CC BY
35
Расчетная модель с учетом зависимости вязкости и проницаемости пористого слоя от давления трехслойной гидродинамической смазки радиального подшипника, обладающего повышенной несущей способностью и демпфирующими свойствами
М.А. Мукутадзе
Введение.
Анализ существующих работ [1 - 11], посвященных расчету подшипников скольжения, показывает, что приведенные в основном здесь расчетные модели не полностью учитывают ряд факторов, влияющих на функционирование трибосистемы. Это прежде всего учет зависимости вязкости и проницаемости пористого слоя от давления; образование промежуточных слоев смазки разной вязкости.
Ниже приведем расчетную модель с учетом зависимости вязкости и проницаемости пористого слоя от давления трехслойной смазки радиального подшипника, обладающего повышенной несущей способностью и демпфирующими свойствами.
Постановка задачи. Рассматривается установившееся стратифицированное течение трехслойной смазки в зазоре радиального подшипника с адаптированным профилем опорной поверхности при наличии пористого слоя на рабочей поверхности вала. Предполагается, что пространство между подшипником и валом полностью заполнено трехслойной вязкой несжимаемой жидкостью. Вал вращается с угловой скоростью О, а подшипник неподвижен. Также предполагается, что зависимость вязкости и коэффициента проницаемости пористого слоя от давления выражается формулами:
ц = ц0/р', к' = к/р', \ = 1,2,3. (1)
Здесь а - экспериментальная постоянная; ц0 - характерные значения динамического коэффициента смазочных слоев; к' - проницаемость пористого слоя; р' - гидродинамическое давление.
В полярной системе координат с полюсом в центре вала уравнение адаптированного контура опорной поверхности подшипника, границы раздела слоев и кругового шипа с пористым слоем на его рабочей поверхности можно записать в виде (рис. 1)
c0: r/ = r0 + H, c0: r' = r0, c1: r' = r0 + 5a + 5aecos0-aAsinЮ0;
c2: r = r0 +ps + pe cos 0-pA sin ю0; c3: r' = r3 + e cos 0- A sin ю0, (2) где ae [0,1], a<P< 1, H - толщина пористого слоя.
Рис. 1. Схематическое изображение шипа с пористым слоем на его рабочей поверхности в радиальном подшипнике, работающего на трехслойной смазочной композиции
Основные уравнения и граничные условия
В качестве исходных уравнений берутся безразмерная система уравнении движения вязкой несжимаемой жидкости с учетом вязкости от давления для случая «тонкого слоя», уравнение неразрывности, а также уравнение Дарси с учетом зависимости проницаемости от давления
^ = , ^ + ^ = 0, , = 1,2,3;
дг2 ' сКд дг дв
д2р др др=0
дг *2 + г * дг * + г *2 дв2 , ( 3
где размерные величины г', и', и \, р', ^ в смазочном слое связаны с безразмерными соотношениями
г' = г, + 5г, и ' = Огои, и' = Оди,, р' = р р,
Ц I = Ц, Л, = §2Рк / Ш) Аг0 + Н)2, 5 = Г2 - Г0 - Н.
(4)
В пористом слое переход к безразмерным переменным осуществлен по формулам
г ' = (г + Н)г*, р' = рёР. (5)
Здесь и', и ' - компоненты вектора скорости; р§ - характерное давление. Система уравнений (3) решается при следующих граничных условиях:
и1 г=0
дР
дг
г =1 :
дР 0 Г,
—* = 0 при г = —0 дг
г, + Н
, и1 г=0 = ^
и3 = 0, и3 = 0, и3 = 0 при г = /(0);
Р = Р|г*=1, Р(0) = Р(2п) = 1; и2 = иъ, и2 = и при г = р/; ди1 Ц02 ди2 и1
и1 = и2, и1 = и2,
дг ц01 дг и1
— = ак'(0) при г = а/(0);
^ = р//(0) при г = р//; ^ = ^ при г = р//; и2 дг Ц02 дг
к Р
О-Г .
