CC BY
25
УДК 539.4, 530.6
Электромиграционная неустойчивость границы соединения проводящих твердотельных материалов
Р.В. Гольдштейн1,2, Т.М. Махвиладзе3, М.Е. Сарычев3
1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия 2 Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия 3 Физико-технологический институт РАН, Москва, 117218, Россия
В работе развита модель, описывающая влияние электромиграции вакансий, протекающей в объеме проводящих соединенных материалов под действием электрического тока, на устойчивость формы плоской границы (интерфейса) между ними. Сформулирована и решена система уравнений, описывающая взаимосвязь изменений профиля интерфейса и механических напряжений в нем, которые возникают за счет потоков ионов и вакансий, инициированных малым пространственно-периодическим возмущением интерфейса. Найдены критерии нарастания амплитуды возмущений со временем, т.е. условия неустойчивости формы интерфейса. Для более детального анализа и оценок в работе рассмотрены два частных случая: в одном граница образована соединением двух одинаковых материалов, а в другом подвижностью ионов и вакансий в одном из материалов можно пренебречь. В этих случаях выделены и аналитически исследованы области длин волн возмущения, для которых именно объемная электромиграция вакансий приводит к росту со временем амплитуды возмущения и механических напряжений вдоль интерфейса. Найдены условия существования таких областей и зависимости их границ от направления электрического тока и величины его плотности. Даны оценки некоторых конкретных диапазонов длин волн и плотностей тока, при которых возникает неустойчивость интерфейса. Оценки показывают, что неустойчивость интерфейса за счет объемной электромиграции оказывается возможной при достаточно разумных (для экспериментов и практики) условиях по температуре (~100 °C), плотности тока (~1010-1012 А/м2 ) и длине волны возмущения (~101—103 мкм). Результаты работы представляют интерес для исследования проблемы повышения надежности и ресурса изделий микро- и наноэлектроники.
Ключевые слова: интерфейс, электромиграция, механические напряжения, диффузия, вакансии
Electromigration-induced instability of the interface between solid conductors
R.V. Goldstein12, T.M. Makhviladze3, and M.E. Sarychev3
1 Institute for Problems in Mechanics RAS, Moscow, 119526, Russia 2 Bauman Moscow State Technical University, Moscow, 105005, Russia 3 Institute of Physics and Technology RAS, Moscow, 117218, Russia
A model is developed to describe the influence of vacancy electromigration in the bulk of joined conductors under the action of electric current on the shape stability of the planar interface between them. A system of equations is formulated and solved which describes the relation between changes in the interface profile and mechanical stresses arising in it due to the fluxes of ions and vacancies induced by a small spatially periodic perturbation of the interface. Criteria of the perturbation frequency growth with time, i.e., the shape instability conditions for the interface, are determined. Two special cases are considered for a more detailed analysis and estimation: in the first case, the interface is between two similar materials, while in the other the mobility of ions and vacancies in one of the materials can be neglected. Perturbation wavelength ranges are determined and analytically studied in these cases for which it is the bulk vacancy electromigration that leads to the growth of perturbation amplitude and mechanical stresses along the interface with time. Conditions for the existence of such ranges and dependences of their boundaries on the current direction and current density are determined. Particular wavelength and current density ranges of the interface instability are estimated. The estimates show that the interface instability due to bulk electromigration is possible under reasonable (for experiments and practice) conditions in terms of temperature (~100 °C), current density (~1010—1012 A/m2) and perturbation wavelength (~10'-103 ^m). The obtained results may be useful, e.g., for improving the reliability and time to failure of micro- and nanoelectronic components.
Keywords: interface, electromigration, mechanical stresses, diffusion, vacancies
1. Введение
В настоящее время значительный интерес вызывают экспериментальные и теоретические исследования не© Гольдштейн Р.В., Махвиладзе Т.М., Сарычев М.Е., 2016
устойчивостей формы поверхностей материалов или границ соединенных материалов (интерфейсов), развивающихся под действием различных физических фак-
торов (см., например, работы [1-4]). Если материалы являются проводящими, то, как было показано в [1, 3, 4], одним из таких факторов является электрический ток. В этом случае при достаточной плотности тока к неустойчивости приводят электромиграция ионов (атомов) материалов [5] и возникающие в системе механические напряжения. На практике такого рода эффекты могут иметь место, например, в межслойных границах проводящих элементов микро- и наноэлектроники, приводя к необратимому изменению рабочих характеристик последних.
Ранее в работе [1] исследована неустойчивость границы проводящих материалов под действием тока в предположении, что ионная электромиграция происходит только в самой границе. Основным механизмом, вызывающим неустойчивость, считался массоперенос, связанный с неоднородным распределением химических потенциалов ионов обоих материалов вдоль границы, которое возникает под действием малого начального возмущения ее формы. В то же время в ряде недавних работ при анализе устойчивости интерфейсов и открытых поверхностей было показано, что в определенных условиях важную роль могут играть диффузия и электродиффузия вакансий [2, 3] в объеме материалов. Это происходит, несмотря на то что коэффициенты диффузии ионов и вакансий на поверхности значительно больше, чем в объеме материалов [6].
