Неравенство типа Колмогорова в пространстве Бергмана 𝐵2 и некоторые его приложения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 24. Выпуск 5.

УДК 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-228-236

Неравенство типа Колмогорова в пространстве Бергмана В2 и

некоторые его приложения

Д. К. Тухлиев

Тухлиев Дилшод Камаридинович — кандидат физико-математических наук, Худжанд-ский государственный университет им. Б. Гафурова (г. Худжанд, Таджикистан). e-mail: dtukhliev@mail.ru

Аннотация

Пусть N — множество натуральных чисел, Z+ - множество неотрицательных целых чисел, С — множество комплексных чисел, A(U) - множество аналитических в единичном круге U := {z G С : |z| < 1} функций, В2 - пространство Бергмана функций f G A(U), наделенных конечной нормой

1 -V2

112 := ||/1|В, = '

и, /

Для ] € А(и) обычную производную порядка то € N обозначим через ](т)(г) и введём класс функций

В2т) :={ / € В2 : < .

Пусть Еп—1(/)2 — величина наилучшего приближения функции ] € комплексными алгебраическими полиномами степени < п — 1. В данной работе найден ряд точных неравенств между величиною наилучшего приближения промежуточных производных (^)2 (V =1, 2, • • • ,то — 1; то > 2) и наилучшего приближения Еп-т-1(/ (т))2 старшей производной ](т).

Пусть Ж2(т) := ) (то € М)—класс функций / € в(т), для которых ||/(т)||2 < 1.

В работе доказано, что при любых п,то € М, V € Z+, п > то > V имеет место равенство

Еп-„-Мт))2 = sup{K-„-i(/(-))2 : f G w(m)} = ^ VП W+!,

ttn.m V П - V +1

а также для функций / € В(т) при всех 1 < V < то — 1, то > 2 найдено точное неравенство типа Колмогорова

Еп-и-1 (/("))2 < (п)(Еп-1(/)2)1-"/т • (Еп-т-1(/(т))2У/т,

где постоянная Ат<и (п) явно выписывается. Дано некоторые приложения полученного неравенства.

Ключевые слова: пространство Бергмана, точные неравенства, среднеквадратическое приближение, наилучшее полиномиальное приближение, экстремальные задачи, неравенство типа Колмогорова.

Библиография: 5 названий. Для цитирования:

Д. К. Тухлиев. Неравенство типа Колмогорова в пространстве Бергмана В2 и некоторые его приложения // Чебышевский сборник, 2023, т. 24, вып. 5, с. 228-236.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 24. No. 5.

UDC 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2023-24-5-228-236

Kolmogorov's type inequalities in Bergman space B2 and some of

its applications

D. K. Tukhliev

Tukhliev Dilshod Kamaridinovich — candidate of physical and mathematical sciences, Khujand State University (Khujand, Tajikistan). e-mail: dtukhliev@mail.ru

Abstract

Let N be the set of natural numbers, Z+ be the set of non-negative integers, C be the set of complex numbers, A(U) be the set of analytic functions in the unit circle U := {z G C : |z| < 1} B2 - be the Bergman spaces of functions f G A(U), endowed with a finite norm

1 - ^

112 := 11/IIB2 '

For f G A(U), we denote the usual derivative of order m G N by f (m)( z) and introduce a class of functions

B(m) :={f G B2 : IIf(m)H2 < <*} .

Let En-1 (f )2 be ^^e magnitude of the best approximation of function f G B2 by complex algebraic polynomials of degree < n — 1. In this paper, a number of exact inequalities are found between the value of the best approximation of intermediate derivatives En-v-1(f (^)2 (v = 1, 2, ••• ,m — 1; m > 2) and the best approximation En-m-1(f (m))2 of the highest derivative f(m).

Let W(m) := w(m)(U) (m G N) be a class of functions f G B^n) for which ||/(m)|2 < 1. In this paper is proved that for any n,m G N, v G Z+,n > m > v, the equality of takes place

En-u-i(w(m))2 = sup{En-u-i(f^2 : f G ^2(m)i = Vn m +1,

a„,m V n — v +1

and also, in the space B2 for functions f G B^n) for al 11 < v < m — 1,m > 2, an exact inequality of the Kolmogorov type

En-u-1 (f ("))2 < AmiV (n)(En-i(f )2)1-v/m • (En-m-i(f(m) )2)v/m,

is found, where the constant A„hl, (n) is explicitly written out. Some applications of the resulting inequality are given.

