О неустойчивости поверхностных электромагнитных волн в плазме Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.951

О НЕУСТОЙЧИВОСТИ ПОВЕРХНОСТНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В ПЛАЗМЕ

Ю. М. Алиев

Рассмотрена модуляционная неустойчивость поверхностных электромагнитных волн конечной амплитуды. В результате развития неустойчивости возбуждаются объемные ионно-звуковые волны, уходящие от границы вглубь плазмы. Получена система уравнений, описывающая нелинейную динамику поверхностных электромагнитных волн, на основе которой получено выражение для инкремента модуляционной неустойчивости.

Линейная теория параметрического взаимодействия сильного электромагнитного излучения, взаимодействующего с ограниченной плазмой и приводящего к раскачке поверхностных электромагнитных волн (ПЭВ), развита достаточно полно (см., например, [1 - 3]). В настоящем сообщении рассматривается нелинейная динамика ПЭВ, распространяющихся вдоль границы плазмы, занимающей полупространство г > I). На границе плазмы медленно меняющаяся амплитуда магнитной компоненты поля ПЭВ распространяющейся вдоль оси х и имеющей частоту шо и волновой вектор ¿о, подчиняется уравнению

о

оо

где Ь(х, = Д) + + ~ оператор, соответствующий линейному дисперси-

онному уравнению

Здесь бо = 1 — -¿г, = \/ко ~ ^¿о, шре - электронная плазменная частота, 8е(х,г,1) = —8п(х, г, Ь)1псг (тгсг = тша/Атге2) - вариация диэлектрической проницаемости, обусловленная пондеромоторной силой и подчиняющаяся уравнению

где Ув - ионно-звуковая скорость.

Связанное с бе низкочастотное возмущение потенциала в плазме <р(х, г, £) и в вакууме определяется уравнением Пуассона

д2(р д2<р _ д28е д2ч>у д2уу _ _ т, п0 дх2 + дг2 ~ П д12 5 дх2 + дг2 ~ ! Ц ~ е, п„' [ '

дополненным граничными условиями непрерывности потенциала и равенства нулю нормальной компоненты скорости ионов на границе плазмы г = 0:

1р(х,г,г = +0) = у>„(х,1,г = -0), ^

= 0. (4)

г=+0

Параметры а и /3 определяются дисперсионными свойствами ПЭВ и будут приведе ны ниже для ряда частных случаев.

Будем искать решение системы уравнений (1) - (4) в виде бегущей со скоростью V вдоль оси х волны и введем новые переменные ( = = в которых (1) (3)

принимают вид

о

£>({, т)Н(£, г) = аН(С, т) 18е(С, г, т)е~2к°Чг, (5)

- К2)^ - У^ = /?|Я(£,г)|2е-2-, (6) д2Ч> д\ лг2д28е

—— + —— = пУ -. (7)

д{2 дг2 ' д(2 К)

При получении (6) было учтено условие адиабатичности ^ <С Vщ, позволившее пренебречь временной производной от низкочастотных возмущений.

Решение уравнения (6) ищем в виде

8е(£, г, т) = 81{( + ^М2 - т) + (8)

где М2 = V2 /V2 > 1 и 8е удовлетворяет уравнению

дЧе /31#(е,т)12 2_ _

'кМ =.......... я' = мГГт

4к2

д? 3 У2(М2 -1) Подставляя (8) в (7), находим низкочастотный потенциал

V2

V2 д28е

¥>(*, ^ = — г,6ё{£ + ^М^Тг, г) + —п—е-^.

После подстановки (10) в граничные условия (4), находим связь

М2 т)

6 б(е, г) =

2кол/М2 - 1

позволяющую представить (8) в виде

6е(£,г,т) = Щ{гт)е-2к°* + С помощью (12) преобразуем интеграл, стоящий в правой части (5):

м2 364?,т)

2к0 \/М2 -1 д{' £'=£+\/м2-12

(9)

(Ю)

(П)

(12)

и

е 2к°Чг

НС, г)

+

м2

4/со гкол/М2

-/

д?

е~2к°Чг. (13)

12

Делая в правой части (13) замену переменной интегрирования г — 1, имеем о £

У 6е(£,г,т)е-2«°Чг =--+

оо

где к3 = 2к0/\/М2 - 1.

