Асимптотическое решение задачи о течении жидкости в ядре вихревой пелены Текст научной статьи по специальности «Физика»

______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И

Т о м XV 198 4

М 5

УДК 532.526.5

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ В ЯДРЕ ВИХРЕВОЙ ПЕЛЕНЫ

А. М. Гайфуллин, А. В. Зубцов

Построено асимптотическое решение задачи о течении вязкой несжимаемой жидкости в ядре вихревой пелены, которая возникает в результате отрыва потока от острых кромок треугольного крыла малого удлинения при малых -углах атаки и больших значениях числа Рейнольдса.

При больших числах Рейнольдса (Ие) обтекание крыльев, установленных под углом атаки к набегающему потоку, как правило, сопровождается отрывом пограничного слоя. Для тонких треугольных крыльев малого и умеренного удлинения (Я<Яо«г2,0) отрыв пограничного слоя происходит в окрестности передних кромок крыла. При Ке->оо оторвавшийся пограничный слой вырождается в вихревую пелену, которая сворачивается в спиралевидную поверхность. Геометрия вихревой пелены и аэродинамические характеристики крыла могут быть определены из решения уравнений Эйлера при условии, что известно положение линии отрыва пограничного слоя (1—3]. Как показали исследования, решение задачи в рамках модели идеальной жидкости имеет особенность на линии, относительно которой происходит сворачивание вихревой пелены [4, 5]. Из этого результата следует вывод о том, что в ядре вихревой пелены силы вязкости оказывают существенное влияние на характеристики течения. Задача о течении вязкой жидкости в окрестности оси вихревой пелены рассмотрена в работе {6]. В этой работе получено приближенное решение, описывающее некоторую, заранее принятую модель течения. В настоящей работе строится асимптотическое решение задачи на основе анализа полных уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости.

Рассматривается отрывное ламинарное обтекание треугольного крыла малого удлинения, установленного под малым углом атаки к набегающему потоку. Введем следующие обозначения: (л:, г, 0)— цилиндрическая система координат, у которой ось х совпадает с осью вихревой пелены; Уоз — модуль скорости набегающего потока; и 1/оо, ъУоо, ®Vоо — составляющие скорости в системе координат (х, г, 0); рУ1с/? — статическое давление; а— угол атаки;

_ а V Х

б0 —угол при вершине крыла, а = —, Не = —.

Асимптотическое решение исследуемой задачи будем искать при следующих условиях: - ■

Re>l, l>a>Re-1/2, а — 0(1), г С ах.

Принятые условия соответствуют тому, что при Re—>-°о, а->-0 и 0о->-О характерный поперечный размер вихревой пелены является величиной порядка ах, толщина слоя смешения в плоскости х—const намного меньше ах, исследуется область в окрестности оси вихревой пелены.

1. Из теории идеальной жидкости известно, что при отрывном обтекании треугольного крыла малого удлинения возмущенное течение является в первом приближении коническим (за исключением небольшой области, лежащей в окрестности вершины крыла и его задней кромки). Для исследования течения в окрестности оси вихревой пелены воспользуемся результатами работы [4], в которой на основе решения полных нелинейных уравнений Эйлера получены характеристики конического течения несжимаемой жидкости при наличии вихревой пелены и г/х-+-0. Применительно к исследуемому в настоящей работе течению решение [4] представимо в виде

и — 1 — а2с0 In Yj — а2 Ус0 т\ (l -- а2 са In tj/V е)112 (0^— 6 — тс) -j- . W а УС0 1 — а2 с0 In У]1Уе)1,12 + (1 — а2 с01пт}) (0_5—0—тс) +

—F=(l Сп 1° 7l/e) (l — *2 С0 In rj¡УеУ‘\В — 0 — те) -f-

У Со

, а2 Со

Р~*гсЛ(\ — «2 Сй In 71/е) In 7) + ...] ;

0)

м

S

V Со

dr) т|2 (1 — а2 с0 In i\/ Yе)'/2

где т) = r/ах, с0 = с0 (а) — некоторая константа, определяемая из решения внешней глобальной задачи; 6s(rj) — функция, определяющая форму сечения вихревой пелены плоскостью х = const,

0S— 2я <; 0 0Л.

