CC BY
28
УДК 628.822
Вестник СибГАУ Т. 16, № 3. С. 580-586
МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕСТАЦИОНАРНОГО КОНТАКТА В ПОДШИПНИКЕ КАЧЕНИЯ
В. А. Иванов1, Н. В. Еркаев2*
1 Сибирский федеральный университет, Политехнический институт Российская Федерация, 660074, г. Красноярск, ул. Академика Киренского, 26 2 Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44 E-mail: nerkaev@gmail.com
Рассмотрена задача нестационарного гидродинамического контакта ролика с упругим слоем с учетом прогиба поверхности, а также влияния давления на коэффициент вязкости. Зависимость вязкости от давления задана экспоненциальной функцией. В работе использовался итерационный метод численного решения уравнения Рейнольдса совместно с интегральным уравнением связи прогиба поверхности с давлением в смазочном слое. Показано, что вертикальное перемещение ролика вызывает дополнительное существенное возрастание давления в смазочном слое, пропорциональное вертикальной скорости. Коэффициент линейной зависимости несущей способности от вертикальной скорости назван коэффициентом демпфирования. В результате расчетов получены зависимости несущей способности и коэффициента демпфирования смазочного слоя от величины минимального зазора между роликом и пластиной. С использованием найденных функций изучен переходный процесс установления стационарного режима при резком изменении внешней нагрузки. Найдено характерное время установления и определены временные вариации пиковых значений давления. Исследовано влияние пьезокоэффициента вязкости на максимальные значения давления, достигаемые в процессе установления. Найдено критическое значение пьезокоэффициента, при котором эффект возрастания давления, обусловленный увеличением вязкости, компенсируется влиянием деформации упругой поверхности.
Ключевые слова: нестационарный режим, контактное взаимодействие, смазочный слой.
Vestnik SibGAU Vol. 16, No. 3, P. 580-586
SIMULATION OF NON-STEADY CONTACT IN ROLLING BEARINGS
V. A. Ivanov1, N. V. Erkaev2*
1 Siberian Federal University, Polytechnic Institute 26, Akademika Kirenskogo St., Krasnoyarsk, 660074, Russian Federation 2Institute of Computational Modelling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation E-mail: nerkaev@gmail.com
This article deals with the problem of non-steady hydrodynamic contact of a roller with finite size elastic plate. The lubricant viscosity coefficient is assumed to be exponential function of the pressure. For this problem, an iterative numerical method was elaborated to solve the 2-D Reynolds' equation consistently with the integral equation of relationship between the surface deflection and pressure distribution in the lubrication layer. A normal motion of the roller causes additional pressure enhancement in the lubrication layer, which is proportional to the normal velocity. Coefficient of proportionality is called as damping coefficient. Carrying capacity and damping coefficient are determined from numerical solution as functions of minimal distance between the roller and plate. The obtained functions were used for modeling of the roller oscillations due to sudden variations of the external loading. Characteristic relaxation time and temporal variations of the pressure maximum are determined. Dependence of the pressure maximum on a special piezo-coefficient was investigated, which is a parameter of the exponential function approximating relationship between viscosity and pressure. Higher values of the piezo-coefficient yield larger values of the pressure maximum in the lubrication layer during the relaxation period. However, deflection of the body surfaces makes an opposite effect on the pressure. Therefore behavior of the pressure maximum is determined by two opposite factors related to the viscosity piezo-effect and surface deformations. From numerical simulations, a critical value of the piezo-coefficient is found when the influence of the piezo-coefficient is compensated by that of deformation of the elastic plate.
Keyword: transient mode, contact interaction, lubricant layer
Математика, механика, информатика
Введение. Расчет упруго-гидродинамического контакта ролика с деформируемой поверхностью является довольно сложной задачей, так как требует совместного решения уравнений гидродинамики в смазочном слое и уравнений упругости в деформируемом теле [1-10]. Эта задача связана с проблемой моделирования подшипников качения, которые широко используются в авиационных и ракетных двигателях. При работе подшипниковых узлов часто возникают вибрации, связанные с резкими изменениями нагрузки. Это особенно заметно в моменты запуска и остановки механизма, а также при воздействии переменной внешней силы. Эти вибрации существенно влияют на работу подшипника, увеличивая его износ и сокращая срок службы. Поэтому моделирование нестационарного режима работы подшипникового узла является важной задачей. Целью данной работы является анализ нестационарных режимов работы роликового подшипника качения в случае переменной внешней нагрузки.
