CC BY
8
ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _2018, том 61, №5_
МАТЕМАТИКА
УДК 517.5
Академик АН Республики Таджикистан М.Ш.Шабозов, Д.К.Тухлиев*
О СОВМЕСТНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ ФУНКЦИЙ И ИХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ В ПРОСТРАНСТВЕ БЕРГМАНА
Таджикский национальный университет, Худжандский государственный университет им. академика Б.Гафурова
В работе найдены точные значения верхних граней наилучшего совместного полиномиального приближения функций и их последовательных производных в пространстве Бергмана.
Ключевые слова: неравенство типа Колмогорова, наилучшее приближение, пространство Бергмана.
Обозначим через Л :={геС:|г|<1} - единичный круг в комплексной плоскости С, А.(И) - множество функций / аналитических в круге II. Будем говорить, что / е Л.(II) принадлежит пространству Бергмана Бд := Бд (Ц) , если [1]
f IL • 11 f I \в_
( , V"
-Jjl/WI»^
и
< Ю, (1)
где ёа - элемент площади, а интеграл понимается в смысле Лебега. Очевидно, что норму (1) можно написать и так:
1/11 =
( 1 12я- У'«
— \\р\ f(peu)\q dpdt
V оо J
< Ю.
Ясно, что если /еЛ({/), то она имеет производные любых порядков /(~т> (г),т . которые определяются равенством
fm\z) = Yk(k-\)(k-2)...(k-rn + \)ck(f)zk-m. (2)
k=r
Введя обозначение сскт:=к(к-\)(к — 2)---(к — т + \\к>т, равенство (2) запишем кратко в следующем виде
f(m)( z) = YaKmck (f) zk m
k=m
Адрес для корреспонденции: Шабозов Мирганд Шабозович. 734063, Республика Таджикистан, г.Душанбе, ул.Айни, 299/1, Институт математики АН РТ. E-mail: shabozov@mail.ru; Тухлиев Дилшод Камаридинович. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, ул.Мавлонбекова, 1, Худжандский государственный университет. E-mail: dtukhliev@mail.ru
Ю
Пусть Т)п - множество комплексных алгебраических полиномов степени не более п :
п к=0
Равенством
ЕпМХ -=Е^{Лвч ='^\\\/-р„ , || (3)
определим величину наилучшего приближения функции элементами множества "Рп , в
метрике пространства В . Задача совместного наилучшего полиномиального приближения функции
/ и ее последовательных производных _/(Я У)(1 <У< я) до порядка Я формулируется в следующей постановке. Для натуральных чисел п, Я, V, удовлетворяющих ограничению п > т >у> 1, требуется найти
(У^), = {II /(т-г)-Р(„Г} 112: Рп-г е (4)
Здесь решение задачи (4) находим как следствие более общей задачи отыскания точной константы в неравенстве типа Колмогорова в пространстве Бергмана В2.
Пусть Н{"'] - множество функций /ёЙ2, для которых выполняются условия || /<"') || < 1. В
работе [2] в качестве следствия из более общего неравенства типа Колмогорова найден следующий результат, доказанный в работе [3].
Теорема А [3]. Пусть п, я,у - произвольные натуральные числа и п > т >у> 1. Тогда для
произвольной функции / £ В(Я и любого натурального числа п > Я справедливо неравенство
¥ ^ ^п,т—у (п - т + 1)(т^)/(2т)(и + 1)-/(2т)
п-т+у-1и )2 " (аЯшЯ)^/я (п — т + У +1)1/2 Х
х( км) )2/я ( КяМ ( я)) Г я , (5)
7~>( я)
которое является точным на множестве В .
Далее через обозначим класс функций / е В<"'). для которых | /'<"1> ||2<1. Наилучшее
приближение класса Ж2</т,) подпространством 'Р, , - комплексных алгебраических полиномов степени < п — 1 в метрике В2 обозначим через
Еп-1 (^2(Я))2 :=впр{Еп—1(/)2: / ^Я)}.
