CC BY
07. Afanasyev A., Andreeva A., Chernova A. Numerical optimisation of C02 flooding using a hierarchy of reservoir models // Adv. Geosci. 2021. 56. 19 31.
8. Чернова А.А., Афанасьев А.А. Влияние гравитационного расслоения фаз на оптимальные режимы водо-газового воздействия на нефтяные пласты // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2022. 5. 51 61.
9. Ниглштулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука. 1987.
10. Killough J.E. Reservoir simulation with history-dependent saturation functions // SPE J. 1976. 16. 37 48.
11. Brooks R.H., Corey A. T. Hydraulic properties of porous media. Technical report. Hydrology Papers 3. Colorado State University. Fort Collins. 1964. 27.
12. Kenyan D., Behie A. Third SPE comparative solution project: gas cycling of retrograde condensate reservoirs // J. Petrol. Technol. 1987. 39. 981 997.
13. Afanaeyev A., Vedeneeua E. Compositional modeling of mnlticomponent gas injection into saline aquifers with the MUFITS simulator // J. Nat. Gas Sci. Eng. 2021. 94. 103988.
14. Orr F.M. Theory of Gas Injection Processes. Tie-Line Publications. 2007.
Поступила в редакцию 12.05.2023
УДК 539.551, 534.5, 534-16
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦИЛИНДРЕ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОГО ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА
С. Г. Пшеничнов1
Рассмотрена задача о распространении нестационарных волн в поперечном сечении бесконечного полого цилиндра из вязкоупругого функционально-градиентного материала с немонотонно изменяющимися вдоль радиуса свойствами. Цилиндр заменен кусочно-однородным с большим количеством коаксиальных однородных слоев, аппроксимирующих свойства исходного материала. На основе построенного ранее решения для слоистого цилиндра исследованы волновые процессы в цилиндре из вязкоупругого функционально-градиентного материала с разными видами неоднородностей немонотонного характера.
Ключевые слова: функционально-градиентные материалы, волновые процессы, вяз-коупругость. динамика слоистых тел. неоднородный цилиндр.
The problem of propagation of unsteady waves in the cross section of an infinite hollow cylinder made of a viscoelastic functionally graded material with non-monotonically varying properties along the radius is considered. The cylinder is replaced by a piecewise homogeneous one with a large number of coaxial homogeneous layers approximating the properties of the source material. Based on the previously constructed solution for a layered cylinder, wave processes in a cylinder made of a viscoelastic functionally graded material with different types of non-monotonic inhomogeneities are studied.
Key words: functionally graded materials, wave processes, viscoelasticity. dynamics of layered bodies, inhomogeneons cylinder.
DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-2-5
Введение. Неоднородные материалы широко используются в разных отраслях еовременненх) производства и являются предметом исследования во многих областях естествознания. При этом особый интерес вызывает изучение поведения функционально-градиентных материалов (ФГМ) с непрерывной зависимостью физико-механических параметров от пространственных координат при различных внешних воздействиях, в том числе нестационарных динамических. Публикации, посвященные исследованию динамики непрерывно-неоднородных упругих тел с применением аналитических и численно-аналитических методов, появились еще несколько десятилетий назад [1 5]. Обзор
1 Пшеничное Сергей Геннадиевич доктор физ.-мат. паук. вед. пауч. сотр. лаб. динамических испытаний НИИ механики МГУ. e-mail: serp560yandex.ru.
Pshenichnuv Sergey Gennadievich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Lead Research Scientist, Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics, Dynamic Testing Laboratory.
