^ = 2*2 < 0, р = р1 = р2, О = О2 = О (т.е. £ = О.Ю + О2) = 12), У1 =У2 = V,

О* = о* = о*.

Важно отметить, что этот случай представляет и самостоятельный интерес, например, при исследовании влияния электромиграции на устойчивость межзеренных границ в поликристаллических проводящих материалах, когда плотность тока имеет поперечную составляющую относительно границы. Например, в случае проводника с поликристаллической структурой типа «бамбук» [9] электрический ток направлен поперек всех меж-зеренных границ; при этом «подложкой» является зерно, смежное с одним из тех, что образуют рассматриваемую межзеренную границу.

В выражениях (25) коэффициент а12 ~ а«, т.е. он отличен от нуля только за счет учета напряжений, создаваемых подложкой. В противном случае а12 = 0 и, как это следует из (24) и (25), = а11 < 0 и = а22 < 0, т.е. интерфейс заведомо устойчив.

Из выражений (24) следует, что простейшим достаточным условием, обеспечивающим положительность корня и означающим неустойчивость интерфейса, является неравенство

а11а22 _ а12а21 < 0. (26)

Подставляя выражения (25) в неравенство (26), получим, что условие неустойчивости интерфейса принимает следующий вид:

ю2 у

1 + (1 - 2у)

4О*

+ (1 -2у)^*2*/'р<0. (27) 4О

Учитывая, что для металлов 2 < 0 [6], приходим к выводу, что выполнимость условия (27) зависит от сочетания знаков величин с» и /. При этом следует также иметь в виду, что (4О*) << 1 [4, 5]. Это означает, что при с</ < 0 (т.е. с< и/ разного знака) условие (27) не может быть выполнено. В этом случае, как следует из выражения (24), вследствие выполнения неравенств ац < 0 и а22 < 0 оба корня являются либо действительными и отрицательными, либо комплексными, причем Яе< 0, т.е. интерфейс устойчив относительно возмущения (1).

В другом случае при с</ > 0, когда с< > 0 (сжатие интерфейса), а / > 0 (ток направлен от материала 1 к материалу 2), либо, наоборот, с< < 0 (растяжение), а / < 0 (ток направлен противоположно), получим, что условие (27) выполняется

2

для возмущений (1) с длинами волн X = 2//ш, определяемыми соотношением

Х> , 2/(1 + ц) =Х>(1 + ц), (28)

7(1-2у)(сю}/(4G*)) 12\ р/у в котором ц = (1-2у)сo0/(8G*), причем \ ц\<< 1. Таким образом, в этом случае для длин волн Х>Х0(1 + ц) интерфейс становится неустойчивым. Отметим, что если имеет место сх < 0 и } < 0, то ц< 0 и спектр неустойчивости интерфейса будет начинаться с длин волн Х<Х0, а если сх > 0 и} > 0, то ц> 0, и этот спектр начинается с Х>^0.

Оценим величину Х0, например, для межзе-ренных границ в поликристаллах алюминия. В этом случае примем у * 1 Дж/м2, G * 35 ГПа, 0*2-10"29м3 [10], \ г*\~10е, е = 1.6-10"19Кл — модуль заряда электрона [6, 10], у*0.3, р* 3 х 10-8 Ом • м [10], } ~109-1011 А/м2 [3, 4], сх ~ 10 МПа. Подставляя эти данные в (28), получим для Х0 следующую оценку:

X0 * 10Д/Ы м * 10-100 мкм. (29)

Оценка (29) должна согласовываться со сделанным в модели допущением (см. разд. 3) о том, что для толщины слоя материала 1 должно выполняться условие шН >> 1, т.е. Н >> X/(2/). Тогда из (29) для возмущений с Х*Х0 имеем, что Н >> 1-10 мкм.

