CC BY
8рассматривают распределения физических полей во всех компонентах гетерогенной системы и на их основе строят модель квазиоднородной среды, позволяющей провести расчет искомых свойств [5; 6].
Полиакриловая эмаль ЭКОМ представляет собой суспензию пигментов и наполнителей в полиакриловом лаке. Упрощенно структура данного полимерного композитного материала может быть представлена как структура с вкраплениями, состоящая из связующего материала и замкнутых неконтактирующих включений, которые могут быть распределены хаотически или упорядоченно.
Таким образом, мы имеем систему, состоящую из матрицы и двух видов дисперсных шаровых частиц: пигмента и наполнителей. Для определения эффективной теплопроводности такого композита удобнее использовать подход, основанный на двухфазной математической модели [7], в котором сумму возмущений температурного поля в матрице, вызванных отдельными включениями, приравнивают к возмущению этого поля, вызванному в матрице представительным элементом структуры композита. Коэффициент эффективной теплопроводности в нашем случае будет определяться согласно формуле:
1 = (1 - 2D)/(1 + D),
где
причем
2^=1 с»
24Аш
c=ffi=1 л3*«3
имеет смысл объемной концентрации п-го типа частиц в композите [8].
Библиографические ссылки
1. Стрепихеев А. А., Деревицкая В. А. Основы химии высокомолекулярных соединений. М. : Химия, 1967.
2. Рушицкий Я. Я. Элементы теории смеси. Киев : Наукова думка, 1991.
3. Исаченко В. П. Теплопередача. М. : Энергоиз-дат,1981.
4. Гурвич Л. В. Энергии разрыва химических связей. Потенциалы ионизации и сродство к электрону. М. : Наука, 1974.
5. Привалко В. П., Новиков В. В., Яновский Ю. Г. Основы теплофизики и реофизики полимерных материалов. Киев : Наукова думка, 1991. 232 с.
6. Оделевский В. И. Расчет обобщенной проводимости гетерогенных систем // Журн. техн. физ., 1951. 21, № 6. С. 667-685.
7. Карслоу Г., Егер Д. Теплопроводность твердых тел : пер. с англ. М. : Наука, 1964. 488 с.
8. Зарубин В. С., Кувыркин Г. Н., Савельева И. Ю. Теплопроводность композитов с шаровыми включениями Saarbrucken. Deutschland : LAMBERT Academic Publishing, 2013. 77 с.
References
1. Strepiheev A. A., Derevickaja V. A. Osnovy himii vysokomolekuljarnyh soedinenij. M.: Himija, 1967.
2. Rushickij Ja. Ja. Jelementy teorii smesi. Kiev : Naukova dumka, 1991.
3. Isachenko V. P. Teploperedacha. M. : Jenergoizdat,1981.
4. Gurvich L. V. Jenergii razryva himicheskih svjazej. Potencialy ionizacii i srodstvo k jelektronu. M. : Nauka, 1974.
5. Privalko V. P., Novikov V. V., Janovskij Ju. G. Osnovy teplofiziki i reofiziki polimernyh materialov. Kiev : Nauk. dumka, 1991. 232 s.
6. Odelevskij V. I. Raschet obobshhennoj provodimosti geterogennyh sistem // Zhurn. Tehn. fiz., 1951. 21, № 6. S. 667-685.
7. Karslou G., Eger D. Teploprovodnost' tverdyh tel: Per. s angl. M. : Nauka, 1964. 488 s.
8. Zarubin V. S., Kuvyrkin G. N., Savel'eva I. Ju. Teploprovodnost' kompozitov s sharovymi vkljuchenijami Saarbrucken. Deutschland : LAMBERT Academic Publishing, 2013. 77 s.
