Моделирование разрушения и долговечности тонкопленочных металлических проводников интегральных микросхем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.375

Моделирование разрушения и долговечности тонкопленочных металлических проводников интегральных микросхем

К.А. Валиев, Р.В. Гольдштейн1, Ю.В. Житников1, Т.М. Махвиладзе, М.Е. Сарычев

Физико-технологический институт РАН, Москва, 117218, Россия 1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия

В последнее время наблюдается устойчивая тенденция повышения производительности полупроводниковые приборов за счет уменьшения характерные размеров элементов интегральные микросхем и создания более плотноупакованныгх многоуровневых микроэлектронные структур. Тем самым на смену микро- и субмикроэлектронике приходит наноэлектроника. Это обуславливает возрастающую актуальность проблемы надежности элементов нано- и микроэлектроники и, как следствие, моделирования процессов их разрушения и расчета долговечности. Один из основные видов отказов в работе интегральных микросхем связан с электромиграцией вакансий (ионов) в проводящих элементах, вызывающей их разрушение.

В предлагаемой работе развита модель процессов электромиграции и возникновения обусловленных ею механических напряжений в проводниках интегральных микросхем. Проведено моделирование зарождения под действием электромиграции микрополости в тройной точке поликристаллической структуры проводника, а также дефектов, связанные с многоуровневой компоновкой проводников (микрополость на границе контакта линии с ножкой, соединяющей линии соседних уровней, и эрозия свободного края линии). Численно рассчитаны характерные размеры микродефектов и времена до их зарождения для разные значений температуры, плотности электрического тока и параметров кристаллической структуры токопроводящих элементов.

В работе предложен также подход к моделированию электромиграции и механических напряжений в проводниках, содержащих примеси, в частности примесь меди. Впервые разработана модель для расчета эффективного заряда вакансий (ионов) — основного параметра электромиграции — в межзеренные границах поликристаллической структуры проводников. Проведено численное моделирование зависимостей эффективных зарядов ионов алюминия и меди в межзеренной границе алюминия от температуры и текстуры границы.

Ключевые слова: электромиграция, проводящие линии, деградация, долговечность, порообразование, эрозия, диффузия вакансий, сопряженные модели диффузии под напряжением

Modeling of failure and lifetime of thin-film metal conductors in integrated circuits

K.A. Valiev, R.V. Goldstein1, Yu.V. Zhitnikov1, T.M. Makhviladze, and M.E. Sarychev

Institute of Physics and Technology RAS, Moscow, 117218, Russia 1 A.Yu. Ishlinskii Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia

Currently, the capacity of semiconductor devices is steadily increased through the reduction of the characteristic size of integrated circuit elements and through the development of more densely packed multilevel microelectronic structures. Micro- and submicroelectronics are thus replaced with nanoelectronics. This raises the importance of issues concerning the reliability of nano- and microelectronic elements and, consequently, the modeling of their failure and lifetime evaluation. One of the main failure in integrated circuit performance occurs due to electromigration of vacancies (ions) in conducting elements, which causes their rupture.

In the present paper we develop a model of electromigration processes and generation of electromigration-induced mechanical stresses in integrated circuit conductors. We model the electromigration-induced nucleation of a microvoid in a triple point of polycrystalline conductor structure and generation of defects related to the multilevel conductor structure (a microvoid at the contact boundary between the line and lead connecting lines of adjacent levels, and erosion of the free edge of the line). The characteristic sizes of microdefects and times to their nucleation for various temperatures, current densities and crystalline structure parameters of conducting elements are numerically calculated.

We also put forward an approach to modeling electromigration and mechanical stresses in conductors containing impurities, particularly copper impurities. For the first time a model is proposed for calculating the effective charge of vacancies (ions) — the major electromigration parameter — in grain boundaries of polycrystalline conductor structure. The dependence of effective charges of aluminum and copper ions in aluminum grain boundary on temperature and boundary texture is simulated numerically.

Keywords: electromigration, conducting lines, degradation, lifetime, void formation, erosion, vacancy diffusion, coupled models of stress-induced diffusion

© Валиев К.А., Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В., Махвиладзе Т.М., Сарычев М.Е., 2008

1. Введение

Отказы в работе изделий микроэлектроники часто связаны с нарушениями эксплуатационных характеристик межсоединений, называемых также металлическими микропроводниками, металлизациями, проводящими дорожками (линиями, элементами). Выход из строя металлических микропроводников под действием электромиграции вакансий происходит вследствие накопления последних в некотором месте проводника, зарождения и развития там микрополости [1-3]. В свою очередь, рост микрополости приводит к локальному увеличению электрического сопротивления проводника и росту плотности тока, что ускоряет дальнейший рост микрополости. Когда характерные размеры полости достигают поперечных размеров проводника, происходит его разрыв (отказ). Время, прошедшее с начала нагружения проводника током до его разрыва, называется временем до отказа (йше^о-ЯаПиге — TTF) или долговечностью проводника.

В современной микросхеме отдельный проводник представляет собой тонкую поликристаллическую пленку (обычно алюминиевую (А1) или медную (Си)), расположенную на кремневой ^) подложке и покрытую слоем защитного диэлектрика, как правило, двуокиси кремния ^Ю2) (рис. 1). Материалы подложки и изоляции более жесткие по сравнению с материалом проводника (ЕА1 = 60 ГПа, ЕСи = 100 ГПа, Е^ - Е8Ю2 = = 160 ГПа, где Е—соответствующие модули Юнга) [4]. Ниже в работе рассматриваются процессы электромиграции применительно к А1-проводящим дорожкам. В заключении отмечены особенности этих процессов, характерные для медных микропроводников.

Характерные размеры проводящих линий в поперечном сечении составляют по порядку величины от 0.1 мкм (50-100 нм) до нескольких микрометров и в длину — от 10 до 1000 мкм. Экспериментально установлено, что электромиграция в А1-проводящих дорожках происходит преимущественно по межзеренным границам (рис. 1) вследствие более низкого значения энергии активации диффузии в них (0.6-0.8 эВ против 1.2-1.4эВ в объеме) [3]. Диффузия происходит в области границы раздела между зернами, толщина которой по-

Рис. 1. Схематическое изображение элемента проводящей линии интегральной микросхемы, конструктивно выполненного на кремниевой подложке (заштрихованная область) и покрытого сверху изолирующим слоем. Более крупным пунктиром обозначена зернистая структура проводника

рядка 1 нм [5]. Таким образом, с учетом того, что типичные размеры микрополостей, зарождающихся в проводящих дорожках составляют 102 нм (см. ниже табл. 2), электромиграционные отказы представляют собой комплекс процессов, развивающихся на нано-, микро-и мезомасштабах.

В современных микроэлектронных устройствах описанные выше проводящие элементы скомпонованы в многоуровневые структуры, называемые многоуровневой металлизацией (рис. 2). Многоуровневая организация повышает плотность упаковки проводников в микросхеме. В ней проводники на различных уровнях выполнены из какого-то одного металла (А1 или Си), а соединительные ножки, как правило, из другого (например, из вольфрама ^)), или вообще могут быть многослойными. В Си-металлизациях в настоящее время и соединительные ножки делают из меди. В этом случае электромиграционные отказы часто носят характер поперечных разрывов в области соединения ножки с нижним уровнем металлизации.

При моделировании процессов разрывов микропроводников выделяются следующие основные проблемы: моделирование транспорта и накопления вакансий (ионов), а также моделирование зарождения и развития вследствие указанных процессов дефектов, в частности трещин, как раз и приводящих к разрыву металлизации. В процессе работы микросхемы ее проводящие элементы могут находиться не только под действием электрического поля, но и полей другой природы, таких как тепловое поле, обусловленное выделением джоулева тепла, и поле механических напряжений, возникающее в процессе изготовления микросхемы (остаточные напряжения) и/или вследствие электромиграции. Эти факторы, сами зависящие от электромиграции, в свою очередь, оказывают влияние на электрофизические характеристики проводящих элементов. Дополнительным фактором, определяющим распределения всех этих полей, является геометрическая и материальная много-уровневость самой металлизации (рис. 2).

Рис. 2. Многоуровневая проводящая линия. Алюминиевые проводящие дорожки соседних уровней соединены вольфрамовыми контактными ножками

Распределение электрической, мexaничeской и тепловой нагрузок в проводнике определяет наиболее вероятное место и время зарождения начальной микрополости, особенности ее формы и скорость дальнейшего роста. Многочисленные работы послeдниx 3040 лет, посвященные моделированию электромиграци-онньк разрывов микроэлектронной металлизации, как правило, выделяют влияние какого-либо одного или не-сколькиx определеннык факторов, принимая упрощающие предположения относительно остальные. Приведем кратко главные результаты, полученные в этиx рабо-тax.

Моделирование элeктpомигpaционныx отказов началось с работы [б], в которой на основании обработки экспериментальный данный было предложено эмпирическое соотношение для TTF проводника:

TTF = Aj -n exp ^ kr ), (1)

где j — плотность электрического тока; Ea — энергия активации диффузии по межзеренным границам; A — параметр, определяемый материалом, процессом изготовления линии, структурой и геометрией проводника; n > 1 — константа, величина которой существенно зависит от диапазона используемые величин j (растет с ростом j); k — постоянная Больцмана; Т — температура. Это выражение до otx пор довольно широко используется для экстраполяции экспериментальные результатов.

В paботax [7, 8] соотношение вида (1) впервые получено аналитически в paмкax дискретной модели электромиграции, описывающей вынос ионов проводника из области ограниченные размеров. Было показано, что показатель n может принимать значения 1 и 2. В более общей модели [9] получено, что показатель n действительно является растущей функцией плотности тока, как это наблюдается в э^^римеш^. Heобxодимо отметить, что модель, введенная в [7-9], является одномерной и не учитывает возникновения и развития мexaни-чeскиx напряжений в системе.

В то же время, при уменьшении толщины проводника именно мexaничeскиe напряжения, возникающие вследствие электромиграции вакансий и иx неоднородного распределения в проводнике, оказывают существенное влияние на процессы электромиграции и долговечность [10]. Моделям электромиграции вакансий с учетом генерации мexaничeскиx напряжений посвящен ряд работ [10-25].

C использованием качественной модели в [10] показано, что при электромиграции должен возникать градиент мexaничeскиx напряжений, приводящий к ее торможению. Дальнейшее развитие моделирования этого процесса дано в paботax [11-13]. В ниx сделана попытка с помощью кинeтичeскиx уравнений описать совмест-

ное изменение во времени распределений концентрации вакансий и механических напряжений в проводнике.

В частности, в работе [12] предложена моделы, в соответствии с которой возникновение сжимающих и растягивающих напряжений на границах зерен вызвано генерацией и аннигиляцией вакансий. Участками генерации и аннигиляции вакансий могут быты как сами границы зерен, так и соседние границы или дислокации внутри зерен. В этой работе были выписаны уравнение диффузии вакансий с учетом действия электрического поля и градиента механических напряжений и уравнение эволюции сферической части тензора напряжений в результате изменения концентрации вакансий. Скорость эволюции напряжений пропорционалына локалыному отклонению концентрации вакансий от равновесного распределения, в свою очереды, зависящего от уровня механических напряжений. Обратный поток вакансий прямо пропорционален градиенту напряжений и учитывается в электромиграционном уравнении. В работе рассмотрены различные механизмы генерации и аннигиляции вакансий: на границах зерен, на смежных границах и на дислокациях. Для каждого из механизмов определено характерное время генерации/аннигиляции. Для некоторых пределыных случаев полученная система уравнений была решена аналитически или численно. Главное ограничение предложенного подхода заключается в пренебрежении влиянием на эволюцию механических напряжений транспорта вакансий.

В модели [13] заложено предположение, что в процессе электромиграции вакансии находятся в термодинамическом равновесии с полем механических напряжений. В резулытате концентрация вакансий выражается через механическое напряжение и для описания его распределения вдолы межзеренной границы получается замкнутое одномерное кинетическое уравнение. Это уравнение было решено аналитически для некоторых частных случаев. Случай отказа моделировался достижением некоторого критического значения механического напряжения. Эта моделы широко исполызоваласы [14, 15] для описания электромиграционных отказов в линиях с бамбуковой структурой (рис. 1) в зависимости от числа и длин поликристаллических и монокристалли-ческих фрагментов вдолы проводника.

В развитие подхода [13] в работе [16] получены кинетические уравнения для эволюции механических напряжений и концентрации вакансий в предположении, что концентрация вакансий близка к термодинамически равновесному распределению. В работах [16, 17] для упомянутых кинетических уравнений получены аналитические решения при определенных граничных условиях. Следует отметить, что моделы [13] и родственные ей не применимы в областях значителыного накопления вакансий, где отклонение их концентрации от термодинамически равновесного значения может быты болы-

шим, а именно в таких местах и происходят разрывы, приводящие к отказам.

В последние годы [18, 19] предложена также расчетная модель, в которой примененное в [13] условие термодинамического равновесия вакансий с полем механических напряжений использовано, чтобы записать скорость изменения со временем распределения плотности атомов в проводнике и затем получить выражение для объема микрополости, образующейся за время действия электрического тока. В этой модели несомненным развитием является учет реальных распределений по объему проводника плотности тока и температуры путем решения соответственно уравнений Пуассона и теплопроводности с учетом выделения джоулева тепла и граничных условий, отвечающих геометрии конкретного проводника. Однако модель не является замкнутой, так как величины целого ряда параметров, возникающих в ней, предлагается определять, приравнивая теоретически найденный объем микрополости к ее объему, измеренному в серии специально поставленных для этого экспериментов.

Таким образом, мы видим, что все приведенные выше модели, описывающие развитие механических напряжений в объеме проводника, опираются на те или иные существенные упрощающие предположения: термодинамическое равновесие между вакансиями и механическими напряжениями или близость к этому равновесию, обусловленность механических напряжений только источниками вакансий и др.

В противоположность этому в работах [20-25] представлена более последовательная расчетная кинетическая модель возникновения механических напряжений в процессе электромиграции, не содержащая указанных ограничений предыдущих моделей. В рамках модели получены дифференциальные уравнения, описывающие электромиграционное деформирование линии в трехмерном случае с учетом градиента механических напряжений. При этом локальная деформация проводника рассчитывается наиболее общим образом. Вклад в нее дают релаксация вакансий, пришедших из других областей, релаксация вакансий из источников и уже имеющиеся механические напряжения в проводнике. Эта модель в деталях представлена в разделе 2 настоящей работы.

Следующей проблемой моделирования разрушения проводящих элементов микросхем является описание зарождения микрополости и ее последующего роста под действием электромиграционного притока вакансий и механических напряжений.

Для определения времени зарождения микрополости под действием электромиграции ранее использовались два основных феноменологических критерия. Первый из них связан с введением критической концентрации вакансий. Считается, что зарождение происхо-

дит в момент, когда концентрация вакансий достигает некоего критического значения С * [26, 27], выбор которого, как правило, основывается на феноменологических соображениях. В этих работах рассматривалась электромиграция вакансий в проводящей алюминиевой линии без учета механических напряжений. Полагалось, что в каком-то месте проводника транспорт вакансий блокируется межзеренной границей, и вследствие сильной дивергенции потока вакансий происходит их интенсивное накопление и зарождение полости. Однако выбор конкретного значения концентрации С * не был обоснован, не исследовалась также устойчивость образовавшейся микрополости.

В качестве второго критерия зарождения микроповреждения рассматривалось достижение критического значения шаровой части тензора механических напряжений, возникающих вследствие электромиграции [1114]. Предполагалось, что при достижении критического уровня напряжений происходит образование микротрещины вследствие разрыва межатомных связей. В идеальном кристалле для этого требуются колоссальные усилия (-10 ГПа). Однако экспериментальные исследования показывают, что трещинообразование в проводящих дорожках происходит в основном по границам зерен, обладающим более рыхлой структурой. Оценки показывают, что в этом случае требуются значительно меньшие напряжения (-100 МПа) [15, 28]. Отметим, что в экспериментах действительно наблюдалось образование как микрополостей, так и микротрещин [11, 17]. Это зависит от геометрии проводника, его атомной структуры и текстуры области возможного зарождения дефекта, а также от уровня и пространственного распределения концентрации вакансий и механических напряжений.

Более последовательный подход, позволяющий моделировать образование микрополостей, основывается на термодинамических представлениях, согласно которым их образование в твердом теле происходит вследствие избыточной (надравновесной) концентрации вакансий и при термодинамической выгодности этого процесса [29]. Такой процесс зарождения рассматривается как фазовый переход первого рода, когда газ вакансий за счет термодинамических флуктуаций «конденсируется» в вакансионные кластеры, являющиеся зародышами микрополостей [30]. При этом критическое значение концентрации вакансий, то есть значение, выше которого имеет место устойчивый рост кластеров, возникает и находится самосогласованно в рамках модели, а не вводится из дополнительных соображений. Энергетически более выгодно гетерогенное зарождение, т.е. образование кластеров на различного рода дефектах кристаллической структуры — инородных включениях, межзеренных границах, тройных точках и т.д. [29].