2. Рассмотрим теперь случай, когда интерфейс образован двумя разными материалами, в одном из которых (для определенности, в материале 2) подвижность ионов (в том числе и электромиграционная) значительно меньше, чем в другом. Тогда в соотношениях (22) можно положить = 0, т.е. ¿2 = 0, и из (22) получаем:

ап =-< ^УА +< ^¿^р, а12 = - - ш3^^!- 2У1)

2&*

(30)

а21 = - <4уА1 +<2 г* А }р,

а22 = - ю3GL1 - <^¿^(1- 2У1)

с

2^

Как следует из выражений (30), в данном случае выполняется точное равенство апа22 -а12а21 = 0 и, следовательно, согласно решению (24), = 0, а = а11 + а22 и, следовательно, имеет следующий вид:

= ап + а22 = -< 2 ¿1 [(ш 2^у + ш G - }р) + < (1- 2У1)(сда/(2Gl*))].

Таким образом, из (31) следует, что необходимым и достаточным условием положительности корня (т.е. неустойчивости интерфейса) является условие

ш2^у + шG -+ шG(1 - 2У1)^ < 0. (32)

2Gl

Нетрудно видеть, что условие (32) заведомо выполняется, когда} < 0 и 0 <ш<ш1(1 - ц1), где ц1 ~ сх/ДО*) (т.е. \ ц1\ << 1), а <1 — положительный корень квадратного уравнения, получающегося приравниванием к нулю суммы первых трех слагаемых в (32), т.е.

1

2^У

■4^2 уг}

(33)

Из (32) находим, что спектр неустойчивых возмущений по длинам волн X = 2//ш дается соотношением Х>Х1(1 + ц1), где Х1 = 2//<1. Таким образом, длина волны Х1 попадает в этот спектр, если ц < 0, т.е. сх < 0 (растяжение). Отметим, что на этой длине волны, как следует из выражений (23), (31) и (33), характерное время нараста-

ния амплитуды возмущений (1) тн сывается соотношением

1 1

= V С+

<3^(1-2^X1^1/(2^)):

запи-

(34)

где ш1 определяется выражением (33).

Используя соотношения (33) и (34), оценим величину Х1 и т+, рассматривая, например, интерфейс, образованный алюминием, содержащим малую (<2 ат. %) примесь меди (материал 1), и нитридом титана ТШ (материал 2) — проводящим материалом со значительно более низкой подвижностью ионов по сравнению с А1 (см. также [3]). Следует отметить, что низколегированные проводящие сплавы А1(Си) активно исследуются с целью изучения возможности замедлить нежелательную электромиграцию ионов алюминия [11]. Принимая по порядку величины у ~ 1 Дж/м2, v1 ~ V2 ~ 1/3 и взяв для модулей Юнга А1 и ТШ соответственно значения Е1 = 70 ГПа и Е2 = 250 ГПа [10], получим, что G = G1G2/(G1 + G2) * 30 ГПа, G = 1/G2 * 10-2 ГПа-1, у/G * 3 •Ю^м, G = у/G2 — 10-11 м. Кроме того, положим 2 =(5^10)е х (а1)-1, где е = 1.6•Ю-19Кл — заряд электрона и

-29 3

01 * 2 •Ю м [10], и учтем, что р = 2р1р2 х (р1 +р2)-1 * 2р1 * 6•Ю-8 Ом • м, т.к. удельное сопротивление А1 (р1 = 3•Ю-8Ом • м) значительно

-7 ,

(31) меньше, чем у ПК (р2 - 4 • 10-7 Ом • м [10]).

X

Используя эти данные и выражение (33), получим следующую оценку для волнового числа й в зависимости от плотности тока у:

й « (^С^ур — (1 *3) • 10"8у (м-1). (35)

Отсюда для длины волны имеем Х1 = ~ 8 / 10 12 2 10 /у и при плотностях тока у = 10 -10 А/м получим оценку X] ~ 102-104 мкм.