Из формул (1) следует, что возмущения, вносимые вихревой пеленой в набегающий поток, малы при т) > и велики при

7) ^ е~ча‘с<>.

Решение (1) — (2) является особым при г]->-0 и при 0 — 0s (г]). Для устранения имеющихся особенностей необходимо в соответствующих областях течения учесть влияние сил вязкости. Прежде чем перейти к асимптотическому решению уравнений Навье—Стокса, проведем предварительные оценки, которые позволяют выделить характерные области исследуемого течения. С точностью порядка O(rj) решение (1) для составляющих скорости и, w переписывается в виде

и •—• 1— а2 с0 In т] = и0 (vj), щ) ~ а.'У с0{ 1 — а2 с0 In т¡¡У е ),/2 =

= al/c0w0(7j)'. (3)

Из условия равенства порядков вязких и инерционных членов уравнений движения следует оценка для толщины области вязкого течения в окрестности оси вихревой пелены (область fii, рис. 1):

Г(Й!>----- Х =г—--=±= ИЛИ Т)^)'------— 1 ........... ' —•

V(l + <х2с0 1п се У Re) Re а У Re (1 + а3 с0 1п а У Re)

Для получения непрерывного решения задачи при (Í2t) необходимо также учесть влияние сил вязкости в окрестности вихревой пелены, где согласно (1) имеется разрыв составляющих скорости: [м]~а2т1, [да]~ат), [о]~аг12. Окрестность вихревой пелены представляет собой слой смешения, который является продолжением пограничного слоя, оторвавшегося с острых кромок крыла. Толщина слоя ¿Решения

Рис. 1

является величиной порядка л:Не_,/2 Возмущения скорости, возникшие в слое смешения из-за действия сил вязкости, можно условно разделить на две части. Во-первых, это возмущения, обеспечивающие сглаживание того разрыва в составляющих скорости, который имеется во внешнем решении (1), (2). Поскольку относительная величина этих разрывов пропорциональна г), то, следовательно, при т)<С1 величина соответствующих вязких возмущений будет мала по сравнению с главными членами разложения (3). Во-вторых, это возмущения, которые обеспечивают диффузию начальной завихренности, приобретенной частичками жидкости после прохождения пограничного слоя на крыле. Оценим величину этих возмущений. Пусть частички вихревой пелены из сечения х=х0 при своем движении вниз по потбку попадают в область х = хи 0<г] (0) <Т]1-С1. Из условия сохранения циркуляции скорости по контуру, охватывающему эти частички, следует, что

^*^,,«1. (4)

х1 Г0

_ р

где Г0 = ----полная безразмерная циркуляция, соответствую-

а ^ оо

щая вихревой пелене.

Из выражения (4) следует, что частички жидкости, попадающие в ту часть слоя смешения, где г}<С1, проходят относительно большие расстояния по сравнению с длиной участка пограничного слоя на крыле, где возникает завихренность. Очевидно, что на больших расстояниях от места схода частичек жидкости с кромок крыла профиль скорости в слое смешения успевает выравняться так, что мало отли-

чается от соответствующих главных членов разложения (3). Таким образом, при т] (Й1)-Ст1<С1 слой смешения является зоной слабых возмущений, относительно которых допустима линеаризация уравнений движения. При г]в возмущенном течении можно выделить две характерные области: й2 и й3 (рис. 1). Область £22 («вихревой рулет») —это область, в которой толщина слоя смешения является величиной порядка расстояния между соседними витками вихревой пелены. Из уравнения (2) нетрудно получить оценку для толщины области £2г:

— ~(лЯе-ч*)Ч* или У1(®2)~(аЯе^)-у2 •

*

В зоне 23 [(а Ие1/2)-1/2 < т) < 1 ] расстояние между соседними витками вихревой пелены намного больше толщины слоя смешения.

Дальнейшие исследования проведем для случая, когда в областях и £22 вихревая пелена вызывает сильные возмущения набегающего потока, т. е. когда а2 1пИе> 0(1).

