О неравенствах типа Колмогорова для периодических функций двух переменных в 𝐿2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 20. Выпуск 2.

УДК 517.5 Б01 10.22405/2226-8383-2019-20-2-348-365

О неравенствах типа Колмогорова для периодических функций

двух переменных в Ь2

М. Ш. Шабозов, М. О. Акобиршоев

Шабозов Мирганд Шабозович — доктор физико-математических наук, профессор, кафедра функционального анализа и дифференциальных уравнений, Таджикский национальный университет (г. Душанбе). e-mail: shabozov@mail.ru

Акобиршоев Мухиддин Отамшоевич — кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра информационных систем и технологий, Технологический университет Таджикистана (г. Душанбе). e-mail: —

Аннотация

Пусть ■= ¿2(Я), Я ■= {0 < х,у < 2-к} - гильбертово пространство суммируемых с квадратом функций /(х, у) в области Я с конечной нормой

- (

1 гг ...

1/2

L2(Q) . I/(x,y)\dxdy^ < ж,

(Q) J

а (Я) - класс функций / € у которых производные /(й'г) € С(<5), а /(г'г), f (0 < к < г — 10 < I < в — 1, г, в > 2, г, в € М), ](г'я) - кусочно-непрерывны и f (г'я) € В работе доказано, что для произвольной / € имеет место точное неравенство типа

Колмогорова следующего вида

и f(r-k's-i)h2(Q) < \\f\\%%) ■ у f(r'a)w^" ■ ii/(0-')Ht((1-;) ■ II lentil г*)

Найдено также точное неравенство типа Колмогорова для наилучших приближений

-0 ^2

Em-1,n-1(f(r k's г))2 промежуточных производных f(r k's г) функций f G L^'^ триго-

нометрическими углами , имеющее вид

Em— 1'П— 1

< (Em-1'„-1 (})2)ы/га ■ (Vm-1'„-1 (/(r'0))LJ

(1-$) i

i(1-i) \(1-£)(1-i)

■ K-1'„-1 (f(0's))2) " ■ (Em-1'„-1

и дано приложение к задаче об одновременном приближении функции и ее промежуточных производных в ¿2- Вычислены точные значения линейных и колмогоровских квазипоперечников некоторых классов функций.

Ключевые слова: неравенства типа Колмогорова, тригонометрические "углы", квазиполином, наилучшее приближение, квазипоперечники.

Библиография: 25 названий.

2

Для цитирования:

М. Ш. Шабозов, М. О. Акобнршоев. О неравенствах типа Колмогорова для периодических функций двух переменных в L2 // Чебышевский сборник, 2019, т. 20, вып. 2, с. 348-365.

CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 20. N0. 2.

UDC 517.5 DOI 10.22405/2226-8383-2019-20-2-348-365

About Kolmogorov type of inequalities for periodic functions of

two variables in L2

M. Sh. Shabozov, M. O. Akobirshoev

Shabozov Mirgand Shabozovich — doctor of physical and mathematical Sciences, Professor, Department of functional analysis and differential equations, Tajik national University (Dushanbe). e-mail: shabozov@mail.ru

Akobirshoev Mukhiddin Otasevic — candidate of physical and mathematical Sciences, associate Professor, Department of information systems and technologies, Technological University of Tajikistan (Dushanbe). e-mail: —

Abstract

Let L2 := L2(Q), Q := {0 < x,y < 2-n} be the Hilbert space of summable with square of functions/(x,y) in Q domain with norm

II/II2 := 11/||l2(Q) := {¿2 JJ^ If (x,y)l2dxdy j <

(r,s)

and 4 (Q)

is class of functions / € whose derivatives /( k'1 -1 € C(Q), a, f(r'1 ), /( k's) (0 < k < r - 1,0 < I < s - 1, r, s > 2,r,s € N), /(r's) are sectionally continuous and /(r's) € L2. In this paper was proved that for arbitrary function / € L^'^ is hold the following sharp Kolmogorov type inequality

I I /(r- k's-1) 11 MQ) < I I / 11 ££) • 11 / (r'0) I I * • 11 / (0's) 11 id-) • 11 / (r's) I I £-Q )(1-*).

Also, the Kolmogorov type inequality was found for the best approximation Em-1,n-1(f(r-k,s-1 ))2 of intermediate derivatives /(r-k,s-i) of functions / € ¿2r's) by trigonometric "angles" with form

5m - 1,n- l(r )2

(1-i ) *

Em_i,n_i(/(r-k's-1 })2 <

/ \ (1-~) < (Em-1,n-1 (/)2)kllrs • (Em-1,n-1 (/(r'0))J " *

• (Em-1,„-1 (/(0")^)*(1-*) • (Em-1,„-1 (/(r,>)2)(1-*)(1-*) ,

This obtained inequality was applied for the problems of joint approximation and their application in L2. The sharp values of linear and Kolmogorov widths for some classes of functions were calculated.

Keywords: Kolmogorov's type of inequalities, generalized polynomial, quasipolynomial, the best approximation, quasiwidth.

Bibliography: 25 titles. For citation:

M. Sh. Shabozov, M. O. Akobirshoev, 2019, "About Kolmogorov type of inequalities for periodic functions of two variables in L2" , Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no. 2, pp. 348-365.

1. Введение

Неравенства, в которых нормы промежуточных производных оцениваются через нормы самих функций и нормы производных более высокого порядка, называются неравенствами типа Колмогорова. Особенно важны неулучшаемые неравенства такого типа. Для функций одной переменной один из наиболее ярких результатов был получен А. Н. Колмогоровым [1, 2]. Именно в связи с этим неравенства для промежуточных производных часто называются неравенствами типа Колмогорова. В монографии [3] приведены и систематизированы результаты исследований по неравенствам для норм промежуточных производных функций как классических, так и полученных в последнее время. К настоящему времени известно значительное количество точных неравенств типа Колмогорова для функции одной переменной, обстоятельный обзор которых можно найти в [3, 4, 5]. Для производных же целого порядка функций двух и более переменных точных неравенств типа Колмогорова известно намного меньше (см., например, [6, 7, 8, 9, 10, 111). Во многих вопросах анализа, наряду с производными целого порядка, рассматриваются и производные дробного порядка [12]. В последнее время получены некоторые точные неравенства типа Колмогорова для производных дробного порядка [13, 14, 15, 16, 17]. Хорошо известно, что задача о получении точных неравенств типа Колмогорова тесно связана с задачей Стечкина о приближении неограниченного оператора ограниченными (см., например, [3, 4, §7.1]).