Имея в виду данное обстоятельство, в настоящей работе развита модель, описывающая развитие неустойчивости формы интерфейса между двумя проводящими материалами при учете одновременного действия как ионной электромиграции в нем самом, так и вакансион-ной электромиграции в объемах материалов. Получены и исследованы уравнения кинетики изменений возмущений во времени. Аналитически найдены и проанализированы условия, при которых влияние электромиграции в объемах граничащих материалов на устойчивость границы может превысить соответствующий эффект от электромиграции в самом интерфейсе, приводя к изменению его плоской формы. В ряде частных случаев даны оценки возможных диапазонов длин волн возмущений и плотностей протекающего тока, при которых может реализоваться такая ситуация.
2. Формулировка модели и основные соотношения
Рассмотрим бесконечно протяженный плоский интерфейс (плоскость (х, z)), образованный двумя проводящими монокристаллическими материалами 1 и 2. Будем считать оба материала бесконечно протяженными в плоскости (х, z) и полубесконечными вдоль оси у, перпендикулярной к интерфейсу (ось у направлена вверх, от материала 1 к 2, у = 0 отвечает плоскости интерфейса). Считаем также, что все величины, относящиеся к соединенным материалам, не зависят от z.
Пусть перпендикулярно интерфейсу в направлении от 1 к 2 действует электрическое поле, вызывающее электрический ток с плотностью j. В этом случае при достаточно большой плотности тока должен возникать массоперенос за счет электромиграции (электродиффузии) ионов и вакансий. Электромиграция описывается с помощью так называемого эффективного заряда ионов (или вакансий), характеризующего силу их увлечения электронным ветром [5].
В данных условиях рассмотрим кинетику пространственного возмущения плоского интерфейса, которое имеет вид
h(x, t) = A(t) sin (rox), (1)
где h — изменение профиля интерфейса вдоль оси у, отсчитываемое от его исходного положения — плоскости y = 0; А — амплитуда, зависящая от времени t; ro = 2n/X и X — длина волны. Амплитуда A(t) предполагается малой по сравнению с X, поэтому далее при анализе ограничимся линейным по A(t) приближением (см. также [2, 3]). Отметим здесь, что произвольное периодическое возмущение может быть разложено в ряд Фурье по синусоидальным и косинусоидальным вкладам вида (1).
Возмущение (1), во-первых, инициирует неоднородное распределение электрического потенциала вдоль интерфейса. Кроме того, оно вызывает упругие деформации и механические напряжения в материалах 1 и 2 (также неоднородно распределенные вдоль границы). Оба эти фактора должны изменять амплитуду возмущения (1) прежде всего за счет возникновения потоков ионов вдоль интерфейса, что учтено в работе [1]. Однако, как показали результаты работ [3, 4], они приводят к неоднородным по x потокам вакансий в объемах материалов, что также может влиять на возмущение (1). В настоящей работе учтено действие обоих процессов. Тогда аналогично [1] кинетику возмущения (1) описывает следующая система уравнения:
=_д^_J _Q j(V)
dt dt dx 1 1 (2)
du2 =dh _J _Q j(v) dt dt dx 2
где u 2 — упругие смещения границ интерфейса вдоль оси y со стороны материалов 1 и 2, вызванные возмущением (1); Jj 2 и jj V — соответственно потоки объема за счет ионного массопереноса вдоль интерфейса и потоки вакансий из объемов материалов к интерфейсу, возникающие вследствие возмущения (1); Qj 2 — удельные вакансионные объемы в материалах 1 и 2.
В работе [1] в предположении, что для рассматриваемой системы выполняется приближение состояния плоской деформации [1-3], а упругие смещения uj 2, возникающие под действием возмущения, имеют вид uj 2(x , t) = Uj 2(t)sin(œx) , (3)
получено, что и12 = О/О12)и, где и = и1 + и2, G1 2 = = £1,2/2(1^2,2), О = О^/О + &2), Е1,2 и V!,; -модули Юнга и коэффициенты Пуассона материалов. Используя этот результат, преобразуем систему (2) к виду
dh=-f 4+(i-4 -
dt ox
1 + Q 42V)),
(4)
- [4)S- (1 4
(V )i
где l = Gl/(Gl +G2).
В уравнениях (4) выражения для потоков ионов J1 2 даются те же, что и в [1], т.е.