Описание метода расчета. Рассмотрим контактное взаимодействие цилиндрического ролика с движущейся пластиной, покрытой слоем смазочного материала (рис. 1). Так как радиус ролика очень мал по сравнению с радиусом кольца, по которому он катится, то можно приближенно принять внешнее кольцо подшипника плоской пластиной [7].
4 и дР | = (-дИ+2 дИ |.
дх I дх ] I дх Уд(
В предположении, что площадка контакта цилиндра и плоскости мала по сравнению с радиусом кривизны Я , имеем следующее выражение для толщины слоя смазочного материала [2]:
И = Нт + (х - хт )2/ (2 Я ), (3)
где Ит - минимальная толщина смазочного слоя; хт -координата точки минимального зазора.
Граничные условия в рассматриваемом случае имеют следующий вид [1; 2]:
Р (х ) = Р (х2 )= ^ (х2 ) = 0 ,
(4)
где XI и х2 - входная и выходная границы смазочного слоя.
Для удобства решения задачи вводим безразмерные переменные:
х = (х - хт)/урИ~Я, ч = Рит / (бу/Я),
Уу 4т
т=гу/я;, е=
V Ит
(5)
преобразуем исходное уравнение Рейнольдса (2) к более простому виду:
4н (х)3 дЧ| = дни + 2е ,
дх I дх I дх
(6)
где Н(х) = 1 + х2 /2.
Положения входной и выходной границ будем характеризовать безразмерными параметрами а и с. Значение параметра а зависит от количества смазки. В случае обильной смазки полагаем а = -да [2-4].
Интегрируя уравнение (6) и используя нулевое граничное условие (5) для производной функции давления при х = с , получаем дифференциальное уравнение первого порядка:
дч = н (х)-Н (с) 2е(х - с) =
Рис. 1. Схема расположения ролика, пластины и слоя жидкого смазочного материала
Распределение давления в смазочном слое определяется из решения уравнения Рейнольдса:
5Г, з , т дР) ^ (ди 2 ди^
дх Iи ехр(-а Р) ь Г 6ц0у 1ди+Гй), (1)
где Р - давление в смазочном слое; V - скорость движения пластины; ц0 - динамическая вязкость масла при нормальном давлении; дИ / д/ - вертикальная скорость ролика; а - пьезокоэффициент давления [11-13]. Ось х ориентирована в направлении движения пластины. Данное решение было подробно рассмотрено ранее в [14], поэтому для сравнения рассмотрим случай контакта бесконечно жесткого ролика с упругой пластиной без учета изменения вязкости в смазочном слое. В этом случае уравнение Рейнольд-са имеет вид
ах н (х )3 н (х )3
= (х 2 - с 2 )/2 - 2е( х - с)
(1 + х2 / 2)3 (1 + х2 / 2 )3
(7)
Решение уравнения (7) зависит от безразмерного параметра е, который связан с нормальной скоростью перемещения ролика. Интегрируя уравнение (7) для различных значений е, находим распределение давления в смазочном слое, соответствующее различным нормальным скоростям ролика.
По найденному распределению давления определяем безразмерную несущую способность, являющуюся функцией параметра е:
Ш '(е) = | ч(х, Е)ёх.
(8)
Расчеты показывают, что зависимость несущей способности от е очень близка к линейной (рис. 2), и ее можно записать в следующем виде:
(2)
Ш' = Ш0 + Ае,
(9)
где постоянные коэффициенты Ж0 и А равны 0,401 и 1,125 соответственно.
График зависимости несущей способности Ж' от нормальной скорости е в безразмерных единицах представлен на рис. 2.
С учетом соотношений (5) преобразуем выражение (8) к размерному виду:
->3/2
Ж = Ж'6Уе + Ак,.
И.
И
3/2 У '
(10)
Здесь первое слагаемое выражает зависимость стационарной несущей способности от зазора при нуле вой нормальной скорости
6|УК
К = К-
И,
(11)
а второе слагаемое учитывает влияние нормальной скорости. Коэффициент перед скоростью будем называть коэффициентом демпфирования X:
Х = А
6|К
3/2
И
3/2
(12)
Движение ролика по нормали определяется уравнением динамики
ё2 И.
2 +Х(И, )~Ог-Жо(к,) = -р, (13)
л
где т - масса ролика; Е - внешняя нагрузка.