Работа [31] является одной из первых, где был применен такой подход для моделирования электромигра-ционного образования микрополостей. В ней рассматривалась электродиффузия в тонкой проводящей алюминиевой дорожке с учетом источников/стоков вакансий, но без учета механических напряжений. Форма полости предполагалась сферической. Оценки показали, что гомогенный механизм зарождения фактически не возможен, так как для получения полости экспериментально наблюдаемых размеров требуется вакансионное пересыщение, значительно превышающее то, которое дает электромиграция.

В [32] проанализировано зарождение микрополостей при определенных стационарных условиях без рассмотрения диффузии и сопряженных с ней процессов. Анализ образования вакансионных кластеров на межзе-ренных границах основывался на следующих двух предположениях: их поверхности являются сферическими сегментами и углы, образуемые поверхностями микрополости и межзеренной границей, удовлетворяют условию равновесия сил поверхностного натяжения. В результате были получены полости различной геометрии в зависимости от числа границ зерен (двух, трех или четырех), пересекающихся в точке зарождения.

В [33, 34] рассматривалось образование вакансион-ных кластеров в облученных металлах и обобщены уравнения классической теории зарождения на случай присутствия в системе межузельных атомов. Однако эксперименты показывают [35], что доля межузельных атомов в обычных условиях пренебрежимо мала по сравнению с долей вакансий вследствие значительно большей энергии образования.

Самосогласованная модель возникновения механических напряжений в поликристаллических проводниках в процессе электромиграции вакансий, а также кинетическая модель зарождения микрополости в тройной точке кристаллической структуры и в области контактного соединения представлены в работах [36, 37]. В них система трехмерных уравнений электромиграции и деформации проводника, полученная ранее в [20-23], объединена с кинетическими уравнениями модели зарождения дефектов. Это позволяет согласованно с процессом электромиграции вычислить как время до зарождения дефекта критического размера (критический дефект), то есть такого размера, который обеспечивает дальнейший устойчивый рост дефекта, так и соответствующие ему (критические) значения концентрации вакансий и напряжений.

Основываясь на результатах работ [36, 37], в разделах 3-5 настоящей работы изложены результаты расчетов времени зарождения и геометрических параметров критической микрополости в тройной точке поликрис-таллической структуры и на границе проводника с соединительной ножкой, подложкой или изолирующим

Рис. 3. Виды дефектов, зарождающихся в проводнике вследствие неоднородности его структуры (вид сверху по отношению к рис. 1): микропора (1); бугорок (2); вырез (3)

покрытием (рис. 3). Кроме того, в случае многоуровневой металлизации (рис. 4) моделируется практически важная ситуация, когда отказ происходит вследствие конкуренции процессов образования микрополости в одной из линий в области соединительной ножки и эрозии свободного края этой линии.

Одним из важнейших направлений исследования процессов разрушения и долговечности проводящих элементов микросхем является разработка технологических мероприятий по повышению долговечности. В настоящее время в качестве одного из способов повышения долговечности алюминиевых проводников разрабатывается введение примесей, в частности примеси меди. Введение примеси меди увеличивает долговечность проводящих элементов. Это происходит вследствие того, что атомы меди, адсорбируясь в межзеренные границы проводника, значительно уменьшают подвижность ионов алюминия вдоль них. Однако ионы меди также оказываются подверженными электромиграции, вследствие чего применение этого способа нуждается в соответствующем исследовании. Моделирование электромиграции при наличии примеси, т.е. электромиграции в многокомпонентных системах, также представлено в данной работе в разделе 6.

Ключевым параметром, в значительной степени определяющим времена отказов тонкопленочных проводников, характер влияния примесей на электромиграцию материала проводника и т.д., является величина эффективного заряда вакансий (с противоположным знаком — ионов) при электромиграции [38]. Проблема вычисления эффективных зарядов является одной из важнейших при моделировании отказов микроэлектронной металлизации вследствие процессов электромиграции [23]. Это обусловлено тем, что микроэлектронные проводники представляют собой поликристаллические

Рис. 4. Виды дефектов, зарождающихся в проводнике в связи с многоуровневой компоновкой: микрополость на границе проводника с контактом или подложкой (1); эрозия свободного края (2)

пленки, в которых, как отмечалось выше, электромиграция в основном происходит по межзеренным границам. В то же время, в абсолютном большинстве работ по моделированию электромиграции данные по величинам эффективных зарядов относятся к объемам моно-кристаллических металлов.

В работе [39] развит подход для расчета из первых принципов эффективных зарядов ионов (вакансий) в объеме монокристаллических металлов и сплавов. Подход основан на вычислении силы электронного ветра, действующей на ион, методом псевдопотенциала [40].

В настоящей работе (см. раздел 7) представлена модель [41], позволяющая использовать подход, развитый в [39], для вычисления эффективных зарядов ионов (собственных и примесных) именно в межзеренной границе и впервые дающая возможность связать их величины с углом разориентировки границы и текстурой образующих ее зерен в широком диапазоне температур. В модели межзеренная граница рассматривается как мо-нокристаллический слой с атомным объемом, зависящим от угла разориентировки зерен. В то же время, от атомного объема зависят волновые числа электронов проводимости и фононов в этом слое, которые входят в различные величины, определяющие согласно [39] эффективный заряд. Таким образом, эффективный заряд оказывается зависящим от параметров межзеренной границы.

Проведено сравнение полученных результатов с экспериментальными данными и теоретическими результатами других авторов.

2. Моделирование переноса вакансий и генерации механических напряжений при электромиграции

2.1. Уравнение электромиграции вакансий

Рассмотрим миграцию вакансий в точке (х1, х2, х3) проводящей дорожки (рис. 5). Эта точка может располагаться как на границе зерна, так и внутри него. Распределение вакансий удовлетворяет следующему диффузионному уравнению:

дС

+ V& = х1> х2 ’ х3> 1X

дt

(2)

где V & = V1q1 + V 2ц2 + V3q3 (здесь и далее подразумевается суммирование по повторяющимся индексам); С(х1, х2, х3, t) — концентрация вакансий; Vг■ = д/дхг-; д, — г-я компонента диффузионного потока;

Еу (х1, х2, х3, t) — функция источников, описывающая процесс генерации и аннигиляции вакансий. В случае, когда электромиграция происходит при совместном действии электрического поля и механических напряжений, вакансионный поток (х1; х2, х3, {) имеет вид [12]:

& =

„ ^ С2* . С да

— V ¡С +--------1 , + — Е у------

г кТа0 1 кТ дхг-

(3)

где D — коэффициент диффузии вакансий; 2 * — эффективный заряд вакансий; (х1, х2, х3) — вектор

плотности тока в линии (рассчитывается отдельно); а(х1, х2, х3, t) = (стп +СТ22 +Ст33^3; еу — упругая

объемная деформация, вызванная релаксацией объема вакансии, которая дается выражением еу = — f Д < 0, где коэффициент релаксации /= 0.2-0.4 [12]; а0 — удельная проводимость материала дорожки. Отметим, что в (3) и далее для вакансионного потока, обусловленного механическим напряжением, для простоты использовано феноменологическое выражение, в котором представлена только шаровая часть а тензора механических напряжений а у, описывающая всестороннее сжатие [12]. При более строгом подходе следовало бы вместо произведения е уа писать под градиентом в (3) свертку (ыц а¡1), где Ыц — тензор деформации вакансии, что значительно усложнило бы математическое описание.

Эффективный заряд вакансии 2 * определяет в (3) движущую силу, с которой электрическое поле, приложенное к проводнику, воздействует на вакансию или (в противоположном направлении) на ион. Эта сила складывается из кулоновского воздействия со стороны приложенного электрического поля и силы «электронного ветра», обусловленной потоком электронов [38].

Выражение для потока вакансий (3) учитывает, что при образовании вакансии происходит изменение объема материала проводника, равное (1 — / )Д = / 'Д. Поэтому выражение для равновесной концентрации вакансий в присутствии механических напряжений а содержит соответствующую больцмановскую экспоненту [12]:

Се = Со ехр( f 'Да/(кТ)), (4)

где С0 — равновесная концентрация в отсутствие механических напряжений.

В достаточно общем случае скорость изменения числа вакансий в единице объема _РУ за счет их генерации или аннигиляции можно записать в виде [42]:

Ру( х1,

х2, х3.

где Ьу — кинетический коэффициент; ц у — химический потенциал вакансий, который может быть задан следующим выражением [17]:

Рис. 5. Участок проводящей дорожки

ц у = кТ 1п С-.

Се

Если концентрация вакансий С близка к равновесному значению Се, то из (5) химический потенциал можно приближенно записать в форме:

Цу = ,Т

с - се

Се

В этом случае функция источников примет вид:

X

1, х2, х3,

і) = -

с - с

(6)

где т8 = Се/кТЬУ — характерное время генерации/аннигиляции. Функция источников в форме (6) описывает аннигиляцию вакансий, если их концентрация больше равновесного значения, или их генерацию в обратном случае. Местами генерации или аннигиляции вакансий могут быть границы зерен, дислокации или свободная поверхность кристалла [35].

В работе [12] приведена оценка характерного времени т8 для различных случаев. Если наиболее эффективными источниками/стоками вакансий являются смежные границы, то

1 2Dt

GB

(7)

где DGB — коэффициент диффузии вакансий по границам зерен; X — характерная диффузионная длина порядка размера зерна; d — средний диаметр зерна.

Если основными источниками/стоками вакансий являются дислокации, то

1 2Dв

ДЕ

Х5-ЄХР \1Т

(8)

где Дв — коэффициент диффузии вакансий в объеме зерна; X — характерное расстояние до дислокации; 8 — толщина границы зерна; ДЕ—разность энергий образования вакансии в объеме зерна и в границе.

2.2. Модель деформации металлической линии

Согласно предлагаемой нами модели возникновение механических напряжений является следствием деформации проводящей линии, обусловленной тем, что концентрация вакансий в объеме металлизации начинает отличаться от равновесной вследствие их миграции, а также за счет их генерации или аннигиляции. Изменение концентрации вакансий приводит к изменению объема материала линии в данной точке, вследствие чего и возникают деформации. Для объемной деформации (г, k = 1, 2, 3), вызванной миграцией вакансий, имеем [20]:

(9)

где 81к — символ Кронекера; д, — г-я компонента вакан-сионного потока.

Уравнение для объемной деформации Е®к, вызванной генерацией вакансий, имеет вид [20]:

=-1 / '«(С - Се)8й 3

(10)

д 3 т8 Полная объемная деформация, связанная с генерацией и миграцией вакансий, дается выражением

еУк=етт+е|к. (11)

Согласно (9)—(11) изменение этой объемной деформации со временем определяется следующим кинетическим уравнением:

дЕІ=1«

ді 3

(

с - се

Л

5і, •

(12)

Кроме того, вклад е^ в деформацию элементарного объема дает также действие механических напряжений. Применяя закон Гука [43], получим:

дЕй _ с даІт ■ _ Сік.

(13)

ді ^Шт' ді ’

где СЛІт — тензор жесткости. В случае изотропного материала матрицу СіИт можно выразить через модуль Юнга Е и коэффициент Пуассона V:

Сі,Іт _ ^ 5іі51т + ~ (5іІ5іт + 5іт5И ).

Е 2Е

Таким образом, для полной деформации Еш = е^ + + е£ с учетом (12) и (13) имеем:

1

(

ді 3

с-с

Л

5і, +

+ С

да

Іт

їкІт '

ді

(14)

Отсюда в частном случае отсутствия объемных источников для полной деформации с учетом (2) имеем следующее выражение:

Еі, _ - 3 /«(С - С0 )5і, + Сі,Іт аІт •

(15)

Это выражение для механической деформации проводящей линии схоже с соответствующим соотношением для термоупругих деформаций.

2.3. Уравнения равновесного распределения напряжений

Обозначим вектор смещения в точке (х1, х2, х3) в момент времени t через и, (х1, х2, х3, ^, а вектор скорости смещения — через V =диг/ дt. В этом случае тензоры деформации Еу и скоростей деформации дедt будут иметь вид:

_ 1 Е* _ -

и +и

дЧ дХ

Л

дЬк

ді

V +дГ,

дхк дХі

Л

(16)

Используя уравнение (14) и обращая тензор С^г, получим следующие уравнения:

т

т

т

т

т

да ¡к дt

¡к1т

де

1т

дt

-Д8

1т

гV уду — г

/С — Се

\\

, (17)

S¡klm =Х8 ¡к 81т + уС8 ¡18 кт +8 ¡т 8 к1),

где X = vE/((1 + V)(1 — 2у)), ц = Е/(1 + V) — постоянные Ламе.

Запишем уравнения равновесия деформируемого тела [44]:

да,,

дхк

¡к _

= 0.

(18)

Дифференцируя уравнение (18) по времени, подставляя значение производной тензора напряжений из (17) и используя (16), получим уравнения для поля скоростей V в состоянии равновесия:

1 V V V +^ д^ =

1 к к 2 1 + V '

2(1 + V)

=3 ^

Д

/V уду — /

/ с—Се тс

(19)

где Д — лапласиан.

Уравнения (19) описывают распределение поля скоростей локальных смещений в проводнике в результате миграции вакансий и их генерации/аннигиляции.

В случае отсутствия объемных источников/стоков вакансий из (19), (2) и определения V получим, что уравнения для поля смещений в состоянии равновесия имеют вид:

----1--V ¡V кик +ди =—1Д / V С. (20)

2(1 + V) 1 к к 2 1 + V ' 3 J 1 К '

Основным отличием предлагаемого подхода от имеющихся в литературе [12, 13] является выраженное уравнениями (14), (17) наиболее точное описание связи деформации и механических напряжений в данной точке (х1, х2, х3) проводящей дорожки в ходе электромиграции. Это позволяет рассчитывать развитие обратного потока вакансий, обусловленного градиентом этих напряжений. Кроме того, (17) и (18) представляют собой точные трехмерные уравнения для определения равновесного распределения механических напряжений в металлической линии. В случае равновесия уравнения (17) и (18) приводят к точному соотношению (19), связывающему скорость смещения в данной точке с концентрацией вакансий в ней, в результате чего получено самосогласованное описание всей задачи. Если линия нанесена на подложку и покрыта изолирующим слоем, то для последних правая часть в уравнении (19) полагается равной нулю.

Развитый подход позволяет, в принципе, рассчитывать значения всех компонент тензора напряжений, а не только его сферическую часть. Граничные и началь-

ные условия для уравнений, полученных в этом разделе, записываются ниже при описании электромиграции в конкретных системах (см. разделы 4 и 5).

3. Кинетическая модель зарождения микрополости

3.1. Классическая модель зарождения вакансионных кластеров

В качестве модели образования микрополости используем классическую модель зарождения новой фазы [45, 46].

Рассмотрим систему, содержащую пересыщенный раствор вакансий при фиксированных внешних условиях. В такой системе флуктуационно могут образовываться кластеры (микрополости), состоящие из некоторого числа вакансий. Полагается, что число вакансий п в микрополости случайным образом вследствие поглощения или испарения отдельных вакансий меняется на ± 1 (изменения п за счет поглощения/испарения вакансионных димеров, тримеров и т.д. значительно более редки, поэтому исключены из рассмотрения) [46]. Таким образом, эволюцию микрополости можно рассматривать как процесс случайных блужданий (диффузии) в фазовом пространстве размеров под действием силы, потенциалом которой является изменение свободной энергии Гиббса системы при последовательном переходе от п вакансий к п-мерному кластеру (п-мер).

Равновесная концентрация п-меров дается следующим выражением [46]:

Со( п) = С о (1) ехр( — ДGn/kT), (21)

где с0(1) — равновесная концентрация вакансий; ДGn — изменение свободной энергии Гиббса системы при образовании п-мера [47]. Поскольку при образовании вакансионного кластера всегда имеет место выигрыш в объемной свободной энергии и проигрыш в поверхностной, то зависимость ДGn (п) качественно ведет себя, как показано на рис. 6. Кластер размером п* —

Рис. 6. Качественная зависимость изменения свободной энергии Гиббса системы от размера кластера. Д с — ширина области на оси размеров, где изменение свободной энергии системы отличается от максимального значения не более, чем на квТ

Т

критический зародыш, т.е. частица новой фазы такого размера, при котором изменение свободной энергии системы, связанное с ее образованием, максимально (рис. 6). Условие максимума изменения свободной энергии совпадает с условием равновесия (механического и химического) между критическим зародышем и окружающей его пересыщенной средой [46]. Кластеры размером меньше критического имеют тенденцию к распаду на мономеры, в то время как кластеры размером больше критического стремятся к дальнейшему росту и снятию пересыщения. В обоих случаях свободная энергия системы снижается.