© Дюгаева Н. А., Кувыркин Г. Н., 2013
УДК 628.822
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ УПРУГОГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО КОНТАКТА РОЛИКА С ПЛАСТИНОЙ
В. А. Иванов1, Н. В. Еркаев1'2
1 Сибирский федеральный университет Россия, 660074, г. Красноярск, ул. Киренского, 26. E-mail: VinTextrim@yandex.ru
2Институт вычислительного моделирования СО РАН Россия, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50. E-mail: erkaev@icm.krasn.ru
Разработана методика расчета контакта ролика с упругой пластиной конечных размеров с учетом смазочного слоя. Давление определяется из решения уравнения Рейнольдса, а деформации поверхности - с помощью пакета ANSYS. На основе расчетов распределения давления в области контакта и прогиба поверхности определяется функция податливости рабочей поверхности в форме разложения Фурье.
Ключевые слова: распределение давления, контактное взаимодействие.
Решетневскуе чтения. 2013
NUMERICAL MODELING ELASTIC-GIDRODYNAMIC CONTACT ROLLER WITH PLATE
V. A. Ivanov\ N. V. Erkaev1 2
1 Siberian Federal University 26, Kirenskiy str., Krasnoyarsk, 660074, Russia. E-mail: VinTextrim@yandex.ru
2 Institute of Computational Modeling SB RAS 50, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russia. E-mail: erkaev@icm.krasn.ru
A method to calculate roller contact with an elastic plate of finite size with the lubricant layer is developed. The pressure is determined by solving the Reynolds equation and the deformation of the surface using the package ANSYS. Based on calculations of pressure distribution in the contact area and the surface deflection the compliance function of working surface in the form of the Fourier expansion is determined.
Keywords: pressure distribution, contact interaction.
Задача упругогидродинамического контакта ролика с деформируемой поверхностью рассматривалась во многих публикациях [1-4]. Решение этой задачи необходимо для расчета и проектирования роликовых подшипников качения, в которых возникают упругие деформации рабочей поверхности, контактирующей с роликом. Для расчета зоны контакта используют интегральное уравнение связи давления Р и деформации 5:
S(x) = J P(x')K(x—x)x',
(1)
Af h dP
dx I dx
с тл dh 2 dh
= 6u.V I--+--
1 dx V dt
(2)
h = hm + (x - xm )2/ (2 R ),
(3)
где hm - минимальная толщина смазочного слоя; хт координата точки минимального зазора.
Граничные условия в рассматриваемом случае имеют следующий вид [1; 2]:
P (x ) = P (x2 )= IP (x2 ) = 0,
(4)
где К (х - х')- функция податливости, характеризующая влияние давления в точке х' на прогиб в точке х .
Целью данной работы является разработка методики построения функции податливости для случая контакта ролика конечной длины с упругим слоем конечной толщины при наличии смазки. Для выполнения расчетов привлекается известный вычислительный комплекс АКБУБ. Для иллюстрации метода рассмотрим движение цилиндрического ролика по неподвижной плоскости с учетом жидкого смазочного материала. Процесс решения задачи разбиваем на три этапа.
На первом этапе определяем распределение давления в смазочном слое из решения уравнения Рей-нольдса, которое имеет вид:
где х1 и х2 - входная и выходная границы смазочного слоя.
На втором этапе используем найденное распределение давления для определения прогиба упругой поверхности, контактирующей с роликом. Для этого применяем программный комплекс АМБУБ, основанный на методе конечных элементов.
На третьем этапе определяем функцию прогиба на основе результатов расчета А№УБ и интегральной формулы (1). Для искомой функции податливости используем разложение Фурье следующего вида [5]:
K (x ) = Х
2п | f 2п
M, cos I x—i 1 + N, sin I x—i
l J г I l
(5)
где I - интервал изменения функции податливости (порядка длины контакта). Коэффициенты Фурье вычисляются по следующим формулам:
2 ХкСк +
Мк =
lk1Jk
l
X2 + Y2
=2 >ict - Зд k l
X2k + Y2
M 0 =
1 X nCn + Yo Do
X 2 + Yo2
Nk =
, k ф 0,
1 YoCV, — Xo Do
(6)
l
X 2 + Yo2
где
где Р - давление в смазочном слое; V - скорость движения центра ролика; ц - динамическая вязкость масла. Ось х направлена против движения ролика. В предположении, что площадка контакта цилиндра и плоскости мала по сравнению с радиусом кривизны Р , можно получить следующее выражение для толщины слоя смазочного материала:
( 2П ^ Yk = | P(x)cosI к—х1-dx,
"2 ( 2п ^
Хк = I Р(х^ш I к—х I-dx,
-I/2 1 1 '
Ск = | 5(х^ш| к — х|-dx ,
-I/2 1 1 '
( 2п ^ Вк = I 5(x)cosI к—х I-dx .