(о) Пшеничнов С. Г., '2024 (e) Pshoniclmov S. G., 2024
M
^max
Рис. 1. Поперечное сечение н схема иагружения
а
современных достижений в рассматриваемой области можно найти в работах [6 9]. Среди методов изучения волновых процессов в ФГМ широкое распространение получили матричные методы в различных вариантах, основанные на приведении уравнений динамики к системе дифференциальных уравнений первого порядка [10]. Используются методы степенных рядов и ортогональных полиномов, а также (наряду с обычным) специальный полуаналитичеекий метод конечных элементов (SAFE), описание которых содержится в обзорах [6, 7]. При изучении гармонических колебаний и гармонических волн в ФГМ известным подходом является аппроксимация его непрерывной неоднородности слоисто-однородной структурой с условиями непрерывности на контакте слоев. Такой подход выражается в различных модификациях метода передаточных матриц, с помощью которого проводились исследования стационарных волновых процессов в упругих [11] и пьезоалектроупругнх ФГМ [12]. В последние годы получены результаты в области изучения задач дифракции звуковых гармонических волн на твердых телах с непрерывно-неоднородными упругими и термоупругими покрытиями [13, 14]. Заметим, что в подавляющем большинстве публикаций по динамике ФГМ рассматриваются стационарные волновые процессы, причем в основном в рамках линейной упругости, термоупругоети и пьезоалектроупругоетн, хотя изучение нестационарных упругих волн в ФГМ началось еще в прошлом столетии [1 3] и продолжается в последние десятилетия [15].
Динамике вязкоупругих ФГМ посвящено гораздо меньше публикаций. В основном исследовались стационарные волны в рамках вязкоупругой модели Кельвина Фойгта [16, 17] и моделей с операторами дробного порядка [18, 19], а также гармонические колебания и волны с моделью
стандартного вязкоупругого тела [20, 21]. В приведенных работах есть ссылки на прочие немного численные труды по данной теме. Публикации по нестационарной динамике вязко-упругих ФГМ практически отсутствуют, за исключением нескольких работ [22 24], в которых получены результаты в случае монотонной зависимости свойств вязкоупругого ФГМ от координаты.
Целью настоящей работы является изучение переходных волновых процессов в цилиндре из вязкоупругого ФГМ при немонотонном изменении его свойств. Здесь продолжаются исследования [22 24] и получает дальнейшее распространение на нестационарные задачи упомянутый выше метод, применявшийся другими авторами лишь в задачах стационарных и заключающийся в замене ФГМ структурой, состоящей из аппроксимирующих однородных слоев. Достоинством метода является возможность использования уже построенных решений нестационарных динамических задач для слоисто-однородных тел.
Постановка задачи и метод исследования. Раеемот-
2.5
1.5
0.5
-0.5
К9
3 2.5 2 1.5 1
0.5 0
-0.5
л Вязкоупругие
/ 1 " 1 \ / 1 1 1 1 \ л матер налы
\ \ / / / f 1 ? 1 J \ I \ i i i \ \ \ \
А\ ^ * л \ vi / / / \ ч \ i i ^ / // \ \ V \ \
..." i \ л \ \ \ ■'■• u / / 1 / ' J ' A \ ( Л \ /J/4 vA
V\ j V'-Vj; H '— \ry \ / . \J f
щ
10 б
12
14
16
18
л / i А Упругие 1 | материалы / i
I ' i \ j' 3 1 1 i i i 1 1 1 1 / I
. i ft i Jr\ l J' 1 1 1 \ f\ ft1 1 1 li1 < гШ / s//|Ml
f\) \\ i ' i 1 1 1 i i i 1
1 .. у i ■ 1 L U V\ 1 Jl ' fr fi \ Л{ i i ij /
\\к ш 2 \ V \ i (•■ \ « if Чл \ I ...y 1
' \rv $ / b V
v.'
0
10
12
14
16
18
Рис. 2. Изменение во времени относительного кольцевого напряжения при г = 0.9: 1 — цилиндр из ФГМ; трехслойный цилиндр: 2 — средний слой. 3 внешний слой: 4 однородный цилиндр
рим задачу о распространении нестационарных волн в поперечном сечении вязкоупругого бесконечного полого цилиндра, параметры материала которого непрерывно зависят от радиальной координаты R (R, в — полярные координаты в плоскости поперечного сечения, Ro ^ R ^ Rmax)-Цилиндр изначально покоится, его внешняя поверхность R = Rmax свободна, а на внутреннюю (R = Ro) начиная с момента t = 0 действует равномерно распределенная нормальная нагрузка Q(t) (рис. 1).
