CC BY
10Математические методы моделирования, управления и анализа данных.
Automatisierungstechnik, 2014, Heft 62 (1), S. 57-64. (In Deutsch)
5. Dubinin D., Geringer V., Kochegurov A., Reif K. Bundled Software for Simulation Modeling // In: Proceedings of the International Symposium on Signals, Circuits and Systems (ISSCS 2013). Romania, Iasi:
ISSCS Press (IEEE Catalog Number: CFP13816-CDR). 2013, pp. 1-4.
© Дубинин Д. В., Кочегуров А. И., Лаевский В. Е., 2016
УДК 628.822
НЕСТАЦИОНАРНЫЕ КОЛЕБАНИЯ РОЛИКА, КОНТАКТИРУЮЩЕГО С ПЛОСКОСТЬЮ, ПРИ НАЛИЧИИ СМАЗОЧНОГО СЛОЯ
В. А. Иванов1, Н. В. Еркаев2
Сибирский федеральный университет Российская Федерация, 660074, г. Красноярск, ул. Академика Киренского, 26 E-mail: VinTextrim@yandex.ru 2Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44
E-mail: nerkaev@gmail.com
Получено аналитическое решение задачи нестационарного гидродинамического контакта ролика с твердой поверхностью в присутствии жидкого смазочного материала. Данная задача актуальна и важна, так как нестационарный режим в подшипниках преобладает при стартах космических аппаратов.
Ключевые слова: смазочный слой, гидродинамическая смазка, колебания ролика, асимптотическое разложение.
NOSTEDY OCILLATIONS OF THE ROLLER CONTACTING WITH PLANE WITH LUBRICATION LAYER
V. A. Ivanov1, N. V. Erkaev2
1Siberian Federal University 26, Akademika Kirenskogo Str., Krasnoyarsk, 660074, Russian Federation E-mail: VinTextrim@yandex.ru
2Institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation
E-mail: nerkaev@gmail.com
Analytical solution is obtained for the problem of non-steady hydrodynamic contact between a roller and a solid body in presence of liquid lubrication material. This problem is acute, because nonsteady regime is dominating during launching spaceсrafts.
Keyword: lubrication layer, hydrodynamic lubrication, roller oscillation, asymptotic series expansion.
Введение. Стационарная гидродинамическая задача ной без учета деформации при постоянном коэффи-контакта ролика с пластиной при наличии смазочного циенте вязкости в смазочном слое. В этом случае расслоя, разделяющего поверхности, рассматривалась во пределение давления определяется из уравнения Рей-многих публикациях [1-3] и достаточно хорошо изуче- нольдса [4], решение которого в нормированных пена. В то же время нестационарные аспекты гидродина- ременных имеет следующий вид: мического контакта ролика с твердой поверхностью остаются в значительной мере не исследованными. Эта тема важна и актуальна, так как именно нестационарный q (X) = —
контакт в подшипниках преобладает при стартах косми- 16
ческих аппаратов. В данной работе рассматривается асимптотический аналитический метод решения неста-
(
1
2 x (c2(3x2 +10) - 2 x2 + 4) (x2 + 2 )2
ционарнои гидродинамическои задачи с применением <— / 2 \ _1 I х
коэффициента демпфирования смазочного слоя. _л'2 (3с _ I
Расчет давления в смазочном слое. Рассмотрим идеализированную модель контакта ролика с пласти-
<Тешетневс^ие чтения. 2016
20cx3 + 3^2c(x2 + 2) tg- (;^] + 20cx +16
8 (x2 + 2)
-2o , (1)
W'(u) = Jq(x, u)dx ,
W' = W0+ Au .
ей '+■
J_ h'- — +1 = 0,
,'3/2 h'
е =
mK 2W02 A2 Fff
h1 = h (t', е) + К(т, е), т = t'/ е.
К
k>
dh- -1 = 0, §+Л. ( - i)=-;t 0,
dt'
d 2h
- + T
1
V h dh
dT2 h0(0) dt
= 0.
h0(t') =
Vh0(0}
+1
Aw-1
A(0)
+1
Vh0(0) -1
A2
+1
-1
h1=- (h0- ^V^^p
^ A
T
(h*)3/2, (7)
где и - безразмерная вертикальная скорость.