С учетом зависимостей (11), (12) уравнение (13) принимает следующий вид:
ё2 И
ёГ
А 6^3/2 ёИт ^^УК = Е
2 + А 732--1" - Жо~-= -Е
И3
ёг
И
(14)
Полагая равными нулю производные по времени, определяем равновесное значение зазора:
Ио =
6|УКЖ0 Е
Принимая И0 в качестве базового зазора, вводим безразмерные переменные:
Ит = И' И0, г = г' т, т = -
А^/КИ0
уж0
(15)
Используя нормировки (15), приводим уравнение динамики к безразмерному виду:
,ё2 И' 1 ёИ' 1
ёг '2 И,3/2 Л' И
, тУ 2(Ж0)2 т =-
(16)
А2 ЕК
Уравнение (16) определяет зависимость зазора от времени в процессе установления стационарного режима. Характерное время переходного процесса характеризуется параметром т.
Анализ влияния деформаций и зависимости вязкости от давления. Далее переходим к более реалистичной задаче с учетом прогиба поверхности и переменности вязкости, зависящей от давления в смазочном слое. Для расчетов используем следующие числовые параметры: Ит = 0,00000035 м, | = 0,024 Па-с, а = 0,75-10-8 1/Па - пьезокоэффициент вязкости, У = 7 м/с, К = 0,005 м (за основу взят подшипник 32114 серии [15]). Для моделирования примем, что материал пластины имеет следующие механические свойства: Е = 2,1-Ю11 Па - модуль упругости (сталь), т = 0,3 - коэффициент Пуассона.
Решая уравнение (7) при е = 0, получаем распределение давления в смазочном слое (рис. 3), которое далее используем для определения прогиба упругой поверхности.
При проведении итерационного расчета прогиба поверхности применяем найденную ранее функцию податливости пластины [14]. График этой функции показан на рис. 4. Значения функции нормированы к её максимальному значению: Ктах = 3,267 1015 Па4.
Рис. 2. Зависимость несущей способности от вертикальной скорости в безразмерных единицах
т
Рис. 3. Распределение давления в смазочном слое
Рис. 4. График функции податливости
Исследуем влияние прогиба поверхности и пьезо-коэффициента вязкости на максимум давления в смазочном слое. Данные расчетов, в которых пьезокоэф-фициент был фиксирован и изменялась лишь величина зазора, приведены в табл. 1. Данные показывают, что пьезокоэффициент вязкости начинает значительно влиять на пик давления только при очень малых зазорах (И < 3-10-7). Влияние деформации упругой поверхности также становится выраженным лишь при малых зазорах.
Также рассмотрим влияние пьезоэффекта на пик давления в смазочном слое при фиксированном зазоре. Для этого выполним серию расчетов с разными значениями пьезокоэффициента. Согласно результатам расчетов, представленным в табл. 2, при значении а = 1,1-10-8 1/Па влияние пьезокоэффициента на рост пика давления полностью компенсируется прогибом поверхности.
Далее проводим еще одну серию вычислительных экспериментов для нахождения коэффициента демпфирования X с учетом влияния прогиба поверхности. Для этого рассчитаем величину несущей способности Ш для различных значений минимального зазора с учетом как положительных, так и отрицательных значений вертикальной скорости. При этом в каждом расчете используем итерационный метод. Зависимость несущей способности Ш от вертикальной скорости Уу
показана на рис. 5. Зависимость контактной нагрузки от минимально зазора при нулевой вертикальной скорости показана на рис. 6.
Коэффициент демпфирования X для различных значений минимального зазора определяется как тангенс угла наклона касательной к кривой, выражающей зависимость несущей способности Ш от нормальной скорости (рис. 5). Используя рассчитанный для различных значений Ит массив значений X и применяя сплайновую интерполяцию, определяем функцию Х(Ит), показанную на рис. 7. Также на рис. 7 показано изменение коэффициента демпфирования для аналитического решения (без учета деформаций и пьезоэф-фекта).
Найденные функции демпфирования и несущей способности подставляем в уравнение (13), выполняем численное интегрирование и получаем зависимость зазора от времени, а также из уравнения (7) находим соответствующие распределения давления в смазочном слое в различные моменты времени. На рис. 8 показан график изменения максимума давления с учетом коэффициента демпфирования и прогиба поверхности. На этом же рисунке для сравнения представлен аналогичный график максимума давления, полученный без учета пьезокоэффициента давления и прогиба поверхности. Расчет был выполнен для базового зазора 0,00000035 м.
