ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ГИСТЕРЕЗИСА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ФАЗОВОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ НА ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ВОДОГАЗОВОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА НЕФТЯНЫЕ ПЛАСТЫ Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Механика

УДК 532.546

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ГИСТЕРЕЗИСА ОТНОСИТЕЛЬНОЙ ФАЗОВОЙ ПРОНИЦАЕМОСТИ НА ОПТИМАЛЬНЫЕ СТРАТЕГИИ ВОДОГАЗОВОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ НА НЕФТЯНЫЕ ПЛАСТЫ

И. М. Сыпченко1, А. А. Афанасьев2

Исследованы трехфазные течения в пористой среде, связанные с закачкой углекислого газа и воды в нефтяной пласт. Построена численная модель фильтрации с учетом фазовых превращений между нефтыо и газом и гистерезиса относительной фазовой проницаемости газа. Модель сопряжена с расчетом экономической рентабельности вытеснения нефти. С помощью численного моделирования оценено влияние гистерезиса на оптимальные и наиболее рентабельные стратегии поочередной закачки воды и углекислого газа. Показано, что гистерезис приводит к необходимости закачки большего объема газа для достижения максимальной экономической выгоды.

Ключевые слова: фильтрация, нефть, С02, композиционное моделирование, метод увеличения нефтеотдачи, водогазовое воздействие.

We investigate three-phase flows in porous media caused by carbon dioxide and water injection into an oil reservoir. We construct a numerical model of the flow complicated by the phase transitions between oil and gas and the hysteresis changes in the gas relative permeability. The model is conpled with the economic estimates of the profitability of oil recovery. Using a numerical model, we estimate the effect of the hysteresis on the most profitable strategies of the alternating injection of water and carbon dioxide. We show that the hysteresis behavior requires the injection of larger volumes of gas to maximize a profit.

Key words: flow in porous media, oil, C02, compositional modeling, enhanced oil recovery, WAG injection.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-2-4

1. Введение. В современном мире все чаще поднимается вопрос об источниках энергии, необходимых человечеству для поддержания устойчивого развития. Сирое на объем потребляемой энергии в мире растет с каждым днем. Так как альтернативные энсрх'орссурсы еще не используются достаточно широко, требуется изыскивать новые способы эффективного и экономичного расходования традиционных энергетических ресурсов, таких, как, например, нефть. В связи с этим активно развиваются методы увеличения нефтеотдачи. Помимо поиска способов сохранения энергетического баланса в мире остро стоит проблема увеличения количества выбрасываемого в атмосферу углекислого газа (СО2). Парниковый эффект, связанный с выбросами СО2, является одной из причин

повышения температуры на Земле. Чтобы снизить объемы СО2 в атмосфере, предложено разме-

2

2

вязкость уменьшается. Это способствует более полному вытеснению нефти из пластов [2, 3]. Непре-

2

практике применяется водогазовое воздействие, т.е. поочередная закачка воды и газа, что позволяет увеличить коэффициент извлечения нефти [4|.

Водогазовое воздействие характеризуется переменным направлением изменения насыщенности

2

закачки воды снижается. Это может сопровождаться гистерезисом относительной фазовой проницаемости (ОФП) газа. Гистерезис вызван капиллярными эффектами в микромасштабе отдельных

1 Сыпченко Ирина Михайловна студ. каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ: ипжепер НИИ механики МГУ. e-mail: sypclienkol 230yandex .ru.

Sypchenko Irina Mikhailovna Student. Lomonosov Moscow State University, Faculty of Mechanics and Mathematics, Chair of Hydromechanics: Engineer, Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University.

" Афанасьев Андрей Александрович члеп-корр. FAH, вед. науч. сотр. НИИ мехапики МГУ, e-mail: afanasyevOimec. msu .ru.

Afanasyev Audrey Aleksandrovich Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, Lead Research Scientist, Institute of Mechanics, Lomonosov Moscow State University.

© Сьшчеико 11. M., Афанасьев Л. Л., "2024 -—i

© Sypchenko 1. М., Afanasyev Л. Л., 2024

Н,0

нор, приводящими к различному распределению фаз в норовом пространстве при просушке и пропитке, т.е. при увеличении и снижении насыщенности газа соответственно. Несомненно, гистерезис влияет на оптимальные стратегии водогазового воздействия и экономическую целесообразность его применения. Настоящая работа имеет своей целью исследование такого влияния в рамках проведения расчетов фильтрации нефти, воды и СО2 и сопряжения этих расчетов с экономическими

оценками рентабельности водогазового воздействия.