В данной статье мы докажем новые точные неравенства для периодических функций двух переменных, оценивающие .¿2-норму промежуточных частных производных через ¿2-норму самой функций и ¿2-норму старшей частной производной, а также обобщим этот результат на наилучшие приближения функции и её последовательности производных тригонометрическими "углами" [17] или обобщенными полиномами (квазиполиномами) [18].

Статья структурирована следующим образом. В пункте 1 мы приводим необходимые определения, постановки задач и упоминаем известные результаты, непосредственно примыкающие к теме данной статьи, доказываем неравенства типа Колмогорова для дифференцируемых периодических функций двух переменных. В пункте 2 изучаем вопрос наилучшего приближения функций тригонометрическими "углами" и докажем ряд точных неравенств для наилучшего приближения частных и смешанных промежуточных производных. В пункте 3 доказываем неравенство типа Колмогорова для наилучшего приближения промежуточных частных производных через наилучшего приближения самой функции, старших частных и смешанных производных и дадим её приложения к одной экстремальной задаче аппроксимации. Наконец, в пункте 4 вычисляем точные значения квазипоперечников некоторых классов функций.

В этом пункте излагается неравенства типа Колмогорова для периодических дифференцируемых функций двух переменных в ¿2 := Ь2(0), Q := {0 <х,у < 2тт} с конечной нормой

Отметим, что неравенство типа Колмогорова для функций двух переменных в различных нормах найдены В. Н. Коноваловым [6], О. А. Тимошиным [8], В. Ф. Бабенко [10], а для промежуточных производных в многомерном случае — А. П. Буслаевым, В. М. Тихомировым [7] и В. Г. Тимофеевым [9]. Затем эта тематика была развита в ряде работ С. Б. Вакарчука

2. Определения, вспомогательные факты. Неравенство Колмогорова

с учениками [11,19] как в действительной, так и в комплексных областях, а также многими другими авторами (см., например, цитированную литературу в [20]).

Через С (г'з)(Я), г,,в € N обозначим множество функций /(х,у), имеющих в квадрате непрерывные частные производные ¡(^'и\х, у) := ¡/дх^ду^ < г, V < 8, а через ^'^(О), г, в € N — множество функций /(х, у) € С(г-1'5-1)(<5), г, в € М, у которых частные производные (х,у), г € N V = 0, в — 1, /(р'в)(х, у),^ = 0, г — 1,5 € N существуют, кусочно-непрерывны, допускают перемену порядка дифференцирования и /(т'^(х, у) € Ь"(0).

Пусть / € Ь2(0) имеет формальное разложение в двойной ряд Фурье

+те +те

Срд ( /)е

р=-те д=-те

/(*, у)= Е Е ( /)ег{рх+чу),

где

( Л ■= ii Кх,у)^-г[РХ+ЯУ)ЛхЛУ-

(Я)

Для функции / € Щ ((-5), её частных производных ¡(г'0)(х, у) ( г € М), ¡(0'з)(х,у) (в € М), а также смешанных производных /(т-к'3-1\х, у) (к,1 € 0 < к < г, 0 < I < в), исходя из равенства (1), в силу тождества Парсеваля запишем:

те те

"2

11/111«) (А (2)

Р=1 9=1

те те

II ^Г'0)\\ыя) = ЕЕ Р2г 4« ( л, (3)

Р=1 9=1

тете

2

где

I/^ III(Я) = ЕЕ «ч(/), (4)

Р=19=1

тете

I ¡(г-к'3-1)и1(Я) = ЕЕ Р2(г-к)^-1)( л, (5)

Р=1 9=1

тете

I ¡(г'3)Иыя) = ЕЕ л 23Р2Р, (Л, (6)

р=19=1

р2рд (/) = | с-р,-д (/)|2 + | с-м (/)|2 + | ср- (/)|2 + | ср,д (/)|2. (7)

В этих обозначениях имеет место следующая

Теорема 1. Для произвольной функции / € (О) (г, в = 2, 3...) при всех к = 1, г — 1 и I = 1, в — 1 имеют, место неравенства

II/(г-к'°-1)11ыс,) < 11/ I I£5) ■ II/М)|й-|' ■ II/(М1&/) ■ II¡(г'з)Иь-М(1-']. (8)

Знак равенства в (8) реализуется, например, функцией

1о(х, у) = 7 совт(х + а) ■ совп(у + Р) € ь2['^(Я), а,Р,7 € М, т,п € N.

Доказательство. Используя формулу (5), запишем

|| j-(r-к, s—l )||2

L2(Q)

££ v2{r—kV( 3-1) & ( /) =

р=1д=1

= ЕЕ{ ^ ( /)}ЫА '■{р 2кр2Р, (/)}(1-*) • ■

Р=1q=1

■{«,( /)}*(1-*) ■ {Л2^(/)}(1-")(1-'). (9)

Воспользуемся далее обобщенным неравенством Гельдера для сумм двойных рядов, простое доказательство которого приведено в [20]:

те те

у3 (р 8е <

Р=1 9=1

<

ЕЕ'

bpq

ЕЕ^ I (ЕЕ^ I (ЕЕ^

upq

(10)

1Р=1д=1 I \р=11=1 I \Р=11=1 I \Р=11=1

где аРд, ЬРЯ, (1т, 5щ - произвольные неотрицательные числа, а + [ + 7 + с = 1 (а, [,7, с > 0). Учитывая неравенство (10), из соотношения (9) в силу равенств (2)-(4) и (6) получаем

II/(

г—к, s—l)

kl/rs

Иы q) < !ЕЕ^ (/)

[p=1q=1

{те те

Е Е p2rph (/)

p=1q=1

(1— ^) 1-\ Г ' S

т (1—i) (

r s I тете

I ££ ^^( /)