2. Решение для слоя смешения в области 23. В основной части области 23 (1 > т) > а-1!2 Не~1/4) решение задачи определяется формулами (1) — (2). Необходимо построить решение для слоя смешения (г —/у— л: Ие-1/2 — область 2ЗВ). В области 2ЗВ введем новые независимые переменные (х, ¿8>

где

£ _ С—ги(х’ 6). (/Цо йЄ| ГІ==гіаХг

X

и0 = 1 — а2 с01п ц, г3 — ах-ч, (0), ^ ,

ао у с о

Щ= (1-а2 с01пт]//е)112 .

Согласно оценкам, проведенным в п. 1, решение в слое смешения представляется в виде суммы непрерывной части внешнего разложения (1) и малых возмущений, которые удовлетворяют линеаризованным уравнениям движения:

и = ий{^ — у\Ус01Ю0(г1)их{х, ¿з, т]);

т = а.у70 |гМ71) + ,»1?^•«>,(■*, ¿з, ■»])];

<у = ат| |'и— + t3, ];

а Со 1

\пщ1е)\т1 + *ъРЛх, *3. І)

(5)

где

1

а Уи0 Ке

Подставляя выражения (5) в уравнения Навье—Стокса, записанные в цилиндрической системе координат, и проводя их линеаризацию относительно малых возмущений, получим, что функции щ, эдь рі удовлетворяют следующей системе уравнений:

д2 их

Ий

+

■і.

+

дг)

■— а Щ)

ди,

Хдї

X

X (1 +0(з3) + 0(а2)+ 0(71)) =0;

(6)

дJ wx ~dtl

+ -o' ^3

д (■qwi)

і u

-4------------ti\ ■

1 //„ *

Wy

2 g's dt3 1 drj 1 u0 X dx

Х(1 + 0(е,) + 0(а*) + 0(т1)) = 0; (7)

— 2u0 w0 wx J ( 1 + О (ej) + О (а2) + О (if)) = 0.

Граничные условия для функций ии wx следуют из условия

dwt

X

асимптотического сращивания решений в областях 2зд и 2ЗВ:

JTCT

2.

+ те при t3 + ос .

Решение уравнений (6)—(8) представляется в виде

и, = теа2 erf

W, = те erf

•Hi

V з

1/2 g -3<3/4

1/2 р— 3^з/4

(8)

(9)

где f — пока произвольная константа.

3. Получим решение задачи в области 22 ('>ч~а~1/2 Re_,/4). Из уравнения (2) следует, что при х = const и т|-+0 расстояние между соседними витками вихревой пелены убывает

Ars = ax A-qs

2іш / \ 2

77---Wo (4s) Ъ *■

У ¿0

Нетрудно видеть, что при т) — а-‘/2Не_1/4 расстояние Дг^ становится по величине порядка толщины слоя смешения 8^хНе-1/2. Во всей области 22 течение имеет непрерывно распределенную завихренность. По своей структуре область Q2 представляет собой „вихревой рулет“, образованный слоем смешения, закрученным вокруг оси х. Необходимо отметить, что характерный поперечный размер области 22 есть величина порядка г(22)— а^Ие-1/4х, а характерный размер, на котором происходит изменение характеристик возмущенного течения, есть величина порядка Дг5—Ке_1/2х<С « г(2,). В области 22 введем новые независимые переменные (х, 12, т]2):

' -г_Мх,1)-, ъ = -п/*2, (10)

где £2 =

V Со

Д Гс

«1.

2тсада0 (т]) Уи0 (у) Ре

Решение в области й2 будем искать в том же виде (5), что и в области Й3. В новых переменных (10) уравнения для функций щ, рі примут следующий вид:

7)4 dt\

1 д2 Wi

4 dtl

dw 1 . Cn

’i.-air + Tir“’-

^ — 2«0 w0 Y)2 wl j [l+O (e|) 4-0(a2)]=Q.

x^rU1+°(£2) + O(a2)] = 0;

(И)

)

(12)

Решение для щ, представим в виде суперпозиции двух функ-

ции:

и, = а2 Рх (¿2, -с) + Т4/2 ^з/2 Р-> {к, -с);

®>1 = Л (¿2> *) .+ Г — г22 'Лг72 (¿2, т), Х=1/Зт12. (

«о )

(13)

Подставляя (13) в (11) и приравнивая члены одного порядка малости, получим уравнения для функций Ри Р2:

I _ ^ — 0 ■ (?т и’

^22

= 0.

