CC BY
31
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И
Том XIX
19 8 8
М 3
УДК 532.527
НЕСТАЦИОНАРНОЕ ТЕЧЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ЯДРЕ КОНИЧЕСКОЙ ВИХРЕВОЙ ПЕЛЕНЫ
А. М. Гайфуллин
Влияние изменения условий обтекания на поведение течения в ядре вихревой пелены, сошедшей с кромок крыла, в настоящее время практически еще не изучено. Как правило, профиль осевой скорости вихря неоднороден, он имеет на оси либо максимум, либо минимум [1—5]. В связи с этим при нестационарном изменении характеристик потока завихренность, сошедшая с кромок крыла, распространяется не одинаково быстро во всей области вихревого течения, что приводит к дополнительным градиентам давления. Ниже на простой модели исследуется влияние нестационарного изменения характеристик течения на структуру ядра вихря.
1. Постановка задачи. Рассмотрим отрывное стационарное ламинарное обтекание бесконечного треугольного крыла малого удлинения, установленного под малым углом атаки к набегающему потоку. Введем цилиндрическую систему координат х, т, 0 так, чтобы ось х совпадала с осью вихревой пелены, и следующие обозначения: V — модуль скорости набегающего потока, и, и, ш — составляющие скорости в системе координат (х, г, 0), рр — статическое давление, р — плотность жидкости, а — угол атаки. Из тес!рии идеальной жидкости известно, что при отрывном обтекании треугольного крыла малого удлинения течение является в первом приближении коническим, а составляющие скорости и давления имеют вид [1, 4]
где Со — некоторая константа, зависящая от относительного угла атаки, а<с1-
Такое установившееся «безвзрывное» обтекание может существовать как угодно долго. Пусть с некоторого момента (^=0) обтекание крыла происходит по нестационарному закону У=У(^), причем отклонение скорости набегающего потока от ее стационарного значения У=У0 малое.
Будем предполагать, что жидкость невязкая. Влияние вязкости на течение в ядре конической вихревой пелены, подверженной малым нестационарным возмущениям будет обсуждено в п. 4.
2. Пусть скорость набегающего потока меняется по закону
(1)
+ #?(/). I В і « І-
(2)
Изменение скорости набегающего потока приводит к тому, что с кромок крыла будет сходить вихревая пелена с интенсивностью отличной от интенсивности стационарной пелены. С течением времени сошедшие при t>0 вихри будут смещаться вниз по потоку. Так как согласно формуле (1) чем ближе частички жидкости к центру ядра, тем больше их скорость, то любую коническую область rfax=const -С 1 можно разделить на три области L4, L2 и L3 (см. рисунок). В области Li находится вихревая пелена, сошедшая с кромки крыла при ^<0, а в областях и L3 при />0. Размер области L3 х ~ V0t, г ~ ах. Т. е. в любом сечении х = const, х ~ V0t вихревая пелена полностью состоит из частичек жидкости оторвавшихся от кромки крыла при £>0. Размер области V0t, r = r#(x, t). В сечении х = const, л: > Vat
будут находиться как частички из области Lu так и частички из области L2.
В ядро вихревого течения (г[ах <С1) попадают частички жидкости, оторвавшиеся от кромок в носовой части крыла. В связи со слабым изменением скорости набегающего потока и малыми масштабами (лг <§; , течение в носовой части крыла будет
отслеживать внешние изменения, т. е. в этой области окружная скорость равна •ш = Vа Кс0(1 — <*2 с0 1 п г/ах Уе )1/2.
Асимптотический анализ показывает, что выражения для скоростей и давления в областях 1-1 и представимы в виде
н = и0+8“1 + °(8)» V = и0 + + о (8), |
w = w0 + ьwl + о(Ь), р =рй-\- Ьр1 + о (8), 1
где а0, v0, и»0 и р0 — характеристики стационарного течения, причем при г/г*-*оо,
И] -*■ 0, «1 0, -► 0, Р\ 0.
Запишем выражение для азимутальной скорости в виде
® = йаК^^_а2Со1„_£-^|1/2. (4)
Тогда согласно (3) V—К0~О(б). Причем, если <7(0) =0, то при переходе из области в область Ь2 функция V не должна иметь разрыва.
Азимутальная скорость в области будет отличаться от шо по двум причинам. Во-первых, это связано с тем, что образовавшаяся при ^>0 часть вихревой пелены, сносящаяся осевой скоростью вниз по потоку, отлична по интенсивности от стационарной пелены, которая генерировала скорость ш0. Во-вторых, из-за торможения или разгона жидкости в области Ь2 появятся радиальные скорости, от величины которых будет зависеть изменение азимутальной скорости. Таким образом, из закона сохранения в процессе движения циркуляции по жидкому контуру следует
Р=(Ц,+ »*&))----------±--------- (5)
г— 81 vl (1Г) йЬ
где
tt = t—------------------------------------г - (6)
а | г>! (1Г) ЛЬ берется вдоль траектории изменения радиуса осесимметричного контура
от некоторого СОСТОЯНИЯ Го в носовой части конического течения до состояния г в сечении X. '
Размер области находится из уравнения распространения возмущений йх = и{1Гъ)(И} (1г — V (1Г*) (Н.