Keywords: Bergman space, exact inequalities, mean-square approximations, best polynomial approximation, extremal problems, Kolmogorov type inequality.

Bibliography: 5 titles. For citation:

D. K. Tukhliev, 2023, "Kolmogorov's type inequalities in Bergman space B2 and some of its applications" , Chebyshevskii sbornik, vol. 24, no. 5, pp. 228-236.

1. Введение

В работах [1], [2] рассмотрена экстремальная задача о совместном полиномиальном приближении аналитических в единичном круге и := {г е С : |,г| < 1} функций и их промежуточных производных в пространстве Бергмана Здесь мы продолжим наши исследования в этом направлении и докажем ряд точных неравенств о совместном полиномиальном приближении функции / е В2 и её промежуточных производных.

Введём нужные нам в дальнейшем вспомогательные факты и определения. Через А(и)

и

/ е А(и) принадлежит пространству Бергмана В2, если

2 := II/II#2 = ^1 /Д I/(¿)|2^ <

где интеграл понимается в смысле Лебега, йа—элемент площади.

те

Известно, [3, стр.44], что функция f (г) = ^^ ск(/)гк е А(и) имеет производные (г)

к=0

любых порядков т е М, которые определяются формулой

те

¡(т)^)= ^ак,тск и)гк_т

к=т

где

&к,т := к (к — 1)(к — 2) ■ ■ ■ (к — т + 1), к > т, к е М, ак,0 = 1, ак,1 = к, ск( /)—тейлоровы коэффициенты функции /(г). Всюду далее полагаем

:= {/ е В2; ||/(т) ||2 < ,т е Z+, В(0) = В2.

Пусть Рга_ 1— множество комплексных алгебраических полиномов степени не более п — 1:

Рп-1 := < рп_1(£) : рп_1(г) = ^акгк, ак е О .

I к=0 )

Для п е N равенством

Еп_1(Л2 := Еп_1 (/,Рп_ 1)2 = ^ {||/ — Рп-1^2 : Рп-Л*) е Рп_1} —

е В2

элементами множества Рга_1 в метрике пространства В2. Хорошо известно, что [4, стр.209]

к_1(/)2 = у — ¡Зп_1(т2 = п ^^^ , (1)

I к=п

где

п_1

Бп_1(/, г) = ^ ск(/)гк

к=0

частная Сумма п-то порядка разложения функции / е А(и) в ряд Тейлора:

/( г) = £ ^ ( /) г

к=0

Очевидно, что для функции f G В^ все её последовательные производные f(u)(z)

J2

(1 <v <т — 1) также принадлежат пространству В2 : Так как

/М( z) = ^ак,иск (/) zk-

k=v

то легко доказать, что

En-v-i(j(-))2 = if ||/М — p^h : рп-г G Рп-±) =

= ||f(") — Sn-l{f M)|h = { fx„ • 1/2 ,

(2)

где

Sn-l(f W) = (f)z k-v

k=v

В работе [2] установлено, что для любой функции f G В^ при всех т,п G N, и G Z+, т > 2 ш п > т, >v, справедливо точное неравенство

En-u-l(f(^2 < ^ • J• Еп-т-1 (f(™))2, (3)

ап,т V п — и + 1

которое обращается в равенство для функции fo(z) = zn G В(m).

Введём в рассмотрение класс := w2,m\u), (т G ^-функций f G в2™\ для которых

||/(т) Ц2 < 1- Далее, при вычислении верхней грани по всем функциям f G W2(m) в соотношениях общего характера условимся, что f G Рт. Исходя из неравенства (3), можно убедиться в том, что если f G В(m) (т G N, т > 2), то f G ) при любом v G N таком, что v < т. В связи с этим представляет определённый интерес найти точное значение величины

£п,и( ^2М)2 := sup\En-v-i( f : f G w(m)} .