I тете ^ - (1— - ) ( - - ^ (1 — ^)(1— ^)

■ lEE V™ (/)

[р=1<7=1 ) ^р=1<7=1

_ || f||2 kl/г 8 || f(r,0)||2(1— hr) { 11 f(0, s)||2 hr (1— f ) \\f (r, S)||2(1 — kr)(1— { )

_ ||/|L2(Q) ■ И-> IL2(Q) ■ И/ ^(Q) ■ И/ ^(Q) ' откуда и следует требуемое неравенство (8). Покажем его неулучшаемость для функции f0(x, у) _ 7 cosm(x + а) ■ cosn(y + 0) G l2[,s\q)- Так как

/0r,0)(x, у) _ 7mr cos m(x + а) + у ■ cosn(y + 0), /О0,s) (x, у) _ 7ns cos m(x + а) ■ cos n(y + 0) + —

/0s) (x, y) _ 7mrns cos m(x + а) + у то, вычислив норму этих функций, имеем:

t(r ,0)

cos

2 J '

n(y + 0) + у

L2(Q) = 7, ||/0r,0)|L2(Q) = 7m, ||/00,S)|L2(Q) = 7nS,

<-—k,s—Ли _ r—k s—l и Ar,s)n _ r s

, )|L2(Q) = 7m n , ||/0 |L2(Q) = 7m n .

Учитывая эти равенства, получаем

и Аг—к, s—l К _ r—k s—l

|| /0 , )|L2( Q) = 7m n _ _ (7)kl/rs ■ (7mr) r(1—') (7ns)'(1— *) ■ (7mrns)(1— -)(1—«) _

■ II 7(1-1) II ^(0>«^|(1- Г)^ 11

\ь2(Я) ■ II•)о "ь2(Я) ■ II•)о "ь2(Я) ■ II•)о Нь2(<Э) , откуда и следует точность неравенства (8), что и завершает доказательство теоремы 1.

,(Г ,s),,(1 — $ )(1 — I)

0

а

1

0

3. Приближение "углом" в L2 и некоторые приложения

В этом пункте рассматривается экстремальная задача нахождения точных значений величины наилучшего приближения периодических функций двух переменных тригонометрическими "углами" [18] или обобщенными полиномами (квазиполиномами) [19] в гильбертовом пространстве L2(Q).

Напомним необходимые понятия и определения, нужные нам в дальнейшем (см., например [21, 22, 23, 24]). Пусть (X, \\ ■ \\х) и ( Y, \\ ■ \\у) — линейные нормированные пространства функций одной переменной, а

Um := span {uo(x),ui(x),. ..ит(х)} , Vn := span {vo(y), vi(y),... vn(y)}

их конечномерные подпространства, то есть Um С X, Vn С Y. Выражение вида

m n

9m,n{x,y) = Y^up(x)^p (У) + Е V(t (у)фд(x),

p=0 д=0

где {фд(x)}'n=0 и {фр(у)}т=о — наборы произвольных функций, соответственно из пространств X Y

Um и Vn. Указанные обобщенные полиномы образуют подпространство пространств Z, которое обозначим

G(Um, Vn) : Um ® Y + Vn ® X,

где операции " ® ^^ " + " обозначают соответственно операции декартова произведения и прямой суммы множеств. Обозначим

Em,n( f)z; = E( /; G(Um, Vn))z = inf {\\f - gm,n\\z : gm,n G G(Um, Vn)} (11)

и если M - некоторый класс функций принадлежащий пространству Z, то положим

E(M; G(Um, Vn))z := sup {E(/; G(Um, Vn))z : f G M} . (12)

Величина (11) характеризует наилучшее приближение элемента f G M множеством G(Um, Vn), a (12) — отклонение множества M от G(Um, Vn) в нормированном пространстве (Z, \\ ■ \\z)• Для центрально-симметричного множества M С Z величину

dm,n(M; Z) = inf {E(M; G(Um, Vn))z : Um cX,Vn С Y} (13)

M

Пусть Л — линейный оператор, действующий на функцию f G M, причем образ Л^) := {Л(f) : f G M} принадлежит G(Um, Vn). Положим

e(M, Л)z = sup { \\ f - Л( f) \\ z :f G M} ,

e(M, G(Um, Vn)z = inf {e(M, Л)z : Л(M) С G(Um, Vn)} . Следуя [22, 23, 24], величину

d'm,n(M; Z) = inf {e(M; G(Um, Vn))z : Um С X,Vn С Y} (14)

M Z

приведенных определений следуют неравенства

е (M, G(Um, Vn))z > E (M; G(Um, Vn))z , ¿m,n(M; Z) > dm,n(M; Z).

Всюду далее полагаем X = Y = L2[0, 2ж] — пространства суммируемых с квадратам 2тг-периодических функций f на отрезке [0, 2тт], a Z = L2(Q).

Пусть теперь U*m+i CL [0, 2тг], V2*n+1 С L2 [0, 2^] — два конечномерных подпространства тригонометрических полиномов порядка 2m + 1 по переменной х и 2п + 1 — по переменной у, то есть

Urn+1 := span {егрх}™=-т , V2*n+i := span {ещх}™=-т . Очевидно, что каждый элемент дт,п(х, у) £ G(U*m+i, V2*,+i) представим в виде

дт,п(х, У)= Е MV)егрх + Е Ф*(х)еЩУ, P,Q £ N, (15)

|р|<т Ы<п

где последовательности {фр(у)}т=-т С L2[0, 2^], {фд(у)}П=-п С L2[0, 2^] — произвольные наборы функций, функции вида (15) называют квазиполиномами [19] или тригонометрическими "углами" [18]. Всюду далее

Z = L2(Q) := L2[0, 2ж] х L2[0, 2ж]

— линейное нормированное пространство 2-^-периодических по каждой из переменных х и у функций ¡'(х, у), суммируемых с квадратом в области Q, а G^l^^ ^*п+1) С L2(Q). Для произвольной функции f £ L2(Q) равенством

Ет,п( Ль2( Q); = E ( f;G(U2m+1,V2n+1))L2(Q) = = inf {\\f 9т,п\\ L2(Q) : 9т,п £ G(U2т+1, ^2п+1) } (16)

G(U2rn+1, V2ri+1).