Jp = -(SD®/kT^ Lp [±yVIK -
- (Zp/Q p )Vi ф-Vi a], p = 1,2, (5)
где цp = ц0 - (±QpyK - Zррф - Qpa) — химический потенциал ионовр-го материала в интерфейсе; ц0 — химический потенциал ионов в плоском интерфейсе; Lp =8Dpi)Qp/kT (8 — ширина интерфейса; D(,I) — коэффициент диффузии ионов p-го материала в интерфейсе; k — постоянная Больцмана; Т — температура); Y—коэффициент поверхностного натяжения интерфейса; Zp < 0 — эффективные заряды ионов в потоке электронов (электронном ветре) [5, 6]; K — кривизна профиля интерфейса (hx = dh¡ dx):
K = K (x, t) = hj (1 + h2xf2 =
= hxx = -A(t)m2 sin (rnx); (6)
Ф = ф(х, t) — электрический потенциал вдоль профиля интерфейса; a = a(x, t) — распределение нормальных к интерфейсу механических напряжений (компонента aуу тензора напряжений); VI — производная по координате вдоль интерфейса, причем в силу предполагаемой малости возмущения (1) VI = ó/óx.
Что касается потоков вакансий J¡2), то в них дают вклад диффузия, электромиграция (электродиффузия) под действием токаj и градиент механических напряжений [4]:
4 ) =-Dr
Cp/Q p
Э(ср/ q p) + (cp/Qp )z) эф,
эу
kT
Q f
pj p
ду Эа
5, p
Эу
kT
p = 1,2,
(7)
у=о
где Dp и Ср — коэффициенты диффузии и безразмерные концентрации (относительные доли) вакансий соответственно; Z(p ) > 0 — их эффективный заряд [5]; Фр = фр (х, у) — распределение электрического потенциала в соединенных материалах [1]; ст5 =
= (ахх + ауу + )/3 — шаровая часть тензора механических напряжений, обусловленных возмущением (1); /Р — соответствующий коэффициент релаксации вакансий [5].
В потоках (5) и (7) используем для распределений электрических потенциалов ф = ф (х, у) и ф = ф(х) результаты [1], полученные решением соответствующего двумерного уравнения Лапласа для материалов 1 и 2:
фp(x, у) = Р pj
У ±
±р2 p1exp(+my)h( x, t)
Р2 + Р1
ф = ф(x, У = h(x, t)) = = Ф2 (x, у = h(x, t)) = - 2РР2 jh(x, t),
(8)
Р1 +Р2
где р р — удельные сопротивления материалов. Также, используя результаты [1], получим, что в приближении состояния плоской деформации шаровая часть тензора механических напряжений ст5 (х, у), входящая в (7), имеет вид
а5, p (x, У) =
axx + а уу + а z:
= -j(1 + vp )mG ехр(±юу) u( x, t),
(9)
распределение нормальных напряжении вдоль интерфейса описывается выражением
а = -ауу (x, у = 0) = rnGu(x, t),
(10)
где с учетом (3) u(x, t) = u1 + u2 = (U1 + U2)sin(rnx) = = U (t )sin (rnx).
Для нахождения концентраций вакансий в потоках J*p) (см. (7)) запишем уравнение их переноса под действием диффузии, электромиграции и градиента механических напряжений [5]:
ЭС
= -divJ(pV>, dt p ,
(11)
J(pV > = -Dp
CnZ
(V)
Cp
VCp + p p Уфp +-pLfpQpVas p
p kT p kT p p 5p
В настоящей работе в электромиграционном уравнении (11) пренебрегаем вкладом в поток Jp от градиента механических напряжений, вызываемых переносом вакансий (так называемый back flow [5, 7]). Такое приближение оправдано, поскольку указанный градиент -1/H (H — длина, на которую перемещаются вакансии) [5, 8], а в рассматриваемой модели интерфейс образуется полубесконечными по у материалами, т.е. H —^ <».