Докажем следующее утверждение
Теорема 1 .Для любых п т справедливо равенство
п - т +1 1
Еп-1 №т) )2 и ^
4 72 V п +1 а
п,т
п - т +1 1
= 4---• (6)
V п +1 п(п-1)---(п - т +1)
Доказательство. В работе [4] доказано, что для произвольной функции / е Б^т) и любых иеМ и имеет место точное неравенство
Е/ .-!- Е„-т-1 (/т) I, (7)
V п +1 а„„ 4 п
1 п,т
которое обращается в равенство для функции / (г) = 2п е Б2 . Если теперь предположить, что функция / е Б^т) также принадлежит Шт), то из очевидного неравенства
Еп-т-1 (/(т) )2<||/(12 < 1 (8)
и неравенства (7) вытекает, что
^ , .. п-т +1 1
Еп-\ (/)2 <л-----, (9)
V п +1 ат
и так как (9) имеет место для любого / е т), то запишем
Е.1 №•> ■—. (10)
4 72 V п +1 а„т
' п,т
и таким образом оценка сверху наилучшего приближения класса получена. Для получения
оценки снизу наилучшего приближения этого класса функций введем в рассмотрение функцию
/к 2)=_^ ,
а
п,т
очевидно принадлежащую классу т) . Как легко проверить, для этой функции
/(т)(2) = — V2(п-т + 1) ■ ап т2 п - и, а
п,т
\\/^(2)\\2=Р(п-м+\).\\2"-т\\2=
= у12(п-т +1) ■ . 1 = = 1, (11)
у2(п -т +1)
EnMi\= — -V 2(n - m +1)-II z" \\2=k-m^1 --L, (12)
a V n + \ a
а потому, учитывая (12), получаем
Еп—1 ИЯ) \ > Еп—1 (/1)2= ■ —. (13)
V п +1
' п ,Я
Требуемое равенство (6) получаем из сопоставления оценки сверху (9) и оценки снизу (13). Теорема 1 доказана. Сформулируем основной результат данной заметки.
Теорема 2. Пусть п,т,у &1Я,п>т>у > 1. Тогда для величин (4) имеет место равенство
sup {En-m+v-i (f(m-v) )2: f e W(m)
an,m-v n - m + 1
У n - m + y +1
n ,m '
1 I n - m +1
(n-m + y)---(n-m) уn-m + y +1 Доказательство. Из неравенства (5), учитывая (9), запишем
апт-y (n - m + 1)(m-y)/(2m)(n + 1)y/(2m)
(14)
E ( f(m-y)) < "m-yV_£_1_7 - E ( f) )
™-1(/ )2 - (^ )1-y/m (n - m + y +1)1/2 - -1(f )2)
Переходя в обеих частях полученного неравенства к верхней грани по всем функциям f e W^m) и пользуясь оценкой (10), получим
sup {En-m+y-1 ( f(m-y) )2 : f eW2(m) }<
^ n,m-y (n - m + 1)(m-y)/(2m)(n + 1)y/(2m), y/m
(«n,m )1-y/m (n - m + y +1)1/2
■( E"-1 (wm ))y
<
anm-v("-m + 1)(m-y)/(2m)(n + 1)y/(2m) A ' 4V/m
Km )1-y/m (" - m + y +1)1/2
In - m +1 1
J " +1 a»m у
an,m-y n - m + 1
V" - m + y +1
1 / n - m +1
(n-m + y)---(n-m) vn-m + y +1 Для получения оценки снизу рассмотрим ту же функцию
f1( z) = -L V 2(n - m +1) z",
a
", m
использованную нами при доказательство теоремы 1. Для этой функции имеем
Xт-уХ2) = 42(и-т +1)
ап ,m-v n-m+v
--z ,
а
п ,m
77 ( f(m-v')\ _ ап,т-v I П m +1 Пг\
En-m+v-1 I f L 'A , ,Г ( )
v / 2 yy V fl — w -L1/-L
а„т \n - m + v +1
n ,m '
Учитывая равенство (16), получаем оценку снизу
sup {En-m+V-1 (f {m-v) I: f cW2(m) }>
> F ( f(~m-v)\ — ап,m-v I П m +1
— E n-m+v-1 (f1 /
2 аи„ \n-m + v +1
n,m 4
1 / n-m+1
(n-m + v)---(n-m) У n-m + v +1
(17)
Требуемое равенство (14) вытекает из неравенств (15) и (17), чем и завершаем доказательство теоремы 2.
Напомним ряд определений и обозначений, которыми будем пользоваться в этом пункте. Пусть S - единичный шар в пространстве B2; Ли с B2-n- мерное подпрастранство; Лn с B2 -
подпространство коразмерности n ; L : B2 ^ Лn - линейный непрерывный оператор; L1 : B2 ^Лп - непрерывный оператор линейного проектирования; Q - выпуклое центрально-симметричное подмножество из B2. Величины
bn (Q, B2) = sup {sup {s > 0;sS пЛп+1 с Q}: Лп+, с B2}, dXQ,B2) = inf{sup{inf{\f-g\\2.gGhn}-.fGQyhn^B2},
dn(Q,B2) = inf{inf{sup{[\f-^f\\2.fGQ}^B2^An}-.An^L2},
d"(Q,B2) = inf{mp{\\f\\2.fGQr^A"}:A"^B2},
называют соответственно бернштейновским, колмогоровским, линейным, гельфандовским, проекционным п - поперечниками множества Q в пространстве B2.