Для f £ L2(Q) с формальным разложением в двойной ряд Фурье (1) квазиполиномом Фурье порядка (m,n), m,n £ N называют выражение

Е Е + Е Е - ЕЕ) ^ ( пег(рх+у).

|р|<тq=-<x р=-<х |д|<п |р|<т |д|<п/

Очевидно, что функцию Фт,п(f) можно также записать в виде

Фт,п( 1';х, у):= (ЕЕ + ЕЕ + ЕЕ ) ^ (f) ег{рх+4у)- (17)

\|р|<т |д|<п |р|>т+1 |д|<п |р|<т |<?|>п+1у

Ряд Фурье (1) функции f £ L2(Q) с учетом (17) запишем в виде

f(х, у) = Е Е срч( f)

Л(рх+q у)

р ( f )

ЕЕ^ Е^ Е^ Е )(f)е'

Лрх+q у)

р

|р|<т |д|<п |р|>т+1 |д|<п |р|<т |д|>п+1 |р|>т+1 |д|>п+1у

Фт,п( f^, у)+ £ £ Ср, (¿)ег(рх+у). (18)

|р|>т+1 |<?|>п+1

Откуда

/ (Х,у) — ФтМ;х, У) = Е Е ^ (/) ег(рх+ду). (19)

\р\>т+1 \д\>п+1

Применяя равенство Парсеваля, из (19) будем иметь

I I I — Фт,п(Л 11Ъм = Е Е I^( Л12. (20)

\р\>т+1 \д\>п+1

Предварительно докажем следующее утверждение.

Лемма 1. Среди всех обобщенных полиномов вида (15), принадлежащих множеству С(и*т_ 1,У2*п_ наилучшее приближение функции f € Ь2((^) доставляет ее квазиполином ( т — 1 , п — 1)

Ет-1'П-1(Ль2(Я) | 11' — §т-1,п-1 | | 12(д) ■ 9т—1,п—1 € О ^т—1, У2п—=

= I I / — Фт-1,п-1( л 11 Ъм = ЕЕ I( /)12. (21)

|р|>т |д|>п

Доказательство. Отметим, что лемма 1 приведена без доказательства в [20]. Здесь приведем строгое доказательство леммы 1 опираясь на схему рассуждений, приведенную в работах [11, 21]. Рассмотрим произвольный элемент дт—1п—1 € С(и2т_ 1,^2п— 1)' Поскольку последовательности {фр(у)}т=--(т-1) € Ь2[0, 2-], {фя(у)}п--(п-1) € Ь2[0, 2-], то в смысле сходимости в метрике пространства ^[0, 2-] имеют место следующие равенства

+те

Фр(у) = Е счФ)ечУ, Р = —(т — 1), т — 1, (22)

=-те +те

•'д(")= ср(Фч)е*РХ, С = —(п — 1),п —

фя(х) = ср(фд)егрх, д = — (п — 1),п — 1. (23)

р=-те

Подставляя вместо фр(у) и фя(х) в равенство (15) их разложения в ряды Фурье, стоящие в правых частях соотношений (22) и (23), в смысле сходимости в метрике получим

равенство

+те +те

9т-1,п-1(х, У)= е Е (^)ег(рх+ду) + Е Е срф)ег(рх+ду),

\р\<т-1Я=-те р=-те\д\<п-1

которое, ради удобства, запишем также в виде

9т-1,п-1(х, У)= I ЕЕ + Е Е) ег(рх+ду) +

\|р|<т—1 1д\<п—1 |р|<т—1 \д\>п /

+ ( Е Е + ЕЕ) с^(фя)ег(рх+яу). (24)

\|р|<т—1 1д\<п—1 |р|>т |<?|<п— 1 /

Пользуясь равенствами (18) и (24), запишем

¡(х, у) — дт—1,п—1 (х,у)= Е Е (^ (Л — Ср(Фя) — сд (Фр)) е^^Ц

|р|<т—1 |д|<п— 1

+ £ £(срч( f) - ег(рх+Чу) + £ £ (срч( f) - ср(Ф?)) ег(рх+1у) +

|р|<т-1 |g|>n |р|>т |д|<п-1

СрЯ ( f) ег(рх+«у)

+ £ £(

Выполнив простые выкладки с учетом ортогональности системы {ег(рхв квадрате ( := {0 <х,у < 2п}, получаем равенство

II/ - 9т-1,п-1\\ь2(д) =

2 ___ I

Е Е ^( f) - ср( фч) - сч(^р) + Е Ejср«( f) - сч(^р)

• |<т-1 |?|<п-1 |р|<т-1 |д|>п

2

+

+ ЕЕ | ^ ( /) - ъш | + Е Е| ^ (я | • (25)

Из соотношения (25) сразу вытекает, что величина (16) принимает минимальное значение, равное правой части (21), тогда и только тогда, когда

{сря( /) = ср(Фя) + (Фр), И < т - 1, Ы <п - 1,т,п е М, Срд( /) = Сд(ФР), |р|<т - 1, |<?| >п,т,п е М, (26)

Срц( /) = Ср(фд), |р| > т, М < п - 1, т, п е N.

Подставляя в правую часть (24) вместо коэффициентов ся(фр) и ср(фя) их значение через коэффициенты срд( /) из системы (26), мы получим общий вид квазиполинома Фурье порядка ( т - 1 , п - 1) доказана.

Замечание 1. В силу обозначения (7) равенство (21) запишем в более удобном для приложения виде

оо оо

Ет-1,п-1(f)L2(Q) = Е Е |срч( f)i2 = £ Е4?(f). (27)

|р|>т |д|>п р=т q=n

В частности, из (27) следует, что если f (х,у) = f1(х) ■ f2(у), то

Ет-1,п-1(f)L2 (Q) := E2 ( f;G(U2m-1,V2n-l)) L2(Q) =

= E2 ( f1; U2rn-1)L2[0,2TT] ' E2 (f2; V2*ra-0L2[0,2TT] = ^т-1 (Л^р^тт] ' С— (f2)L2[0,2Tr] , (28)

где

E (9;G2u-1)L2[0,2TT] := inf{\\# - TV-1(Q)\\L2[0,2TT] : ^-1 £ G2^-1}

( х)

тригонометрическими полиномами G2V-1 := span{еч'х}J=-(гУ-1) порядка 2v — 1 в пространстве L2[0, 2ж].