Исходя из принятого выше механизма изменения числа вакансий в и-кластере на каждом шаге только на ± 1, запишем кинетическое уравнение для концентрации и-меров с(и, 0: дс(п,{)

dt

■ = —c(n, t)[PA(n) + a(n)A(n)] +

+ с(п -1, t) РА(п -1) + с(п +1, {) а(п +1) А(п +1), (22)

где в — частота поглощения мономеров единицей площади кластера; а(и) — частота испарения мономеров с единицы площади кластера размером и; Л(и) — площадь поверхности и-мера.

Согласно принципу детального равновесия в состоянии равновесия количество кластеров, совершивших переход п ^ п +1, равно числу кластеров, перешедших в обратном направлении п +1 ^ п. Из этого условия можно получить следующие равенства [46]:

с0 (п) РА(п) = с0 (п +1) а(п +1) А(п +1), (23)

с0 (п -1) вА(п -1) = с0 (п) а(п) А(п). (24)

Исключая с помощью соотношений (23) и (24) в уравнении (22) параметр а(и) и переходя от дискретного описания по и к непрерывному, т.е. делая замены вида [с(п) - с(п -1)] ^ дс(п)/дп, получаем из (22) следующее кинетическое уравнение: дс(п, ^ _ дJ дt дп ’

дс(п, t)/co(n)

(25)

где J = — D(n)c0(n)-

dn

-, D(n) = РДп).

Уравнение (25) решается в стационарном случае, когда пересыщение поддерживается постоянным, а кластеры, достигшие некоторого макроскопического размера, удаляются из системы и заменяются эквивалентным объемом мономеров. В этом случае dc/dt = 0 и

D(n)c0 (n) д cs(n)/c°(n) = — j^ = const, (26)

dn

где cs (n) — стационарное распределение кластеров по размерам; Js — стационарная скорость зарождения, т.е. число кластеров размером n + 1, образующихся из n в единицу времени в единице объема, не зависит от n. Это уравнение интегрируется на интервале [1, ^) со следующими условиями в граничных точках [45]:

г=1

= 1, ^

c0

= 0.

Как было отмечено выше, способными к росту являются лишь те кластеры, размер которых превышает критический п*. Поэтому в дальнейшем рассмотрение будем вести лишь для кластеров критического размера. В [45] интегрированием (26) было получено следующее выражение для стационарной скорости зарождения кластеров критического размера:

J* = ZD *o(n*),

(27)

где Z =

1 l d 2AGn ^

2nkT dn2 \ У n=n* _

1/2

— коэффициент Зель-

довича; D* = D(n*).

В [45], используя результаты расчетов [48], также установлено, что зависимость скорости генерации кластеров критического размера от времени имеет вид:

J*(0 = J* ехр(-т/0, (28)

где т — время инкубации. Если в какой-то момент времени мгновенно задается некоторое вакансионное пересыщение, то через время т все переходные процессы практически прекращаются и устанавливается стационарное значение скорости генерации критических кластеров.

Для времени инкубации т существует много оценок [45, 46, 49, 50], однако наиболее проработанной, на наш взгляд, является оценка, полученная в работе [46]. Авторы исходили из того, что стационарное состояние не может установиться, пока не установится стационарная концентрация кластеров надкритического размера. В результате, оценивая время инкубации как время, необходимое для образования кластера размером п* + 0.5Д с (Дс — ширина области оси размеров, где изменение свободной энергии системы отличается от максимального значения не более чем на КТ (рис. 6)), они получили следующую оценку:

т = —. (29)

2П*2 2

Тогда согласно (27)-(29) число критических кластеров N *, образующихся за время t в объеме V при фиксированных внешних условиях в предположении о пространственной однородности процесса, дается следующим выражением:

т

N * (t) = VJЛ expl —

0 1 t

dt =

= VJ*/ exp f—---------1—2

0 2D*tZ2

dt.

(30)

Таким образом, использование выражений (27)-(30) в каждом конкретном случае (см. ниже) связано с подстановкой в них зависимости ДGn (п), отвечающей данному случаю образования микрополостей.

n——

3.2. Определение времени до зарождения микрополости при электромиграции

Рассматривая электромиграционное образование микрополостей, следует иметь в виду, что скорость генерации критических зародышей в единице объема зависит от двух различных временных шкал. Первая шкала t определяется непосредственно процессом зарождения при данном уровне пересыщения вакансиями, а вторая шкала г' связана с зависимостью от времени ва-кансионного пересыщения, т.е. времени инкубации т = т(г'). Фактически стартовой временной точкой процесса зарождения микрополости является время г' установления данного значения пересыщения. В результате уравнения (28) и (30) перепишутся в следующем виде:

т(^)'

J* (г, {) = Л* (г')ехр

t — t

N * (г, г') = VL J* (г')/ ехр

t — t

d t,

(31)

(32)

где t > t/; VL — объем проводящей линии, а

т(^) = -

1

(33)

2D*(г')гЦ')2 ’

Js* (г') = г (г') D* (г' )с„(п*, г').

Таким образом, на основе уравнения (32) можно записать интегральное уравнение для времени до зарождения микрополости, определив его как время, в течение которого зарождается одна микрополость критического размера (N * = 1) при фиксированных вакан-сионном пересыщении и механических напряжениях:

т(г') г — г

йг = 1.

(34)

Уравнение (34) позволяет определить время до зарождения лишь при заданных внешних условиях. Чтобы получить истинное время до зарождения микрополости гп с учетом временных зависимостей вакансионного пересыщения и механических напряжений, воспользуемся подходом [51], согласно которому считается, что величина [^ (г')]—1 представляет вероятность зарождения в единицу времени. Тогда уравнение для гп вытекает из условия, что полная вероятность зарождения микрополости за время гп равна единице, т.е.

1

-йг' = 1.

(35)

0 ^(г')

В тех случаях, когда зарождение критического вакан-сионного кластера является лимитирующей (самой медленной) стадией в последовательности процессов, приводящих к разрыву проводника, время гп, рассчитанное по уравнению (35), может считаться хорошей оценкой времени отказа металлизации вследствие электромиграции.

Ниже подходы, описанные в разделах 2 и 3, использованы для рассмотрения разрушения металлизации в некоторых важных конкретных случаях.

4. Расчет времени до отказа двухуровневой металлизации

В данном разделе применим развитые выше модели для анализа электромиграции вакансий, зарождения и роста дефектов в окрестности контактного соединения двухуровневой металлизации (рис. 7). Именно в этой части металлизации имеются локальные участки повышенной плотности тока, концентрации механических напряжений и вакансий, что приводит к более быстрому зарождению микродефектов, чем в других ее частях.

Проводящие дорожки М1, М2 представляют собой тонкие алюминиевые пленки, соединенные вольфрамовой ножкой. В рассматриваемом случае полагается, что толщина дорожки лежит в пределах 0.3-0.5 мкм. Ниже рассмотрена модель разрушения проводящей линии М2 в процессе электромиграции вакансий.

4.1. Возможные механизмы разрушения

В разделе 1 указывалось, что одной из возможных причин отказа алюминиевых дорожек является зарождение и развитие внутри проводника микрополости до размеров, сравнимых с поперечными размерами дорожки. В этом случае долговечность работы микросхемы определяется суммой времен зарождения и развития микрополости.

Эксперименты показали (см., например, [52]), что для многоуровневой (в простейшем случае двухуровневой) металлизации помимо этого механизма (рис. 8, а)

Рис. 7. Двухуровневая металлизация. Алюминиевые дорожки, соединенные вольфрамовым контактом: общий вид (а); вид в сечении (б)

б] Al 1

W

Рис. 8. Возможные места образования микродефектов: внутри проводника (а); с торца проводника (б)

отказа возможен также и другой (другая мода): разрушение с края линии (рис. 8, б). Оно происходит за счет эрозии открытого торца проводника в результате выхода вакансий на его поверхность. Из-за этого длина проводящей дорожки постепенно уменьшается со стороны торца, что со временем приводит к уменьшению площади ее контакта с ножкой и, в итоге, к нарушению проводимости, т.е. к отказу.

Рассмотренные выше механизмы разрушения многоуровневой металлизации являются конкурирующими. С началом прохождения электрического тока начинает развиваться как эрозия торцевой поверхности проводника, так и накопление вакансий в местах возможного зарождения микрополости. Время отказа металлизации будет определяться быстрейшей из этих двух мод. Из экспериментальных данных известно [52], что при плотностях тока ниже некоторой (критической) отказ происходит за счет эрозии торца, а при более высоких плотностях — за счет зарождения и развития полости. Критическая плотность тока является одним из важных параметров, характеризующих надежность многоуровневой металлизации.

Как было отмечено выше, современные проводящие линии обладают бамбуковой поликристаллической структурой (рис. 1). В этом случае к свободному краю примыкает, как правило, одно зерно, что дает основание при расчете движения края не учитывать межзеренные границы и другие структурные особенности.

4.2. Зарождение микрополости на границе металлизации

Рассмотрим сначала зарождение микрополости на границе проводника с подложкой (изолирующим слоем) (рис. 8, а). Предполагается, что микрополость имеет форму сферического сегмента высоты Н, сферы радиуса R (рис. 9). При этом плоская граница сегмента совпадает с нижней гранью проводника, а развитие полости происходит только внутрь проводника.

Согласно описанному выше подходу изменение свободной энергии при зарождении микрополости рассматриваемой формы дается выражением [23]:

Ф V

где ц v — химический потенциал вакансий; у AV, у AS,

Y SV — удельные поверхностные энергии соответственно поверхности микрополости, границы «проводник -подложка», границы «подложка - полость»; a, b, c — коэффициенты, которые определяются из условий механического равновесия сил поверхностного натяжения на границе микрополости:

a = 2 п(1 - р), b = 2 п(1 - p2), с = П(2 ^ + —,

р = cos а = YAS -YSV .

Y AV

Химический потенциал вакансии дается выражением [23]:

-2Q

(37)

,ТЛ C а 2Q ц v = kT ln---------------\-.

v C 2B

Критическое изменение свободной энергии ДG*, необходимое для образования критической микрополости, получается из условия Э (ДСК)/ЭЛ = 0 и имеет вид:

AGR =

= 4(Yava +(Ysv -YAS)b)3Q2

27цVс2

(38)

(39)

и достигается при значении радиуса Я равном Л* = 2( У ау а +(15У — 1 лз)Ь)^

3|^с ’

Размер критической микрополости может быть выражен через число вакансий пк, образующих ее:

э*3 о/*, ^ I Л/ л/ \k\3o2

. (40)

n = cR = 8(YAVa + (YSV YAS)b) Q nk

Q

27цVс2

Так же, как это сделано в работе [23], для упрощения численных расчетов полагаем в уравнении (35), что (г') = т(г'). Подставляя (38) в (33), получим, что время инкубации микрополости для данных мгновенных зна-

AGR = (YAVa + (YSV -YAS)b)R -‘

Q

-R3

(36)

Рис. 9. Микродефект в форме сферического сегмента на границе проводящей линии. Линия ограничена плоскостью у = 0: общий вид (а); вид в плоскости 2 = 0 (б)

чений концентрации вакансий С и шаровой части тензора напряжений а имеет вид:

2кШ (уАуа + (Уду - УAs)b) Г ^

2/3

(41)

CD|V ^ с

где d — межатомное расстояние кристаллической решетки алюминия; D — эффективный коэффициент диффузии (коэффициент зернограничной диффузии, помноженный на объемную долю границ зерен) и где использовано, что

D

2/3

(здесь С — объемная безразмерная концентрация (доля) вакансий) [33]. Шаровая часть тензора напряжений входит в (41) неявно через химический потенциал.

4.3. Электромиграция вакансий в линии с открытым торцом

Считаем, что линия М2 (рис. 7, б) до начала электромиграции имеет вид прямоугольного параллелепипеда длиной L, шириной Wи высотой Н(рис. 10). Материал линии предполагается однородным и изотропным.

Процесс электромиграции вакансий в линии М2 описывается уравнениями (2), (3) с функцией источников (6):

сг *

дС А

Эt дх,

D

-V ,С + -

кТа,

С Эа

+ — ЄУ^—

кТ

Эх,

с-с

тс

(42)

Эволюция механических напряжений в линии описывается уравнением (17), которое в случае изотропного материала примет вид:

дEik

дt

+ ц-

дt

- (ЗЛ + ц) Д8,к

/ V Л; - /

с - се

(43)

Поскольку металлизация находится в равновесии со своим окружением, то тензор скоростей деформации вычисляется через уравнения (16) и (19).

Начальное условие для уравнения (42) имеет вид:

С (х1,‘ x2, ^, 0) = С0- (44) Граничные условия для уравнения (42) зададим следующим образом: на плоскостях х2 = 0, х2 = Н, х3 = 0 и х3 = W ставится условие блокировки потока вакансий (Чп — составляющая потока, нормальная к данной поверхности):

qn = 0, (45)

при х1 = 0 условие принимает вид:

с(0, Х2, Хз, г) = С). (46)

Такая постановка граничного условия впервые была предложена в работе [28]. Использование этого условия связано с тем, что реальная длина L металлизации может достигать нескольких десятков микрометров и более, однако существенные изменения концентрации вакансий происходят только на расстояниях ~10 толщин линии от свободного края. Таким образом, использование условия (46) позволяет исключить из рассмотрения ту часть линии, в которой изменение концентрации вакансий незначительно, что существенно сокращает время расчета при реализации численных схем.

При постановке граничного условия на свободном торце линии (х1 = L) будем полагать, что поток вакансий чп к его поверхности приводит к эрозии, в результате чего поверхность смещается со скоростью ип [53]:

и п(г ) = — Чп (47)

На этом конце линии граничное условие зададим в виде:

Чп(г) = —а(С — Сс), (48)

где а — константа, пропорциональная вероятности (в единицу времени) того, что вакансия преодолеет энергетический барьер Е в приповерхностном слое торца: а = ехр(— Е /кТ), (49)

где Ь — величина порядка межатомного расстояния материала линии М2; v0 — частота тепловых атомных колебаний.

Начальное условие для уравнения (43) имеет вид: Яу (Х1, Х2, Х3, 0) = 0. (50)

Начальное условие для уравнения (19) формулируется следующим образом:

Vi (х1; Х2, Х3, 0) = 0. (51)

Постановка граничных условий для этого уравнения определяется топологией рассматриваемой системы. В простейшем случае, когда линия со всех сторон окружена абсолютно жестким материалом, граничные условия на всех поверхностях, кроме свободного края, ставятся в виде:

V- = 0. (52)

На свободной поверхности линии условие имеет вид:

Эяу

Ц-п = °- (53)

Т

Рис. 11. Пояснение к одномерной модели проводящей линии

4.4. Упрощенная одномерная модель электромиграции вакансий в линии М2

Проведение численных расчетов с использованием рассмотренной в п. 4.3 трехмерной модели требует очень больших вычислительных ресурсов. Поэтому используется упрощенная одномерная модель электромиграции вакансий. Одномерные уравнения получаются из общих трехмерных уравнений путем их осреднения, т.е. интегрирования, по поперечному сечению линии (подробности этой процедуры описаны в работе [20]). Кроме того, рассчитываются не все компоненты тензора механических напряжений, а только его сферическая часть, которая оказывает влияние на процесс электромиграции.

В одномерном случае линия представляет собой однородную полосу длины I (рис. 11). Контактная ножка имеет ширину Д и располагается на расстоянии ¡х от начала линии. Свободным считается край при Х1 = Х = = I. В результате осреднения с учетом граничных условий (45) уравнение (42) принимает форму: дс (Х, г) = дQ с — се дг Эх т 8 ,

дс г * с(х, г)0/ да

Q = D---------\----Л(х)с(х, г)---------------

дх кТа0 кТ дх

с начальными и граничными условиями с(х, 0) = с0, с(х, г) |х=0 = с0,

^Хг) |х=1 =—а(с — с0), где с(х, 1) — осредненная по сечению проводника концентрация вакансий.

Соответствующее одномерное кинетическое уравнение для сферической части тензора напряжений, отвечающее потоку и источнику вакансий из (54), получает ся из (17) и имеет вид [20]:

(54)

(55)

'эГ = Вй

дг

+ ,с — се

— I + / ---------------

дх тс

(56)

где В — объемный модуль упругости.

В предположении, что плотность тока, выходящего из контакта, одинакова вдоль его сечения и равна у0, одномерное распределение плотности тока /(х) в линии имеет вид:

Уо Д/Н, 0 < х < ¡,,

Л(х) = ■ у0 (¡1 +Д — х)/Н, ¡| < х < ¡^ + Д, (57)

0, ¡1 + Д < х < ¡.