Введем безразмерные величины:
Т = t/to, r = R/Rmax, Го = Ro/Rmax, ^r(r, т) = Pr/[2Go(r)], ав(r, т) = Pq/[2Go(r)],
u(r,r) = Ид/Rmax, Qof (т) = Q/[2Go(ro)], Yv(r,T) = toTv, Ys(r^) = toTs,
где и^^^^^ещение; Pr, Pq — радиальное и кольцевое напряжения; to = Rmax/c(1); Go(r), vo(r), p(r), Ts(r, т), Tv(r,т) — мгновенные значения модуля сдвига и коэффициента Пуассона, плотность, а также ядра сдвиговой и объемной релаксации, удовлетворяющие условию ограниченной ползучести материала; c(r) = \j2w(r)Go(r)/р(г) — скорость продольных упругих волн; w(r) = [1 — vo(r)]/[1 — 2vo(r)]; Qo — безразмерная константа (если функция Q(t) ограничена, то считаем, что sup(|f(т)|) = 1, т > 0).
При отыскании ar (r, т), а$ (r, т), u(r, т) в качестве полной системы независимых исходных данных можно брать величины ro Qof(т), p(r)/p(ro), Go(r)/Go(ro), vo(r), Ys(r,т), Yv(r,т).
Рассмотрим аналогичную задачу для цилиндра с теми же размерами Ro и Rmax, состоящего из N коаксиальных однородных вязкоупругих слоев: Rn-i ^ R ^ Rn (n = 1, 2, 3,... , N, Rn = Rmax, N >> 1) с условиями непрерывности векторов перемещений и напряжений на контакте соседних
слоев R = Rm (m = 1, 2, 3,..., N — 1). Обозначим через Go^,
vo ^ Pni cni Ts ), Tv ) мгновенные значения модуля сдвига и коэффициента Пуассона, а также плотность, скорость продольных упругих волн и наследственные ядра в n-м слое. Выбрав характерное время t* = Rn/cn5 введем безразмерные величины (n = 1, 2, 3,... , N):
т = t/t*, r = R/Rn , ro = Ro/Rn , rn = Rn/RN (rN = 1), an = cn/Cn,
4n)(г,т) = pRn)/(2Gon)), ^п)(г,т) = PQ(n)/(2Gon)), и(п)(г,т) = uRn)/Rn,
Qof (т ) = Q/(2Goi)), 7(п)(т )= t*T(n), y(п)(т )= t*Ts°n), wn = (1 — von) )/(1 — 2^п)),
где uRl) — перемещение; PR^, PQn) — соответствующие напряжения в n-м слое.
В отличие от работ [22-24] параметры ФГМ с учетом специфики принятых далее законов изменения некоторых из них предлагаем аппроксимировать с помощью соотношений (n = 1, 2, 3,... , N)
Gon) = 0.5[Go(rn-i) + Go(rn)], pn = 0.5[p(rn-i) + p(rn)], Von) = 0.5[vo(rn-i) + Vo(rn)],
Y(n) = 0.5[Ys (rn-1, т) + Ys (Гп,Т )], Yvn) = 0.5[Yv (rn-l,т) + Yv(rn ,т)],
при этом с ростом N и одновременным уменьшением толщины N-ro (внешнего) слоя значение t* t0
ФГМ, но в настоящей работе при всех расчетах эти толщины считались одинаковыми.