2. Постановка задачи. Рассматривается одномерная задача изотермической фильтрации в области х € [0, Ь] (рис. 1,6), которая, например, соответствует однородному цилиндрическому образцу нефтена-еыщенной породы [5]. В начальный момент времени (Ь = 0) она насыщена нефтью при неенижаемой

СО?

Н70

со.

\У в

У/в

со2 н20 2(\¥С)\¥

о

Нефть (20% - СН4, 40% - С6Н14,40% - С16Н34)

0

->

х

Рис. 1. Схема режимов нагнетания Н2О и С02 (о) и постановки задачи

фильтрации (б)

насыщенности воды втс, т.е. насыщенность нефти равна 1 — втс. Нефть моделируется жидкостью, содержащей три компонента: метан СН4, гексан С6Н14 и гексадекан С16Н34. При Ь = 0 в области х € [0, Ь] имеется однородное распределение всех концентраций компонентов, насыщенностей и давления.

Ь = 0 х = 0 2

2

вытеснения нефти. Закачка происходит при постоянном объемном расходе Q, который наблюдается при начальном давлении и температуре Т. Предполагается, что расход Q приводится к единичной площади поперечного сечения образца. Таким образом, безразмерный объем закачанной к данному моменту времени Ь жидкости РVI = Qt/V можно интерпретировать как безразмерное время. Грани-х=Ь

покидать область х € [0, Ь]. Это условие обеспечивается поддержанием начального давления при х=Ь

В различные интервалы времени ДЬ&, к = 1, 2, 3,... , через границу х = 0 закачивается или чистая вода, или чистый СО2. При постоянном ^ ^^^^ениям ДЬ&, к = 1, 2, 3,... , можно поставить во взаимно однозначное соответствие безразмерные объемы закачанной жидкости РУ1^ = QДtk/V, где

V — поровый объем. Далее интервалы нагнетания воды обозначаются символом \¥, а интервалы закачки газа символом Ст. Стратегии водогазового воздействия обозначаются последовательностью символов ¥и в, соответствующих последовательности закачиваемых объемов РУ1^. Накопленные объемы газа и воды, закачанные к данному моменту времени, обозначим Р\"1„ и Р\'Т№ соответственно.

В настоящей работе рассматривается пять стратегий, схематично показанных на рис. 1, а. Стратегия \¥ соответствует традиционному методу извлечения нефти, основанному на непрерывной закачке воды, а стратегия С на непрерывной закачке газа. Таким образом, в этих стратегиях есть только один интервал ДЬь Стратегия \¥С состоит из интервала закачки воды ДЬ1, за которым следует интервал закачки газа ДЬ2- Этот случай соответствует традиционной схеме разработки месторождений, в которой в конце продолжительного этапа заводнения применяется третичный метод

2

щейся с этана С и завершающейся заводнением Стратегия 2(\¥С)\¥ состоит из пяти этапов

2

1 = 3 2 = 4

Задача исследования заключается в сравнении эффективности отмеченных режимов закачки и оценке влияния гистерезиса ОФП на параметры эффективных режимов. Здесь под эффективностью понимается экономическая рентабельность применения схемы вытеснения. Таким образом, для определения наиболее рентабельного режима необходимо построить сопряженную модель, описывающую как гидродинамику процесса вытеснения, так и соответствующие денежные потоки. Основные уравнения такой модели описываются далее.

2

ют четырехкомпонентную жидкость, которая может находиться в двух фазах газ и нефть. Вода

образует отдельную фазу не смешивающуюся с другими компонентами. Уравнения фильтрации, описывающие одномерные течения такой трехфазной жидкости, записываются в виде [5 8|:

д , , , д , > — {фргоЗги) + (PwUW) = 0;

(1)

РгСг^8г ) + ^ ( Е РгЧз)иг )=0. i = 1, • • • , 4;

i=g,o

yi=Q,o

_ , Jzh дР

Щ = —К - , / дХ

+ So + Sg = 1,

г = g,o,w;

4

j=i

Чз)

= 1,

(2)

(3)

(4)

где ф — пористость; р — скорость фильтрации; s

плотность; c¿(j) — массовая концентрация j-й компоненты в г-й фазе; u — — насыщенность фазы; k — абсолютная проницаемость; kri — ОФП; / — динамическая вязкость; P — давление; индексы д, о и w обозначают параметры газа, нефти и воды, a (j), j = 1,..., 4, _ параметры компонентов С02, СН4, С6 и Ci6 соответственно. Уравнение (1) — закон сохранения массы воды, уравнение (2) законы сохранения массы для каждого компонента углеводородной смеси, (3) закон Дарен, а (4) замыкающие соотношения.