Для численного моделирования долговечности двухуровневой металлизации была разработана компьютерная программа по расчету диффузии вакансий и эволюции механических напряжений в постановке (54)-(57), а также расчету и сравнению времен до отказа по каждой из двух мод нарушения проводимости. Результаты расчета итогового времени до отказа TTF металлизации в зависимости от плотности тока для различных значений геометрических параметров и температур представлены на рис. 12-15. При этом предполагалось, что для моды разрушения, связанной с ростом полости на границе «проводник - изолятор», лимитирующей стадией процесса является зарождение микрополости, и в качестве TTF бралось время гп, рассчитанное по (35).

В расчетах использовались следующие значения физических параметров: энергия активации диффузии в границе зерна 0.65 эВ; энергетический барьер в приповерхностном слое 0.87 эВ; энергия активации диффузии в объеме зерна 1.15 эВ; длина рассматриваемого участка линии 5 мкм; частота тепловых атомных колебаний 1013 Гц; атомный объем 1.66 • 10-29 м3; межатомное расстояние 2.5 • 10-10 м; объемный модуль упругости 60 ГПа; релаксационный параметр 0.2; эффективный заряд вакансии 12|е|; удельное сопротивление 2.5 • 108 Ом • м. Использовались также следующие значения поверхностных энергий для алюминия — 1 Дж/м2, границы алюминия-подложки — 1.5 Дж/м2, подложки — 0.9 Дж/м2

[4].

В табл. 1 приведены геометрические параметры линий, для которых получены результаты на рис. 12-15.

1одСПТ)

] 3

430 445 460 475 Т, К

Рис. 12. Зависимость времени отказа двухуровневой металлизации от плотности тока для различных геометрических параметров и температур. j = / • 1010 А/м2

1.2

1.1

1.0

3 5 10 13 ]

а, 10~3

3 5 10 13 ]

Рис. 13. Распределения концентрации вакансий (обезразмеренные значения) вдоль линии М2 двухуровневой металлизации для различных плотностей тока. j = / • 10-10 А/м2, Т = 460 К

На рис. 12 представлены результаты расчета ТТБ в зависимости от плотности тока для различных геометрических параметров и температур. Из графиков видно, что с уменьшением температуры значения ТТБ увеличиваются, а с увеличением плотности тока — уменьшаются.

На графиках хорошо видны два механизма разрушения пленки: 1) при достаточно малой плотности тока эрозия свободного края (^(ТТБ) ~ 7-8) и 2) зарождение микродефекта (^(ТТБ) ~ 4-5) при ее повышении. Значение плотности электрического тока, при котором происходит переход от одного механизма разрушения к другому, называется критическим током. Из представленных графиков видно, что значение критического тока увеличивается с ростом температуры.

Из геометрических параметров основное влияние на значение критического тока и ТТБ оказывает расстояние от ножки до свободного конца линии. Из графиков

Таблица 1

Геометрические параметры проводящих элементов, использованных в расчетах

Рисунки Геометрические параметры проводящей дорожки

¡1, мкм Д, мкм

12, а, 13, а, 14, а, 15, а 4.0 0.5

12, б, 13, б, 14, б, 15, б 4.2 0.3

12, в, 13, в, 14, в, 15, в 4.2 0.5

12, г, 13, г, 14, г, 15, г 4.4 0.3

Рис. 14. Распределения сферической части тензора напряжений (обез-размеренные значения) вдоль линии М2 двухуровневой металлизации для различных плотностей тока. j = / • 10-10 А/м2, Т = 460 К

видно, что с уменьшением этого расстояния значения ТТБ уменьшаются, однако критический ток при этом увеличивается.

На рис. 13 и 14 представлены соответственно распределения концентрации вакансий и сферической час-

Размер микрополости, нм

430 445 Т, К

Рис. 15. Зависимость размера микрополости в линии М2 двухуровневой металлизации от плотности тока для различных температур. j = = / • 1010 А/м2

ти тензора напряжений (в безразмерной форме) вдоль линии в момент разрушения для разных значений плотности тока. Все распределения представлены для Т = = 460 К. Обезразмеривание для концентрации вакансий осуществлялось путем деления на начальную концентрацию, а для сферической части тензора напряжений — делением на объемный модуль упругости. При этом при плотностях тока 3 • 1010 и 5 • 1010 А/м2 разрушение происходит за счет эрозии свободного края проводника, а при плотностях тока 1.0 • 1011 и 1.3 • 1011 А/м2 — путем зарождения микрополости в объеме проводника.

Из представленных распределений видно, что и концентрация вакансий, и сферическая часть тензора напряжений имеют максимумы, совпадающие по расположению. Однако при разрушении путем образования микрополости максимумы расположены над областью контакта, а при разрушении за счет эрозии края — перед контактом. Это объясняется распределением плотности тока в линии (57). Область максимума в процессе электромиграции в линии первоначально появляется над правым краем контакта, где плотность электрического тока равна нулю, постепенно перемещается над контактом влево и останавливается за его левым краем.

На рис. 15 представлены размеры зародившихся микрополостей в зависимости от плотности тока при различных температурах. В качестве размера взят радиус Я сферического сегмента (см. рис. 9). Из представленных графиков видно, что размер микрополости уменьшается с увеличением плотности электрического тока и увеличивается с ростом температуры.

5. Расчет времени до зарождения микрополости

в тройной точке поликристаллической структуры

Рассмотрим далее типичный фрагмент проводящей

алюминиевой линии с бамбуковой зернистой структурой, выполненной на кремниевой подложке и покрытой изолирующим слоем (рис. 16).

Подложка и изолирующий слой полагаются абсолютно жесткими. Электрический ток направлен вдоль линии (рис. 16, а). Предполагается, что транспорт вакан-

сий происходит исключительно по межзеренным границам (доля объемной диффузии пренебрежимо мала). В силу однородности кристаллической структуры линии вдоль оси Х3 (рис. 16, а) и оговоренного выше направления электрического тока (у3 = 0) предполагается, что все величины не зависят от Х3.

Предположение о том, что электромиграция происходит только по межзеренным границам, позволяет перейти к одномерной модели. Уравнения, описывающие электромиграцию и эволюцию механических напряжений, выписываются для каждого прямолинейного участка межзеренных границ рассматриваемого фрагмента в системе координат, связанной с ним (рис. 17). Далее в силу того что ширина межзеренной границы (~1 нм)

Рис. 16. Проводящая алюминиевая дорожка с бамбуковой зернистой структурой (на данном рисунке подложка и покрытие не изображены (см. рис. 1), стрелкой показано направление потока электронов) (а); рассматриваемый фрагмент проводящей алюминиевой дорожки (вид сверху, цифрами обозначены прямолинейные участки границ зерен, сходящиеся в тройной точке) (б)

значительно меньше ее длины (~1 мкм), производится осреднение рассматриваемых двумерных уравнений по координате х2. В местах соединения прямолинейных участков межзеренных границ (тройных точках) производится сшивание решений (подробнее см. в п. 5.1).

5.1. Переход к одномерным уравнениям вдоль межзеренной границы

Запишем электромиграционное уравнение (2) в двумерном случае в предположении, что внутри самой границы зерна источники вакансий отсутствуют:

дС(х1? х2, г) = дч-дх; ’

Эt

Чі = DGB

z *Р 0

(58)

ЭС . ^ СО/ Эа

■— + у -— ------

дх кТ Эх,

, і = 1, 2,

У =

кТ

где С(хх, х2, г) — концентрация вакансий в межзеренной границе; 41 (х1? х2, г) — /-я компонента потока вакансий; DGB — коэффициент зернограничной диффузии; у- — /-я компонента вектора плотности электрического тока; ^ — объем ячейки плотной упаковки, занимаемой атомом; р0 — удельное сопротивление материала линии (р0 = 1/ а 0, (3)).

Рис. 17. Система координат, связанная с прямолинейным участком межзеренной границы. 5 — ширина межзеренной границы, у 1 — проекция вектора плотности электрического тока на ось Х1

Переход к одномерной модели осуществляется посредством осреднения левых и правых частей уравнений (58) по х2, т.е. посредством интегрирования по х2 в пределах от — 8/2 до 8/2 (8 — ширина межзеренной границы, рис. 17). В этом случае

dCv dt

Q = D

dQ

dx1

■

q2

(59)

GB

dCV + Y jCv - Cv f Qda

Эх1

kT Эх1

где у — проекция вектора плотности электрического тока на ось х1 (рис. 17);

1 8[ 2

Cv(x1> t) =g jC(x1> x2> t)dx2;

-8/ 2 8/ 2

^х1> г) = 1 1 Ч1(х1> х2’ г)йх2-8—8/ 2

В дальнейшем х1 = х.

Потоки (х + 8/2, г) описывают обмен вакан-

сиями между межзеренной границей и прилегающими зернами. Фактически, член (ч+ — Ч—)/8 описывает генерацию вакансий в единице объема межзеренной границы в единицу времени. Будем считать, что этот член приближенно может быть записан как объемный источник (^ — Сте)/т8, где т8 — характерное время обмена вакансиями между межзеренной границей и прилегающими зернами.

Таким образом, получается следующее одномерное уравнение электромиграции:

dCv =_dQ - Cv -C dt dx Ts

raQf,Л

(60)

Cve = Cv0 eXP

kT

Q = DgbI-^Cv + yjiCv - Cvf Qda

Эх

kT dx

где С^х, г), Cve(х, г), Q(x, г), а(х, г) — соответственно осредненная концентрация вакансий в межзеренной границе, ее равновесное значение при данных внешних условиях, осредненные поток вакансий вдоль границы зерна и распределение шаровой части тензора механических напряжений вдоль межзеренной границы.

Что касается уравнения, описывающего эволюцию сферической части тензора напряжений а, то здесь необходимо учесть следующее обстоятельство. Вследствие абсолютно жесткого покрытия объем линии считается постоянным. Усредненные деформации в зерне еG определяются характерными смещениями и и характерным размером зерна L: еG ^ и^. Деформации в границе зерна пропорциональны и/8. Так как L >> 8, то можно пренебречь деформациями зерен. Поэтому механическое напряжение в межзеренной границе должно компенсировать деформации, вызванные транспортом

вакансий. Перейдем тогда с учетом этого обстоятельства в уравнении (14) к сферической части а тензора а-к. Далее в качестве объемного источника вакансий используем член (ч+— Ч—)/8, играющий эту роль в (59) и (60), и, наконец, ограничимся одномерным (вдоль межзерен-ной границы) рассмотрением. В этом случае уравнение

для а имеет вид:

Эа

И

= BQ

- f dQ + f, Cv - Cv dx Ts

(61)

где В — объемный модуль упругости.

Таким образом, получаем систему самосогласованных уравнений (60) и (61), описывающих соответственно электромиграцию и эволюцию механических напряжений.

В качестве начального условия для концентрации вакансий было взято следующее:

^( х,0) = С *,, (62)

т.е. в начальный момент она равна равновесной концентрации вакансий при отсутствии внешних воздействий. Напряжения же в начальный момент равны нулю: а(х, 0) = 0. (63)

Граничные условия для диффузионного уравнения могут быть двух типов:

1. В точке выхода межзеренной границы на поверхность 51 линии ставится условие блокировки потока вакансий:

Q| з = 0. (64)

2. В тройной точке ставятся условие неразрывности потока:

q\

+ Q2 + Q 3 = о (65)

UP I TP I TP

(сумма потоков, приходящих в тройную точку по границам зерен, равна нулю) и условие непрерывности концентрации вакансий:

Cv(xTP> t) = Cv (xTP> t) = Cv(xTP> 0> (66)

где индексы 1, 2, 3 соответствуют прямолинейным участкам, сходящимся в тройной точке (рис. 16, б); xTP — координата тройной точки.

Ниже для оценки характерного времени Ts генерации/аннигиляции вакансий предполагалось, что имеет место дислокационный механизм (см. (8)). Тогда, пренебрегая в (8) разностью AE по сравнению с энергией активации диффузии вакансий в объеме зерна, имеем Ts = Л8/2 DB, где X — характерное расстояние от меж-зеренной границы до дислокаций в прилегающих зернах; DB — коэффициент объемной диффузии вакансий. Коэффициенты диффузии, входящие в (60) и (61), рассчитывались из аррениусовских зависимостей [35]:

dgb = dgb exp

kT

DB = DB exP

kT

= a v exp

(

= a v exp

kT

V У

kT

8

где а — межатомное расстояние; V — частота колебаний атома относительно положения равновесия (V ~ 1013 с-1);

/7 GB 771В

Еа и Еа — энергии активации соответственно зернограничной и объемной диффузий.

5.2. Определение времени до зарождения микрополости

В предлагаемой модели принято, что поверхности образующейся микрополости являются сферическими сегментами одинакового радиуса, а углы, образуемые ее поверхностями и межзеренной границей, отвечают условию равенства сил поверхностного натяжения (рис. 18):

cos ф = Ymm . 2y mv

(67)

где умм и уму — удельные поверхностные энергии соответственно межзеренной границы и поверхности полости.

Запишем изменение свободной энергии Гиббса ДG п системы при кластеризации п вакансий. Оно связано с образованием поверхности поры, с исчезновением частей межзеренных границ (на рис. 18 они показаны пунктирными линиями), с убылью числа вакансий в связи с их трансформацией в новую фазу и с изменением упругой энергии системы вследствие образования свободной поверхности поры. В результате имеем [23]:

(68)

где Аму и Амм — суммарные площади поверхности соответственно образовавшейся микрополости и исчезнувших участков межзеренной границы; |v = кТх х 1п(Су/Cve) — химический потенциал вакансии в тройной точке (см. (5)); 8^Е — убыль упругой энергии системы, связанная с зарождением микрополости:

8^е ^—(а7(2В))^1а, (69)

где а — значение шаровой части тензора напряжений в тройной точке; VVoid — объем образовавшейся микрополости.

Для рассматриваемой геометрии (см. приложение в работе [23])

Амм = , АмУ = 0Г , Vvoid = ?г = п^> (70)

где г — радиус каждого из сферических сегментов;

Рис. 18. Геометрия поры, образующейся в тройной точке. Поверхности являются сферическими сегментами. ф — равновесные углы между поверхностями поры и межзеренной границей

X

= 3ß(1 - Р2) - Рд/3 - 4p2 ;

0 = 12 9 = 2

--а - pß

2 I---------

п-2а + ^ д/3 - 4 p 2 -ßp(3 - p 2)

p = cos ф (см. (67)); а = arcsin (і/(2д/і - p2 )); ß =

(p/д/3(1 - p 2) ).

Поскольку r = (^/9) , TO AGn( n) =

где

= arccos

= О 2/3

YMV0 YMMX

23

2/3 -

M v +—О 2 B

n. (71)

Из полученной зависимости видно, что функция ДОп(п) качественно ведет себя так, как показано на рис. 6.

Размер критического зародыша определяется из условия

дДОп (п )

dn

= 0,

откуда с учетом (70) его радиус равен

Ґ 2 ^-1 а ^

+— О у 2 В

r = 2 о Y MV0 Y MMX

* 3

3AG n( n*)

(72)

V Уму0 УммХ Получим теперь выражение для времени инкубации т, которое определено соотношением (33). Как показано в [33], если считать микрополость близкой к сферической, то для величины В * имеет место приближенное соотношение

(73)

где 5 у = Су/ Су — обьемная доля вакансий (Су — концентрация атомных узлов). Подставляя (71) в (27) и (27) вместе с (73) в (33), в результате получим:

2пкТ °2^а2 уМу0-умм%

T(t') =

DGB Sv (t )

9

2/3

\-2

(74)

где 8 v — объемная доля вакансий в тройной точке; г' — время достижения данного уровня вакансионного пересыщения и механических напряжений.

Далее, как и выше (п. 4.2), для простоты расчетов ограничимся случаем, когда инкубационное время т(г') фактически и есть время (г') до зарождения полости при заданном уровне вакансионного пересыщения и механических напряжений (обоснование упрощения

х

Рис. 19. Фрагмент проводящей алюминиевой дорожки, для которого производился расчет времени до зарождения поры в выделенной тройной точке. Стрелкой показано направление потока электронов

т(г') ^ (г') представлено в работе [23]). Истинное время до зарождения микрополости гп с учетом зависимости пересыщения от времени находится затем из (74) и уравнения (35).

5.3. Результаты расчетов и обсуждение

Упрощенная модель, изложенная в разделах 5.1, 5.2, была использована для численного расчета времени до зарождения микрополости гп в тройной точке фрагмента проводящей алюминиевой дорожки, схематически изображенного на рис. 19.

Расчеты производились при следующих значениях физических параметров: В = 60 ГПа; р0 = 3 • 108 Ом • м;

г * = 12|е| (е — заряд электрона); = 0.6 эВ; ЕВ = = 1.2 эВ;/ = 0.2; а = 2.5 • 1010 м; О = 1.66 • 1029 м3; X = = 2 нм; 8 = 0.5 нм. Длина фрагмента принята равной

2 мкм.