Постановку задачи для слоистого цилиндра в безразмерном виде составляют уравнения динамики (rn-i ^ r ^ rn, n = 1, 2,..., N)
(1—4'0
д_
dr
du(г, т) и,(г, т)
"ra qt 2 UJ V-V
дг
определяющие соотношения линейной вязкоупругости (деформации выражены через перемещения):
„<->(, г) = (1 - ,;<">)+ -1) (1 ■- 4")
„Г(пг) = (l - d?>) ^ + (»,. - 1) (1 - 4") (2)
4га) о-) =
4 С(г,т) = у (т - х)£(г,х) ; = 1,2, 0
1
3(1 -
(1 + ^^(т) + 2(1 - 2^0га))7(п)(т)
4г)(т) = г^у Ь + ^П)Ы'г)(т) - (1 - 2^п)Ып\т)
3^,
начальные условия:
грани чные условия:
и{п\г, 0) = 0, (Г,0)=0,
а«(Г0,т) = (т), ^(1,т) = 0, т > 0,
условия непрерывности на контакте соседних слоев (ш = 1, 2,..., N - 1):
'(т)(Гт ,т) = и(т+1) (Гт ,т), ^ ^ (гт,т ) = (гт,Г).
и4
(3)
(4)
(5)
а
к,
1.5
0.5
л Вязкоупругие
1 у \ д матер шалы
V г \з J ^ / Л
1 V •' А 2 Л ЭТУ I / Ц\ и \ Ид V V 4
Г М\ л тЛ л V, Д л Ш' р \/ \\ V п? /7 Ь
А ЯГ: \w\lii 4\. //л-/
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 т Рис. 3. Изменение во времени относительного кольцевого напряжения при г = 0.75: 1 — цилиндр из ФГМ с квадратичным законом; 2 трехслойный: 3 однородный: 4 из ФГМ с кусочно-линейным
законом
Решение задачи (1) (5) строится с использованием интегрального преобразования Лапласа по времени с последующим обращением. В наиболее удобном виде решение в изображениях представлено в работе [25]. При регулярных наследственных ядрах 7(га), в виде конечной суммы экспонент решение в оригиналах построено в форме ряда по вычетам [25, 26], при ядрах более общего вида его удобно записать в иной форме (формула (5.2) статьи [27]).
В предыдущих работах [22 24] правомерность применения рассматриваемого метода к исследованию нестационарной динамики ФГМ подтверждена для тел с плоскопараллельными и цилнндри чеекими границами при монотонно изменяющихся свойствах ФГМ. Посредством расчетов при конкретных исходных данных была установлена сходимость результатов с ростом числа аппроксимирующих слоев N при условии / (т) ^ 0 при т ^ 0, причем с увеличением N наблюдалось равномерное т
ков кольцевого напряжения
(Гт,т) - СТ((т+1) (Гт, т)| на
контакте между соседними цилиндрическими слоями. В насто-
ящей работе сходимость подобного рода подтверждена соответствующими расчетами для случая немонотонного изменения свойств вязкоупругого ФГМ. Как и в работе [24], здесь оказалось вполне достаточным ограничиться 80 слоями одинаковой толщины.
Результаты расчетов. С помощью численной реализации решения нестационарной динамической задачи для слоистой конструкции (1)-(5) были проведены исследования волновых процессов в поперечном сечении цилиндра из ФГМ с различными исходными параметрами. На всех приводимых рисунках представлены лишь отдельные характерные результаты для случая го = 0.5 при функции внешней нагрузки в виде сглаженной ступеньки: /(т) = 1 — е-50т, т > 0 . Заметим, что при такой функции / (т) внешняя нагрузка стремится при Ь ^ ж к величине 2Го(го )фо, поэтому для цилиндра из ФГМ удобно анализировать поведение относительных напряжений
ке (г,т) = Со(гЬ (г,т )/[Го (го)^о] = Ре/[2Го (го )^о],
кг (г,т) = Со(г)аг (г,т )/[Го (го )£о] = Рд/[2Со(го)до].