М^г) _М2

4к0 2к0(М2 -1)J дС

-1)7

Таким образом, в окончательном виде нелинейная динамика ПЭВ описывается следующей системой интегро-дифференциальных уравнений:

Гп/

¿С(£,т)__АР

4к0 2к0(М2 - 1)

Р

зе

(14)

(15)

де * ' У2{М2-\у

Второе слагаемое в правой части (14) отвечает излучению волны плотности плазмы под действием модуляций ПЭВ. Полагая скорость V, равной групповой скорости ПЭВ

Уд = дш0/дк0, где шо — и0(к0) - решение линейного дисперсионного уравнения для ПЭВ. представим оператор 1)(£,т) в виде £)(£,т) = г — —

Система (14) - (15) имеет решение в виде нелинейной ПЭВ с постоянной амплитудой

= (16)

ГПР ^ - "Р\н°\2 где - 4поКгУ2 ■

В работе [4], где эффект излучения не учитывался, было показано, что ПЭВ конеч ной амплитуды является модуляционно устойчивой. Покажем, что при учете излучениу ионно-звуковых волн, ПЭВ модуляционно неустойчива. Зададим на фоне плоской волны ^16) малое возмущение амплитуды и фазы:

4>т = ч>0т + (17)

Л = Ге0 +

Подставив (17) в (14) и (15), получаем дисперсионное уравнение

~*\дк0) 4 + Кж^Н.Ч + К,У

Учитывал, что для ПЭВ во всей области дисперсии ос^-^ > 0, находим из (18), что неустойчивость возможна (7 = 1тГ2 > 0) при условиях

д > к„ ^|Я0|2/4коК2 >

дУа

дк0

я4,

|Я0| (аРдУ./дкрУ'2 ~ МУя\ V «о ) ■

Условие <7 > к3 имеет простой физический смысл. Взаимодействие между ПЭВ и звуковой волной будет наиболее сильным, если за период низкочастотных модуляций, равный (яУд)-1, звуковая волна не успевает покинуть скин-слой. Учитывая, что время прохождения звуковой волной скин-слоя равно («оК)-1, получаем указанное требование. Заметим, что в этих условиях локальный вклад в правую часть (12) оказывается малым по сравнению со вторым слагаемым, описывающим излучение ионно-звуковых волн.

В заключение приведем явный вклад коэффициентов а и /3.

В квазистатическом пределе (и>о ^ к0с) линейный закон дисперсии ПЭВ имеет вид

(20)

при этом

Шреко . |2 4/Сд|£'|

Ог [

12

2\/2 ' 7гп0т,

где гп{ - масса ионов, п0 - невозмущенная плотность плазмы, £о2(+0) - амплитуда нормальной к границе напряженности ПОВ в плазме. В этом случае, согласно (19):

1 = т—^т —2ч/2—-, (21)

Атгп0Те I с ш2

ре

где Те - температура электронов.

В пределе малого замедления си0 ~ к0с закон дисперсии ПЭВ имеет вид

( к2с2\

ш0(к0) = к0с 1 - -V , (22)

2а;2

ре /

при ЭТОМ

Й\Н I2 - 1-М+0)!2 /пТ| а = а;0-б0 ; = -«оТг--'

С «о ТГПоГП{

Отсюда, согласно (19), имеем

1/2

(3\Е0г\* V" У.

Автор выражает благодарность за частичную финансовую поддержку РФФИ, про ект N 98-02-16435.

ЛИТЕРАТУРА

»

[1] А л и е в Ю. М., Ф е р л е н г и Э. ЖЭТФ, 57, 16 (1969).

[2] Алиев Ю. М., Градов О. М., К и р и й А. Ю. ЖЭТФ, 63, 12 (1972).

[3] А л и е в Ю. М., Градов О. М., К и р и й А. Ю. Вестник МГУ, Физика, астрономия, N 1, 77 (1974).

[4] Atanasov V., Mateev Е., and Shelyazkov I. J. Plasma Phys., 26. 231 (1981).

Поступила в редакцию 27 декабря 2000 г.