(14)

Заметим, что в переменных (4, т) областью интегрирования уравнений (14) является полубесконечная полоса 0<т<<х>, |4|<1-Граничные условия для фунций ^ ставятся на линиях тока:

дЫ

- 0 При ¿2 = 0, ¿2 = 1 И 0<т < ОО.

(15)

Начальные условия для ¥\ и определяются из условия асимптотического сращивания решений в областях £2г и £23:

Р I, пч I 710 — 2£2) при 0<^<1;

'’'-*(1 + 2*,) при — 1 < <0;

Нт 4Г^2, .) = УЦ [~ 8 (и ± 1) + 8 (¿)_

где,6(4)—дельта-функция Дцрака.

Решение уравнений (.14) — (17) имеет следующий вид:

(16)

(17)

(18)

Р2 (^2> ^г) —

4ж

~3~

’¡г

. 4*3 ^=/3^2

А= 1

(19)

Как следует из решения (18), (19), возмущения составляющих скорости и, т осциллируют вдоль направления оси г. Необходимо отметить, что при т12->0 амплитуда возмущений, которые соответствуют

разрывной части решения (1), пропорциональна е а не т)2, как

это имеет место в решении для идеальной жидкости. В то же время амплитуда возмущений, обеспечивающих диффузию начальной завихренности, растет при г]г *~0, как (5), (13), (19). Это, видимо,

связано с тем, что при г]2-^-0 уменьшается расстояние между соседними витками нулевой поверхности тока, что приводит к увеличению1 концентрации завихренности в этой зоне. На рис. 2 и 3 представлена

зависимость функций Р1 и Р2 от переменной ть при = 1/60.

V с0

-2

О

Рис. 2

г р, о

і г і гг

Рис. 3

Запишем асимптотические разложения для составляющих скорости и, т и давления р при г)2-^-0, которые потребуются при исследовании течения в области й4:

СоТ___ _1 .

и~ий{ч))■

а У й0 (т]) Ие УЗлтг]

да ~ а У С0 Г^о С7))--------------—' Г 1 --.........................7=1 ;

I. (■»!) “ У «о (1) Ке VЪщ ]

р ~ а2 с0 [(1 — ^ 1п у\!е] 1п тг)---------------------7-4тС° 1— І .

ІЛ 2 / аУи0('»і)Не УЗлїі]

(20)

Асимптотическое разложение для давления получается в результате интегрирования уравнения (12) и последующего суммирования перепадов давления между соседними витками вихревой пелены.

4. Найдем решение задачи в области

И'

У (1 + а2 С0 1п а УКе)а2Е?е

Как указывалось в п. 1, толщина области ^ является величиной порядка [(1 + а2с01па2Ке)Ке]~1/2. В области целесообразно ввести новые независимые переменные (я, б), где

^1 = -^[(1 + а.2с0\п*УЩке]112.

Асимптотическое разложение (20), переписанное в переменных (х, t^, 0), определяет вид граничных условий для решения задачи в области при t1-+oo:

и и0(е,)-а*с01п tl - }/ё7 ^-у=- + ... ;

ни -+ а У с{

^0 (Єї) - 7-77- ІП и + У £1 . 7Ы

2®0 (£і) УЗк т0 (Еі) У \

1 — 1п ¿¡/е) 1п ех + гУо(е,)1п ^ 1п2Ьх — (21)

2 1 2

. ,/Т , 4^о _1_

'VI* Vи

+ •••;

где е1:=[(1 +а2с01па'1/^е)а^е]-1/2<С 1, «0 (е!)=1 —а2 с0 1п = (1 — а? с0\пг11уге)т.

Граничные условия на оси вихревой пелены имеют вид

и) ■■

ди

ъ = ^- — 0 при ^! = 0.