Согласно применяемому подходу в качестве приближения таких величин принимались относительные напряжения для слоисто-однородного цилиндра (п = 1, 2, 3,... , Ж):
кеп)(г,т) = ГТ^" (г,т)/(со1) до) = Ре(га)/(2со1) Оо), кГп)(г,т) = Г" а(п)(г,т)/(со1) до) = р^/(2^о1) до)
и на всех рисунках результаты, относящиеся к любому ФГМ, получены при N = 80. Отрицательные относительные напряжения всюду соответствуют сжатию (считаем ^о > 0). Для вычисления относительных напряжений в качестве информации о внешней нагрузке достаточно задать только /(т)
Рассмотрены два вида ФГМ. Один характеризуется следующими параметрами: = 0.3; 7у = 0; 7з = 0.06е-ао5тт-а7;
(6)
р(г)/р(го) = Го(г)/Го(го) = Ь + (1 — Ь)(г — гь)2/(го — гь)2; гь = 0.5(1 + го); Ь = 0.25,
гг изменяются по одинаковому квадратичному закону, сначала убывая, а затем возрастая до первона-
гь
г
Другой ФГМ характеризуется кусочно-линейным изменением плотности и мгновенного модуля сдвига
р(г) /р(г ) = г (г) /г (г ) = ! Ь + (1 — Ь)(г — гь)/(го — гь^и г е [го; гь), (7)
р(г)/р(го) = Го(г)/Го(го) = | ь + (1 — Ь)(г — гь)/(1 — гь) ирп г е [гь; 1] (7)
в том же диапазоне, что и у первого материала, при сохранении прочих исходных данных (6).
Одним из достоинств ФГМ по сравнению с традиционными слоистыми материалами, представляющими собой пакет однородных составляющих, является возможность избежать скачков напряжений в элементах конструкций, которые могут привести к расслоению. В связи с этим при тех /(т) го
состоящем из трех однородных слоев (Ж = 3) со следующими данными (свойства первого и третьего слоев одинаковы):
П = 0.6; г2 = 0.9; = 0.3; = 0; 7^ = 0.06е-°'°5тт-°'7, п = 1, 2, 3;
(8)
Р3/Р1 = Гоз) /го1) = 1; Р2/Р1 = Г2) /го1) = 0.25. Заметим, что исходные данные (6) и (8), а также (7) и (8) связаны соотношениями
Р2/Р1 = го2)/го1) = р(гь )/р(го) = Го(гь )/Го(го),
т.е. непостоянные характеристики ФГМ обоих видов непрерывно изменяются в диапазоне от наименьшего значения, соответствующего свойствам среднего слоя трехслойного цилиндра, до наибольшего, соответствующего свойствам двух его крайних слоев. Результаты исследования динамики трехслойного цилиндра сравнивались с результатами для цилиндра из ФГМ.
На контакте слоев с разными свойствами величина кг непрерывна, в отличие от к$, и, как показали расчеты, при функции внешней нагрузки /(т) в виде сглаженной ступеньки и исходных данных указанных типов (6) (8) среди величин, характеризующих динамическое напряженное состояние, поведение величины по сравнению с кг более интересно. Относительное кольцевое напряжение изменяется в большем диапазоне, чем кГ)ив целом более чувствительно к смене исходных данных, поэтому здесь продемонстрированы характерные результаты только для к$.
На рис. 2, а, жирная сплошная линия 1 соответствует изменению во времени величины к$ в точке г = 0.9 для цилиндра из вязкоупругого ФГМ с квадратичным изменением свойств (6). Там же
представлены графики изменения во времени относительного кольцевого напряжения к^, п = 2, 3, для трехслойного цилиндра (8) на контакте второго и третьего слоев (т.е. при г = 0.9), во втором,
более мягком слое (к^2) — пунктирная линия 2) ив третьем (к^1 — штриховая линия 3). Тонкая
сплошная линия 4 показывает изменение во времени величины к^ в точке г = 0.9 для однородного
цилиндра (Ж = 1) при тех же /(т), го, ^О^,
На рис. 2, б представлены аналогичные результаты для случая линейно-упругих материалов, когда все ядра релаксации нулевые, а прочие исходные данные для каждого графика те же, что и для (хх)твететвующего графика рис. 2, а. Кривые 2 и 3 на рис. 2, а, б демонстрируют значительный скачок кольцевых напряжений на контакте однородных составляющих в случае трехслойного материала. Аналогичная ситуация наблюдалась и при г = 0.6.