С этими данными получены зависимости механических напряжений (рис. 20), концентрации вакансий (рис. 21) и вакансионного пересыщения (рис. 22) в тройной точке в момент зарождения полости, а также радиуса полости (рис. 23) и времени до ее зарождения (рис. 24) от плотности электрического тока (у = / • 1010 А/м2) и температуры.

Для объяснения поведения полученных кривых были также рассчитаны и проанализированы временны е зависимости шаровой части тензора механических напряжений, концентрации вакансий и вакансионного пересыщения в тройной точке без учета образования полости (рис. 25-29). Сначала, в течение очень небольшого времени (его можно назвать временем инерции стоков) происходит интенсивное накопление вакансий в тройной точке вследствие сильной дивергенции их потока (рис. 25). Дело в том, что в силу большей величины проекции вектора плотности тока на ось хх горизонтальной границы (рис. 17) приток вакансий в тройную

Рис. 20. Зависимость шаровой части тензора механических напряжений в тройной точке в момент зарождения поры от плотности тока (а) и температуры (б)

Рис. 21. Зависимость концентрации вакансий в тройной точке в момент зарождения поры от плотности тока (а) и температуры (б)

Рис. 22. Зависимость вакансионного пересыщения в тройной точке в момент зарождения поры от плотности тока (а) и температуры (б)

Рис. 23. Зависимость радиуса поры от плотности тока (а) и температуры (б)

Рис. 24. Зависимость времени до зарождения поры в тройной точке от плотности тока (а) и температуры (б)

точку по этой границе значительно превосходит их отток по границам, выходящим на поверхность линии. Интенсивность работы стоков повышается по мере роста отклонения концентрации вакансий от своего равновесного значения, т.е. по мере накопления вакансий в тройной точке. В результате, в определенный момент диффузия полностью компенсируется работой стоков, и наступает квазистационарное состояние, когда концентрация вакансий и пересыщение фактически не меняются со

временем (рис. 25, 27). На рис. 25, 27 выход на стационарный режим ступенчатый, на самом деле он гладкий, о чем свидетельствует рис. 26, на котором изображена зависимость Су(г)/Су0 для малых времен.

Если не учитывать индуцированные электромиграцией механические напряжения, то это было бы истинное стационарное состояние. Механические напряжения на этом квазистационарном этапе незначительны (рис. 27) и их влияние пренебрежимо мало, однако они

Рис. 25. Временнбя зависимость концентрации вакансий. у = 5 х х 104 МА/м2

Рис. 26. Зависимость концентрации вакансий от времени для малых времен. у = 5 • 104 МА/м2

Рис. 27. Зависимость вакансионного пересыщения от времени. ] = = 5 • 104 МА/м2

Рис. 28. Временнбя зависимость вакансионного пересыщения на больших временах. у = 5 • 104 МА/м2, Т = 450 К

быстро (линейно) растут со временем вследствие интенсивной работы стоков (рис. 29). Вместе с напряжениями также быстро увеличивается и равновесная концентрация вакансий, вследствие чего пересыщение падает и становится пренебрежимо малым (рис. 28): наступает квазиравновесное состояние, когда концентрация вакан-

Рис. 29. Зависимость шаровой части тензора напряжений от времени. у = 5 • 104 МА/м2

сий фактически находится в равновесии с механическими напряжениями.

Очевидно, что зарождение микрополости на квази-равновесном этапе фактически невозможно, поскольку вакансионное пересыщение пренебрежимо мало. Образование полости наиболее вероятно на квазистационар-ном этапе, когда пересыщение максимально и фактически не меняется со временем.

Определяющим параметром температурного поведения рассматриваемых физических величин является отношение диффузионного времени та (та = 12/DGB , I—длина рассматриваемого фрагмента линии) к характерному дислокационному времени генерации/аннигиляции вакансий т8 (см. (8) и пояснения в конце п. 5.1)

— гс ехр

тс

ДЕ^

кТ

ДЕ = Е?В - ЕВ < 0.

(75)

Выражение (75) показывает, что при росте температуры интенсивность работы стоков повышается сильнее интенсивности диффузии, что объясняет уменьшение времени инерции стоков при повышении температуры (рис. 26).

т

Этим фактом объясняется поведение температурных зависимостей концентрации вакансий и пересыщения (рис. 21, б; 22, б): при более высокой температуре время инерции стоков меньше, поэтому они «заглушают» диффузию при меньшем уровне вакансионного пересыщения.

Более интенсивной работой стоков при повышении температуры объясняется и температурная зависимость шаровой части тензора механических напряжений (рис. 20, б). Чем больше температура, тем больше вакансий «закачивается» в тройную точку в единицу времени диффузионным путем за счет повышения коэффициента диффузии. Следовательно, больше вакансий в единицу времени уйдет на стоки, что вызовет большее уменьшение объема в окрестности тройной точки, а значит, и более значительные растягивающие напряжения для компенсации этого уменьшения.

При повышении температуры повышается энергетический барьер образования микрополости ДСп(п*). Поясним этот факт. Согласно зависимости (71) изменение свободной энергии системы при кластеризации складывается из двух частей: из увеличения ДGn" за счет образования поверхности кластера (~ п*2//3) и уменьшения ДGn" за счет выпадения п* вакансий в новую фазу (~ п*). В рассматриваемом случае было пренебрежено зависимостью удельных поверхностных энергий умм и уму от температуры. Поэтому изменение температуры не влияет на ДGn+. При повышении температуры, с одной стороны, за счет ц у увеличивается свободная энергия, приходящаяся на одну частицу, что приводит к повышению ДGn". С другой стороны, падает пересыщение (рис. 22, б), а выпадение п* вакансий из менее пересыщенного раствора характеризуется меньшим значением ДGn". По мере повышения температуры влияние падения пересыщения становится все более весомым, что приводит к большему по модулю уменьшению ДGn" и, как следствие, к повышению барьера ДGn (п ). Связь увеличения радиуса полости с температурой (рис. 23, б) с увеличением ДGn(n*) дается выражением (72).

Более быстрое зарождение микрополости при повышении температуры (рис. 24, б) связано с более быстрым протеканием процессов электромиграции и кластеризации вакансий.

Токовые зависимости концентрации вакансий и их пересыщения в тройной точке в момент зарождения поры (рис. 21, а; 22, а) объясняются более интенсивной диффузией при большем значении плотности тока, что определяет более высокий уровень пересыщения при одинаковом времени инерции стоков.

Больший радиус полости при меньшей плотности тока (рис. 23, а) по аналогии с интерпретацией температурной зависимости радиуса микрополости является следствием меньшего уровня вакансионного пересыщения (только в данном случае падение пересыщения яв-

ляется единственным фактором, влияющим на повышение энергетического барьера зарождения).

Более быстрое зарождение поры при повышении плотности тока (рис. 24, а) объясняется более интенсивным протеканием процесса электромиграции. Токовая зависимость шаровой части тензора механических напряжений в тройной точке в момент зарождения поры (рис. 20, а) является следствием того, что при меньшей плотности тока зарождение микрополости происходит за большее время.

5.4. Сравнение с экспериментальными данными

Значительная часть экспериментальных исследований электромиграции в тонких проводящих линиях посвящена изучению поздних стадий разрушения проводников. Измерялось время жизни проводника и/или изменения его электросопротивления вследствие накопления и роста микрополостей в зависимости от геометрических параметров проводника, его структуры, температуры, плотности электрического тока [54, 55]. Имеются лишь отдельные работы, в которых фиксировалось зарождение микрополостей на неоднородностях поли-кристаллической структуры пленки. Однако ни в одной из них не измерялись температурные и токовые зависимости размеров полостей и времен до их зарождения, что обуславливает лишь весьма ограниченную возможность использования данных этих работ.

Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными приведено в табл. 2, где № — номер ссылки; I, w, h —длина, ширина и толщина линии соответственно; sz — характерный размер микрополости; гп — время до ее зарождения.

В работах [56-60] проводились испытания тонких алюминиевых проводников, осажденных на кремниевую подложку и покрытых сверху изолирующим слоем (рис. 1) при разных материалах изолирующего покрытия ([56, 59] — SiO2, [57] — борофосфосиликатное стекло, [58] — фосфосиликатное стекло, [60] — без покрытия). В работе [56] измерен характерный размер микрополости, но не приведены значения времени до ее зарождения. В работах [57, 59], напротив, измерено время до зарождения микропоры без измерения ее характерного размера. Авторы работы [58], приводя результаты своих экспериментальных исследований, к сожалению, не указали температуры линии, поэтому в табл. 2 нет результатов расчетов. Тем не менее, приведенный ими характерный размер микрополости по порядку величины хорошо согласуется с нашими расчетами (рис. 23, б).

Отметим, что, согласно табл. 2, полученные в экспериментах [59] величины времени до зарождения микро-поры ^ несколько меньше тех, что следуют из расчетов для указанных температур и плотностей тока. Такое расхождение может быть связано с тем, что длина расчетного сегмента I = 2 мкм меньше длин проводников в экспериментах (табл. 2), а измерения показывают (см.,

Таблица 2

Сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными

№ Размеры линии, мкм Т, К у, МА/см2 Экспериментальные данные Результаты расчетов

1 w к sz, нм с sz, нм с

[56] 103 1.3 0.3 473 3 3 • 102 - 1.5 • 102 105

[57] 2 • 103 2.5 0.5 453 3 - 105 1.3 • 102 3 • 105

[58] 102 2 0.5 ? 5 102 - - -

[59] 82 8.5 0.65 473 5.5 - 103 3 • 104

[59] 32 8.5 0.65 473 5.5 1.5 • 103

[60] 103 1.1 0.5 500 2.5 105 105

например, данные, приведенные в [61]), что падает с увеличением длины проводника, причем отличие может быть более чем на порядок. Этот эффект, в частности, просматривается и в результатах [59] при переходе от I = 32 мкм к I = 82 мкм (табл. 2). Кроме того, следует иметь в виду, что в [59] величина оценивалась как время, в течение которого сопротивление R(t) образца оставалось неизменным, равным исходному. На последующем большом интервале величина R(t) росла слабо-линейно и только на заключительном участке, очень быстро нарастала до больших значений. Таким образом, ясно, что представленные в табл. 2 значения ^ из [59] являются, на самом деле, нижней границей для оценки времени до зарождения микропоры, которое реально должно находиться внутри области линейного роста. Это обстоятельство также может объяснять некоторое отличие в меньшую сторону данных работы [59] от результатов наших расчетов. Еще раз отметим здесь (см. подробнее во Введении), что содержащаяся в [59] помимо экспериментальных данных расчетная модель, хотя и дает неплохое согласие с экспериментом, не является по существу универсальной, поскольку для каждого эксперимента требуется переопределять ее параметры.

По поводу экспериментальных данных [60] в табл. 2 следует сказать, что в ней, на самом деле, приведено время жизни проводника. Однако в этой же работе показано, что при параметрах эксперимента время роста микропоры должно быть много меньше времени ее зарождения [60], вследствие чего время до зарождения микропоры того же порядка, что и время отказа проводника.

В целом следует отметить, что результаты наших расчетов неплохо согласуются с имеющимися экспериментальными данными.

6. Моделирование двухкомпонентной электромиграции

6.1. Уравнения модели и общие соотношения

Рассмотрим двухкомпонентный твердотельный раствор металла и примеси замещения. В такой системе

под действием тока имеет место электромиграция как атомов металла, так и атомов примеси. Для описания электромиграционной кинетики этих компонентов используем систему дрейфово-диффузионных уравнений в форме, предложенной в [62], с целью учета взаимного влияния потоков атомов металла и примеси друг на друга. Обобщим эти уравнения, учтя в них также обратные потоки этих атомов, вызванные возникновением механических напряжений в системе вследствие релаксации вакансий (3). Слагаемые, описывающие обратные потоки, записываем в представлении, аналогичном представлению (3) [12, 63]. Тогда в рассматриваемом здесь для простоты одномерном случае уравнения совместной электромиграции имеют следующий вид: 22

— = Ва (кТ) ^

дг дх Съ дх

_д_

дх

¿ааг*р7 + ¿аЪ гЪр7 -

/ОСа Эа кТ дх

£%+Ь^{КТ)

дг дх Са дх

(76)

д

дх

¿ЪЪ г Ь р7 + ¿Ъа г а р7 СЬ

/ ОВь да

кТ дх

где СаЪ — концентрации ионов растворителя «а» (металла проводника) и растворимого вещества «Ь» (примеси); ВаЪ — их коэффициенты диффузии; г*Ъ — эффективные заряды ионов проводника и примеси; а — сферическая часть тензора механических напряжений, возникающих вследствие электромиграционного выноса вещества проводника; О — атомарный объем проводника; р — удельное сопротивление проводника; /— коэффициент релаксации вакансий в матрице проводника; у — плотность электрического тока; ¿аа, ХЬЪ, ЬЬ и ¿Ъа — кинетические коэффициенты Онзагера, которые для разбавленных растворов (СЪ << Са) даются соотношениями [20, 62]:

¿аа = СаВа/кТ, ¿Ъ = САЛ/кТ, (77)

где /Ъ — фактор корреляции.

Недиагональные коэффициенты ЬгЬ и ¿Ъа описывают так называемый эффект вакансионного потока, т.е.

взаимное влияние атомов проводника и примеси друг на друга за счет обмена вакансиями при электромиграции. Согласно теореме Онзагера (ЦаЪ = ЦЪа), их величины должны определяться типом кристаллической решетки проводника и частотами перескоков атомов проводника и примеси в ближайшую вакансию [62].

Согласно уравнениям (76) потоки ионов проводника и примеси, возникающие под действием электрического тока J и механического напряжения а, даются следующими выражениями:

Т г,а . т г,* . „ Ва /О да

■1а = ¿ааг^р] + ¿аЪгЪру - Са

кТ дх

Въ/О да (78)

кТ дх

Соответственно полный поток вакансий Уу находится из соотношения

JЪ = ¿ЪЪ ^ + ¿Ьа гар^ С1

Jv =-( Jа + Jъ)■

(79)

Полная формулировка модели должна, конечно, включать еще уравнения, связывающие компоненты тензора механических напряжений с потоком вакансий

(79). При небольших концентрациях примеси и без учета напряжений, возникающих в результате образования и роста микрополостей, эти уравнения совпадают с уравнениями, представленными в пп. 2.2, 2.3.

6.2. Критическая длина электромиграции

Из экспериментов известно, что кинетика электромиграции обладает рядом специфических особенностей. В частности, при заданной плотности токау электромиграция начинается, только если длина проводника

I больше некоторой пороговой (критической) величины 1С [6, 20, 62]. Соответственно при заданной длине I она начинается, только если у > ус, где ус — критическая плотность тока [6]. Необходимость выполнения этих условий обусловлена тем, что имеет место обратный поток вакансий вследствие возникновения градиента механического напряжения [6]. Получим, как выглядят эти условия для двухкомпонентной системы «проводник - примесь».

Описание совместной электромиграции атомов проводника и примеси в полной постановке, включающей уравнения для компонент тензора механических напряжений (см. п. 2.1), представляет собой достаточно сложную задачу. Поэтому в качестве первого шага будем использовать только уравнения (76), считая, что распределение величины механических напряжений а вдоль проводника задано (см. также [6, 63]). В данном разделе развита модель электромиграции именно в рамках такого приближения. С помощью уравнений (76) оценивается влияние примесей на пороговую величину длины проводника (плотности тока) при электромиграции.

Для этого сначала учтем, что в рассматриваемом случае разбавленного твердотельного раствора СЪ << 1, тогда в линейном по СЪ приближении имеем:

Ва = Ва(0)(1 +РСъ), где в — некоторый коэффициент. Для дрейфовой скорости Va атомов проводника, которая определяется из соотношения Га = Ja/Са , получим из (78)

Га = Га(0) - Ва (0) /О- -э— +

+ Съ ^(0)

кТ дх

V В/ г* ЦаЪ ^

В (0) ГЪЪ

Ва(0) г а ц

-в

В а (0)/О да

дх

кТ

(80)

где Га(0) = Ва(0)|г*| ру'/кТ — дрейфовая скорость в отсутствие примеси.

Положив да/дх = Да/1, где I — длина проводника; Да — перепад механического напряжения на концах проводника, и вводя критическую длину проводника без примеси 1с = / ОДа/ (| г*| ру), из (80) получим:

Га = Га (0)^1 - /с(1 + вСъ) + Съу|- ,

(81)

где

У = Р +

Въ/ъ г* Цъ

Ва(0) га* ¿ЪЪ

Условием, определяющим критическую длину проводника, является обращение скорости электромиграции (дрейфовой скорости) в ноль. Тогда критическая длина /а проводника, необходимая для возникновения электромиграции его собственных атомов, из условия Га = 0 согласно (81) дается выражением

/а = /с^Я (82)

а С1 + ТСъ

Аналогично, записывая из (78) дрейфовую скорость

V* = JЪ /СЪ и используя условие V* = 0, для критической длины проводника /Ъ относительно электромиграции атомов примеси получим выражение

/ъ = /р/(1 + г аЦъДг Ъ ¿ьъ)), (83)

где /р = / ОДа/(|гЬ1 ру) — пороговая длина электромиграции атомов примеси в матрице проводника без учета эффектов их взаимного влияния, выраженного в кинетическом коэффициенте ¿аЪ.