(22)

Выражения (21), (22) определяют вид первых членов асимптотического разложения для решения в области

и = «о Оч) — а2 с0 щ (/1) — /в, и2 (^) + ... ;

т =

« VСо Г (е,) 1Уо (*,) - -Г^ТТ ^ (V + [ 2(Е1)

1^2

+ 1^е1

СоТ

¡г Сл

УЗя П>0 (£]) а® Со

('.)]+ -;

1--------^ 1п «1/в ) 1п В, + ТЮо (£,) рх (¿0 •

2

== ае

»<'•>]

(23)

Подставляя (23) в уравнения Навье—Стокса и приравнивая нулю сумму членов одинакового порядка, получим обыкновенные дифференциальные уравнения, которым удовлетворяют неизвестные функции Иг, Ши Рг, »г.-

¿('Д7о)-^=0, р[ = -^ , I («0—^ = 0,

+ ^/*1 = —(1 + ¿1*0, о и, + «, + А) - иг0 (^- + А)

г\

р'г = -2Г° ^ , £ ы + -у- = о, г»2 + 41 “ — (и2 + 2*! Иг) , *1

/>2 =

УрГ,

2#1

(24)

где

граничные условия:

^0-1; и1,ЧГ1,р1 Ръ 1п2

1п ¿и «2. ^2. Рг ■* ;

ЦР0 = Г х =

■и,

при -*■ оо ,

:г;2 = М^ = И2 = 0 при ¿,=0.

Решения уравнений (24), (25) могут быть выписаны в квадратурном виде с использованием известных спецфункций. На рис. 4 представлены зависимости И^о(^), ^М^), «1(^1). £1(^1), Ыг(^)-

5. Асимптотическое решение задачи о течении вязкой жидкости в окрестности вихревой пелены содержит две произвольные константы с0, у. Величина Со(а) определяется из решения полной задачи об

Рио. 4

отрывном обтекании треугольного крыла в рамках модели идеальной жидкости. Из (1) следует, что эта величина может быть представлена в следующем виде:

Г \2 х *

2тгг]4

(26)

где г.

безразмерная циркуляция, соответствующая вих-

ревой пелене, заключенной внутри окружности, охватывающей ось вихревой пелены и имеющей радиус, равный г9 = ахг^, при этом 1.

Рассмотрим вопрос об определении величины Величина у является множителем при той части решения, которая определяет диффузию завихренности частичек жидкости, которые сошли с острых кромок крыла и попали в слой смешения, где Т]<С1- Пограничному слою, сходящему с кромок треугольного крыла на участке 0<*<;со, соответствует определенная величина потери количества движения в направлении оси х

00 х0

Р (х0) = а 1/|о Ц |да(1 — и) (¡п (1х,

—со О

где п — координата оси, направленной по нормали к поверхности крыла.

В пограничном слое на треугольном крыле малого удлинения составляющие скорости и, т являются функциями от двух пере-

п 1/ V^x , ~

менных у и у = -- у —-— (<? — угол между кромкой крыла и лучом, лежащим в плоскости крыла и выходящим из его вершины). Поэтому величина Р{х0) представляется в виде

р {Хо) _ А al/^S*(ä) -ф= , (27)

3 У ReXo

СО '

где 8* (а) — Ц w (у, а) [l — и (у, а)] dy — толщина потери импульса,

—СО

определяемая из решения уравнений пограничного слоя.

Величина Р(х) пропорциональна а. Перепад сил давления в основной части исследуемого течения является величиной порядка а2. Следовательно, в слое смешения потеря количества движения в направлении оси х остается неизменной при а -> 0. Рассмотрим слой смешения в области х — хи 0<тг)<т), «С 1 и берущим свое начало на участке передней кромки 0 < х ¿Сх0. Координаты х0, х1, связаны между собой соотношением <4). Для рассматриваемого участка слоя смешения потеря количества движения в направлении оси х представляется в виде:

Р (л^, rjj) ä — vlz JJu(l — u)rdrdb ss — Vlc J*J( 1 — u) rdrdb

___ 2 — 2

2 -1 f 4lt r/2 3/2 X1 1 1 Г 2 1/4рЗ/2 ,/2 *0 /Oov

т У = 3-TCo Го а 1Л»-р=. (28)

' ' ATj ' Л’о

Из (27) и (28) следует, что

= (29)

Соотношение (29) замыкает зависимость решения задачи о течении вязкой жидкости в окрестности оси вихревой пелены от интегральных характеристик внешнего течения.