Лемма 2. Для произвольной функции f £ l2[,s\q) имеет место неравенство

E if; G(U2*rn-1, V*n-1))L2(Q) < m-n-sE (fGp^, V*^))^(Q), (29)

которое является точным в том смысле, что для, функции

f^, у) = cos тх cos ny £ L(r,s)(Q)

обращается в равенство.

Доказательство. В самом деле, из принадлежности функции / € ь2[((^) следует, что / € Ь2(0). Простыми вычислениями легко доказать, что для произвольной функции

-(.г

f G L{2,S)(Q) справедливо равенство

E2(f(r,s))i2(Q) = Е y,P2r(l2SP2Pg(f). (3°)

p=m g=n

Из равенства (27), учитывая (30), запишем

тете тете....

€-l,n-l( f) L2(Q) := Е Е^рд (f) = ЕЕ ^ ■ ^ ■ P2rfS ' Ррд (f) <

p=m g=n p=m g=n

1 1 тете

< ^ ■ ^ E EР2г^Р2Рд(f) = m-2n-2s€-i,n-i(f(r,s))l2(Qb

p=m g=n

откуда и вытекает неравенство (29). Для функции fo(x, у) = cosmxcosny имеем: ррд(fo) = 0, для р = m,q = n, ртп(fo) = 1,

6"m-l,n-l(fo)b2(Q) = 1, Em-l,n-l(fO^)L2(Q) = mrnS, (31)

а потому имеем:

6°m-l,n-l( fo) L2(Q) = != m-r n-S ■ mr nS = m-r n-S ■ Em-l,n-l (fo,s))L2(Q),

откуда и следует утверждение леммы 2.

Следствие 2. В условиях леммы 2 справедливо равенство

Sm-l,n-l(f)L2 (Q) 1 , .

sup -—— =-. (32)

fe^{Q) Em-l,n-l(f(r,S))L2(Q) mrnS K 1

В самом деле, из неравенства (29) следует, что

E2m-l,2n-l( f)L2(Q) . 1

sup -—— <-. (33)

feLir-)(Q) E°2m-l,2n-l(f(r,S))L2(Q) < mrnS 1 ;

Учитывая равенства (31), получим противоположное неравенство

E2m-l,2n-l(f) L2(Q) . E2m-l,2n-l( fo)L2(Q) - ,0.ч

sup -:—-,-Г-- > --,-г- = -. (о4)

l,2n-l( Jo

f eL^(Q) E2m- l,2n-1( f (r,S^L2(Q) E2m-l,2n-l( fo^L.Q) ^ П

Равенство (32) следует из сопоставления неравенств (33) и (34).

4. Основной результат и некоторые следствия

Пользуясь результатом теоремы 1, докажем следующее утверждение Теорема 2. Пусть т > г >к> 1, п> 8 >1> 1, т,п,г,в,к,1 € N. Тогда, для произвольной функции / € Ь^'з)(д) имеет место неравенство

Ет—1,п—1(f(Г—к'3—1))ь2(Я) <

( (1-к ) I

Е'т-1,п-1 ( /(Г )

/ / х \ к(1-^) / , л \(1-к)(1-1)

которое является точным, в вышеуказанном, смысле.

Доказательство. Будем следовать схеме рассуждений, приведенной при доказательстве теоремы 5 из работы [21]. Для произвольной функции

+те +те

/(х, У)= Е Е ( /)ег(рх+у),

р=-те д=-те

принадлежащей классу ь2['5)(((), в силу (19) запишем

ПтМ;х,у) = Дх, у) - Фт_1'„_1(/;х, у) = ^ ^ см(/)ег(рх+у). (36)

|р|>т, |д|>»г

Очевидно, что если / е ь2['в\((), то и Кт,п(/) е '^(О, причём легко проверить, что при любых т,п е М, к, I е Ъ+ имеют место равенства

Ф^—! ( /;х, у) = Фт_1'П_1 (/(м); х, у) , (37)

^-1 ( /;х,У) = Фт-1'П-1 (/(0'г);х,у) , (38)

Ф£^^)1'Г1_1 ( /;х, у) = Фт-1'П-1 (/);х, у) , (39)

а потому из соотношений (36)-(39) при любых значениях т,п,г е N имеем

лЩ(/;х,у) = ¡(г'0)(х,У) - ФЙ;'-°)1'Гг-1 (/;х,у) =

= Е Е (^)г^( Лег(рх+ду) = Еш-1,п-1 (/(г'0);х,у) • (40)

|р|>т, |д|>»г

Аналогичным образом получаем

ВуП'П (/;х, У) = ^т-п ^/( ' ) ;х,У^ , (41)

(/;х, у) = ^т-п ^/( ' );х,у) , (42)

ДЙ"^) (/; х, у) = ЙШ.П (/(г-м-г); х, у) • (43)

Используя замечание 1, из равенств (36), (41)-(43) имеем

те те

ЦКшА/)\\!2Ю) = ЕЕ | |2 = Е Е^м (/) = ЕД-1'„-1(/)Ь2 (,), (44)

|р|>т |д|>га Р=т ц=п

тете

тШЛЩ«) = Е ЕР2ГРт(/) = Е22-1'П-1(/(г'0))Ь2(Я), (45)

р=т д=п

тете

ЛИ^) = ЕЕ ^Рм (/) = Е22 -1'га-1 (/(0'5))Ь2 (,), (46)

р=т д=п

№<т'$(ЛН2Ыа) = Е ЕР2г'Р23 Рм(Л = €—1,п—Л¡(г'з))ЫЯ), (47)

р=т д=п тете

ит—пк'з—1)(. т2ыя) = Е Е ^2(г—к)р2(3—1) & (л = ^—щ—Л/(г—к'3—1))ь2т (48)

Применяя теорему 1 к функции Кт,п(Л € ь2['3\Я) и учитывая равенства (44)-(48), запишем