е ^
/(0) = 1 + ПСОБ0-П181П Ю0, п = 7, П = —, М = -
5 5 Ш)Р5(г0 + Н)
(6)
Точное автомодельное решение задачи
Уравнение Дарси осредним по толщине смазочного слоя
1 /
д2Р 1 дР 1 д 2Р
дг г дг г д0
+
+ •
*2 лл2
йг = 0
(V)
и точное автомодельное решение системы уравнений (3), удовлетворяющее граничным условиям (6), будем искать в виде
и.
+и(г,0), и, = ^ + У(г,0), ^ = %(£)
д0
дг
и = - (^)/'(0), У (г, 0) = ц (£), \
1 = 1,2,3,
/(0) Л е
й0 /2 ' /3' й0 /2 ' /3' 3 й0 /2 ' /3'
Л -аР йр = _£]_ + ^ Л е-аР йр = + ^ л -ар йр = +
1 7Л _ ; 2 ; 3 ' 2^ 7Г, _ , 2 ; 3 ' 3^ ~ , 2 ; 3
Р = Д0)(г* -1)(г* - у)2 + с* (г* - у)2 (г* -1)/(0) + р,
у:
г + Н
. (8)
Подставляя (8) в (3) и (6), будем иметь
г
г
0
V = ^ Ц = С^ и1 + = 0, ^2 = ^ и2 = с^
,— г т .—. ^^п ,— .—
и2 +^1)2 =0, \|/з =с4, из =Сз, из + =0, (9)
Н
Г гг \2
^ (0) = 0, и1(0) = -ЛС
V г0 + Н у
в, ц(0) = 1, уз(1) = 0, из(1) = 0,
из (1) = 0, V (а) = \|/2 (а), и1 (а) = и2 (а), и1 (а) = и2 (а), и1 (а)=—и2 (а),
—1
——и2(в)=из(в), и2(в)=из(в), ^2'(в)=м —1
^(в) = —" УзЪ), Мв) = —" Оз'(Р), —2 — 2
а _ в __1 _
{и^ + + ^ = в*. (10)
0 а в
Решение задачи (9) - (10) находится непосредственным интегрированием. В результате будем иметь
V1 Ф = С2у + С2^ + С3, V2 = С2 у + С4^ + С5 ,
и1 = С1 у + С6^ + С7, и2 = С1 у + С8^ + С9,
- =_-и- И ~ =-си- и
и1 С'1 з С6 2 +С10, С'1 з С8 2 +С11,
1|/з = С4у + С12^> + С1з, 13з = Сзу + С14^ + С15, -з ~-Сзу - С14 у + С16,
Л1е~ар = Л^-а-а[32(в)С1 + Уз(0)С2], Л2е~ар =Л2е"а-а[/2(9)^+ /з(6)5],
~ ~ ~ в ¡в Лзе-ар = Лзе-а - а[32(в)с3 + ^(в)^], 3к(в) = {—- (11)
0 ^ (в)
Для определения постоянных С(/ = 2, з, ...16) С1, С2, С1, С2,Сз и С4 придем к следующей алгебраической системе уравнений:
_1 _____ С4 _ Сз _ Сз С14
С7 = 1, С10 = 0, Сз = 0, С1з = 2 С12, С15 =- у - С14, С16 = у + "у,
С6 = к1(С1а + С8) - ^lа, С4 = к2(С4в + С12) - С2в
2 2 = ъ = ъ ~ -С - - =0
С2 = ъ1С4, С8 = ъ2 С14, С2 2 + С2а + Сз С2 2 С4а С5 = 0,
2 2 „ а ~ а
с1 — + с6а + с7 - с1 — - с8а - с9 = 0, _= ~ = 0
с1 з с 8 2 + с 1 + + с л л 0-.