Теорема 1. При любых n,m, G N, 1 < v < m — 1,m > 2; для, которых выполняется ограничение п > т > и, имеет место равенство

С ^Ыл П — т + 1

£п,и ( W± ) )2 = —- -—

2 ап,т V п — и + 1

Доказательство. В самом деле, для произвольной функции f g в СИЛУ неравен-

(п — v)(п — v — 1) ••• (п — т + 1) V п — и + 1 '

3 самом деле, для произвольной функц ства En-m-i(/(т))2 < ||/(т)||2 < 1 из соотношения (3) получаем

1 ( f (V))2 < у[

V '' ^ 1 . (4)

п — т + 1 а„

2 < '

п — v + 1 а,

откуда сразу следует, что

^( ^ ))2 Ч ^П ^ ^. (5)

1

Оценку снизу для величины, расположенной в левой части равенства (4), получаем для функции до(х) = ^/п-т±1 . хп,п > т, для которой в силу (1) имеем

к г \ 1 1п -т + 1 ta\

Еп-\(до)2 = ~--А/ „ , -,—. (6)

ап,т V п + 1

Кроме того, так как

( -) I \ -n.v I : т n—v^ , (v-n.v n т + 1

9o(z) = -п- Wn — т + 1 , En-v-Ш ))2 = —^ м/ + 1 (7)

-n.m -n.m V n V + 1

En-m-i(g0n^l)2 = У(5,о™))У2 = 1, то функция до £ w2m\ а потому учитывая (7), запишем оценку снизу

Sn-( w2m))2 > En-v-1(^)2 = JП-т+1 • . (8)

V n и + 1 —n.m

п > т >

пользуясь равенством

ап,и = п(п - 1) ■ ■ ■ (п - V + 1) = &п,т п(п - 1) ■ ■ ■ (п -т + 1)

п(п - 1) ■ ■ ■ (п -и + 1) п(п - 1) ■ ■ ■ (п -и + 1) ■(п - и)(п - V - 1) ■ ■ ■ [(п - и) - (т - и) + 1]

V

11

(п - v)(n -v - 1) ■ ■ ■ (п -т + 1) (1п-и,т-и ' первое равенство в (4) запишем в виде

шЛт)\ 1 п -т +1

En-v-i(W± ))2 =--\ --—

2 (Хп-и„т-и V п - V + 1

1 п - т + 1

(п - у)(п -V- 1) ••• (п - т + 1) V п - ту + 1

чем и завершаем доказательство теоремы 1.

При фиксированном V £ [1, т - 1] вводим обозначение

и/т

, _ , к -т + 1 \ к + 1

Ат(к) •—

(к - т + 1\

-Ц+Г)

к + 1 ) к - и + 1 (а2к>т)1,/т

и докажем следующее утверждение.

Лемма. При любых п,т £ М, 1 < и < т - 1, удовлетворяющих ограничению п > т > ,

(\и/т 2

п -т +1 \ п + 1 ап,и

-;- ■-7 ■ ^-TT-. (9)

п + 1 ) п - v + 1 (а2птУ/т v ;

Доказательство. Пользуясь равенством ап,т = ап,и ■ ап-и,т-и, полученным в завершающей части доказательства теоремы 1, запишем Ат(к) в следующем виде:

. v/m 2(1-и/т)

, к -т + 1 \ к + 1 ak)v ' )

Ат(к) =

(к - т + 1\

-m-J

к + 1 / к -V + 1 (а2к-и,т-и)V/m

'к — т + 1^ v/m к + 1 [к(к — 1) • • • (к — и + 1)]2(Wm)

(к — т + 1 \

-ТГ^)

к + 1 I к — и + 1 [(к — и)(к — V — 1)---(к — V — (то — у) — 1)р/т'

Так как при всех к > п > то функция натурального аргумента Ат(к) > 0, то прологарифмировав обе части соотношения (10), получаем

1п Ат(к) = — 1п(к — то + 1) — 1п(к + 1) + 1п(к + 1) — 1п(к — V + 1) +

т

( v \ , 2v,

+2 1--• ln ak>v--ln ak-vm-v =

V т/ m

v

m

1п(к — m + 1) — 1п(к + 1) + 1п(к + 1) — 1п(к — v + 1) +

v—l 0 m—v—1

— ~ УЕ 1п(к — s ) — — • V 1n( к — s ):=Вт(к) + Ст(к), (11)

V т/ m '

т/ ^ m

s=0

где положено

Вт(к) = — 1п(к — т + 1) — 1п(к + 1) + 1п(к + 1) — 1п(к — v + 1), (12)

т

v—1 0 m—v—1

Ст(к) = 2(1 — -) • У 1п(к — s) — — • V 1п(к — s). (13)