В периоды закачки воды (W) па границе x = 0 выставляется уеловие sw = 1, а в периоды закачки СО2 (G) — условие sg = 1 при равной единице концентрации СО2 (cg(i) = 1).

Суммирование слагаемых по фазам нефти и газа в законах сохранения массы (2) для каждого компонента углеводородной смеси позволяет автоматически учесть фазовые превращения между газом и нефтью [9].

Уравнения (1) (4) должны быть дополнены уравнениями состояния, которые в настоящей работе взяты из [5]. Параметры термодинамичеекого равновесия рассчитываются с помощью кубического уравнения состояния Соавс Редлиха Квонга, а вода считается несжимаемой жидкостью. Для

расчета вязкости углеводородных фаз используется корреляция Лоренца Брея Кларка [5], позво-

2

постоянной. Предполагается, что при t = 0 моль-

46

i6

но P = 13.9 МПа, а температура T = 93°С (рис. 1, а).

Также уравнения (1) (4) должны быть дополнены функциями kri(sg,sw). Для описания этих функций рассмотрим изменение параметров течения в фиксированной точке x > 0 при стратегии закачки GW.

sg

в этой точке возрастает, когда эту точку достигает закачанный газ. Позже, на втором этапе закачки воды (W), газ оттесняется водой к границе x = L, а

sg

тонное изменение насыщенности газа, которое может приводить к гистерезису ОФП, т.е. к различным зна-

kri

В настоящей работе гистерезис моделируем с помощью подхода, предложенного в [10]. Введем две

(d) (i)

критические насыщенности газа sgc и sgc для кривых просушки и пропитки соответственно (рис. 2), а для описания относительной фазовой проницаемости используем кривые Кори [11, 12]:

Krg 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

_¿(0 Krg

Ád) -----krg s g, max

1

/ / / Г % // // /У ''' s 1 1 1 1

0.2

0.4

0.6

0.:

1.0 s2

0.0

Рис. 2. Кривые фазовой проницаемости газа в случае просушки (к^-1) и пропитки (к^). Стрелками показаны возможные направления изменения кгд. Критические насыщенности

s(d) sgc

0 и s

(i)

gc

0.2

k(m) (sg) = 0.74

sg s

(m) gc

1.8

1 swc so

m = d,i,

1 / \ _ „ o / 1 Sg Swc Sc

R>rog\Sg) — U.o

2.75

1 swc so

(5)

/ 1 -Sw _So \2-75 /Sw _ swc\2-25

krcrw(sw) = 0.8 I -- I , krw(sw) = I —- I ; (6)

V1 swc sor / V 1 swc /

7 / \ _ (S'W Swc)krOW (Slü) Sghr0g(ySg) . .

">ro\Sw i Sg) — ~¡~ j v' J

sw swc + sg

где и k(g — кривые ОФП газа в случае просушки и пропитки соответственно; sor = 0.24 — остаточная насыщенность нефти, a swc = 0.16 — критическая насыщенность воды. Согласно [10] гистерезис ОФП газа моделируется следующим образом. Если при фиксированном x > 0 имеем Sg = 0, то krg = 0. При увеличении sg от нуля до максимального значения sg,max = 1 — sgc — sor

имеем krg = k(?. На плоскости (sg, krg) этому соответствует движение направо вдоль кривой k^

sg

т.е. krg = kg. Если в процессе просушки насыщенность газа достигает меньшего, чем sg,max, значения s^y, то в процессе пропитки krg уменьшается ^^^^ь кривой, лежащей между kírdc¡(sg) и k(g(sg)

(штрихпунктпрная линия на рис. 2). Форма этой кривой определяется по кривым k(g) (sg) и k(g) (sg) и максимальному значению насыщенности s^y- Более подробно алгоритм определения формы кривой

krg

Всюду далее полагается, что sgc = 0, а изменяется только sg}. Таким образом, случай sg} = 0 соответствует отсутствию гистерезиса.