На рис. 3,а, б представлены зависимости от времени относительного кольцевого напряжения в
точке г = гь = 0.75 соответственно для вязкоупругих материалов и упругих. На рис. 3, а жирная сплошная кривая 1 соответствует ФГМ с квадратичным законом изменения свойств (6), пунктирная 2 трехслойному материалу (8), тонкая сплошная 3 однородному. Штриховая линия 4 получена для ФГМ с кусочно-линейным изменением плотности и мгновенного модуля сдвига (7). На рис. 3, б каждый график построен при условии, что все ядра релаксации нулевые, а прочие исходные данные те же, что и для соответствующего графика на рис. 3, а. Как видим, графики зависимости от времени кольцевых напряжений в рассматриваемой точке при всех трех видах неоднородности материала в целом похожи друг на друга, но существенно отличаются от соответствующего графика для случая однородного материала.
На рис. 4, а, б для случая вязкоупругих материалов показано изменение во времени относительного кольцевого напряжения на границах г = го = 0.5 г=1
1 4 построены при тех же исходных данных, что и соответствующие кривые на рис. 3, а. По результатам исследова-
(3)
а
ке
6 5 4 3 2 1
7А г=0.5
К А
1 и 1 \1 ы /Г II \ \ \\\ \-д /■•■' / "■-¿л
1 1 А ! /¡I /;/ /;/ ! 1 / V д и ' / 1 [ 1 \\ \\
/; /' / /' / \ / И / 1/1 / '/ ' \ « 1:1 ¡и Ш г\ 1\ \\ V и / / У <7/ / \ V. \ \
/' / \ Д. 4 ( / !/ * / ! / \
1 \/у ¿3
ке
2.5
1,5
0.5
10
б
12
14
16
18
1 г= 1
1 л \ ' м ' 4 \\ VI / ;г / > '// п \Ц /Л\ [2 \
ш § 1 / А гЛ * \ * / ¡1 / 1 м \\ р у \ г / / \\\ \\\
N А щ // /' /' / /¡1 / /3 4
\ /' /;' / \у
О
6
10
12
14
16
18
Рис. 4. Изменение во времени относительного кольцевого напряжения при г = 0.5(а) иг = 1(6):! — цилиндр из ФГМ с квадратичным законом: 2 трехслойный: 8 однородный: 4 из ФГМ с кусочно-линейным законом
ний, частично представленным на рис. 2, 3, можно сделать вывод о том, что ФГМ рассмотренных типов при сглаженном ступенчатом нагружении в целом имеют преимущество перед трехслойным композитом и однородным материалом в отношении уровня растягивающих кольцевых напряжений в характерных точках внутри сечения цилиндра. И хотя на границах сечения (рис. 4) уровень напряжений в однородном материале существенно ниже, однако именно там рассматриваемые ФГМ имеют наибольшую жесткость.
На рис. 2, 3 демонстрируется также влияние вязкоупругих свойств материалов на волновой процесс. Вязкость практически не успевает проявиться при относительно небольших временах, но затем в вязкоупругих материалах, в отличие от упругих, волновые процессы постепенно затухают. При выбранном характере внешней нагрузки напряжения с течением времени стремятся к значениям, определяемым из решений статических задач теории упругости, в которых константами материалов являются длительные модули. Это подтверждено расчетами и согласуется с теоретическими результатами работы [27].
Заключение. При непрерывной функции внешней нагрузки подтверждена правомерность использования метода аппроксимации ФГМ слоистой структурой в нестационарных динамических задачах рассматриваемого типа. Предложенный подход позволил впервые промоделировать распространение нестационарных волн в вязкоупругих ФГМ с немонотонной зависимостью их физико-механических параметров от координат. Исследованы нестационарные динамические процессы в поперечном сечении полого бесконечного цилиндра из вязкоупругого ФГМ при немонотонном изменении его свойств в радиальном направлении. Проведено сравнение характеристик переходных волновых процессов при разных вариантах такого изменения, а также их сопоставление с соответствующими характеристиками для трехслойного и однородного цилиндров. Показано преимущество ФГМ перед трехслойным композитом, а также перед однородным материалом при нестационарном радиальном нагружении полости цилиндра. Продемонстрировано влияние на нестационарный процесс вязкости материалов.