Применяя выражение (34) и соотношение (35), оценим также величину характерного времени т+ нарастания амплитуды возмущения (1) с волновым числом й. Для параметров 5 и входящих в коэффициент примем следующие значения: 5« 3•Ю-10м, « 2•Ю-29 м, а порядок величины коэффициента диффузии ионов т найдем из выражения Д « (а2кТ/Й)ехр(-Ет/(кГ)) (см., например, [12]), где а ~ 3 •Ю-10 м — средний размер потенциальных ям, по которым ион А1 перемещается при диффузии (величина порядка межатомного расстояния); Й —10-34 Дж • с — приведенная постоянная Планка; Ет — энергия активации диффузии ионов материала 1 (А1(Си)) в интерфейсе. Используя численные значения величин а, 5, Й, получим:

А

а25а

Й

10-33ехр

-ехр

кТ

кТ

(м6/Дж • с).

Подставляя эту оценку в (34), имеем для т+ (юх):

Л

= 10

,35

С*

у

ехр

кТ

(с),

откуда, полагая Ет « 1 эВ и взяв « 1000 МПа, у = 2 •Ю12 А/м2 и Т = 550 °С (кТ = 0.07 эВ), имеем т+ (й1) « 5 •Ю5 с (порядка одной недели); в этих условиях из (35) также получим, что Х1 ~ 102 мкм.

Отметим, что соотношения (31) и (32) позволяют также аналитически оценить характерные времена нарастания возмущений (1) и в случае значительно меньших (по абсолютной величине) остаточных напряжений —0.1 МПа. Пусть, например, возмущение имеет длину волны, при которой обращается в нуль сумма первого и последнего членов в левой части условия не-

< 0 и й = й2, где

устойчивости (32), т.е. когда са

2л С й2 = — =-(1 - 2у1)-!

^2 2^у

¡2 -101'

С

О*

(м-1)

(36)

и для оценки использованы те же величины, что и при получении соотношения (35). В этом случае, согласно (31),

т+ (®2) = 2 1 . .-—, (37)

®2 о^ру' -й2О]

и для того чтобы выполнялось х+ (й2) > 0, т.е. для того чтобы возмущение (1) оказалось растущим, необходима положительность знаменателя в (37). Это возможно только при Z!, у > 0 (поскольку у металлов Z! < 0, то у <0) и не слишком больших значениях й2, т.е., согласно (36), при достаточно малой величине . Например, взяв у = 2 -1012 А/м2, Т = 550 °С и значения всех остальных параметров такими же, как выше в п. 2 данного раздела, получим, что выражение (37) положительно при | | < 0.1 МПа, что по соотношениям (36), (37) дает оценки X2 « 102 мкм и х+ (й2) ~ 104 с (порядка нескольких часов).

Полученные в этом разделе оценки показывают, что в определенных условиях остаточные механические напряжения могут стать важным фактором, обуславливающим неустойчивость формы интерфейсов в многослойной металлизации относительно пространственно-периодических возмущений вида (1). В этих условиях величины и характер указанных напряжений определяют области длин волн, в которых такие возмущения оказываются экспоненциально нарастающими со временем.

6. Заключение

Развита теория, описывающая влияние электромиграции ионов, протекающей в границе (интерфейсе) слоев проводящих соединенных материалов под действием электрического тока, на устойчивость изначально плоской формы этого интерфейса при учете действия механических напряжений, обусловленных разнородностью материалов подложки и осажденного на нее слоя (остаточных напряжений). Сформулирована и решена система уравнений, описывающая взаимосвязь изменений профиля интерфейса и механических напряжений, которые возникают в интерфейсе за счет потоков ионов, инициированных малым пространственно-периодическим возмущением интерфейса. Найдены критерии нарастания амплитуды возмущений со временем, т.е. критерии неустойчивости формы интерфейса в зависимости от внешних условий.

Для более детального анализа и оценок рассмотрены два частных случая, когда интерфейс образован соединением двух одинаковых материалов и когда соединенные материалы существенно различаются так, что в одном из них диффузионной подвижностью ионов можно пренебречь. В этих случаях выделены и аналитически исследованы области значений длин волн возмущения, для которых именно остаточные механические напряжения приводят к росту со временем амплитуды возмущения, т. е. изначально плоский интерфейс становится неустойчивым. Найдены условия существования таких областей и зависимости их границ от величины этих напряжений, характера их действия (растягивающие или сжимающие), температуры, а также от направления и величины плотности электрического тока. Даны оценки некоторых конкретных длин волн и характерных времен нарастания амплитуды возмущения. Полученные результаты показывают, что возникновение электромиграционной неустойчивости интерфейса возможно при достаточно распространенных для ускоренных экспериментов условиях. Например, при Т~ 100-500 °С, |у | ~ 1010-1012 А/м2 длины волн возмущений (например, вибрационной природы), инициирующих неустойчивость, составляют X ~ 10-1000 мкм.