Подставляя в (11) выражения для распределений электрического потенциала (8) и тензора механических напряжений (9) в объемах материалов и учитывая малость возмущения (1) и соответственно величин oS p и u, получим, что уравнение (11) принимает следующий вид:
дс
ía 2
Р -
dt
Dp
д 2Cp д C
дх
dy¿
D 7
DpZp
(V>Р j дСр
kT
ду
Решая это уравнение в стационарном режиме, т.е. при дСр! д( = 0, методом разделения переменных (представляя решение в виде Ср = Сре) + Г(х)Т(у), см. также [3]), получим
С„(х, у) = Cf
с pe)Q Р
kT
±yw2 A -|(1 + Vp)GwU + (7(V) jp/Qp)A
х sin (wx) exp (q±p) (p )y), (12)
где Cpe) — равновесные концентрации вакансий в материалах при плоской границе, q±p) (p) = У 2 (ap ± ±^ap + 4ш2), ap = 7(1)jpp/kT, знаки ± в (11) отвечают p = 1, 2 соответственно (q+1) > 0, q-2) < 0), p = = 2p1p2/(p1 +p2) и считается, что C12(x, y ^ + ^) = = C1(<2). При нахождении решения (11) интерфейс рассматривается как поверхность, адсорбирующая точечные дефекты из объемов материалов [9, 10], в силу чего для концентрации вакансий в каждом из материалов можно воспользоваться граничным условием в виде термодинамического соотношения Гиббса-Томсона [11]:
Cp (х, у = 0) = cpe)exp(A^ p¡kT) =
= C<pe\l + Ац p/kT), где A^p — изменение химического потенциала вакансий р-го материала в интерфейсе, обусловленное возникновением неоднородных распределений лапласов-ского и гидростатического давлений, а также электрического потенциала вдоль профиля интерфейса, определяемого возмущением (1):
Ацp = -[±Qpyw2h(x, t) - 2/3Qp (1 + Vp)х
х Gwu(x, t) + 7(p )ф(х, t)J. (13)
Подставляя соотношения (1)—( 10) и (12) в (7), полу-
t(V )
чим выражение для потоков Jp ', которое за вычетом однородных по х электромиграционных вкладов JV = = [- Dp (C(pe)/Q. p) 7 p )p pj¡kT ], не связанных с возмущением (1) и приводящих лишь к сдвигу интерфейса по оси y без изменения его исходной плоской формы, имеет в линейном по амплитудам A и U приближении следующий вид:
q( p) +a p)
J
±yw2 A --3(1 + vp )GwU +
Q„
7{p )jpp p1 -p2
Q,
p1 + p2
wA ±
±6 fp (1 + vp)GwU ¡> sin (wx),
где Vp = DpC(pe) Q p/kT.
Подставляя далее это выражение для ) и выражение (5) для потоков Jp (также с подстановкой в него соотношений из (1)—(10)) в уравнения (4), в том же линейном приближении получим для амплитуд А и V систему уравнений
dA , . , ТТ
— = b11A + b12U, dt
dU
(14)
dt
= b21 A + b22U,
где коэффициенты bj (i, j = 1, 2) равны
b 1 = -w4y[iL + (1 - l)L2 ] -w2 {[(1 - SZL -
- ^z; l ]jp - y[^q+1)V1 + (1 - ^)q-2) V2 ]}+ + wA^Zf V1V1 - (1 - ^)72V )p2V2 ]j -
- [iZT) q+V - (14)Z2V) qí^j
Й12 = -w3G[^L - (1 - l)L2 ] -1 w2G[^(1 + V1 )fV +
6
+ (1 - S)(1+V 2) f2V ]+f WG £ (1+V1 )q+1)V1 -
- (14)(1+v 2) q-2^],
(15)
=Ю4у(Х2 -4) + ю2[2% +
- у^® V - )]+ЮДР( Zl(F )Р1 V +
+ 22^ ^2) у - [ ) 9?*1 + Z2V) ^ир,
Ь22 = -Ю3С(L2 + А)-1 ®^[(1 + Vl)flVl -6
- (1 + V2 )f2V2 ] +\Ю^(1 + VI ^VI +
+ (1 + V 2) ^2]. Здесь
2р=р, )=У ^ р,
д±р) = ?±р) + ар = (Зар р + 4ш2 ^2, (16) Р1 +Р2
Стандартное решение системы (14) дает
) = Д0)[я ехр (С+*) + (1 - я) ехр)], и (I) = и (0)[5 ехр ) + (1 - д) ехр (£_*)], (17)
где {§, 5} — собственный вектор матрицы Ьу j = 1, 2); £± — ее собственные числа, которые, как следует из (14), равны
z± =
b11 -2 b22 ± íí b11 -2 b22
- (bnb22 -Й12Й21). (18)
Таким образом, из выражений (17), (18) следует, что исходная плоская форма интерфейса будет неустой-
чивой относительно малых возмущений (1), если по крайней мере одно из собственных значений £± = = £± (ю) окажется положительным (в этом случае амплитуда возмущения будет экспоненциально расти со временем). Соответственно, для устойчивости плоского интерфейса необходимо и достаточно, чтобы оба собственных числа £±, определяемые выражениями (18), были отрицательны при одних и тех же значениях параметров системы.
3. Анализ условий устойчивости в ряде частных случаев; некоторые оценки
Из (18), в частности, видно, что положительность величин £±, отвечающая неустойчивости интерфейса, во всяком случае для корня , имеет место при выполнении условия
¿»¿22 - Ь12Ь21 < 0. (19)
Соотношение (19) является простейшим достаточным условием расходимости со временем выражений (17). В принципе, исходя из выражения (18) можно записать и общие условия на величины ¿.., но здесь
Ч
остановимся только на выполнимости (19). Наибольший интерес представляет выяснить, может ли это происходить за счет вакансионной электромиграции.