Таблица 1
Максимальные давления в разных вариантах расчета (а = 0,75-10-8 1/Па, Уу = 0)
Минимальный зазор в смазочном слое Ит, м Максимальные Р давление в смазочном слое
Без учета пьезоэффекта и прогиба, 107 Па Только с учетом пьезоэффекта, 107 Па С учетом прогиба и пьезоэффекта, 107 Па
0,000001 1,26 1,33 1,23
0,0000005 3,59 4,18 3,48
0,00000035 6,13 8,2 5,6
0,00000025 10,02 19,1 8,37
Таблица 2
Влияние пьезокоэффициента на давление в смазочном слое (Н = 0,00000035 м, Уу = 0)
Пьезокоэффициент а, 10-8 1/Па Максимальные Р давление в смазочном слое
Без учета пьезоэффекта и прогиба, 107 Па Только с учетом пьезоэффекта, 107 Па С учетом прогиба и пьезоэффекта, 107 Па
2,3 6,13 Нет решения 10,2
1,6 24,5 7,54
1,4 13,24 6,89
1,1 10,6 6,18
0,75 8,2 5,6
0,35 6,89 5,08
Рис. 5. Зависимость контактной нагрузки Ш от вертикальной скорости УУ: 1 - И = 0,000001 м; 2 - И = 0,0000005 м; 3 - И = 0,00000035 м; 4 - И = 0,00000025 м
Рис. 6. Зависимость контактной нагрузки Ж от минимального зазора
в смазочном слое Ит: 1 - аналитическое решение; 2 - с учетом только пьезоэффекта; 3 - с учетом прогиба поверхности и пьезоэффекта
Математика, механика, информатика
х 10е
1 23456789 10
Рис. 7. Зависимость коэффициента демпфирования X от минимального зазора Ит: 1 - аналитическое решение; 2 - с учетом только пьезоэффекта; 3 - с учетом прогиба поверхности и пьезоэффекта
Рис. 8. Изменение пика давления в течение времени: 1 - аналитическое решение; 2 - с учетом только пьезоэффекта; 3 - с учетом прогиба поверхности и пьезоэффекта
Заключение. Решена задача нестационарного упруго-гидродинамического контакта ролика с пластиной с учетом прогиба поверхности, а также влияния давления на коэффициент вязкости. Для этого использовался разработанный ранее итерационный метод численного решения уравнения Рейнольдса совместно с интегральным уравнением связи прогиба поверхности с давлением в смазочном слое. В результате расчетов получены зависимости несущей способности и коэффициента демпфирования смазочного слоя от величины минимального зазора между роликом и пластиной. С использованием найденных функций изучен переходный процесс установления стационарного режима. Исследовано влияние пьезокоэффициента вязкости на пик давления, достигаемый в процессе установления. Найдено критическое значение пьезо-коэффициента, при котором эффект возрастания давления, обусловленный увеличением вязкости, компенсируется влиянием деформации упругой поверхности.
Благодарности. Работа выполнена при поддержке гранта Российского фонда фундаментальных исследований 15-05-08879.
Acknowledgements. The work was supported by grant of Russian Foundation for Basic Research 15-0508879.
Библиографические ссылки
1. Коднир Д. С. Контактная гидродинамика смазки деталей машин. М. : Машиностроение, 1976. 304 с.
2. Галахов М. А., Усов П. П. Дифференциальные и интегральные уравнения математической модели теории трения. М. : Наука. Физ.-мат. лит., 1990. 280 с.
3. Галахов М. А., Гусятников П. Б., Новиков А. П. Математические модели контактной гидродинамики. М. : Наука, 1985. 294 с.
4. Терентьев В. Ф., Еркаев Н. В., Докшанин С. Г. Трибонадежность подшипниковых узлов в присутствии модифицированных смазочных композиций. Новосибирск : Наука, 2003. 142 с.
5. Venner С. H., Lubrecht A. A. MultiLevel methods in lubrication. Amsterdam : Elsevier, 2000. Р. 400.
6. Venner С. H. Multilevel solution of the EHL line and point contact problems: PhD thesis // University of Twente. Endschende, 1991. Р. 318.
7. Venner C. H., Lubrecht A. A. Numerical simulation of a transverse ridge in a circular EHL contact under rolling sliding // Trans. ASME J. Tribol. 1994. Pp. 751-761.
8. Anuradha P., Kumar P. EHL line contact central and minimum film thickness equations for lubricants with linear piezoviscous behavior // Tribol. 2011. Int. 44. Pp. 1257-1260.