Работа выполнена при поддержке РНФ (проект № 23-29-00389, https://rscf.ru/project/23-29-00389/).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Сеницкий Ю.Э. Расчет неоднородных анизотропных цилиндра и сферы при действии произвольной радиально-симметричной динамической нагрузки // Прикл. механ. 1978. 14, № 5. 9-15.
2. Саакян С.Г. О волнах в неоднородных упругих средах // Докл. АН СССР. 1986. 82, № 3. 565-567.
3. Булычев Г.Г., Пшеничное С.Г. Осесимметричная задача динамики длинного упругого неоднородного цилиндра // Строит, механ. и расчет сооружений. 1989. № 4. 35-37.
4. Gubernatis J.E., Maradudin A. A. A Laguerre series approach to the calculation of wave properties for surfaces of inhomogeneous elastic materials // Wave Motion. 1987. 9, N 2. 111-121.
5. Ohyoshi T. New stacking layer elements for analysis of reflection for transmission of elastic waves to inhomogeneous layers // Mech. Res. Communs. 1993. 20, N 4. 353-359.
6. Жаворонок С.И. Задачи о дисперсии волн в неоднородных волноводах: Методы решения (обзор). Ч. 1 // Механ. композ. мат-лов и конструкций. 2021. 27, № 2. 227-260.
7. Жаворонок С.И. Задачи о дисперсии волн в неоднородных волноводах: Методы решения (обзор). Ч. 2 // Механ. композ. мат-лов и конструкций. 2022. 28, № 1. 36-86.
8. Boggarapu V., Gujjala R., Ojha S., Acharya Sk., Venkateswara babu P., Chowdary S., Gara D. State of the art in functionally graded materials // Compos. Struct. 2021. 262. 113596.
9. Punera D., Kant T. A critical review of stress and vibration analysis of functionally graded shell structures // Compos. Struct. 2019. 210. 787-809.
10. Kuznetsov S. V. Lamb waves in anisotropic functionally graded plates: a closed form dispersion solution // J. Mech. 2020. 36, N 1. 1-6.
11. Kielczynski P., Szalewski M., Balcerzak A., Wieja K. Propagation of ultrasonic Love waves in nonhomogeneous elastic functionally graded materials // Ultrasonics. 2016. 65. 220-227.
12. Ezzin H., Wang В., Qian Z. Propagation behavior of ultrasonic Love waves in functionally graded piezoelectric-piezomagnetic materials with exponential variation // Mech. Mater. 2020. 148. 103492.
13. Ларин H.B., Толоконников JI.А. Рассеяние звука термоупругим шаром с непрерывно-неоднородным покрытием в теплопроводной жидкости // Матем. моделир. 2019. 31, № 5. 20-38.
14. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Рассеяние цилиндром с неоднородным покрытием звуковых волн, излучаемых линейным источником, в плоском волноводе // Матем. моделир. 2021. 33, № 8. 97-113.
15. Медведский А.Л. Задача о дифракции нестационарных упругих волн на неоднородной трансверсально изотропной сфере // Механ. композ. мат-лов и конструкций. 2008. 14, № 3. 473-489.
16. Yu J.G. Viscoolastic shear horizontal wave in graded and layered plates // Int. J. Solids and Struct. 2011. 48. N 16 17. 2361 2372.
17. Cao X., Jiang H., Ru Y., Shi J. Asymptotic solution and numerical simulation of Lamb waves in functionally graded viscoolastic film // Materials. 2019. 12. N 2. 268 284.
18. Zhang X., Li Z., Wang X., Yu J.G The fractional Kelvin Voigt model for circumferential guided waves in a viscoolastic FGM hollow cylinder // Appl. Math. Model. 2021. 89, N 1. 299 313.