V т/ ' т '

т/ ^ т

s=0

Переходя к функции непрерывного аргумента, из равенств (11)-(13) получаем

Ат(х)

Ат(х)

где

= В'„ (х) + С'т (х), (14)

<х» =— s' • г+г — (

1 1 1

— I - —

т х + 1 \х — и + 1 т х — т + 1/

v—1^ „ m—v—1

V \ v-^ 1 2 V v-^ 1

С™ (х) = К1 — Б •Е

то ^х — в то ' х — в

В [5, стр.682] доказано, что при всех х > п производная С'т(х) < 0, то есть, Ст(х) является монотонно убывающей при х > п. Докажем,

что и В*т(х) < 0, при х > п. Так как 1 < V < то — 1, то учитывая неравенство х — то + 1 > х — и + 1, и пользуясь тем, что

11

< --

получаем

х — и + 1 х — т + 1'

/ N / V , 1 V 1 1

В' (х) = (1--)--+-----<

т х+1 т х—т+1 х—и+1

v, 1 (v \ 1

< (1--)--+--1 •

т х+1 \т /

т х + 1 \т ) х — т + 1

г/./1 1 \ т — v

= (1--) •---=--< 0.

т \х + 1 х — т + 1/ (х + 1)(х — т + 1)

Поскольку в силу (10) Ат(к) > 0 при всех к > п > т, > v, то из (14) следует, что производная А'т(х) < 0, при х > п. Таким образом, функция Ат(к) при к > п > т, > v является монотонно убывающей. Следовательно,

sup {Ат(к) : к>п} = Ат(п)

и имеет место равенство (9). Лемма доказана.

Теорема 2. Пусть числа, п,то,и € М, то > 2 удовлетворяют ограничениям п > то > и. Тогда, для, любого 1 < и < то — 1 имеет место точное неравенство типа Колмогорова

/ \ "/{2т) .---

Г /Л^ п — то + 1\ / П + 1 ап,„

(/()>2 < Г—гт-] Ч^тл -(¡п^х

х(Еп-,„+1(/(т)ъ)"/т • (вП-1(/)2)1-"/т. (15)

Доказательство. Для f € используя соотношения (2),(1) и равенство

Ы/)!2

Е'п—т— 1 (/(т))2 = Е ^к,т к — то + 1;

к=п

2

к,т

представим 1(/(гу))2 в виде

оо

1(/= УА, Н(/)|

2

к= п

к — + 1

¿пА к+ч Лкт к—то+ч

о

и/т

к — то + 1 \ к + 1 ак]

\ к + 1 у к — и + 1 (а^т)^™'

и применяя неравенство Гельдера для сумм

11

те /те \ / те \

Е Е МЛ • Е! =1 =1 =1

V ),- + - = 1

р д

положив - = —— = —, получаем

Е2п_и_ 1(/(гУ))2 <

< 8ир{А„, (к): к > п}.± "^(¡к^кЦкЩ "'т

= Ат(п) • (е1— 1(/)2)1—гУ/т • (Е1—т—1и(т))2)и/т =

(\ и/т 2

п — то + М + 1 ап,и („2 (п А1—1"/т [р2 ( ,(т)) Г/т

П + 1 ^ тп 1(/)^ т—1(/( ,

откуда и следует неравенство (15).

Теперь докажем, что неравенство (15) для функции /о^) = хп € в2^\п, то, и € М, п > то > V, 1 < V < то — 1, то > 2 обращается в равенство. Для функции /о имеем

^п_1( /о )2 =

у/™ + 1

/ \ (О2 1 \ (О2

т/2 I Аи)\ _ "п,и j-,2 I f(m)\ _ "n,m

Е,п-и-г{f0 )2 = п-v- 1, E,n-m-i{f0 )2 = п-т + 1

Пользуясь этими равенствами, непосредственным вычислением получаем

и/ m

«Г / „ \ 1-и/т .

Е

(\ и/т 2

П-т + М «п,и (Е2 (f) \1-и/т (Е2 ( Ат)) V

П + 1 J ^ (а1т)и/т ЛЕп-1(М2) ■{Яп-т-Лf0 h) (п-т + 1 \и/т о? ( 1 \1-и/т ( о2 \и/п

п - т + 1 п, и 1 п, т

-1 ■ V п + 1 у ■ (оп,т)и/т ■ \п + 1) \п-т + 1 у

а2„„

= Еп-и-1( fo )2.