По найденным распределениям давления определяем значения нормированной несущей способности, являющейся функцией параметра и:
v (к>) у
г
к 1=-2(1 - h,(t))) -4ch0 (t))3/2 - +
+ Ln
(2)
AcQ+1 Vh0ct) -1
4/r*\3
3 Ы
+ 2\/й0 - Ln
h0 +1 VK* -1
ЛЛ
Из формулы (2) видно, что зависимость несущей способности от и очень близка к линейной и ее можно записать в следующем виде:
, - ч /=-(Й0*)2 Й0* - 1
+ (1 - h0(t) ))h0(t)- 1 1
(1 - h* ))*
(3)
где постоянные коэффициенты и А равны 0,401 и 1,125, соответственно.
Рассмотрим нестационарный гидродинамический контакт ролика с пластиной, который свойственен роликоподшипникам, работающим в переменных скоростных режимах. При такой работе подшипников возможны изменения зазоров между контактирующими телами и, следовательно, возникновение вертикальных скоростей, которые очень сильно влияют на распределение давления в смазочном слое. Нормированное уравнения динамики ролика имеет вид
(4)
где Е - вешняя нагрузка.
Уравнение (4) определяет зависимость зазора от времени в процессе установления стационарного режима.
Так как коэффициент при старшей производной является малым, то уравнение называется жестким, и его решение может быть приближенно представлено в виде асимптотического разложения по сингулярному малому параметру [5]:
(5)
Разложение включает как регулярную, так и сингулярную части асимптотики. Последняя называется в литературе погранслойной асимптотикой. Применив разложение к уравнении (4), получаем следующую систему уравнений: 1 1
:--0 -1 = 0 ,
С'
(6)
Решая систему уравнений (6), получаем функции сингулярной и погранслойной асимптотик:
Заключение. Построено асимптотическое аналитическое решение задачи нестационарного контактного взаимодействия ролика с твердой поверхностью при наличии смазочного слоя в зоне контакта.
Библиографические ссылки
1. Коднир Д. С. Контактная гидродинамика смазки деталей машин. М. : Машиностроение, 1976. 304 с.
2. Галахов М. А., Усов П. П. Дифференциальные и интегральные уравнения математической модели теории трения. М. : Наука. Физ.-мат. лит., 1990. 280 с.
3. Терентьев В. Ф., Еркаев Н. В. Трибонадежность подшипниковых узлов в присутствии модифицированных смазочных композиций. Новосибирск : Наука, 2003. 142 с.
4. Иванов В. А., Еркаев Н. В. Моделирование нестационарного контакта в подшипнике качения // Вестник СибГАУ. 2015. № 3 (16). С. 580-586.
5. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф. Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М. : Высш. шк., 1990. 208 с.
References
1. Kodnir D. S. Kontaktnaya gidrodinamika smazki detaley mashin [Contact hydrodynamics of lubrication of machine parts]. Moscow. Mashinostroyeniye, 1976. 304 p.
2. Galakhov M. A., Usov P. P. Differentsial'nye i integral'nye uravneniya matematicheskoy modeli teorii treniya [Differential and integral equations of the mathematical model of the friction theory]. Moscow. Nauka. Sci. Lit., 1990. 280 p.
3. Terent'ev V. F., Erkaev N. V. Tribonadezhnost' podshipnikovykh uzlov v prisutstvii modifitsirovannykh smazochnykh kompozitsiy [Tribo-durability of bearing units in a presence of modified lubricant compositions]. Novosibirsk : Nauka, 2003. 142 p.
4. Ivanov V. A., Erkaev N. V. [Simulation of non-steady contact in rilling bearings]. Vestnik SibGAU. 2015. № 3 (16). Pp. 580-586.
5. Vasil'eva A. B., Butuzov V. F. Asimptoticheskie metody v teorii singulyarnykh vozmushcheniy [Asymptotic methods in the theory of singular perturbations]. Moscow. Vyssh. shk., 1990. 208 p.
© Иванов В. А., Еркаев Н. В., 2016