4. Оценка рентабельности стратегий. Для сравнения эффективности различных стратегий закачки определяется чистая приведенная стоимость:

t

Nrv(í) = é/(TW75:< <8>

0

где G — полная стоимость всей нефти, находящейся при t = 0 в пласте; R — чистая норма притока денежных средств; D = 0.1 — ставка дисконтирования; tds = 1 год — период дисконтирования, a t' обозначает переменную интегрирования. Денежный поток дается соотношением [5]

R = roqo — rwiqwi — rwpqwp — rgi qgi — rgpQgp- (9)

Он складывается из выручки roqo, соответствующей продаже нефти, и четырех затрат, соответствующих расходам на закачку и утилизацию воды (rwiqwi и rwpqwp) и закачку и сепарацию С02 {rgiqgi и rgpqwg). Здесь ro — чистая прибыль от продажи нефти, rwi и rwp — затраты на закачку и добычу единицы объема воды, a rgi и rgp — затраты на закачку и добычу СО2, qo — дебит нефти, qwi и qwp — темпы закачки и добычи воды, a qgi и qgp — темпы закачки и добычи СО2 соответственно. r

(t)

NPV(t) ^ шах при 0 ^ t< ^ (10)

При оптимизации определяются искомые параметры стратегии, т.е. закачиваемые объемы газа и воды PVIfc, которые позволяют достичь максимума в уравнении (10). В [5] показано, что эффективность стратегий определяется критерием подобия Q = Qt¿s/V log(1 + D) — безразмерным темпом закачки. В дальнейшем результаты оптимизации формулируем в зависимости от Q.

Расчет фильтрации в соответствии с уравнениями (1)-(7) и оптимизация стратегий в соответствии с уравнениями (8)—(10) проводятся в комплексе программ MUFITS [13].

2

GW при PVIg = 0.28 в случае отсутствия гистерезиса и PVIg = 0.41 в случае с гистерезисом. Рас-

sg sw so = 0.6

является автомодельной задачей Римана, то распределения содержат только сильные разрывы параметров течения, волны Римана и области однородного распределения параметров [14]. Значение

sg существенно влияет па распределение параметров течения, особенно на насыщенность газа нрп (i)

x ~ 0. При sg¿ = 0 закачка воды, следующая после этапа закачки газа, приводит к полному вытес-

x=0

sg sgic) = 0.2

вытеснения газа с границы х = 0. В этом случае насыщенность вд при х ~ 0 остается близкой к

(г)

критической насыщенности вдС- Таким образом, гистерезис ОФП газа приводит к капиллярному захвату значительных объемов газа при х ~ 0.

5 1.0

0.8

0.6

0.4

0.2

0.0

а

\ / У

/ V

V/

.А

0.0 0.2 0.4 0.6 0.!

_1_

1.0

0.6

0.4

0.2

0.0

-

- !

г

!

— \ К .'

у. / ..... ]1

- $о

/ 11 \

/ !/ \

к— —' \

\ \ 1 1 1 1 1 1 1

1.0 х!1 ' 0.0 0.2 0.4 0.6 0.!

1.0 хИ

Рис. 3. Распределение иасыщениостей нефти, воды и углекислого газа в стратегии С"\¥ при РУ1 в случаях РУ18 = 0.28 = 0 (а) и РУ18 = 0.41 = 0.2 (б)

0.6

Для оценки влияния гистерезиса на максимальные значения КРУ в оптимальных стратегиях рассмотрим несколько расчетов закачки СО2 в рамках стратегии О\У при 0 = 1. На рис. 4 кривая (г)

при вде = 0, РУ1ё = 0.28 соответствует оптимизированной стратегии С\У в отсутствие гистерезиса. Этот случай ранее подробно рассмотрен в статье [5]. На начальных этапах закачки при малых РУ1 < 0.92 чистая приведенная стоимость возрастает, так как доходы от продажи нефти пре-

2

РУ1 = 0.92 вытесняющие жидкости прорываются к границе х = Ь, а добыча нефти резко снижается. В результате КРУ достигает максимума КРУтах при РУ1тах = 0.92 и далее снижается при больших значениях РУТ, когда расходы на закачку превышают доход от продажи нефти.