Ег<—1'п—1(/(г к'3 1 ~))ь2(Я) = |^т,п'3 ^^(Я) -< II Я ( Г)!к1/(г3) . II п(г'°) ( ЛН(1—7)* • II я(°'3)( ЛИ 7(1—*) • II я(г'3)( пР(1— 7)(1— -)

— \\Ят'-п(] П г (П) \\Ят'п (J ) Го (О) \\Ят'п (J ) Го (О) \\Ят'п )

Ь2(<3) П^т^и )\\Ь2(Я) 11 ьт,п V 7 11 ¿2 ((^) П^т^и >\\Ь2(0) к1/(гз) / ,.(,0) \ \(1— 7) *

/ \Ы/(Г3) / . , \(1— 7) а

= [Ет- 1,п- ^ ЛЬ2 (Я)) ■ [Ет- 1,п-Чью)) Г В

■ [Е'т- 1,п-1 (/(0 3))ь2(Я)) " ( 8 ) ' (Ет- 1,п-1 (/(Г' 3))Ь2(Я)){' ' ^ ' ] '

Этим неравенство (35) доказано. Неулучшаемость неравенства (35) для функции /о € ь2['3(О), рассмотренной в теореме 1, проверяется непосредственным вычислением. В самом деле, для ¡'о(х, у) = 7 совт(х + а)еоБп(у + Р) коэффициент рт,п = 7, и из (44)-(48) вытекает, что

Ет— 1,п- 1{Л )ЫЯ) = 7, Ет- 1,п-1(/(Г'0))Ь2(Я) = 7^,

Ет— 1,п-^^3 ^ ( д) ^ 7п3, Ет- 1,п-1 (/^^ = 7т* п3,

Ет- ^ ~к'3 ~1))ы = 7тТ—к п3~ К Используя эти равенства, получаем

Ет- 1,п-1 (/,?•—к'3~1))Ь2((,) = 7тг—к п3-1 = (7) 7+(1—7) *+7 (1—* )+(1—7 )(1—*) ■ ■ т)(1—7)*+а—7К1—*) ■ (п3)7а—*Ж1—7К1—*) = = (7)7 ■ (7тг)(1—7)* ■ (7п3)7(1—*) ■ (7тгп3)(1—7)(1—*) =

/ , , \ к1/(г3) / (^ ч(1 — 7) *

= уЕт— 1,п-Ц 10)Ь2(д)) ■ [Ет- 1,п- Ц/0 ' ) ^(д)) '

, (о,3)\ Л 7(1—^) I.(г,3)\ А(1—7)(1—*)

Ет~ 1,п~Н /о' )ь2(я)) ■ (,Ет- 1,п~н/о' )ь2(я)) ,

откуда и следует неулучшаемость неравенства (35). Теорема 2 доказана.

Обозначим через Ш(г'3) Ь2 ((^) класс функций / € ь2['3\(^), удовлетворяющих условию 111(Т'311ь2(я) — 1- Справедлива следующая

Лемма 3. При любых т,п,г,в € N имеют, место равенства

ыр {Ет- 1,п-М^а) : / € Ш(Г'3)Ь2(Я)} = , (49)

вир {Ет- 1,п- 1а(г'0))ЫЯ) : / € Ш(Г'3)Ь2(Я)} = т, (50)

вир {Ет- 1,п- 1а(0'3))ЫЯ) : / € Ш(Г'3)Ь2(Я)} = -1. (51)

Доказательство. Не умаляя общности, приводим доказательство равенства (49). Заметим, что для любой функции f £ W(r,s)L2(Q) выполняется неравенство

Em-1,n-l(f(Г,S))l2(Q) < \\f(r,S)\\L2(Q) < 1, (52)

а потому из утверждения леммы 2 для произвольной функции f £ W(r,ii)L2(Q) следует, что

Ет—1,п-1 (f )l2(q) < т^ ' Em—1,n—1 ^ ))l2(Q) < тк^. (53)

Теперь покажем, что неравенство (53) на множестве функций W(r,s)L2(Q) является точным. Функция

f1 (х, у) = —1— cos тх cos ny mr ns

очевидно принадлежит классу W(r,s)L2(Q). В самом деле, для этой функции

^г,з)(х, у) = cos (тх + f) cos (ny + у) ,

так как \\f1r,s^\\l2(q) = f £ W(r,s)L2(Q). С другой стороны, как следует из равенства

(27), *

Em- 1,n— ^ fl) L2(Q)

т' n а потому

sup {Em-1,n-l(f)L2(Q) : f £ W(r,S)L2(Q)} > Em—1,n—l(fl)L2(Q■) = ^. (54)

Требуемое равенство (49) вытекает из сопоставления неравенств (53) и (54). Аналогичным образом доказываются два других равенства (50) и (51), чем и завершаем доказательство леммы 3.

Утверждение леммы 3 в сочетании с результатом теоремы 2 позволяет решить следующую экстремальную задачу об одновременном приближении функций, её частных и смешанных производных квазиполиномами: требуется найти точное значение величины

sup {Em—1,n— l(f(r-ks-i))l2(q) : f £ W,s)L2

Теорема 3. Пусть т^,г, s, k,l £ N удовлетворяет ограничениям г > к > 1, s >1 > 1. Тогда справедливо равенство

sup {Em— l,n—l(f (r—k,s—l))L2 (Q) : f £ W (r,s)L2(Q)j = . (55)

f £ W (r,s)L2(Q) имеют место оценки (49)-(52), то, пользуясь указанными оценками, из неравенства (35) получаем

E—1 (f*-^)), «и < (4тГ"(Л)?(1—*'(^)4(1—?)= 4l. м

\ L2(Q) \тгns) \тг J VnV ткn

Для получения оценки снизу рассмотрим ту же функцию fl(х, у), рассмотренную нами в конце леммы 3, для которой

f(r-k,s-i)f ч 1 1 ( (т -k)i\f (n - l)i\

f1 )(х,У) = тк ■ n+ —2—J^^ + —2—) ,

/ (г-к'З-)} = 1

Ет-1'га-Ч Н )Ыя) = ткп •

Следовательно,

8ПР{Ет-1'П-1 (/(г-к'3-1))Ыо) : / е Ж(^2(()} >

> Ет-1'П-1 (/Г^-0) г = -\~1 • (57)

V 1 /¿2(,) тк п1

Требуемое равенство (55) вытекает из неравенств (56) и (57). Теорема 3 доказана.