На рис. 5 и 6/представлены зависимости р(ц) и ы(г]) для треугольного крыла, полученные в эксперименте [7] и из решения (23) при а=15°, Ке = 2-106 и Я=1. Сплошным линиям соответствует результаты расчета, кружочкам — результаты эксперимента. При получении численных результатов использовались первые два члена в асимптотических разложениях (23). Неизвестная константа Со определялась из условия, что в одной точке, достаточно удаленной от оси ..вихревой пелены (г] = 0,15; т| £ £23), значения давления, получаемые теоретическим и экспериментальным путем, совпадают. Из результатов, представленных на рис. 5 и 6, следует, что даже при умеренных значениях угла атаки и числа Рейнольдса вихревая пелена вызывает мощные возмущения в окрестности своей оси.

Результаты настоящей работы получены на основе асимптотического анализа полной задачи об обтекании крыла малого удлинения потоком вязкой жидкости при малых углах атаки и больших значениях числа Рейнольдса. В итоге удалось получить асимптотическую зависимость характеристик течения в ядре вихревой пелены от параметров а, Ие, а. Проведенное исследование позволило раскрыть структуру течения в области «вихревого рулета» и строго обосновать мате-

матическую постановку задачи в области которая была сформулирована ранее в работах [6, 8] на основе некоторых дополнительных предположений относительно характера течения в области £2г- Решения, полученные в работах [6, 8], при надлежащем выборе входящих в них свободных параметров, имеют качественное и количественное согласование с первыми двумя членами разложения решения (23).

ЛИТЕРАТУРА

1. Smith J. Н. В. Improved calculations of leading-edge separation. —■ Proc. of Roy. Soc., Ser. A, 1969, vol. 251.

2. Белоцерковский С. М., H и ш т М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. — М.: Наука,

1978.

3. С у д а к о в Г. Г. Расчет отрывного течения около тонкого треугольного крыла малого удлинения. — Ученые записки ЦАГИ, 1974, т. V, № 2.

4. Mangier К. W., Weber J. The flow field near the centre of a rolled-up vortex sheet. — J. Fluid Mech., 1967, vol. 30, Part. 1.

5. Guiraud J.P., Zey tounian R. Kh. A double-scale investigation of the asymptotic structure of rolled-up vertex sheets. — J. Fluid Mech.,

1977, vol. 79.

6. H a 11 M. G., A theory for the core of a leading-edge vortex. —

J. Fluid Mech., 1961, vol. 11, Part 2.

7. Earnshaw P. B. An experimental investigation of the structure of a leading-edge vortex. — Aero. Res. Coun., Lond. Rep. N 22, 876, 1961.

8. S t e w a r t s о n К., H a 11 M. G. The inner viscous solution for the core of leading-edge vortex. — J. Fluid Mech., 1963, vol. 15, Part. 2.

Рукопись поступила 18)11 1983 г-

матическую постановку задачи в области йь которая была сформулирована ранее в работах [6, 8] на основе некоторых дополнительных предположений относительно характера течения в области йг. Решения, полученные в работах [6, 8], при надлежащем выборе входящих в них свободных параметров, имеют качественное и количественное согласование с первыми двумя членами разложения решения (23).

ЛИТЕРАТУРА

1. Smith J. Н. В. Improved calculations of leading-edge separation. — Proc. of Roy. Soc., Ser. A, 1969, vol. 251.

2. Белоцерковский С. М., H и ш т М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью. — М.: Наука,

1978.

3. С у д а к о в Г. Г. Расчет отрывного течения около тонкого треугольного крыла малого удлинения. — Ученые записки ЦАГИ, 1974, т. V, № 2.

4. Mangier К. W., Weber J. The flow field near the centre of a rolled-up vortex sheet. — J. Fluid Mech., 1967, vol. 30, Part. 1.

5. Guiraud J.P., Zey tounian R. Kh. A double-scale investigation of the asymptotic structure of rolled-up vertex sheets. — J. Fluid Mech.,

1977, vol. 79.

6. H a 11 M. G., A theory for the core of a leading-edge vortex. —

J. Fluid Mech., 1961, vol. 11, Part 2.

7. Earnshaw P. B. An experimental investigation of the structure of a leading-edge vortex. — Aero. Res. Coun., Lond. Rep. N 22, 876, 1961.

8. Stewartson К., H a 11 M. G. The inner viscous solution for the core of leading-edge vortex. — J. Fluid Mech., 1963, vol. 15, Part. 2.

Рукопись поступила ¡8/11 1983 г-