Результаты работы представляют интерес для улучшения технологии изготовления и повышения надежности функционирования проводящих элементов микро- и наноэлектронных схем. Их применение и дальнейшее развитие необходимо для решения многих актуальных проблем перспективных трехмерных технологий микро- и на-ноэлектроники.

Работа выполнена в рамках государственного задания ФТИАН им. К.А. Валиева РАН Минобр-науки РФ по теме № 0066-2019-0004.

Литература

1. Гольдштейн Р.В., Махвиладзе Т.М., Сарычев М.Е.

Влияние точечных дефектов на трещиностойкость

границы соединенных материалов // Физ. мезо-мех. - 2018. - Т. 21. - № 2. - С. 14-20. -https://doi.org/10.24411/1683-805X-2018-12002

2. Klinger L., Levin L., Srolovitz O. Morfological stability of a heterophase interface under electromigration conditions // J. Appl. Phys. - 1996. - V. 79. - No. 9. -P. 6834-6839.

3. Гольдштейн Р.В., Махвиладзе Т.М., Сарычев М.Е. Электромиграционная неустойчивость границы соединенных проводящих твердотельных материалов // Физ. мезомех. - 2016. - Т. 19. - № 6. -С. 19-26.

4. Panat R., Hsia J., Cahill D.G. Evolution of surface waviness in thin films via volume and surface diffusion // J. Appl. Phys. - 2005. - V. 97. - No. 1. -P. 013521(1-7).

5. Гольдштейн Р.В., Махвиладзе Т.М., Сарычев М.Е. Влияние электрического тока на устойчивость поверхности проводящей пленки // Поверхность. -2015. - № 1. - C. 1-8. - https://doi.org/10.7868/ S0207352815010096

6. Валиев К.А., Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В., Махвиладзе Т.М., Сарычев М.Е. Моделирование разрушения и долговечности тонкопленочных металлических проводников интегральных микросхем // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 2. - С. 57-88.

7. Tu K.N. Recent advances on electromigration in very-large-scale-integration of interconnects // J. Appl. Phys. - 2003. - V. 94. - No. 9. - P. 5452-5473. -https://doi.org/10.1063/L1611263

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. Теоретическая физика. Т. 7. - М.: Наука, 1987.

9. Chen N., Li Z., Wang H., Sun J. Grain boundary void growth in bamboo interconnect under thermal residual stress field // J. Appl. Phys. - 2007. -V.101. -No. 3. - P. 033535-1-033535-6.

10. Бабичев А.П., Бабушкина И.А., Братковский А.М. и др. Физические величины: Справочник. - М.: Энергоиздат, 1991.

11. Zhang W, Yi L., Chang P., Wu J. A method for AlCu interconnect electromigration performance predicting and monitoring // Microel. Eng. - 2008. - V. 85. -No. 3. - P. 577-581.

12. Валиев К.А., Махвиладзе Т.М., Сарычев М.Е. Миграционная модель кинетики отказов, возникающих под действием электрических полей и механических напряжений // Труды ФТИАН. - 1991. -Т. 2. - С. 73-83.

Поступила в редакцию 23.06.2021 г., после доработки 10.12.2021 г., принята к публикации 14.12.2021 г.

Сведения об авторах

Махвиладзе Тариэль Михайлович, д.ф.-м.н., проф., зав. лаб. ФТИАН им. К.А. Валиева РАН, tarie1makh@mai1.ru Сарычев Михаил Евгеньевич, д.ф.-м.н., гнс ФТИАН им. К.А. Валиева РАН, sarych@yandex.ru