"14
"16
~ В2 в2
С2"у + С4в + С5 - С4у - С12в - С13 = 0,
~ В2 в2
С1 — + С8в + С9 - С3 — - СмР-С15 = 0,
а3 а2 ~ р3 р2 ~ а3 а2
с, — + ¿6 — + с7а + + + с9в- - - с9а +
2 6 2 6 2
с3 с14 ~ Р Р п п*
+ "Г + "Г + С15 - ^Т" - - С15в = в , 6 2 6 2
1 6
С1 к1 С2 к1 С1 к2 C3, С2 к2 С4
-с
J 2(2п)
(2 п)
(12)
Здесь к2
Решение системы (12) сводится к решению следующего матричного уравнения:
М • х = Ь, (13)
с3; с4; С5; с6; С9; с11; с12; ¿14} , Ь = {0; 0; 0; - 1; 0; 0; 0 ; - 6а
" 0 1 0 0 0 0 к2 0 "
0 0 0 1 0 0 0 - к1к2
а1 а2 -1 0 0 0 0 0
а3 0 0 а -1 0 0 - ка
М = 2
а 4 0 0 0 0 1 0 а 5
а 6 Р 1 0 0 0 а7 0
а8 0 0 0 1 0 0 а 9
_а10 0 0 3а2 а11 0 0 а12 _
(14)
Здесь а1 = ^2-^О2^ (1 - а2 = а(к -1), а3 = ^у (к -1),
а4 = 3( - ^Р3 -1); а5 = 2(( -Р2^2 -1); а6 = 2^(р2 - -1)
а.
= 1 -Р; а8 = -2(1 -Р2 + к2в), а9 = 1 + р^-Р,
2 J3 (2п)
а10 =-2 -вз + зв- к2а3 + к2в3 + Ъ1Ъ2аз, а11 = 6(в - а),
а12 = 6в + з (1 - в2 - к2а2 + к2в2). (15)
Решая матричное уравнение (1з), получим:
за2к1к2 - а12 - 6а2к2 + 6ак1к2в* + а11а9 + 6а9а + 6а9а + 6а9в* - 6к2ав*
сз =
А
А = а11а8ак1к2 - а11а 8к2а а^кк + а^а I за кк2а8 +
I з к1к2аз а 19^х<з I са< 128 I 12^^з.
(16)
Значения других констант, входящих в систему (1з), ввиду громоздкости их выражений здесь не приводятся. Перейдём к определению основных рабочих характеристик подшипника.
Определение гидродинамического давления и основных рабочих характеристик подшипника
В принятом нами приближении для гидродинамического давления получим выражения, аналогичные (10). Безразмерные расходы Q1,Q2 и Q3 трехслойной смазочной жидкости определяются выражениями
~ „ аз а2 _ ~ рз в2 ~ аз а2
й = С2~ + С2 — + С3а, Q2 = С2 — + С4~ + С5в С2— С4~ - С5а,
6 2 6 2 6 2
Q =с 1 1 -с в
^ С4 г + С12 ~ + С13 С4 г С12 ~ С13в.
6 2 6 2
Для безразмерных компонент поддерживающей силы и безразмерного момента трения, получим выражения:
Я
Я- ^
у р г0 0 йв
{ ¡^еов вй в = С1 + П
1
соя(ю - 1)2п -1 + соя(ю + 1)2п -1
ю-1
ю +1
Я * ¡р яи вйв = -~СП ¡в 2
Я = -
рг
00
ят(ю - 1)2п ят(ю + 1)2п
тр
—1Ог0
ю -1 Л И2 И
ю +1
г
с
1+а
л
1+а
V 2 у
еарй в.
0 0
§=0
Основные выводы
Результаты численного анализа, приведенные на рис. 2-3, показывают:
1 Безразмерная Ry - составляющая вектора поддерживающей силы -существенно зависит от параметра а, к и k2.