Физический смысл величин /а и /Ъ состоит в том, что образование микрополостей и мест с обедненным содержанием примеси возможно только, если электромиграция происходит на расстояниях / > /а и / > /Ъ соответственно.

Из выражения (82) прежде всего следует, что /а отличается от критической длины /с проводника без примеси. Больше /а или меньше, чем /с, в первую очередь зависит от величин коэффициентов в и у и, самое главное, от их знаков.

В работе [62] для проведения численных оценок собран целый ряд известных экспериментальных и рас-

четных данных, относящихся к параметрам, входящим в полученные выше выражения, для миграции примесей в плоскости (111) гранецентрированной кубической решетки. Так, согласно [64] имеют место следующие соот-

ношения:

Lab _ -2 + фЮ3/К>1

Lbb 1 + (7/2 F) Ю3/ ®i'

ю4

в _ -18 + 4—*-

Юо

ю1

Юо

+

(84)

где ю0, ю1, ю3, ю4 — частоты прыжков атомов проводника в соседнюю с ними вакансию; ф и F — некоторые функции ю4/ ю0 [62]; ю2 — частота перескока атома примеси в соседнюю вакансию; z — число ближайших соседей около вакансии. В частности, в случае примеси меди в алюминии (сплав Al(Cu)) по данным [62] справедливы следующие оценки:

Labi Lbb = -0.4, в = 100, DbfJ Da(0) = 0.9, (85)

zb* _ Zb(1 + LabZ*/LbbZb) = 0, откуда следует, что 0 < у < в. Если использовать все эти данные, то из (82) имеем la > lc.

Таким образом, примесь меди увеличивает пороговую длину электромиграции атомов алюминия, т.е. подавляет саму электромиграцию. Этот результат находится в согласии с экспериментальными данными по электромиграции в А1(Си)-металлизации.

Из выражения (83) и оценок (84), (85) имеем, что для атомов меди в алюминиевом проводнике его пороговая длина lb ^ <», т.е. электромиграция атомов меди подавляется. В то же время, из экспериментов известно, что в А1(Си)-металлизации атомы меди обладают достаточно высокой электромиграционной подвижностью [63]. Это расхождение может быть связано с тем экспериментальным фактом, что в реальных тонкопленочных проводниках электромиграция идет по межзеренным границам, имеющим толщину порядка трех атомных размеров, а не в объеме зерен. В этом случае выражения (84) и оценки (85) могут довольно значительно измениться. В частности, как показано в следующем разделе, величины эффективного заряда атомов проводника Z * и атомов примеси Z^ в межзеренной границе могут существенно отличаться от их значений в объеме.

7. Моделирование эффективных зарядов ионов в межзеренных границах металлов

Из полученных выше результатов следует, что электромиграция основных и примесных ионов, обуславливающая время жизни проводника, целиком связана с возникновением эффективного заряда Z * этих ионов (см. уравнения (2) и (76)). Эффективный заряд иона (или вакансии) возникает вследствие того, что при прохождении тока через проводник на ион (вакансию) действует как непосредственно электрическое поле, так и си-

ла электронного ветра [38]. При этом в направлении действия последней их подвижность может оказаться значительно больше, чем в направлении поля. Таким образом, проблема вычисления эффективных зарядов в поликристаллических проводниках является одной из важнейших при моделировании процессов электромиграции и вычислении времен отказов тонкопленочных проводников в микроэлектронной металлизации.

Ранее в работе [39] был развит подход для расчета из первых принципов эффективных зарядов ионов и вакансий в объеме монокристаллических металлов и сплавов. Подход основан на вычислении с помощью метода псевдопотенциала [40] силы электронного ветра, действующей на соответствующий дефект. Однако анализ экспериментальных данных [25] по электромиграции в реальных микроэлектронных проводниках свидетельствует, что абсолютные значения эффективных зарядов в них должны быть значительно меньше, чем в монокристаллических объемах. Связано это с тем, что линии межсоединений являются поликристаллически-ми, и в них электромиграция происходит, в основном, не по объему зерен, а по межзеренным границам. Следовательно, для расчета времен жизни таких проводников величины эффективных зарядов, полученные в [39], не могут быть использованы. С этой целью ниже (см. Приложение) развита модель, которая впервые позволяет вычислять эффективные заряды ионов именно в межзеренной границе [41].

С помощью данной модели нами рассчитаны эффективные заряды ионов меди и алюминия в алюминиевой межзеренной границе как функции угла наклона границы, текстуры зерен и температуры.

7.1. Эффективный заряд в межзеренной границе

Согласно модели, сформулированной и развитой в Приложении, эффективный заряд иона в наклонной межзеренной границе г ¿в (в единицах заряда электрона е) определяется выражением (П.1):

^№Ч(0)

Z GB _ Z dir +

jpGB(T, 9)

(86)

где все входящие параметры и зависимости определены в Приложении. В частности, связь плотности атомов в межзеренной границе с углом ее наклона 0 дается соотношениями (П.20)-(П.22).

Для расчетов эффективных зарядов с помощью выражения (86) используем следующие значения входящих в них параметров: постоянная Планка Н = = 1.05459 • 10-34 Дж • с; постоянная Больцмана к = = 1.3807 • 10-23 Дж/К; заряд электрона е = 1.6 • 10-19 Кл; масса свободного электрона т0 = 9.1095 • 10-31 кг; волновое число ферми-электронов в алюминии кр = = 1.7523 • 1010 м-1; плотность электронов проводимости в алюминии при Т = 273 К; п0 = 0.181 • 1030 м-3; число валентных электронов Z = 3 (алюминий), Z = 1 (медь);

Таблица 3

Т, К 275 375 475 575 675 775 875 975

0В, К 433.0 442.0 447.4 451.1 453.7 455.7 457.3 458.5

эффективная масса электронов проводимости в алюминии т* = 0.96561 • 1030 кг; атомный объем в алюминии при Т = 273.15 К: О0 = 0.16508 • 1028 м3; удельное сопротивление алюминия при Т= 273.15 К: р0 = = 0.025 мкОм • м.

В расчетах учитывается зависимость температуры Дебая алюминия 0В от температуры, которая определена в результате подгонки зависящей от 0В теоретической величины удельного сопротивления монокрис-таллического алюминия [65] к экспериментальным данным [4], которые аппроксимируются следующей зависимостью:

р(Т) = 2.5 +1.05 (Т - 273.15)/104 мкОм • м.

Используя эту процедуру, получаем для 0В(Т) результаты, представленные в табл. 3, данные которой были использованы нами в качестве зависимости 0В (Т, 0) для нахождения температуры Дебая в межзе-ренной границе по формуле (П.9) и подстановки ее в выражения (П.6) и (П.5) для фактора Дебая-Уоллера и удельного сопротивления соответственно.

7.2. Результаты расчетов

Используя полученные в Приложении выражения, были рассчитаны зависимости форм-факторов w(q) ионов алюминия и меди, определяющих согласно соотношениям (П.2), (П.3) силу электронного ветра Ет( 0), входящую в (86), от волнового числа q электронов проводимости основного металла при различных углах 0 наклона границы, когда зерна, образующие границу, имеют текстуру (100) или (111). В частности, на рис. 30 приведены результаты этих расчетов для форм-факторов иона меди.

На рис. 31 представлены результаты расчетов удельного сопротивления ров (Т, 0) алюминиевой межзерен-ной границы, содержащегося в (86), как функции температуры Т при различных углах наклона границы 0.

На рис. 32 и 33 даны зависимости эффективных зарядов ионов меди и алюминия в алюминиевой межзе-ренной границе от температуры при некоторых углах ее наклона и текстурах (100) и (111) образующих ее зерен.

Как и в объеме монокристалла (0 = 0), абсолютные величины эффективных зарядов ионов в границе растут с уменьшением температуры. Однако для границы, как и ожидалось на основании феноменологических соображений [68] и экспериментальных данных [25], они меньше, причем их отличие растет с уменьшением температуры. Значительное влияние оказывает также текстура зерен, образующих границу. При 0 = 0 полученные

результаты хорошо согласуются с величинами эффективных зарядов в монокристаллических сплавах, вычисленными в теоретических работах (см., например, [69]).

Для ионов меди в границе с текстурой зерен (100) и углом наклона 45 ° эффективный заряд проходит через 0 при температуре Т - 770 К (рис. 32). Этот эффект можно проверить экспериментально. Он может оказаться полезным в технологиях микроэлектроники, поскольку, как уже говорилось выше, примесь меди используется для торможения носящей вредный характер электро-

Рис. 30. Форм-факторы иона меди в монокристалле меди и в межзе-ренной границе алюминия: 1 — в монокристалле меди по данным [66]; 2 — в монокристалле меди по данным [67]; 3 — в монокристалле меди, расчет по (П.10); 4 — в монокристалле алюминия, расчет по (П.10); 5 — в межзеренной границе алюминия с текстурой (111) и 0 = 30°, расчет по (П.10) и (П.20); 6 — в межзеренной границе алюминия с текстурой (100) и 0 = 45°, расчет по (П.10) и (П.20)

Рис. 31. Зависимость удельного сопротивления в межзеренной границе поликристаллического алюминия от температуры. Угол наклона мехзеренной границы: 0 = 0° (монокристалл) — штрих-пунктир; 0 = = 30° (текстура (111)) — пунктир; 0 = 45 ° (текстура (100)) — сплошная линия

Рис. 32. Зависимость эффективного заряда иона меди от температуры в межзеренной границе поликристаллического алюминия. Угол наклона межзеренной границы: 0 = 0 ° (монокристалл) — штрих-пунктир; 0 = 30° (текстура (111)) — пунктир; 0 = 45° (текстура (100)) — сплошная линия

Рис. 33. Зависимость эффективного заряда иона алюминия от температуры в межзеренной границе поликристаллического алюминия. Угол наклона межзеренной границы: 0 = 0° (монокристалл) — штрих-пунктир; 0 = 30° (текстура (111)) — пунктир; 0 = 45° (текстура (100)) — сплошная линия

миграции ионов алюминиевой металлизации. Трудность, однако, состоит в том, что ионы меди сами начинают электромигрировать в алюминии (см. раздел 6). Результат рис. 32 показывает, что подбором углов наклона и текстур зерен в границах можно замедлить эту электромиграцию при рабочих температурах и тем самым усилить влияние медной добавки, что позволяет управлять надежностью микросхем на стадии их изготовления.

8. Выводы

Данная работа посвящена проблеме повышения надежности и долговечности токопроводящих элементов интегральных микросхем. Характерные размеры элементов конструкций (от нескольких микрометров до 0.1 мкм и менее) требуют в настоящее время разработки моделей соответствующих физико-механических процессов на микро- и наномасштабе.

В работе представлен ряд физико-механических моделей, объединенных для расчета процессов деформи-

рования и зарождения дефектов под действием электромиграции в межконтактных соединениях в процессе эксплуатации интегральных микросхем. Разработанные модели позволяют рассчитывать время жизни (долговечность) металлизации и оптимизировать физико-механические и геометрические параметры плотноупако-ванных интегральных микросхем с целью достижения максимальной долговечности в зависимости от плотности тока (параметр нагружения). Проведенные в рамках предложенных моделей расчеты показали, что процессы электромиграции приводят к образованию термодинамически устойчивых полостей наномасштаба (характерный размер нанополости ~ 100 нм, см. табл. 2). Именно времена зарождения нанополостей зачастую определяют порядок времени отказа металлизации вследствие разрыва (даже и тогда, когда ширина металлизации составляет 0.5-1 мкм).

В работе также предложен подход к моделированию влияния примесей на процессы переноса вакансий в металлизации под одновременным действием таких нагрузок, как электрический ток, градиенты механических напряжений и температура. Это позволило бы прояснить возможности управления долговечностью металлизации путем внедрения в нее различных примесей. Разработаны физические модели, описывающие влияние характеристик межзеренной границы на эффективный заряд собственных и примесных ионов в ней. Выполненные расчеты показали значительное отличие эффективного заряда в межзеренной границе от его величины в объеме монокристалла, а также довольно сильную зависимость его от текстуры границы и температуры, что, в принципе, может позволить управлять долговечностью токопроводящих элементов интегральных микросхем на стадии их изготовления.

Отметим, что модели долговечности межсоединений, рассмотренные в настоящей работе, пригодны в основном для алюминиевой металлизации. Именно в этом случае электромиграция происходит преимущественно по внутренним межзеренным границам. В случае же перспективной медной металлизации, как установлено (см., например, работы [70, 71]), электромиграция имеет место, в основном, по границе проводника и изолирующего диэлектрика. Это происходит вследствие того, что после химико-механического полирования верхней поверхности медного проводника последняя очень слабо прилипает к диэлектрику, покрывающему проводник [70, 71]. В результате на ней энергия активации атомной (вакансионной) диффузии оказывается значительно меньше, чем на межзеренной границе. Этого не происходит с алюминиевыми межсоединениями, так как их поверхность всегда покрыта естественным (природным) окислом А1203. Таким образом, в случае медной многоуровневой металлизации могут быть две моды электромиграционных отказов. Одна обусловлена разрывом самих проводников вследствие электромигра-

ции по их верхним поверхностям, другая — разрывами по границам между соединительными ножками и нижележащим проводником (на эти границы перед изготовлением ножки для лучшей адгезии обычно осаждают Та, TaN или ТЫ). Таким образом, в возможных моделях отказов медной металлизации должно быть описано, как в этих двух модах происходят накопление вакансий и зарождение микрополости. Дополнительной трудностью при этом является описание обратных механических напряжений, характер действия которых для медных проводников до сих пор экспериментально не выяснен [70].

В дальнейшем при создании еще более плотноупа-кованных микросхем потребуется разработка моделей деформирования, разрушения и долговечности металлизации на наномасштабе. Моделирование процессов деформирования и разрушения, протекающих на таких масштабах, потребует рассмотрения уже атомной структуры проводящих элементов и учета, помимо диффузионного (непрерывного), также и кинетического (дискретного) механизмов транспорта ионов и вакансий.

Приложение

В предлагаемой здесь модели [41] межзеренная граница считается монокристаллическим слоем с атомной плотностью, зависящей от угла разориентировки и текстуры зерен, образующих границу. Таким образом, для нахождения эффективного заряда могут быть использованы результаты работы [39], в которые необходимо ввести зависимости всех величин от атомной плотности (атомного объема), т.е. от характеристик межзеренной границы. В силу этого и эффективный заряд оказывается зависящим от характеристик границы.

Таким образом, эффективный заряд примесного иона в наклонной межзеренной границе г^в (в единицах заряда электрона е) дается следующим выражением из [39] , в котором теперь атомная плотность — это плотность атомов в границе, являющаяся функцией угла 0 ее разориентировки:

Z GB _ Z dir + '

, (П.1)

]рав(Т, 0)

где j — локальная плотность электронного тока; рсв (Т, 0) — локальное удельное сопротивление в межзеренной границе; г^ — часть эффективного заряда, являющаяся результатом воздействия напряженности внешнего электрического поля на экранированный валентными электронами заряд иона; — сила электронного ветра.

Вектор силы электронного ветра в объеме монокрис-таллического проводника для вакансионного механизма дрейфа согласно [39] равен

0 Qom*kF0

0

fnn _

4л3й0

Л 0kFi

Iw(q)wo(q)j1L(qRNN)q3dq, (П.2)

0

ле; — расстояние между ближайшими соседними ионами в металле; w(q) и w0(q) — форм-факторы для ионов примеси и для ионов основного металла; т* — эффективная масса электрона проводимости в металле; vd — вектор дрейфовой скорости электронов; h — постоянная Планка; j[(x) — производная от сферической функции Бесселя первого порядка j1(x) _ x-2 sinx -- x_1 cos x; kF0 — волновое число ферми-электронов; yF — скорость ферми-электронов; Q0 — удельный атомный объем в монокристаллическом металле.