Перечисленные n - поперечники монотонны по n и между ними в гильбертовом пространстве B2 выполняются соотношения [5],[6]:
Ъп (0, В2) < йп (0, В2) < йп (0, В2) = 8Я (0, В2) = П„ (0, В2). (18)
В качестве О рассмотрим класс Ж2'/т,) функций /" е В<"'>, для которых 11 < 1 .
Пользуясь результатом теоремы 1, легко доказать следующее утверждение Теорема 3 .Для любых п<=1Я,т<=Х+,п>т справедливы равенства
к №(Я),Ь2) = Еп—Х (ж2(Я))
п—я +1
(19)
п(п — 1)---(п—Я +1) V п +1 '
где кп (•) - любой из п - поперечников Ъп (•), ёп (•), ёп (•), Зп (•), Пп (•).
Доказательство. Оценку сверху всех рассматриваемых п - поперечников класса Ж(я) получаем из неравенства (10), в силу которой имеем:
к(Ж2>),В2) = Еп—1 (Ж2>)) <\П—Я11 (20)
V п +1 а„т
' п ,Я
Для получения оценки снизу всех вышеперечисленных п -поперечников, равных правой части неравенства (20), в (п +1) -мерном подпространстве комплексных алгебраических полиномов степени < п
к=0
введем в рассмотрение шар
о / ч п м м ¡п-т +1 1
:= 1 Рп(2) е Рп :11 Рп Иг- л/-----
[ V п +1
п > да, и е М, да е , и покажем, что шар с: .
В самом деле, для произвольного полинома рп £ £и+1 в силу определения класса Ж?
имеем:
Ц^ЧЫУа.2 | а. |2----=Уа2 ■ ^ + 1 -1зЛ<
II -Ги 112 / jk.ni I к I 7 -! / jk.ni 7 171
к-т + \ к—т + 1 к +1
и +1 -А I а, I2 , и +1
я)
2
• • -II^ ||2<1,
1 / ; 7 -I -I II 1г п 112 ?
и-т + 1 + 1 и-т + 1
откуда и следует включение £и+1 ^ ЖгЯ). Но тогда согласно определению бернштейновского п поперечника и соотношения (18) между п - поперечников запишем оценку снизу
A" (Wm), B) > bn (W2(m), L) > bn (S"+1, L) >
п — Я +1 1 1 п — Я + 1
>*---=--X-. (21)
V п +1 апт п(п — 1)---(п — я +1) V п +1
Требуемое равенство (19) получаем из сопоставления оценки сверху (20) и оценки снизу (21). Теорема 3 доказана.
Поступило 04.12.2017 г.
ЛИТЕРАТУРА
1. Шабозов М.Ш., Шабозов О.Ш. О наилучшем приближении некоторых классов аналитических функций в весовых пространствах Бергмана. - ДАН России, 2007, т.412, 4, с.466-469.
2. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Точные неравенства типа Колмогорова для функций, принадлежащих весовому пространству Бергмана. Труды Международной летней математической Школы-Конференции С.Б.Стечкина по теории функций. Таджикистан, Душанбе, 15-25 августа, 2016, с.279-289.
3. Вакарчук С.Б., Вакарчук М.Б. О неравенствах типа Колмогорова для аналитических в круге функций. - Вюшк Дшпропетровского ушверситету, серия: Математика, 2012, т.17, 6/1, с.82-88.
4. Шабозов М.Ш., Саидусайнов М.С. Верхние грани приближения некоторых классов функций комплексной переменной рядами Фурье в пространстве L2 и значения n -поперечников. -
Матем.заметки, 2018, т.103, 4, с.617-631.
5. Тихомиров В.М. Некоторые вопросы теории приближений. - М.: Изд-во Моск. ун-та,1976.
6. Pinkus A. «-Widths in Approximation Theory, Springer - Verlag, Berlin, 1985.
М.Ш.Шабозов, Д.К.Тухлиев*
НАЗДИККУНИИ ЯКЧОЯИ БЕ^ТАРИНИ ФУНКСИЯ^О ВА ^ОСИЛА^ОИ ПАЙДАРПАЙИ ОЩО ДАР ФАЗОИ БЕРГМАН
Донишго^и миллии Тоцикистон, *Донишго%и давлатии Хуцанд ба номи академик Б.Рафуров
Дар макола кимати аники сархади болоии наздиккунии якчояи бехтарини бисёрузвахо дар фазои Бергман ёфта шудаанд.
Калима^ои калидй: нобаробарии намуди Колмогоровы, наздиккунии беутарин, фазои Бергман.
M.Sh.Shabozov, D.K.Tukhliev* ON JOINT APPROXIMATION OF FUNCTIONS AND THEIRS SUCCESSIVE DERIVATIVES IN THE BERGMAN SPACE
Tajik National University, B.Gafurov KhujandState University
In this paper the sharp values of upper bound of joint approximation of polynomials in Bergman space was found.
Key words: Kolmogorov's type inequality, best approximation, Bergman space.