В силу громоздкости и многофакторности выражений для коэффициентов ¿.., общий анализ условий
Ч
устойчивости интерфейса оказывается математически достаточно сложным. Поэтому рассмотрим здесь два значительно более простых, но достаточно показательных частных случая, когда оказывается возможным аналитическое исследование.
1. Пусть интерфейс образован одинаковыми материалами. Тогда для коэффициентов ¿у из (17) получим следующие выражения:
Ь11 = -ю\ь + 3ю2уК а/2 - У2Г у'р^/аТ^+ю2,
Ь12 = -0(1 + У)У ю( / ю-^ а2/4 + ю2 )/б, Ь21 = ю\2Т/рЬ - 2у¥л]а2/4 + ю2 ]- 3Г2У ура,
(20)
Ь22 = -2ю3 0Ь + 2ю(1 + у)0У а, где Ь = Щй/кГ, Б1 = Д® = Я®, У = БСеа/КГ, D =
= Д = Се = С(е) = С(е), « = Ц =й2, а = а1 =а2,
2*= Z7«, Z* = 2* = 2*< 0, 2У = Zr|2У =
= 2(У) = 22У) > 0, У=У1 =У2, / = /1 = /2 < 1, Р = Р1 = = р2. Отметим, что этот случай может представлять самостоятельный интерес, например при исследовании влияния электромиграции на устойчивость межзерен-ных границ в поликристаллических проводящих материалах.
В выражениях (20) коэффициент Ь12 ~ У, т.е. он отличен от нуля только за счет учета объемной электромиграции. Без этого Ь12 = 0 и, как следует из (8),
С+= Ь1 < 0 и = ¿22 < 0, т.е. интерфейс заведомо устойчив. Кроме того, из (20) следует, что Ь12 > 0 при любых значениях ю и j.
Остальные коэффициенты наиболее полно анализируются в двух предельных случаях | а | >> 2ю и | а | << 2ю, когда выражения (20) представляют собой полиномы по степеням ю. В настоящей работе ограничимся рассмотрением первого из них, как более простого, имея в виду прежде всего оценку знаков выражений (20) в различных диапазонах плотностей токов и длин волн возмущения (1).
При | а | >> 2ю из (10) имеем, что Ь22 может менять знак при волновых числах ю = ю1 (у), где
ю1 =у1 (1 + у )ва, (21а)
2 2
¿21 может менять знак при ю = ю2 > 0, где
ю2 = №у№ (21б)
2 22 ^./р-уР!^
2
и Ь1 может менять знак при ю = ю3, где ю-, — положительный корень уравнения ¿11 = 0:
ю32 = 316в2 -в(2у./р)И/2у, (21в)
где р = У/Ь = (
Оценим выражения (21), например, для межзерен-ных границ в поликристаллах алюминия. В этом случае
8:
= (2 +5)-10-10 м, у
1 Дж/м2, «
- 2 • 10-29 м3
2У = 12 | ~ 10е, е = 1.6-10 19 Кл — заряд электрона [5, 12], V = 0.3,/ = 0.4, р = 3-10-8 Ом-м [12] и, согласно данным [6, 13], при Т = 100 °С (кТ = 0.032 эВ) имеем Д = 6-10-15 м2/с, Я = 1.5 -10-23 м2/с, Се = 5 -10-10, откуда в = У/Ь ~ 5 -10-9 м-1. Аналогично при Т = 350 °С (кТ= 0.045 эВ) Д = 5 -10-11 м2/с, Я = 10-15 м2/с и в = = 10-2 м-1. Отметим, что выбранные для оценок температуры Т = 100 и 350 °С представляют интерес тем, что в этом температурном интервале проводятся ускоренные эксперименты по исследованию надежности микроэлектронной металлизации [5, 6].
Используя эти данные, получим, что для указанных температур параметр а ~ 10-5/ м-1 ([/] = А/м2). Тогда исходное условие | а | >> 2ю дает связь отвечающих ему диапазонов длин волн возмущения и плотностей токов: Л>>Л с = 2п/ | а | = 6 -107| у | м. Отсюда, например, для плотностей тока/ = 1010 А/м2 имеем Л>>Лс = 102 мкм. Соответственно, из (21а) при Т = 350 °С имеем = 104/у[] м и для той же величины плотности тока получим, что = 0.1 м, т.е. много больше, чем Хс; при X < коэффициент ¿22 < 0.
Учитывая равенство 2У =| 2 выражение (21б) можно привести к виду ю2 =- 3в(кГ/ А)а 2 2 kГ/Q + Yвsgn а' откуда, используя те же значения параметров, что выше,
[12],
получим кТ/ 3 • 108 Дж/м3, т.е. при Т = 350 °С получим оценку ю2 ~-Ра —10-7у. Таким образом, при j <0 (ток направлен из материала 2 в 1) корень ю2 существует и Х2 = 3•103Д/Ы, что при |у |= 1010 А/м2 дает Х2 = 3•Ю-2м>>Хс. Соответственно, при Х<Х2 очевидно имеем Ь21 > 0.