В интересующем нас случае эффективного заряда иона меди в алюминиевой межзеренной границе в соответствии с моделью из (П.2) приходим к следующему выражению для модуля действующей на него силы электронного ветра:

NN

j

0

4n3h3en

x| wCu(x, 6)wAl(x, ej

xk

F0

Qo

Q

13

R

NN

x3dx,

(П.3)

где q — волновое число валентного электрона в метал-

V /

где ^Си и wА1 — форм-факторы ионов меди и алюминия соответственно. Их зависимость от угла 0 связана с зависимостью от фермиевского волнового числа kp (см. следующий раздел); х = q/kp; п = п(0) и О = = О(0) = [па (0)]-1 — плотность электронов и удельный атомный объем (па — атомная плотность) в межзерен-ной границе в зависимости от угла наклона границы. В (П.3) электроны проводимости рассматриваются как свободные, т.е. их волновое число Ферми кр = = (3п2г/О)13 ^ — число валентных электронов атомов металла), и учтено, что дрейфовая скорость электронов vd = ]/еп и ур = Нкр1 т.

Выражения (П.1) и (П.3) позволяют рассчитать эффективный заряд ионов меди в алюминиевой межзе-ренной границе. Отметим, что если в (П.3) заменить wCu на wA1 [39], то (П.1) даст эффективный заряд иона алюминия в алюминиевой межзеренной границе.

П.1. Локальное удельное сопротивление в межзеренной границе алюминия

В данном разделе получим выражение для удельного локального электрического сопротивления в межзеренной границе алюминия, которое входит в (П.1).

Удельное локальное сопротивление в границе рсв включает, вообще говоря, три члена: фононную составляющую ррЬ, вклад от рассеяния на примесях рd и член, учитывающий влияние дислокаций Др^8:

рвв = ррЬ + ^ + Д^- (П-4)

В обычных условиях и при не слишком больших концентрациях примеси два последних члена дают очень малый вклад по сравнению с первым, который, используя метод псевдопотенциала [40], можно записать в виде [40, 65, 72]:

x

Pph (T, 0) = P(T, 0) + const,

(П.5)

где

р(Т, 0) = С[1 - ехр(-2Ж(Т, 0))] }[wA1(q, 0)]2 q3dq

0

и С = 3лм*о/8Нг2Ер ; Ер = Н2кр/2т* — энергия Ферми; ЩГ, 0) — фактор Дебая-Уоллера, связанный с колебаниями атомов решетки в межзеренной границе. В (П.5) выделяется константа, связанная с вкладом нулевых колебаний решетки, и слагаемое р(Т, 0), ответственное за температурную зависимость. Такое представление ррЬ (Т, 0) оказывается удобным для привязки к конкретным экспериментальным данным по удельному сопротивлению алюминия.

Для вычисления удельного сопротивления по формуле (П.5) используем выражение для фактора Дебая-Уоллера в дебаевском приближении [65]:

3 h 2 g 2

Wd = Т ’

D2

2 Mk©

(П.6)

D

где M — масса иона (в нашем случае масса иона Al); 0 D — температура Дебая; gn — модуль минимального вектора обратной решетки, который в межзеренной границе алюминия равен

gn = (^о/gn0> gn0 = 2я-\/з/ао с постоянной решетки а0 = 0.405 нм.

Примем, что температура Дебая объемного Al при комнатной температуре равна 433 K [4, 72, 73]. Учитывая далее ее температурную зависимость [73, 74], рассчитаем по формуле (П.5) удельное сопротивление в монокристалле Al (при 0 = 0). Если принять, что фононная часть удельного сопротивления чистого алюминия в объеме равна 0.025 мкОм • м при температуре 273 K, то подгонка результатов этого расчета [41] к экспериментальным данным [4] показывает, что постоянное слагаемое в (П.5) должно быть равно const = -0.01033 мкОм • м. Полученное значение const в (П.5) использовано в дальнейшем для расчета удельного сопротивления в межзе-ренной границе, причем мы будем пренебрегать небольшими изменениями этой величины при изменении атомного объема Q(0) в границе.

Запишем теперь для температуры Дебая выражение, позволяющее проследить ее зависимость от температуры и от угла разориентировки межзеренной границы. Для этого используем приближенную формулу [75]:

0D = №7)

где e(qD) — диэлектрическая проницаемость как функция дебаевского волнового числа qD; юр — плазменная частота ионов:

Юр =

4n(Ze) na

1/2

M

qD = (6п na)

1/3

(П.8)

Таким образом, юр и qD, а вместе с ними £^0) и * _1

через атомную плотность па(9) = ^ зависят от

угла разориентировки 9. Для конкретных расчетов де-

баевской температуры использовалась диэлектрическая

проницаемость є(д^ = £0^^ в приближении Хартри

[40]. Используя (П.8), удобно переписать дебаевскую

температуру (П.7) в виде:

©d(T, 0) = ©d(T, 0)

na(0) E(qD(0))

1/2

(П.9)

_ па(0) е^(0)) _

где 0 ^Т, 0) описывает температурную зависимость дебаевской температуры монокристаллического А1.

Формулы (П.5)-(П.9) при наличии соответствующей системы форм-факторов позволяют вычислять удельное сопротивление межзеренной границы алюминия как функцию угла ее разориентировки и температуры.

П.2. Системы форм-факторов А1 и Си в межзеренной границе алюминия

Найдем теперь форм-факторы ионов А1 и Си в меж-зеренной границе алюминия в зависимости от угла ее разориентировки 0. В рамках развиваемой модели для этого найдем зависимости соответствующих форм-факторов в монокристаллическом металле от волнового числа ферми-электронов кр и подставим кр = кр(0).

Вычисление форм-факторов ионов в монокристал-лических металлах определяется видом модельного псевдопотенциала (см., например, [40]). Ниже получим модельное выражение для расчета форм-факторов, учитывающее конечные размеры этих ионов и использующее выражение для диэлектрической проницаемости в локальном приближении, но с учетом многочастичных эффектов. Важнейшими физическими параметрами этой модели являются радиус иона гс и постоянная в, введенная в [40, 76] для учета силы взаимодействия электронов с остовом иона. Эти два параметра подбирались нами таким образом, чтобы модель давала наилучшие (по описанию экспериментальных данных) системы форм-факторов для ионов А1 в монокристалле алюминия и ионов Си в монокристалле меди. В качестве такой системы для ионов А1 в алюминии были взяты форм-факторы, рассчитанные в [77] с использованием стандартного модельного псевдопотенциала Хейне-Абаренкова [78, 79]. Для ионов Си в меди наилучшей является система [66], рассчитанная с псевдопотенциалом Хейне-Абаренкова, в который был введен резонансный член, учитывающий, что медь — переходный металл.

Анализ показал, что выражения, полученные в [40, 80], достаточно хорошо описывают поведение формфакторов ионов простых металлов (например иона А1 в алюминии), но очень плохо подходят для расчета форм-факторов ионов переходных металлов, к которым

относится медь. Для преодоления этой трудности экспоненциальное распределение заряда остова иона, использованное в [40, 80], было заменено более реалистичным гауссовым ехр[- (г/гсоге)2/2]. Кроме этого, мы также учли конечный размер остова иона гсоге и в слагаемом, описывающем притяжение. В итоге получили, что выражение для форм-факторов, описывающее их величины в зависимости от волнового числа электрона q, имеет вид [41]:

4п2е1

{к + ц\™\к) = 1----------3 8Іп^гсоге) +

+ вехр

2 (?соге Ч)

Оє(ц)

(П.10)

где w — модельный псевдопотенциал, состоящий из ку-лоновского притяжения заряда иона с зарядом Zе (первое слагаемое) и отталкивания остова; Е(д) — диэлектрическая проницаемость.

Используя формулу Хаббарда, учитывающую многочастичный характер взаимодействия электронов [67, 81, 82], имеем:

є(Ч) = є _ G ^)(є 0^ _1),

(П.11)

где

єо(q)=1+

т*е2

2„2

(і ^2

1 _п

2п

1п

1 + п

1 _п

+1

П = #/(2кр) — диэлектрическая проницаемость в приближении Хартри; С(д) — функция Грина, рассчитанная в [83]:

О(д) =

2кв

2

32

. kF

V г у

105

и У2

24

+ 44 +

( У2

. ки

V F У

(V У2

35

41

_--+ —

15 6

2

1п

( У2

ц

( У2 ц

210

2

15

1п

ц2 _ 4к1

Формула (П. 10) с диэлектрической проницаемостью (П.11) позволила успешно интерполировать с помощью двух подгоночных параметров гсоге и в систему формфакторов для иона А1 в объеме алюминия из работы [77] и форм-факторы для иона Си в объеме меди из работы [79]. Если принять т ¡т = 1.001 (т = 9.1095 х х 10-31 кг), в = 42.354 рид • (а.е.)3 и гсоге = 0.202 а.е., то выражение (П. 10) дает результаты [77] с точностью ~5 %. Заметим, что эти величины в и гсоге близки, как и следовало ожидать для иона А1 в алюминии, к значениям 41.1 рид • (а.е.)3 и 0.2 а.е., полученным в [40, 80].

В случае меди принимали т /т = 1.087, в = = 16.3426 рид • (а.е.)3 и гсоге = 0.262 а.е. и получили достаточно хорошее приближение к результатам [80].

Как уже говорилось выше, зависимость эффективных зарядов от угла разориентировки межзеренной границе будем находить через атомный объем

О^О(9) = [Па(9)]_1, (П.12)

который определяет волновое число электронов ки на поверхности Ферми:

ки =

13

Т0

О0

О

13

(П.13)

Здесь кр0 = 0.9273 а.е. — волновое число электронов на поверхности Ферми в объеме монокристаллического алюминия. Зависимость па(0) будет получена в следующем разделе.

Известно, что d-состояния электронов остова иона Си сильно делокализованы, что ведет к отличию свойств примесного иона меди в алюминии от его свойств в объеме чистой меди. В работах [83, 84] с помощью теории возмущений показано, что этими различиями можно пренебречь, но важно учитывать изменение экранирования иона из-за различия валентностей ионов меди и алюминия. Поэтому для оценки волнового числа Ферми в окрестности иона меди в А1 (в объеме зерна или в границе) необходимо, учитывая разницу валентностей ионов, ввести также поправку Дкр, связанную с контактной разностью потенциалов [85]. Для случая, когда ион меди окружается ионами алюминия, перераспределение заряда было оценено в [85] в приближении Томаса-Ферми и оказалось равным е/3. Тогда вместо (П.13) надо записать:

ки =

где

О0

О

О0

О

Ак„

у/3

\1/3

ки0 АkF =

^0

1_

Аки

(О„/ О)13 к

(О„/ О)13 к

■ = 1 _

и0

О0

О

Т0

23

(П.14)

13

Далее при вычислении эффективного заряда иона меди форм-факторы рассчитываются по формуле (П.10) с учетом поправки (П.14) к волновому числу Ферми.

П.3. Атомная плотность и фермиевское волновое число в межзеренной границе

Выше мы выразили все основные величины, входящие в выражение (П.1) для эффективного заряда иона в межзеренной границе через ее атомную плотность па(0). Получим теперь зависимость этой плотности от угла разориентации границы в случае наклонных межзе-ренных границ. С этой целью воспользуемся результатами работы [86], в которой введено понятие объемного расширения («пористости») межзеренной границы, возникающего вследствие ее дислокационной структуры. Согласно этой модели, наклонная межзеренная граница

+

представляет собой последовательность дислокаций (стенку), каждая из которых, будучи изолированной, имеет ядро радиуса r0, а расстояние между соседними одинаково и равно

h = ’ (ПЛ5)

2 sin 0/2

где b — модуль вектора Бюргерса дислокаций; 0 — угол наклона границы. Если угол наклона границы растет, дислокации сближаются. При некотором критическом значении угла 0 = 0С ядра соседних дислокаций начинают касаться друг друга, а при 0 > 0С они образуют сплошной слой. Если угол немного превышает критический, поверхность этого слоя имеет выраженный волнообразный характер, указывающий на места расположения отдельных дислокаций. Однако при больших значениях угла наклона слой становится практически однородным по толщине.

В [86] показано, что изменение объема межзеренной границы почти полностью связано с изменением объема ядер дислокаций. Таким образом, приближенно в качестве объемного расширения наклонной межзеренной границы может быть взят объем ядер входящих в нее дислокаций. Помимо этого в модели считается, что перед соприкосновением (0 < 0С) ядра имеют почти элип-соидальную форму. Тогда при 0<0c пористость AVGB, приходящаяся на единицу поверхности границы, равна отношению площади эллипса в сечении ядра к расстоянию (П.15) между соседними ядрами и дается выражением

arcsin а0

AVgb =-

ап

о,

(П.16)

где а0 =пг0/h; а* — решение уравнения а*Ла* = а2.

Уравнение (П.16) отражает тот факт, что ядра дислокаций сохраняют свою индивидуальность только при а0 < 1. Если угол наклона границы таков, что а 0 = = пг0 /h = 1, ядра начинают касаться друг друга, и, следовательно, именно такой угол является критическим 0С и определяется соотношением

sin

0

2пг

(П.17)

В модели предполагается также, что при 0 = 0С, когда вместо отдельных дислокаций формируется слой, эффективная ширина этого слоя может быть рассчитана как среднее арифметическое ее минимальной и максимальной величины. Тогда можно показать, что удельная пористость ДVGB при 0 > 0С дается выражением

— (а* +а*2), (П.18)

ап 1

AVgb =-

где а*2 определяется из уравнения

а* 2с^а1/ 2 = а О-

Заметим, что критический угол (П.17) и величина пористости (П.16), (П.18) зависят от выбора величины радиуса ядра изолированной дислокации г0. В работе

[86] путем сравнения полей напряжений дислокации с ядром и дислокации Пайерлса-Набарро было показано, что наилучшим образом подходит величина г0 = Ъ/2 и с ней выполнены все расчеты. В настоящей работе также используется, что г0 = Ъ/2. Тогда из (П.17) получаем, что 0С = 37.1°.

Особенностью модели, развитой в [86], является то, что описание пористости выражениями (П.18) нарушается в непосредственной окрестности критического угла, т.к. слой не образуется сразу при 0 = 0С. Однако этот угловой интервал составляет лишь несколько градусов и зависимость в нем может быть легко дополнена графически.

Используем далее выражения (П.16) и (П.18), чтобы получить угловую зависимость плотности атомов в наклонной межзеренной границе при углах наклона, меньших и больших критического. Поскольку (П.16) и (П.18) дают изменение объема на единицу площади границы, то для полного изменения ее объема можно записать следующее соотношение:

^в^-Ц,) = ДКСв Лв, (П.19)

где Ц = Ц(0) удельный атомный объем в границе с углом наклона 0; Ц0 = Ц(0) — удельный атомный объем в смежных зернах; ^В — полное количество атомов внутри данной границы; Л<ЗВ — площадь границы. Из (П.19) получим:

п®(0)=,+Дп; /Ъ-

1 + ДГвв/Ъ

(П.20)

где псВ(0) = 1/Ц и п0 = 1/Цо — атомные плотности в границе и зернах соответственно; Д¥ав дается выражениями (П.16), (П.18). При получении (П.20) полагается, что эффективная ширина межзеренной границы при Н >> г0 составляет d - 2г0 = Ъ и, следовательно,

NGв/(Аав Ъ) - по.

Зависимость (П.20) показывает, например, что атомная плотность в границе уменьшается в 3 раза при изменении 0 от 0° до 90°. Однако в реальных поликристаллах границы образуются зернами, имеющими конкретную текстуру. Это должно накладывать определенные ограничения на выражение для атомной плотности, связанные с симметрией кристаллической решетки зерен. Например, для межзеренных границ, образованных зернами с текстурой (100) или (111) правильная угловая зависимость атомной плотности па(0) должна быть симметрична внутри интервалов (0, я/2) и (0, я/3) соответственно, т.е. па(0) = па(я/2) в первом случае и па (0) = па (я/ 3) — во втором. Чтобы учесть такого рода ограничения, воспользуемся приемом, предложенным в работе [87] для получения корректного выражения энергии межзеренных границ, но имеющим, на самом деле, общую применимость для любых величин, зависящих от угла наклона границы. В соответствии с [87] в первом приближении угловая зависимость атомной

плотности na в границе может быть подправлена с помощью следующей «симметризации»:

na(0) = nGB(0) + nGB -0j- nGB j (П.21)

для текстуры (100) и

na(0) = nGB(0) + nGB-0j- nGBj (П.22)

для текстуры (111), где зависимости nGB(0) берутся в

соответствии с (П.20).

Формулы (П.21) и (П.22) использованы далее в расчетах форм-факторов, сопротивления, силы электронного ветра и эффективных зарядов вакансий в межзе-ренной границе как функций угла ее наклона. Для этого необходимо лишь учесть, что Q = Q(0) = [na(0)]-1.

Литература

1. Чернышев А.А. Основы надежности полупроводниковых приборов и интегральных микросхем. - М.: Радио и связь, 1988. - 256 с.

2. Физические основы надежности интегральных схем / Под ред. Ю.Г. Миллера. - М.: Сов. радио, 1976. - 320 с.

3. Д’Эрль Ф., Розенберг Р. Физика тонких пленок. Т. VIII. - М.: Мир,

1977. - 429 с.