5. Точные значения квазипоперечников

В этом пункте вычислим точные значения квазипоперечников (13) и (14) класса функции Имеет место

Теорема 4. Для любых чисел т,п,г,8 е N справедливы, равенства

^2т-1'2п-1 Ы(Г'3)Ь2(Я), Ь2(0) = 4т-1'2п-1 Ы^(О, £2^)) = ^Г^ • (58)

т п

Доказательство. Оценку сверху для линейного квазипоперечника получим из равенства (49):

4т-1'2п-1 (Ж(г'8)ь2((),ь2(()) < Ет-1'П-1 (V^(О)^(,) = • (59)

Для получения обратного неравенства используем метод оценки снизу квазипоперечников на базе одномерных колмогоровских поперечников [22, 23]. С этой целью для т,п,г,8 е N вводим в рассмотрение одномерных классов функции

Ж(Г)Ь2[0, 2тг] := {ф е 4Г)[0, 2тт] : Цф^^р^] < 1},

Ж«¿2[0, 2тт] := {ф е Ь23)[0, 2ж] : Цф^Ц^,] < 1}, на основе которых определим класс функций

Ж(г'з)Ь2(0 := Ш(Г)Ь2[0, 2тг] ® Ж^^ 2^ Из равенства (28) следует, что для введенного класса функций

(12ш-1'2п-1 (Ж (Г'3)Ь2 (0,Ь2(0) : =

:= <12ш-1 (V(г)ь2[0, 2тг],ь2[0, 2эт]) ■ ^„-1 (V^^ 2эт], ¿2[0, 2^]) , (60)

где £Р(Ж, Ь2[0, 2^]) - обычный колмогоровский р-поперечник. Учитывая равенство (60), включение Ш(г'^Ь2(() С Ж(г'^ь2((), а также одномерный результат [24, с.343, теорема 8.1.3]:

£^-1 (V(гУ)Ь2[0, 2тг], Ь2[0, 2тг]) = ^, и е N,

приходим к следующей оценке снизу

£2ш-1,2п-1 (V(Г'3)Ь2(Я),Ь2(0) > ¿2т,-1'2га-1 (Ш¿2((), ¿2(()) =

= ^-1 (V(г)Ь2[0, 2ТГ], ¿2[0, 2ТГ]) ■ £2П-1 (V(5)Ь2[0, 2тг], ¿2[0, 2тт]) = т1--• (61)

т п

Сопоставляя неравенства (59) и (61), получаем требуемое равенство (58). Теорема 4 доказана.

6. Заключение

В данной работе доказано неравенство типа Колмогорова для периодических дифференцируемых функций двух переменных в метрике L2 := L2(Q), Q := {0 < х, у < 2тт} и даны некоторые его приложения в задачах наилучшего приближения функций f е L2(Q) тригонометрическими "углами". Решена задача об одновременном приближении функций, ее частных и смешанных производных тригонометрическими "углами" на классе функций W(r'S^L2(Q).

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на бесконечном интервале // Учен, записки МГУ. Математика. 1939. Т.ЗО, № 3. С. 3-16.

2. Колмогоров А. Н. О неравенствах между верхними гранями последовательных производных функции на бесконечном интервале // Избр. тр.: Математика, механика. М.: Наука, 1985. С. 252-263.

3. Бабенко В. Ф., Корнейчук Н. П., Кофанов В. А., Пичугов С. А. Неравенства для производных и их приложения. Киев: Наукова думка, 2003. 590 с.

4. Арестов В. В. Приближение неограниченных операторов ограниченными и родственные экстремальные задачи // Успехи мат. наук. 1996. Т. 51, № 6. С. 89-124.

5. Магарил-Ильяев Г. Г., Тихомирова В. М. Выпуклый анализ и его приложения. Эдиториал УРСС. М. 2000.

6. Коновалов В. Н. Точные неравенства для норм функций, третьих частных, вторых смешанных или косых производных // Матем. заметки. 1978. Т. 23, № 1. С. 67-78.

7. Буслаев А. П., Тихомиров В. М. О неравенствах для производных в многомерном случае // Матем. заметки. 1979. Т. 25, № 1. С. 59-74.

8. Тимошин О. А. Точные неравенства между нормами частных производных второго и третьего порядка // ДАН. 1995. Т. 344, № 1. С. 20-22.

9. Тимофеев В. Г. Неравенство типа Ландау для функций нескольких переменных // Матем. заметки. 1985. Т. 37, № 5. С. 676-689.

10. Бабенко В. Ф. О точных неравенствах типа Колмогорова для функций двух переменных // Докл. HAH Укараины. 2000. № 5. С. 7-11.

11. Вакарчук С. Б., Швачко А. В. Неравенства Колмогоровского типа для прозводных функций двух переменных и их приложение к аппроксимации "углом" // Известия вузов. Математика. 2015. № 11. С. 3-22.

12. Самко С. Г., Килбас А. А., Маричув О. И. Интегралы и производные дробного порядка и их приложения. Минск, 1987. 650 с.

13. Arestov V. V. Inequalities for fractional derivatives on the half-line // Approximation theory: proc. conf. Warsaw: PWN-Pol. Sei. Publ. 1979. P. 19-34.

14. Magaril-Il'jaev G. G., Tikhomirov V. M. On the Kolmogorov inequality for fractional derivatives on the half-line // Anal. Math. 1981. Vol. 7, no. 1. P. 37-47.

15. Бабепко В. Ф.. Чурилова М. С. О неравенствах типа Колмогорова для производных дробного порядка // Вестн. Днепропетровского ун-та. Математика. 2001. Т. 6. С. 16-20.

16. Бабепко В. Ф.. Пичугов С. А. Точные оценки для норм дробных производных функций многих переменных, удовлетворяющих условию Гельдера // Матем. заметки. 2010. Т. 87, № 1. С. 26-34.