9. Беспорточный А. И. Асимптотические режимы гидродинамического контакта упругого цилиндра и жесткого полупространства // Труды МФТИ. 2013. Т. 5, № 2. С. 4-12.
10. Беспорточный А. И. Режимы смазки контакта цилиндра с упругим покрытием и жесткого полупространства // Научный вестник МГТУ ГА. 2011. № 163. С. 138-143.
11. D'Agostino V., Petrone V., Senatore A. Effects of the lubricant piezo-viscous properties on EHL line and point contact problems // Tribol. Lett. 2013. Int 49. Pp. 385-396. DOI 10.1007/s11249-012-0079-5.
12. Moes H. Lubrication and beyond / Twentte Universiti Press. Enschede, 2000. 366 p.
13. Lubrecht A. A. The numerical solution of the elasto-hydrodynamicallylubricated line- and point contact problem, using multigrid techniques : PhD Dissertation / Twente University. Netherlands, 1987. 219 p.
14. Иванов В. А., Еркаев Н. В. Итерационный расчет трибоконтакта ролика с пластиной // Вестник СибГАУ. 2014. № 4(56). С. 48-54.
15. Нарышкин В. Н., Коросташевский Р. В. Подшипники качения. Справочник-каталог. М. : Машиностроение 1984. 280 с.
References
1. Kodnir D. S. Kontaktnaya gidrodinamika smazki detaley mashin [Contact hydrodynamics of lubrication of machine parts]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1976, 304 p.
2. Galakhov M. A., Usov P. P. Differentsial'nye i integral 'nye uravneniya matematicheskoy modeli teorii treniya [Differential and integral equations of the mathematical model of the friction theory]. Moscow, Nauka. Fiz.-Mat. Lit. Publ., 1990, 280 p.
3. Galakhov M. A., Gusaytnikov P. B., Novikov A. P. Matematicheskie modeli kontaktnoy gidrodinamiki [Mathematical models of contact hydrodynamics]. Moscow, Nauka Publ., 1985, 294 p.
4. Terent'ev V. F., Erkaev N. V., Dokshanin S. G. Tribonadezhnost' podshipnikovykh uzlov v prisutstvii modifitsirovannykh smazochnykh kompozitsiy [Tribo-durability of bearing units in a presence of modified lubricant compositions]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2003, 142 p.
5. Venner C. H., Lubrecht A. A. MultiLevel methods in lubrication. Amsterdam, Elsevier Publ., 2000, 400 p.
6. Venner C. H. Multilevel solution of the EHL line and point contact problems. PhD thesis, University of Twente. Endschende. 1991, 318 p.
7. Venner C. H., Lubrecht A. A. Numerical simulation of a transverse ridge in a circular EHL contact under rolling sliding. Trans. ASME J. Tribol 1994, P. 751-761.
8. Anuradha P., Kumar P. EHL line contact central and minimum film thickness equations for lubricants with linear piezoviscous behavior. Tribol, 2011, Int. 44, P. 1257-1260.
9. Besportochnyy A. I. [Asymptotic regimes of hy-drodynamic contact of an elastic cylinder and a rigid halfspace]. Trudy MFTI. 2013, Vol. 5, No. 2, P. 4-12 (In Russ.).
10. Besportochnyy A. I. [Regimes of lubrication of the cylinder covered by an elastic layer with a rigid halfspace]. Nauchnyy vestnik MGTU GA. 2011, No. 163, P. 138-143 (In Russ.).
11. D'Agostino V., Petrone V., Senatore A. Effects of the lubricant piezo-viscous properties on EHL line and point contact problems, Tribol Lett 2013, Int 49, P. 385396. DOI 10.1007/s11249-012-0079-5.
12. Moes H., Lubrication and beyond. Twentte Uni-versiti Press. Enschede. The Netherlands. 2000, 366 p.
13. Lubrecht A. A. The numerical solution of the elasto-hydrodynamicallylubricated line- and point contact problem, using multigrid techniques. PhD Dissertation. Twente University. Netherlands. 1987, 219 p.
14. Ivanov V. A., Erkaev N. V. [Iterative calculation of trubo-contact between a roller and plate]. Vestnik Sib-GAU. 2014, No. 4(56), P. 48-54 (In Russ.).
15. Naryshkin V. N., Korostashevskiy R. V. Pod-shipniki Podshipniki kacheniya. Spravochnik-katalog. [Rolling bearings. Reference book catalog]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1984, 280 p.
© Иванов В. А., Еркаев Н. В., 2015