4. Григорьев И.С., Мейлихов Е.З. Физические величины: Справочник. -

М.: Энергоатомиздат, 1991. - 1232 с.

5. Каур И., Густ В. Диффузия по границам зерен и фаз. - М.: Машино-

строение, 1991. - 446 с.

6. Black J.R. Electromigration Failure Modes in Aluminum Metallization for Semiconductor Devices // IEEE International Reliability Physics Symposium Proceedings. - 1969. - V. 57. - P. 1587-1593.

7. Валиев К.А., Махвиладзе Т.М., Сарыгчев М.Е. Механизм электромиграции ионов в металлах и диэлектриках // ДАН. - 1989. - Т. 306. -№ 1. - С. 91-94.

8. Валиев К.А., Махвиладзе Т.М., Сарыгчев М.Е. Кинетика ионномигра-

ционных процессов в твердых телах // Микроэлектроника. - 1990. -Т. 19. - № 5. - С. 419^29.

9. Валиев К.А., Махвиладзе Т.М., Сарыгчев М.Е. Миграционная модель

кинетики отказов, возникающих под действием электрических полей и механических напряжений // Труды ФТИАН. - М.: Наука, 1991.- Т.2.- С. 73-83.

10. Blech I.A. Electromigration in thin aluminum films on titanium nitride // J. Appl. Phys. - 1976. - V. 47. - No. 2. - P. 1203-1208.

11. Kirchheim R., Kaeber U. Atomistic and computer modeling of metallization failure of integrated circuits by electromigration // J. Appl. Phys. -1991. - V. 70. - No. 1. - P. 172-181.

12. Kirchheim R. Stress and electromigration in Al-lines of integrated circuits // Acta Metal Mater. - 1992. - V. 40. - No. 1. - P. 309-323.

13. Korhonen M.A., Borgesen P., Tu K.N., Li C. Y Stress evolution due to electromigration in confined metal lines // J. Appl. Phys. - 1993. - V. 73. -No. 5. - P. 3790-3799.

14. Thompson C. V Microstructure Based Modelling of Stress Migration and Electromigration Induced Failure Distributions // Proceedings of the 1993 SEMICON/Korea Technical Symposium, Seoul, 1993. - P. 1-12.

15. Knowlton B.D., Clements PC., Thompson C.V, Walton D.T Simulation of the effects of grain structure and grain growth on electromigration and reliability of interconnects // J. Appl. Phys. - 1997. - V. 81. - No. 7. -P. 6073-6080.

16. Clement J.J., Thompson C. V Modeling electromigration induced stress evolution in confined metal lines // J. Appl. Phys. - 1995. - V. 78. -No. 1. - P. 900-904.

17. Kirchheim R. Modeling electromigration and induced stresses in aluminum lines // Mat. Res. Soc. Symp. Proc. - 1993. - V. 309. - P. 101-110.

18. Sasagava K., Nakamura N., Saka M., Abe H. A new approach to calculate atomic flux divergence by electromigration // Trans. of the ASME. - 1998. - V. 120. - No. 12. - P. 360-366.

19. Abe H., Sasagava K., Saka M. Electromigration failure of metal lines // Int. Fracture. - 2006. - V. 138. - No. 1. - P. 219-240.

20. Golgstein R.V., Makhviladze T.M., Sarychev M.E., Vladimirov A.S., Shi-rabaikin D.B., Zhitnikov Yu. V Modeling of Electromigration and Void Nucleation Kinetics in via Structures // Proc. of IPT RAS: Modeling and Simulation of Submicron Technology and Devices. - Moscow: IPT RAS,

1996. - V. 11.- P. 61-76.

21. Владимиров А.С., Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В. Моделирование процессов электромиграции и возникновения дефектов в проводнике с учетом его поликристаллической структуры // Процессы тепломассопереноса и рост монокристаллов и тонкопленочных структур: Труды II Российского симпозиума, Обнинск, 1997. - Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 1998. - С. 119-129.

22. Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В., Ширабайкин Д.Б. Численное моделирование процессов электромиграции и зарождения дефектов в области контактного соединения многоуровневой металлизации // Процессы тепломассопереноса и рост монокристаллов и тонкопленочных структур: Труды II Российского симпозиума, Обнинск,

1997. - Обнинск: ГНЦ РФ-ФЭИ, 1998. - С. 158-166.

23. Makhviladze T.M., Sarychev M.E., Zhitnikov Yu. V Simulation of Defects Generation Processes during Electromigration due Account of Polycrystalline Structure of the Current Lines // Proceedings of IPT RAS: Modeling and Simulation of Submicron Technology and Devices. -Moscow: IPT RAS, 1997. - V. 13. - P.98-114.

24. Sarychev M.E., Zhitnikov Yu.V, Borucki L., Liu C.-L., Makhviladze TM. General model for mechanical stress evolution during electromigration // J. Appl. Phys. - 1999. - V. 86. - No. 6. - P. 3068-3075.

25. Goldstein R.V, Sarychev M.E., Shirabaikin D.B., Vladimirov A.S., Zhitnikov Yu. V Modeling electromigration and the void nucleation in thin-film interconnects of integrated circuits // Int. J. Fract. - 2001. -V. 109. - P. 91-121.

26. Shatzkes M., Lloyd J.R. A model for conductor failure considering diffusion concurrently with electromigration resulting in a current exponent of 2 // J. Appl. Phys. - 1986. - V. 59. - No. 5. - P. 3890-3893.

27. Clement J.J. Vacancy supersaturation model for electromigration failure under dc and pulced dc stress // J. Appl. Phys. - 1992. - V.71. -No. 5. - P. 4264^268.

28. Nix WD., ArztE. On void nucleation and growth in metal interconnect lines under electromigration conditions // Metall. Trans. A. - 1992. -V. 23. - No. 3. - P. 2007-2013.

29. Черемской П.Г., Слезов В.В., Бетехтин В.И. Поры в твердом теле. - М.: Энергоатомиздат, 1990. - 375 с.

30. Кристенсен Дж. У. Фазовые превращения // Физическое металловедение. - 1968. - Вып. 2. - С. 227-346.

31. Rosenberg R., Ohring M.J. Void formation and growth during electromigration in thin films // J. Appl. Phys. - 1971. - V. 42. - No. 6. - P. 56715679.

32. Raj R., Ashby M.F. Intergranular fracture at elevated temperature // Acta Metallurgica. - 1975. - V.23. - No. 1. - P. 653-666.

33. RussellK.C. Nucleation of voids in irradiated metals // Acta Metallurgica. - 1971. - V. 19. - No. 1. - P. 753-758.

34. Russell K.C. The theory of void nucleation in metals // Acta Metallurgica. - 1978. - V. 26. - No. 2. - P. 1615-1630.

35. Бокштейн Б.С. Диффузия в металлах. - М.: Металлургия, 1978. -248 с.

36. Владимиров А.С., Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В., Сарышев М.Е., Ширабайкин Д.Б. Моделирование процессов электромиграции и зарождение пор в тонкопленочных проводниках // Мат. моделирование. - 2002. - Т. 14. - С. 95-108.

37. Владимиров А.С., Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В., Сарышев М.Е., Ширабайкин Д.Б. Моделирование процессов электромиграции и зарождения дефектов в токопроводящих дорожках интегральных микросхем. - М., 1999. - 66 с. / Препринт ИПМ РАН № 652.

38. Фикс В.Б. Ионная проводимость в металлах и полупроводниках. -М.: Наука, 1969. - 295 с.

39. Sorbello R.S. A pseudopotential based theory of the driving forces for electromigration in metals // J. Phys. Chem. Sol. - 1973. - V. 34. - ^. 3. -P. 937-950.

40. Harrison W.A. Pseudopotentials in the theory of metals. - New York: W.A. Benjamin, Inc., 1966. - 336 p.

41. Бабушкин Г.А., Житников Ю.В., Сарычев М.Е. Моделирование эффективных зарядов ионов в межзеренных границах металла // Труды ФТИАН. - М.: Наука, 2001. - Т. 17. - С. 83-96.

42. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. - М.: Мир, 1964. - 456 с.

43. ЛурьеА.И. Теория упругости. - М.: Наука, 1970. - 939 с.

44. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. VII: Теория упругости. - М.: Наука, 1987. - 246 с.

45. Зельдович Я.Б. К теории образования новой фазы. Кавитация // ЖЭТФ. - 1942. - Т.12. - № 1. - С. 525-538.

46. Feder J., Russell K.C., Lothe J., Pound G.M. Homogeneous nucleation and growth of droplets in vapours // Advances in Physics. - 1966. -V. 15. - No 1. - P. 111-178.

47. Gibbs J. W The Collected Works of J.W. Gibbs. V. I: Thermodynamics. -London - New York - Toronto: Longmans, Green & Co., 1928. - 434 p.

48. Uhlenbeck G.E., Ornstein L.S. On the theory of the Brownian motion // Phys. Rev. - 1930. - V. 36. - No. 1. - P. 823-841.

49. Wakeshima H. Time lag in the self-nucleation // J. Chem. Phys. - 1954. -V. 22. - No. 9. - P. 1614-1615.

50. Collins F. C. Time lag in spontaneous nucleation due to non-steady state effects // Z. Elektrochem. - 1955. - V. 59. - No. 1. - P. 404^07.

51. Регель B.P., Слуцкер А.И., Томашевский Э.Е. Кинетическая природа прочности твердых тел. - М.: Наука, 1974. - 560 с.

52. Kawasaki H., Lee Ch., Yu T.K. Realistic electromigration lifetime projection of VLSI interconnects // Thin Solid Films. - 1994. - V. 253. -No. 2. - P. 508-512.

53. Косевич А.М. Основы механики кристаллической решетки. - М.: Наука, 1972. - 280 c.

54. Kondo S., Deguchi O., Hinode K. Effects of grain size and preferred orientation on the electromigration lifetime of Al-based layered metallization // J. Appl. Phys. - 1995. - V. 78. - No. 8. - P. 6534-6538.

55. Marieb T., Flinn P., Bravman J.C. Observations of electromigration induced void nucleation and growth in polycrystalline and near-bamboo passivated Al-lines // J. Appl. Phys. - 1995. - V. 78. - No. 2. - P. 10261032.

56. Hinode K., Kondo S., Deguchi O. Number of voids formed on a line: Parameter for electromigration lifetime // J. Vacuum Sci. Technol. B. -1996. - V. 14. - No. 1. - P. 687-690.

57. Fukada S., Hirasawa M., SuzukiM. Electromigration resistance measurements of multilayered interconnections by short test lines // Jpn. J. Appl. Phys. - 1995. - V. 34. - No. 1. - P. 1001-1006.

58. Nikawa K., Matsumoto C., Inoue S. Novel method for defect detection in Al stripes by means of laser beam heating and detection of changes in electrical resistance // Jpn. J. Appl. Phys. - 1995. - V. 34. - No. 5. -P. 2260-2265.

59. Sasagava K., Hasegava M., Saka M., Abe H. Prediction of electromigration failure in passivated polycrystalline line // J. Appl. Phys. - 2002. -V. 91. - No. 11. - P. 9005-9014.

60. Kraft P.S., Arzt E. Current density and line width effects in electromigration: A new damage-based model // Acta Mater. - 1998. - V. 46. -No. 11. - P. 3733-3743.

61. Park J.H., Ahn B.T Electromigration model for the prediction of lifetime based on the failure unit in aluminum metallization // J. Appl. Phys. - 2003. - V. 93. - No. 2. - P. 883-892.

62. Ho P.S. Solute effects on electromigration // Phys. Rev. B. - 1973. -V. 8. - No. 40. - P. 4535-4539.

63. Hu C.-K., Ho P.S., Small M.B. Electromigration in Al(Cu) two-level structures: Effect of Cu and kinetics of damage formation // J. Appl. Phys. - 1993. - V. 74. - No. 2. - P. 969-979.

64. Manning J.R. Diffusion kinetics for atoms in crystals. - New York: Van Nostrand, 1968. - 257 p.

65. Займам Дж. Принципы теории твердого тела. - М.: Мир, 1974. -472 c.

66. Dagens L. The resonant model, potential form factor: General theory and application to copper, silver and calcium // J. Phys. F: Metal Physics.- 1976. - V. 6. - No. 10. - P. 1801-1817.

67. Moriarty JA. Pseudopotential form factors for copper, silver, and gold // Phys. Rev. B. - 1970. - V. 1. - No. 4. - P. 1363-1370.

68. Tu K.N., Gupta T. Electromigration in Stressed Metal Thin Films // Defect and Diffusion Forum. - 1993. - V. 95-97. - P. 257-262.

69. Dekker J.P., Lodder A. Theory electromigration wind force in dilute alloys // Phys. Rev. B. - 1997. - V. 56. - No. 19. - P. 12167-12177.

70. Tu K.N. Recent advances on electromigration in very-large-scale-inte-gration of interconnects // J. Appl. Phys. - 2003. - V. 94. - No. 9. -P. 5451-5473.

71. CastroD.T, HoofmanR.J.O.M., Michelon J. etal. Void growth modeling electromigration stressing in narrow copper lines // J. Appl. Phys. -2007.- V. 102. - No. 12. - P. 123512-123515.

72. Блатт ФДж. Теория подвижности электронов в твердых телах. -М.: Физматгиз, 1963. - 224 с.

73. Svensson E.C., Brockhouse B.N., Rowe J.M. Crystal dynamics of copper // Phys. Rev. - 1967. - V. 155. - No. 3. - P. 619-632.

74. Albanese G., Ghezzi C. Atomic contributions to elastic scattering of X-ray at Bragg reflections in aluminum // Phys. Rev. B. - 1973. - V.8. -No. 4. - P. 1315-1323.

75. Animalu A.O.E. Intermediate quantum theory of crystalline solids. -Englewood Cliffs, N.J.: Prentice-Hall, 1977. - 516 p.

76. Harrison WA. Model pseudopotential and Kohn effect in lead // Phys. Rev. A. - 1965. - V. 139. - No. 1. - P. A179-A185.

77. Animalu A.O.E., Heine VThe screened model potential for 25 elements // Phil. Mag. - 1965. - V. 12. - No. 120. - P. 1249-1270.

78. Heine V, Abarenkov I. A new method for the electronic structure of metals // Phil. Mag. - 1964. - V. 9. - No. 99. - P. 451^65.

79. Abarenkov I.V., Heine V The model potential for positive ions // Phil. Mag. - 1965. - V. 12. - No. 117. - P. 529-537.

80. Harrison WA. Electron structure of a series of metals // Phys. Rev. -1963. - V. 131. - No. 6. - P. 2433-2442.

81. Hubbard J. Description of the collective movements in the many particle system by disturbance theory methods. II. The correlation energy of the free electron gas // Proc. Royal Soc. A. - 1958. - V. 243. - No. 1. -P. 336-345.

82. Singwi K.S., Tosi M.P, LandR.H. Electron correlations at metallic densities // Phys. Rev. - 1968. - V. 176. - No. 2. - P. 589-599.

83. Taut M., Paasch G. The charge of model potentials in alloying // Physica Status Solidi (b). - 1972. - V. 51. - No. 1. - P. 295-306.

84. Ergebnisse in der Electronen theorie der Metalle. Methoden. Ideal und gest;rte Kristalle. Messgr;ssen / Autorenkollective unter Leitung von P. Ziesche und G. Lehmann. - Berlin: Academie-Verlag, 1983. - 473 p.

85. Heine V., Weaire D. Pseudopotential Theory of Cohesion and Structure // Solid State Physics. V. 24 / Ed. by H. Ehrenreich, F. Seitz, D. Turnbull. - New York: Academic Press, 1970. - P. 295-543.

86. Li J.C.H. High-angle tilt boundary — a dislocation model // J. Appl. Phys. - 1961. - V. 32. - No. 3. - P. 525-542.

87. Van der Merve J.H. On the stress and energies associated with intercrystalline boundaries // Proc. Phys. Soc. A. - 1950. - V. 3. - No. 3. -P. 616-637.

Поступила в редакцию 19.02.2008 г.

Сведения об авторах

Валиев Камиль Ахметович, д.ф.-м.н., профессор, академик, советник РАН, [email protected]

Гольдштейн Роберт Вениаминович, д.ф.-м.н., профессор, заведующий лабораторией механики прочности и разрушения материалов и конструкций ИПМех РАН, [email protected]

Житников Юрий Владимирович, к.ф.-м.н., технический директор ООО «ИНТЕРКОР РУС», тах523@таП.ги

Махвиладзе Тариэль Михайлович, д.ф.-м.н., профессор, заведующий лабораторией математического моделирования физико-технологических процессов микроэлектроники ФТИ РАН, [email protected]

Сарычев Михаил Евгеньевич, д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник лаборатории математического моделирования физико-технологических процессов микроэлектроники ФТИ РАН, [email protected]