Если использовать оптимальный объем закачки

(г)

газа РУ1ё = 0.28, полученный при вде = 0, в слу-

(г)

вде = 0.2 тах

снижается и достигается при меньшем значении РУ1тах, чем в случае в^С = 0 (рис. 4). В оптимизированной стратегии С\У при в^С = 0.2 объем закачки газа существенно больше: РУ1ё = 0.41,

тах

(г)

вде = 0

вывод, что при рассмотренных параметрах гистерезис ОФП газа значительно влияет на объем

т

резне необходимо учитывать при оптимизации водогазового воздействия.

Чтобы обобщить результат исследования на более широкий диапазон режимов закачки, было проведено параметрическое исследование оптимальных стратегий при различных 0 и в^}. Результаты такого исследования показаны на рис. 5 в зависимости от 1/0. Согласно [5] оптимальное значение КРУтах убывает вместе с величиной 1/0. Это связано с уменьшением роли дисконтирова-

РУ1

Рис. 4. Кривые ХРУ(РУ1) для различных случаев стратегии С\У при 0 = 1

Следовательно, гнете-

ния денежного потока при возрастании 0. При 1/0 < 1.3 (и 1/0 < 2) стратегия СУУ (и 2(\¥С)\¥), предполагающая чередующуюся закачку воды и СО2, рентабельнее стратегий \¥ и О. При этом стратегия 2(\¥С)\¥ немного лучше стратегии С\АЛ Действительно, в этом диапазоне 0 значения МРУтах для 2(\¥С)\¥ и СУУ лежат выше соответствующих значений для О и \¥ (рис. 5, а). При возрастании 1/0 рентабельность стратегий 2(\¥С)\¥ и С\¥ снижается быстрее, чем рентабельность стратегии \¥. В результате при 1/0 > 2 уже стратегия \¥ является наиболее оптимальной.

Во всем диапазоне 0 < 1/0 < 1.3 критическая насыщенность вд£ несущественно влияет на

МРУтах для стратегий СШ и 2(ШС)Ш. Соответствующие кривые на рис. 5, а для различных вдС не отличаются друг от друга. Таким образом, можно сделать вывод, что гистерезис ОФП газа несущественно влияет на рентабельность водогазового воздействия. При этом согласно рис. 5, б объем газа РУ1Й, необходимый для достижения этого максимального значения, существенно возрастает с

увеличением вдС. На рис. 5, в приводится рассчитанное водогазовое отношение (Р) в оптимальных стратегиях 2(\¥С)\¥. Оно равно отношению объема закачиваемого газа к объему закачиваемой воды па этапах 1-4 чередующегося нагнетания воды и СО2, т.е. Р = РУ^/РУК = РУ14/РУ1э. Отношение

возрастает с увеличением вд2- Отсюда следует практический вывод, что при больших значениях в« следит применять водогазовое воздействие с большим отношением Р.

Рис. 5. Чистая приведенная стоимость (о), объем закачанного С02 (б) и водогазовое отношение (в) в оптимальных стратегиях в зависимости от обратного значения безразмерной скорости 1/0

В заключение отметим, что гистерезис ОФП газа не влияет на стратегии WG, так как в таких

случаях насыщенность газа только возрастает, a krg = k^. Следовательно, в случае WG справедливы результаты работы [5].

6. Заключение. Гистерезис относительной фазовой проницаемости газа влияет на ряд параметров оптимальных стратегий водогазового воздействия, особенно на количество закачиваемого газа. При увеличении критической насыщенности газа требуется закачивать большее количество газа и применять чередующуюся закачку воды и СО2 с большими значениями водогазового отношения. Однако максимумы чистой приведенной стоимости закачки газа приблизительно равны в случаях без гистерезиса и с гистерезисом. При уменьшении безразмерной скорости закачки О максимум чистой приведенной стоимости снижается, а все стратегии с закачкой газа становятся менее рентабельными но сравнению с традиционным заводнением нефтяных пластов.

Исследование выполнено за счет гранта РНФ № 19 71 10051.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bickle M.J. Geological carbon storage // Nat. Geosci. 2009. 2. N 12. 815 818.