Оценивая ю3 и знак коэффициента Ь11, будем сразу считать, что j < 0. Тогда из (21в) для положительного корня имеем выражение
ю3 = 3 в2 + р(к^ |а| 72У,
что при Т = 350 °С и |'| = 1010А/м2 дает ю3 = 104 м-1, т.е. Х3 = 6 • 102 мкм > Хс = 102 мкм. При Х>Х3, т.е. ю< ю3, из (20) имеем Ъ11 > 0.
Таким образом, сделанные оценки показывают, что при плотности тока |'| = 1010А/м2, направленного от материала 2 к 1, для возмущений вида (1) с длинами волн в интервале 6 • 102 < X < 103 мкм имеет место Ь12 >0, Ь21 > 0, Ь22 < 0 и Ь11 > 0, т.е. заведомо выполняется условие (19). Следовательно, корень в (17) положителен и такие возмущения будут нарастать со временем, т.е. плоская форма интерфейса относительно этих возмущений должна быть неустойчивой.
2. Рассмотрим теперь противоположный случай, когда интерфейс образован разными материалами. Пусть в одном из материалов (для определенности 2) подвижность ионов (в том числе и электромиграционная) значительно меньше, чем в другом. Тогда, положив в соотношениях (15) 2* = Z2V) = 0, ^) = А = 0, т.е. Ц2 = = V2 = 0, получим
ь 1 = -ю4£уЦ+ю2£[2рцур - ]+
Ь12 = -ю3£бЦ -1 ю2 £б (1 + + 6
+ 2 юб£(1 + Vl) д+%
3 (22)
¿21 = -ю4 УЦ + ю2[2* Цур - у^ ] + + »(др^ ) увд - Zl(V) q+)jрVь
¿22 =-ю3GL^1 ю2G (1 + + 6
+ | юG (1 + Vl) д!®^.
Отметим, что в этом случае, согласно выражениям (22), характеристики материала 2 влияют на динамику развития возмущения (1) через параметры £ и G, а также р и Др, которые связаны соответственно с механическими и электрическими свойствами системы.
Из выражений (22) следует, что в данном случае выполняются соотношения ¿11 = £Ь21 и ¿22 = (1/ £ ^^ Отсюда, согласно (18) и (22), для собственных значений
в (17) имеем = 0 и
С+= ¿11 + ¿22 =С„{-*4 - X3 -- X 2[х+(й£+/1(1+VlV6) Рр]+ +Х [Д • х + 20 (1 + VlV3]pP-elXpP}, (23)
где С0 = У-Ц1(б/У) > 0 имеет ту же размерность, что и
, т.е. 1/с, а все остальные параметры безразмерные:
х = юу/б, х = £у2'р/ б2, 0 = у9"+!)/6,
и учтено, что
1211 = ) = 2 [5]. Таким образом, в данном случае устойчивость формы интерфейса относительно возмущения (1) определяется знаком выражения (23).
Как и выше при оценках в случае 1, наиболее полное аналитическое исследование (23) можно провести для асимптотики | а11 >> 2ю, когда, как это следует из (16) и (23), параметр
01 =^ [3а1 + 7а? + 4ю2 ] =
«У(3а1 +| а|)/2б = уа/2б ~ у перестает зависеть от ю и выражение в фигурных скобках в (23) становится полиномом по степеням X ~ ю. Отметим, что в этой асимптотике параметры X и пропорциональны плотности тока ' и могут за счет нее, при остальных фиксированных значениях параметров, менять величину и знак.