-I/2 1 1 '
Здесь функции Р(х) и 5(х) определяются сплайн-интерполяцией сеточных значений Р, и 5,-.
i=o
l
Ю2
х ю-4
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ■ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
: /А - // \\
■ / / V
// \
/ / \\ /х \\
^^ \\ ' 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 1 1 . 1 . 1 1 1 . . 1
Кривая 1 построена по данным расчета в ЛШУ8, кривая 2 определена по формуле (1) с помощью найденной функции податливости
После определения коэффициентов Фурье выполняем проверку найденной функции податливости. Для расчетов использовались следующие числовые параметры: Нт = 0,000005 м, Е = 2,1 • 1011 Па, т = 0,3, ц = 0,024 Па/с, V = 7 м/с, Я = 0,005 м, где Е - модуль упругости материала, по которому катится ролик (сталь); т - коэффициент Пуассона. Результаты расчетов представлены на рисунке. Расчет Л№У8 дает результат, завышенный на 4 %, что может быть связанно с вычислительной погрешностью самого пакета ЛШУ8.
Библиографические ссылки
1. Коднир Д. С. Контактная гидродинамика смазки деталей машин. М. : Машиностроение, 1976. 304 с.
2. Галахов М. А., Усов П. П. Дифференциальные и интегральные уравнения математической модели теории трения. М. : Наука, 1990. 280 с.
3. Галахов М. А., Гусятников П. Б., Новиков А. П. Математические модели контактной гидродинамики. М. : Наука, 1985. 294 с.
4. Терентьев В. Ф., Еркаев Н. В., Докшанин С. Г. Трибонадежность подшипниковых узлов в присутствии модифицированных смазочных композиций. Новосибирск : Наука, 2003. 142 с.
5. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М. : Наука. Гл. ред. Физ.-мат. Лит., 1979.
References
1. Kodnir D. S. Contact hydrodynamics lubrication of machine parts. М. : Mashinostroyeniye, 1976. 304 р.
2. Galakhov M. A., Usov P. P. Differential and integral equations of the mathematical model of the theory of friction. M. : Nauka. Sci. Lit., 1990. 280 р.
3. Galakhov M. A., Gooseries P. B., Novikov A. P. Mathematical models of the contact fluid dynamics. M. : Nauka, 1985, 294 р.
4. Terentev V. F., Erkaev N. V., Dokshanin S. G. Tribonadezhnost bearing units in the presence of modified lubricant compositions. Novosibirsk : Nauka, 2003. 142 p.
5. Tikhonov A. N., Arsenin V. Y. Methods for solving ill-posed problems. M. : Nauka. Chap. Ed. Sci. Lit., 1979.
© Иванов В. А., Еркаев Н. В. 2013
УДК 519.6
О МОДЕЛИРОВАНИИ ФИЛЬТРАЦИИ ЖИДКОСТИ В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ МЕТОДОМ РЕШЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИЙ БОЛЬЦМАНА
В. А. Киреев
Сибирский федеральный университет Россия, 660041, г. Красноярск, просп. Свободный, 79. E-mail: kireevvit@gmail.com
Рассматривается метод решеточных уравнений Больцмана и его применение при моделировании процесса фильтрации вязкой жидкости через пористую среду.
Ключевые слова: гидродинамика, пористая среда, метод решеточных уравнений Больцмана.