п - г/ + 1 п-и~

Точность неравенства (15) установлена, чем и завершаем доказательство теоремы 2. Теорема 3. Пусть п,т £ М, 1 < и < т - 1,т > 2. Тогда справедливо равенство

8и Еп-и-1(/(и))2 = ((п-т + 1 У/т п + 1 1 ' ап,и (16)

/ Е1п-_\/ти)2 п + 1 У 'п -г/ + 1 } ' (ап," ^.

Доказательство. Рассмотрим произвольную функцию / £ Ш(т\ т > 2, которая не является элементом подпространства Рт. Для такой функции имеем

Еп-т-1(/(т))2 <||/(т)\\2 < 1. (17)

Учитывая (17) из неравенства (15) получаем

^} ь) .

Из последнего неравенства сразу вытекает оценка сверху величины, стоящей в левой части равенства (10):

8и Еп-и-1(! И)2 < 17п -т + 1 У'™ п + 1 1 / ап,и Ш)

/Еп-_\/т(1)2 < Н п + 1 У 'п -" + 1 } '(ап,тУ/т. 1 ]

(т

Оценку снизу указанной величины получаем для функции до(х) = -

т + ■ ¿п £ Ж>М,

ап,т

п,т £ М, п > т, ранее использованной нами при доказательстве теоремы 1. Воспользуясь равенствами (6) и (7), получаем

8и Еп-и-1(/(и))2 > Еп-у-1 (д0% = ^^Р -.-,1—и/т{г\ -¡-Х-у/т/ \

Е-' (Л2 Еп-1 (до)2

1-и/т

апи /п - т + 1/ I п + 1

' а

I п — т + 1 / I п + 1 \

V п — v + 1 I п,т V п — т + 1 у

\ / i-ii ' " ° \ i-i

оп,т V п — и + 1 \ V п — т + 1

и/т \ 1/2

п — т + 1 \ п + 1 | апи

(п — т + 1 \ п + 1 у

п + 1 / п — V + 1 [ («п,т)и/т'

(19)

Теперь требуемое равенство (16) получаем из сравнения оценок (18) с оценкой снизу (19). Теорема 3 доказана.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шабозов М. Ш., Тухлиев Д. К. О совместном приближении функций и их последовательных производных в пространстве Бергмана // ДАН Таджикистана. 2018. Т. 61. № 5. С. 419-426.

2. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Среднеквадратическое приближение функций комплексного переменного суммами Фурье по ортогональным системам // Труды ИММ УрО РАН. 2019. Т. 25. № 2. С. 258-272.

3. Бицадзе А. В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. —М.: Наука. 1969. 239 с.

4. Смирнов В. И., Лебедев Н. А. Конструктивная теория функций комплексного переменного. -М.-Л.: Наука. 1964. 440 с.

5. Вакарчук С. Б. Приближение функций в среднем на вещественной оси алгебраическими полиномами с весом Чебышева-Эрмита и поперечники функциональных классов // Ма-тем. заметки. 2014. Т. 95. № 5. С. 666-684.

REFERENCES

1. Shabozov, M.Sh., Tukhliev, D.K. 2018, "On the joint approximation of functions and their successive derivatives in the Bergman space", DAN Tajikistan, vol. 61, no. 5, pp. 419-426.

2. Shabozov, M.Sh., Saidusajnov, M.S. 2019, "Mean-square approximation of functions of a complex variable by Fourier sums in orthogonal systems", Trudy IMM UrO RAN, vol. 25, no. 2, pp. 258-272.

3. Bitsadze, A. V. 1969, "Fundamentals of the theory of analytical functions of a complex variable", —Moscow.: Nauka, 239 p (in Russian).

4. Smirnov, V. I., Lebedev, N. A. 1964, "Constructive theory of functions of a complex variable", —M.—L.: Nauka, 440 p (in Russian).

5. Vakarchuk, S.B. 2014, "Mean Approximation of Functions on the Real Axis by Algebraic Polinomials with Chebvshev-Hermite Weight and Widths of Function Classes", Math. Notes, vol. 95, no. 5, pp. 666-684.

Получено: 27.07.2023 Принято в печать: 21.12.2023