2 При значениях р, близких к единице, с увеличением значения вязкостного отношения к2 =ц3 / ц2 несущая способность возрастает. Наиболее резкое возрастание несущей способности достигается при к2 > 3.
3 При к «1,1, к2 > 3 наличие пористого слоя на рабочей поверхности вала способствует существенному снижению значения силы трения подшипника, при этом практически не влияет на его несущую способность, в этом случае подшипник обладает повышенной несущей способностью и минимальной силой трения.
"1
Рис. 2. Зависимость безразмерной несущей способности Яу от параметров п и ю к = 1,1:
1 - а = 0,1; к2 = 1,2; 2 - а = 0,3; к2 = 1,3; 3 - а = 0,5; к2 = 1,4; 4 - а = 0,9; к2 = 1,5
Рис. 3. Зависимость безразмерной несущей способности ^ от параметров п1 и ю,
к = 1,1:
1 - а = 0,1; к2 = 1,2; 2 - а = 0,3; к2 = 1,3;
3 - а = 0,5; к2 = 1,4; 4 - а = 0,9; к2 = 1,5
Литература:
1. Коровчинский М.В. Теоретические основы работы подшипников скольжения. [Текст] М.: Машгиз, 1959, 404 с.
2. Ахвердиев К.С., Приходько В.М., Шевченко А.И., Казанчян О.Р. Математическая модель течения смазки в зазоре радиального подшипника конечной длины со слоистым пористым вкладышем переменной толщины [Текст] // Проблемы машиностроения. РАН М.: Наука - 2000 г. - № 6, - С. 85 - 91.
3. Ахвердиев К.С., Прянишникова Л.И., Пустовойт Ю.И. Гидродинамический расчет пористых подшипников с переменной проницаемостью вдоль оси с учетом нелинейных факторов. [Текст] // Трение и износ. - 1993 - Т. 14, № 5, - С. 813-821.
4. Савенкова С.С. Изучение несущей способности пористого подшипника -[Текст] // Изв. Сев.-Кавк. науч. Центра высш. школы. Сер. Техн. Науки - 1975 г. -№ 3,- С. 56-57.
5. Дерлугян Ф.П., Щербаков И.Н. Обоснование процесса получения композиционных антифрикционных самосмазывающихся материалов с заданными техническими характеристиками методом химического наноконструирования. [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2010 г., №4 - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n4y2010/287 (доступ свободный) - Загл. с экрана. -Яз. рус.
6. Ахвердиев К.С., Прянишникова Л.И. Об одном точном решении задачи о радиальном пористом подшипнике конечной длины [Текст] // Трение и износ. -1993. - Т. 12, № 1, - С. 24-32.
7. Конри К., Кузано К. Об устойчивости пористых радиальных подшипников [Текст] // Конструирование и технология машиностроения. - 1974. - № 2. - С. 206216.
8. Ахвердиев К.С., Муленко О.В. Об устойчивости двухслойных пористых радиальных подшипников [Текст] // Вестник РГУПС. - 2002. - № 3.- С. 5-7.
9. Ахвердиев К.С. Мукутадзе М.А., Задорожная Н.С., Флек Б.М., Поляков Е.В., Расчетная модель гидродинамической смазки неоднородного пористого подшипника конечной длины, работающего в устойчивом нестационарном режиме трения при наличии принудительной подачи смазки [Электронный ресурс] // «Инженерный вестник Дона», 2013 г., № 3. - Режим доступа: http://ivdon.ru/magazine/archive/n3y2013/1765 (доступ свободный) - Загл. С экрана. -Яз. Рус.
10. Gear C.W., Numarical Initial Value Problems in Ordinary Differential Equations, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs. - N.J., 1972.
11. Reynolds, O. On the theory of lubrication and its application to Mr. Beauchamp Towers experiments / O. Reynolds. - Phil. Trans. Roy. Soc. - London, 1886, vol. 177, pt. 1.