Для дальнейшего анализа (23) оценим сначала порядки величин параметров X, 0 и Р*, входящих в коэффициенты этого полинома. Рассмотрим, например, интерфейс, образованный алюминием А1, содержащим малую (<2 ат. %) примесь меди (материал 1), и нитридом титана ТЫ (материал 2 — проводящий материал с низкой подвижностью ионов по сравнению с А1). Свойства таких систем активно исследуют в связи с их использованием в качестве микроэлектронных межсоединений [14, 15]. Принимая у ~ 1 Дж/м2, V! ~ V2 ~ 1/3 и взяв для модулей Юнга А1 и ТЫ соответственно значения Е1 = = 70 ГПа и Е2 = 250 ГПа [12], получим, что £/б = = 1/б2 = 10—2 ГПа-1, б = + б2) = 100 ГПа и с
учетом этого у/б ~ 10—11 м, £у/ б = у/ б2 ~ 10—11 м. Кроме того, положим 2 = 5е/^, где е = 1.6 • 10—19 Кл — заряд электрона и = 2 • 10—29 м3 [12] (здесь мы взяли несколько меньший эффективный заряд для ионов и вакансий А1, чтобы учесть тот факт, что добавление небольших количеств атомарной примеси меди приводит к уменьшению их электромиграции), и учтем, что р = 2р1р2/(р1 + р2) = 2р1 = 6• 10—8 Ом-м, т.к. удельное сопротивление А1 (р1 = 3 • 10—8 Ом • м) значительно меньше, чем
™ (р2 = 40 • 10—8 Ом
•м [12]). Оценивая далее величину V1| Ц = (.оР^/АХС^/8) и считая, что
Д(1)/Д = ехр[(ЕЛ1 - ^)/(кТ)],
С(е) = ех^-Е^кТ)), (24)
где Ет и Е1 — энергии активации объемной диффузии вакансий (ионов) материала 1 и их диффузии в интерфейсе; ЕУ — энергия активации образования вакансий в объеме 1, для интерфейса А1—ПЫ, согласно данным [12, 14], имеем Ет ~ 1.2 эВ, £1 ~ 1 эВ и ЕУ ~ = 0.75 эВ. Подставляя эти значения в (24), при 8 = = 3 • 10-10 м получим, что Г[/Ь ~2 • 10-3 м-1 при Т = = 100 °С (кТ = 0.032 эВ) и У1/Ь1 = 0.5 • 102 м-1 при Т= 350 °С (кТ = 0.045 эВ). Наконец, для параметра а = (2(У)р1/(кГ))у, входящего в £ (см. (16), (23)), при тех же температурах имеем оценку а1 = 10-5/ м-1.
Используя теперь сделанные оценки и ограничиваясь далее случаем Т = 350 °С, находим
X = 10-19/, 01 = 10-15/, в*= 5 • 10-10, (25)
где / берется в А/м2. Из (25) следует, что для плотностей тока/ < 1013 А/м2 имеем |х|, | б11, | в*I << 1. Тогда, рас-
1А О 1 "X О
сматривая плотности тока 10 А/м2 < / < 10 А/м2 (реальные в современной микроэлектронике) и с учетом того, что /1 = 0.4, = 0.3 и Ар = (р1 -р2)/(р1 +р2) = = -1, из (23) и (25) получим
С+/С0 = -X4 -X3 -XX2 + - йхв* - Р(X). (26)
При этом, как следует из (25), в рассматриваемом диапазоне плотностей токов для коэффициентов полинома
(26) выполняется условие
йхв <<в* Q1I<<IXI<< 1. (27)
Неустойчивости возмущения (1) отвечают те области Х, т.е. длин волн А = GX, при которых Р(х) > 0. Находя для определения таких областей корни уравнения Р(х) = 0, при учете соотношений (25) и условий
(27) получим в первом порядке по соответствующим малым величинам
X ~х, X2 = 01в7х, Xз =-Х, X4 =-1.
Таким образом, положительных корней всегда два: X2, который не зависит от/, и либо X1 (при/ > 0), либо X3 (при/ < 0), причем в обоих случаях он равен |х|. Отсюда и из общего вида полинома Р(Х) и выражений (25) следует, что при Т = 350 °С и / < 1013 А/м2 искомая область положительности Р(Х), т.е. неустойчивости интерфейса, существует и определяется неравенствами
IX |< X < 01в7х. Например, при |/ | = 1010+1012 А/м2 это дает следующий диапазон для длин волн
10 <А<А1с - 5 • 10^! у I = 5 •(102+104) мкм. (28)
Проверим теперь самосогласованность полученных
оценок с выполнением исходного условия асимптотики
I а11 >> 2ю. Согласно этому условию и оценке величины а1, сделанной выше (после соотношений (24)), должно выполняться условие для длины волны возмущения (1)
Л>>Л2с ^Гс^/Ш^/Ш. (29)
Из (28) и (29) следует, что А^/А^ = 5•Ю2 >> 1, т.е. для любых плотностей токов, в том числе и для | / | = = 1010+ 1012) А/м2, длины волн в интервале А1с << << А < А2с удовлетворяют обоим условиям. Например, при | /1 = 1012 А/м2 имеем Ас2 = 1 мкм и весь интервал (28) длин волн (10 < А < 5 • 102 мкм) отвечает неустойчивости возмущения (1).
Полученные оценки показывают, что в определенных условиях объемная электромиграция вакансий становится основным фактором, обуславливающим появление таких областей длин волн, для которых амплитуда соответствующего возмущения вида (1) экспоненциально нарастает со временем. Именно с этим процессом связаны параметры 01 и в*, обеспечивающие возможность выполнения условий (28) и (29).