2. Lake L. W. Enhanced Oil Recovery. Lewis: Prentice Hall. 1989.

3. Thomas S. Enhanced oil recovery an overview /'/' Oil and Gas Sci. Technol. Rev. 1'IFP. 2008. 63. 9 19.

4. Christemen J., Stenby E., Skauge A. Review of WAG field experience // SPE Reservoir Eval. Eng. 2001. 4. 97 106.

5. Afanasyev A., Andreeva A., Chernova, A. Influence of oil field production life on optimal C02 flooding strategies -insight from the microscopic displacement efficiency // J. Petrol. Sci. Eng. 2021. 205. 108803.

6. Coats K.H. An equation of state compositional model // Soc. Petrol. Eng. J. 1980. 20. 363 376.

7. Afanasyev A., Andreeva A., Chernova A. Numerical optimisation of C02 flooding using a hierarchy of reservoir models // Adv. Geosci. 2021. 56. 19 31.

8. Чернова А.А., Афанасьев А.А. Влияние гравитационного расслоения фаз на оптимальные режимы водо-газового воздействия на нефтяные пласты // Изв. РАН. Механ. жидкости и газа. 2022. 5. 51 61.

9. Ниглштулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука. 1987.

10. Killough J.E. Reservoir simulation with history-dependent saturation functions /'/' SPE J. 1976. 16. 37 48.

11. Brooks R.H., Corey A. T. Hydraulic properties of porous media. Technical report. Hydrology Papers 3. Colorado State University. Fort Collins. 1964. 27.

12. Kenyan D., Behie A. Third SPE comparative solution project: gas cycling of retrograde condensate reservoirs // J. Petrol. Technol. 1987. 39. 981 997.

13. Afanasyev A., Vedeneeua E. Compositional modeling of mnlticomponent gas injection into saline aquifers with the MUFITS simulator // J. Nat. Gas Sci. Eng. 2021. 94. 103988.

14. Orr F.M. Theory of Gas Injection Processes. Tie-Line Publications. 2007.

Поступила в редакцию 12.05.2023

УДК 539.551, 534.5, 534-16

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ПРОЦЕССЫ В ЦИЛИНДРЕ ИЗ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНОГО ВЯЗКОУПРУГОГО МАТЕРИАЛА

С. Г. Пшеничнов1

Рассмотрена задача о распространении нестационарных волн в поперечном сечении бесконечного полого цилиндра из вязкоупругого функционально-градиентного материала с немонотонно изменяющимися вдоль радиуса свойствами. Цилиндр заменен кусочно-однородным с большим количеством коаксиальных однородных слоев, аппроксимирующих свойства исходного материала. На основе построенного ранее решения для слоистого цилиндра исследованы волновые процессы в цилиндре из вязкоупругого функционально-градиентного материала с разными видами иеоднородиостей немонотонного характера.

Ключевые слова: функционально-градиентные материалы, волновые процессы, вяз-коупругость. динамика слоистых тел. неоднородный цилиндр.

The problem of propagation of unsteady waves in the cross section of an infinite hollow cylinder made of a viscoelastic functionally graded material with non-monotonically varying properties along the radius is considered. The cylinder is replaced by a piecewise homogeneous one with a large number of coaxial homogeneous layers approximating the properties of the source material. Based on the previously constructed solution for a layered cylinder, wave processes in a cylinder made of a viscoelastic functionally graded material with different types of non-nionotonic inliomogeneities are studied.

Key words: functionally graded materials, wave processes, viscoelasticity. dynamics of layered bodies, inliomogeneons cylinder.

DOI: 10.55959/MSU0579-9368-1-65-2-5

Введение. Неоднородные материалы широко используются в разных отраслях современного производства и являются предметом исследования во многих областях естествознания. При этом особый интерес вызывает изучение поведения функционально-градиентных материалов (ФГМ) с непрерывной зависимостью физико-механических параметров от пространственных координат при различных внешних воздействиях, в том числе нестационарных динамических. Публикации, посвященные исследованию динамики непрерывно-неоднородных упругих тел с применением аналитических и численно-аналитических методов, появились еще несколько десятилетий назад [1 5]. Обзор

1 Пшеничное Сергей Геннадиевич доктор физ.-мат. паук, вед. пауч. сотр. лаб. динамических испытаний НИИ механики МГУ, e-mail: serp560yandex.ru.

Pshenichnuv Sergey Gennadievich Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Lead Research Scientist, Lomonosov Moscow State University, Institute of Mechanics, Dynamic Testing Laboratory.

(о) Пшеничнов С. Г., '2024 (e) Pshoniclmov S. С!.. 2024

M