19. Almbaidin A., Ahu-Alshaikh I. Vibration of functionally graded beam subjected to moving oscillator using Caputo Fabrizio fractional derivative model // Rom. J. Acoust. and Vibr. 2019. 16. N 2. 137 146.
20. Ватульян А.О., Варченко А.А. Исследование колебаний балки из функционально-градиентного материала с учетом затухания // Изв. вузов. 2021. № 4. 10 18.
21. Ватульян А. О., Юрой В. О. Волны в вязкоупругом цилиндрическом волноводе с дефектом // Изв. Саратов. ун-та. Новая серия. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2021. 21. № 3. 352 367.
22. Короаайцеаа Е.А., Пшеничное С.Г. Об исследовании переходных волновых процессов в линейно-вязко-упругих телах с учетом непрорывной неоднородности материала /'/' Пробл. прочн. и пласт. 2016. 78. № 3. 262'270.
23. Korovaytseva Е.А., Pshenichnov S.G. Study of transient wave processes in continuously inhomogenoous elastic and viscoolastic bodies // Modeling of the soil structure interaction: Selected topics. N. Y.: Nova Sci. Publ., 2020. 1 28.
24. Pshenichnov S., Ivanov R., Daicheva M. Transient wave propagation in functionally graded viscoolastic structures // Math. MDPI. 2022. 10, N 23. 4505.
25. Pshenichnov S.G., Ryazantseva M.Yu, Ivanov R., Daicheva M.D. Dynamic problem for a viscoolastic hollow cylinder with coaxial elastic inclusion // C. Acad. Bulgarc dos Sciences. 2022. 75, N 8. 1184 1194.
26. Пшеничное С.Г. Аналитическое решение одномерных задач динамики кусочно-однородных вязкоупругих тел /'/' Изв. АН СССР. Механ. твердого тела. 1991. № 1. 95 103.
27. Пшеничное С.Г. Динамические задачи линейной вязкоупругости для кусочно-однородных тел // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2016. № 1. 79 89.
Поступила в редакцию 30.08.2023
УДК 517.93
ИССЛЕДОВАНИЕ МОДИФИЦИРОВАННОЙ МОДЕЛИ ХОДЖКИНА-ХАКСЛИ ПРИ НАЛИЧИИ СТИМУЛЯЦИИ И СЛУЧАЙНОГО ШУМА
В. В. Александров1, И. А. Козик2, Ю. С. Семенов3
В работе продолжено исследование модифицированной модели Ходжкина Хаксли при наличии случайного шума. Показано, что при добавлении определенного тока кратковременной стимуляции случайный шум небольшой амплитуды не препятствует переходу системы из режима движения в окрестности малого устойчивого продольного цикла (режим "Ничего" в соответствии с основным законом нейрофизиологии "Всё или ничего") в режим движения вдоль большого устойчивого продольного цикла, называемого "утиным носом" (соответственно режим "Всё"). В то же время большой по амплитуде случайный шум может приводить к серии переходов системы из одного режима в другой и обратно даже при кратковременной стимуляции. В отсутствие стимуляции и при большой величине шума такие серии переходов наблюдались при компьютерном моделировании и ранее.
1 Александров Владимир Васильевич доктор физ.-мат. паук, проф., зав. каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vladimiralexandrov366Öliot.mail.com.
Aleksandrov Vladimir Vasilyevich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Head of Chair of Applied Mechanics and Control.
2Козик Игорь Александрович учебный мастер каф. прикладной механики и управления мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: igor.kozikömail.ru.
Kuzik Igor' Aleksandrovich Educational Master, Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Applied Mechanics and Control.
л Семенов Юрий Станиславович капд. физ.-мат. паук, доцепт каф. высшей математики РГУ нефти и газа (НИУ) им. И.М. Губкина, e-mail: yuri_semenoffÖmail.ru.
Semenov Yuri Stanislavovich Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Russian State University of Oil and Gas, Department of Higher Mathematics.
© Александров В. В., Козик И. Л., Семенов Ю.С., "2024 -—i
© Aleksandrov V. V., Kozik 1.Л., Semenov Yu. S., 2024