4. Заключение
Развита модель, описывающая влияние электромиграции вакансий, протекающей в объеме проводящих соединенных материалов под действием электрического тока, на устойчивость формы плоской границы (интерфейса) между ними. Сформулирована и решена система уравнений, описывающая взаимосвязь изменений профиля интерфейса и механических напряжений в нем, которые возникают за счет потоков ионов и вакансий, инициированных малым пространственно-периодическим возмущением интерфейса. Найдены критерии нарастания амплитуды возмущений со временем, т.е. условия неустойчивости формы интерфейса.
Для более детального анализа и оценок рассмотрены два частных случая: когда граница образована соединением двух одинаковых материалов и когда в одном из материалов подвижностью ионов и вакансий можно пренебречь. В этих случаях выделены и аналитически исследованы области значений длин волн возмущения, для которых именно объемная электромиграция вакансий приводит к росту со временем амплитуды возмущения, т.е. изначально плоский интерфейс становится неустойчивым. Найдены условия существования таких областей и зависимости их границ от направления электрического тока и величины его плотности. Даны оценки некоторых конкретных диапазонов длин волн и плотностей тока, при которых возникает неустойчивость интерфейса. Полученные результаты позволяют утверждать, что возникновение неустойчивости интерфейса за счет объемной электромиграции возможно при достаточно разумных (для экспериментов) условиях (Т~ 100 °С, | / | ~ 1010+1012 А/м2 и А ~ 101 + 103 мкм).
Результаты работы представляют интерес для исследования путей повышения надежности и долговечности функционирования микро- и наноэлектронных структур.
Литература
1. Klinger L., Levin L., Srolovitz O. Morfological stability of a heterophase
interface under electromigration conditions // J. Appl. Phys. - 1996. -V. 79. - No. 9. - P. 6834-6839.
2. Panat R., Hsia J., Cahill D.G. Evolution of surface waviness in thin films via volume and surface diffusion // J. Appl. Phys. - 2005. -V. 97. - No. 1. - P. 013521(1-7).
3. Гольдштейн Р.В., Махвиладзе Т.М., Сарычев М.Е. Влияние электрического тока на устойчивость поверхности проводящей пленки // Поверхность. - 2015. - № 1. - C. 1-8.
4. Гольдштейн Р.В., Махвиладзе Т.М., Сарычев М.Е. Влияние электрического тока на устойчивость границы соединенных проводящих материалов. - М., 2015. - 11 с. / Препринт ИПМ РАН №»1106.
5. Валиев К.А., Гольдштейн Р.В., Житников Ю.В., Махвиладзе Т.М.,
Сарычев М.Е. Моделирование разрушения и долговечности тонкопленочных металлических проводников интегральных микросхем // Физ. мезомех. - 2008. - Т. 11. - № 2. - С. 57-88.
6. Tu K.N. Recent advances on electromigration in very-large-scale-integration of interconnects // J. Appl. Phys. - 2003. - V. 94. - No. 9. -P. 5452-5473.
7. Kirchheim R. Stress and electromigration in Al-lines of integrated circuits // Acta Metal. Mater. - 1992. - V. 40. - No. 2. - P. 309-323.
8. Blech I.A. Electromigration in thin aluminum films on titanium nitride // J. Appl. Phys. - 1976. - V. 47. - No. 4. - P. 1203-1210.
9. Бокштейн Б. С., Копецкий Ч.В., Швиндлерман П. С. Термодинамика
и кинетика межзеренных границ в металлах. - M.: Металлургия, 1986. - 222 с.
10. Гольдштейн Р.В., Махвиладзе Т.М., Сарычев М.Е. Моделирование кинетики адсорбции решеточных дефектов границей соединенных материалов // Поверхность. - 2011. - № 8. - С. 5-11.
11. Петров Ю.М. Кластеры и малые частицы. - М.: Наука, 1986. -367 с.
12. Бабичев А.П., Бабушкина И.А., Братковский А.М. и др. Физические величины: Справочник. - М.: Энергоиздат, 1991. - 880 с.
13. Чебатин В.М. Физическая химия твердых тел. - М.: Химия, 1982. - 320 с.
14. Lloyd J.R., Clemens J., Snede R. Copper metallization reliability // Microelectron. Reliab. - 1999. - V. 39. - No. 4. - P. 1595-1602.
15. Zhang W., Yi L., Chang P., Wu J. A method for AlCu interconnect electromigration performance predicting and monitoring // Micro-electron. Eng. - 2008. - V. 85. - No. 3. - P. 577-581.
Поступила в редакцию 01.06.2016 г.
Сведения об авторах
Гольдштейн Роберт Вениаминович, д.ф.-м.н., чл.-корр. РАН, гнс ИПМех РАН, goldst@ipmnet.ru Махвиладзе Тариэль Михайлович, д.ф.-м.н., зав. лаб. ФТИАН, tarielmakh@mail.ru Сарычев Михаил Евгеньевич, д.ф.-м.н., гнс ФТИАН, sarych@yandex.ru