Частички жидкости, находящиеся на вихревой пелене, в ядре течения проходят йамного большие расстояния по сравнению с расстоянием от точки их отрыва на кромке крыла до вершины крыла [4]. С учетом этого и из предыдущего соотношения следует
Г* = аХ ехр
! СГ11 1
(1 +0(6)).
(7)
Выражение (5) справедливо и для области Ьи если <7(^1) положить равной нулю. Перепад давления при x'S>Vйt в основном компенсируется центробежными си-
лами
р(х, Г, І)= р(х, оо, *) +
Г
Г
СІГ = Ро (х, г) + Ьрі (х, г, () +о (В);
Р\ (х, г, і) = 2а2 с0
<7 «о (х, г)
<1г+ К0 \ «о
(Ч (/,)<«
Л_______________ СІГ
(8)
Осевая скорость находится из уравнения Эйлера
. др1
дх
Уравнение неразрывности
д («і г) , д(і>і/-) _п дх дг
(9)
(10)
замыкает систему уравнений (3) — (10).
3. Численное решение системы уравнений (3) — (10) хотя и возможно, но затруднительно. Однако возможен анализ этих уравнений, который показывает, что при уменьшении скорости набегающего потока (6^(<) <0) в области 12 происходит дополнительный по отношению к коническому разгон жидкости, а если 6<?(0>0, в области 1*2 происходит торможение жидкости.
При степенном росте скорости набегающего потока <?(£)=?", п>0 в зависимости от показателя п существует несколько возможных типов эволюции течения. Из (8) при г-*- О
^Р}АХ11', *), ~ іп~х и0 (х, г)/У0, дх
(П)
что приводит к тому, что при г-их (х, г, Ь) ■
-о
- хі"-1! Ко
при я<1; — іп щ(х, г)1У при и> 1.
При я=1 возмущение осевой скорости становится сравнимым со скоростью конического течения на масштабах х~У0и0(х, г)/8 (область £4 на рисунке). Причем, как видно из выражения (7) радиальный размер области будет расти с течением времени. Если 8>0 «взрыв» вихря [6] возможен только в области £4.
При я< 1 возмущения градиента давления и скорости набегающего потока имеют особенность в начальный момент времени. Внутри области /_2 можно выделить область £5, в которой возмущения осевой скорости становятся сравнимыми со скоростью конического течения. Если б>0, то в начальный момент времени в области при х=0
произойдет сильное торможение жидкости, которое повлечет за собой резкое изменение структуры ядра. С течением времени местоположение области L5 будет смещаться вниз по потоку.
Если п> 1, то даже при б>0 на временах £~0(1) «взрыв» вихря не происходит.
Аналогичные результаты получаются при нестационарном изменении угла атаки набегающего потока. При уменьшении угла атаки в окрестности оси течения происходит дополнительный разгон жидкости, а при увеличении угла атаки торможение жидкости, которое может привести к «взрыву» вихря.
4. Проведенные выше исследования указывают на то, что хотя осесимметричный тип распада вихря и представляет почти стационарное явление, однако, можно ожидать, что в механизме его зарождения и дальнейшей эволюции важное значение имеют нелинейные нестационарные эффекты, связанные с нестационарным выходом течения на стационарный режим.
Выше в рамках модели идеальной жидкости было рассмотрено поведение ядра конического вихревого течения при нестационарном изменении скорости набегающего потока. Предположения и выводы остаются верными и в рамках модели вязкой жидкости до тех пор пока /•* больше размера вязкой области rB ~ х [(1 + а3 с0 In a Re1/2) Re]-1/2 . Так как с ростом х величина г* уменьшается, а гв растет, то в некоторой области, где г,>г„ выводы предыдущих пунктов становятся несправедливыми. В этом случае необходимо решать задачу о нестационарных возмущениях в рамках модели вязкой жидкости.
ЛИТЕРАТУРА
1. Mangier К- W., Waber J. The flow field near the centre of
a rolled-up vortex sheet.—J. Fluid Mech., 1967, vol. 30, N 1.
2. H a 11 M. G. A theory for the core of a leading edge vortex. —
J. Fluid Mech., 1961, vol. 11, p. 2.
3. S t e w a r t s о n K-, Hall M< G. The inner viscous solution for
the core of leading—edge vortex. — J. Fluid Mech., 1963, vol. 15, p. 2.
4. Гайфуллин А. М., Зубцов А. В. Асимптотическое решение задачи о течении жидкости в ядре вихревой пелены. — Ученые записки ЦАГИ, 1984, т. 15, № 5.
5. Воссел. Расчет вихря методом интегральных соотношений с использованием экспоненцильных функций. — Ракетная техника и космонавтика, 1971, т. 9, № 10.
6. Лейбович С. Распад вихря. — В кн.: Вихревые движения жидкости.— М.: Мир, 1979. (Механика. Новое в зарубежной науке, вып. 21).
Рукопись поступила 18fVI 1986 г.