17. Babenko V. F., Parfinovich N. V., Pichugov S. A. Sharp Kolmogorov-tvpe inequalities for norms of fractional derivatives of multivariate functions // Укр. мат. журн. 2010. Т. 62, № 3. С. 301— 314.

18. Потапов М. К. Изучение некоторых классов функций при помощи приближения "углами" // Труды Матем. ни-га. АН СССР. 1972. Т. 117. С. 256-300.

n

СССР, серия Математика. 1970. Т. 34, № 3. С. 564-583.

20. Вакарчук С. Б., Вакарчук М. Б. Неравенства типа Колмогорова для аналитических функций одной и двух комплексных переменных и их приложение к теории аппроксимации // Укр. матем. журнал. 2011. Т. 63, № 12. С. 1579-1601.

21. Шабозов М. Ш., Сайнаков В. Д. О неравенствах типа Колмогорова в пространстве Бергмана для функций двух переменных // Труды ИММ УрО РАН. 2018. Т. 23, № 4. С. 295-309.

22. Вакарчук С. Б., Шабозов М. Ш. О точных значениях квазипоперечников некоторых функциональных классов // Укр. матем. журнал. 1996. Т. 48, № 3, С. 301-308.

23. Шабозов М. Ш., Акобиршоев М. О. Квазипоперечники некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных // Доклады РАН. 2005. Т. 404, № 4. С. 406-464.

24. Шабозов М. Ш., Акобиршоев М. О. О точных значениях квазипоперечников некоторых классов дифференцируемых периодических функций двух переменных // Укр. матем. журнал. 2009. Т.61, 6. С. 855-864.

25. Корнейчук Н. П. Точные константы в теории приближения. М.: Наука. 1987. 424 с. REFERENCES

1. Kolmogorov А. N. 1939, "On inequalities between the upper bounds of the successive derivatives of an arbitrary function on the infinite interval" Uch. Zap. MGU, vol. 3. pp. 3-16.

2. Kolmogorov A. N. 1985, "On inequalities between the upper bounds of the successive derivatives of an arbitrary function on the infinite interval" Selected Works: Mathematics and Mechanics, pp. 252-263.

3. Babenko V. F., Korneichuk N. P., Kofanov V. A., Pichugov S. A. 2003, "Inequalities for Derivatives and Theory of Application", Naukova Dumka, Kiev, 252 p.

4. Arestov V. V. 1996, "Approximation of unbounded operators by bounded operators and related extremal problems," Russ. Math. Surv, vol. 51. no 6. pp. 1093-1126.

5. Magaril-Iljaev G. G., Tikhomirov V. M. 2000, "Convex Analysis and Application" Editorial, URSS.

6. Konovalov V. N. 1978, "Precise inequalities for norms of functions, third partial, second mixed, or directional derivatives", Math. Notes of Acad. Set. of the USSR, vol. 23. no 1. pp. 38-44.

7. Buslaev A. P., Tikhomirov V. M. 1979, "Inequalities of derivatives in the multidimensional case", Math. Notes of Acad. Set. of the USSR, vol. 25. no 1. pp. 32-40.

8. Timoshin O. A. 1995, "Precise inequalities between the norms of partial derivatives or second and third order", DAN, vol. 344. no 1. pp. 20-22.

9. Timofeev V. G. 1985, "Landau inequality for function of several variables", Math. Notes of Acad. Set. of the USSR, vol. 37. no 5. pp. 369-377.

10. Babenko V. F. 2000, "The exact inequalities of the Kolmogorov type for functions of two variables", Dopov. Nats. Akad. Nauk Ukr. Mat. Prirodozn. Tekh. Nauki, no 5. pp. 7-11.

11. Vakarchuk S. B., Shvachko A. V. 2015, "Kolmogorov-tvpe inequalities of derived functions of two variables with application for approximation by an "Angle"", Russian Mathematics, vol. 59. no 11. pp. 1-18.

12. Samko S. G., Kilbas A. A., Marvchev O. I. 1987, "Fractional and Derivatives. Theory and Applications", Nauka i Tekhnika. Minsk, 650 p.

13. Arestov V. V. 1979, "Inequalities for fractional derivatives on the half-line" Approximation theory: proc. conf. Warsaw: PWN-Pol. Sci. PuM., pp. 19-34.

14. Magaril-Il'jaev G. G., Tikhomirov V. M. 1981, "On the Kolmogorov inequality for fractional derivatives on the half-line" Anal. Math., vol. 7, no. 1, pp. 37-47.

15. Babenko V. F., Churilova M. S. 2001, "On Kolmogorov-tvpe inequality for fractional order derivatives" Researches in MathemMics, vol. 6, pp. 16-20.

16. Babenko V. F., Pichugov S. A. 2010, "Sharp estimates for the norms of fractional derivatives of functions of several variables satisfying the Holder donditions" Math. Notes, vol. 87, no. 1-2, pp. 23-30.

17. Babenko V.F., Parfinovich N.V., Pichugov S.A. 2010, "Sharp Kolmogorov-tvpe inequalities for norms of fractional derivatives of multivariate functions" Ukrainian Math. Journal, vol. 62, no 3, pp. 301-314.

18. Potapov M. K. 1972, "The study of certain classes of functions by means of "angular" approximation" Trudy Mat. Inst. Steklov, vol. 117, pp. 301-342.

19. Brudnvi Ju. A. 1970, "Approximation of functions of n variables by quasi-polvnomials" Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat., vol. 34, pp. 568-586.

20. Vakarchuk S. B., Vakarchuk M. B. 2011, "The Kolmogorov-tvpe inequality for analytic functions of one and two complex variables and their applications in theory of approximation" Ukr. Mat. Zh., vol. 63, no. 12, pp. 1579-1601.

21. Shabozov M. Sh., Savnakov V. D. 2018, "On Kolmogorov type inequality in the Bergman space for functions of two variables" Trudy Inst. Mat. i Mekh. UrO RAN, vol. 24, no. 4, pp. 270-282.

22. Vakarchuk S. B., Shabozov M. Sh. 1996, "On exact values of quasiwidths of some classes of functions" Ukrainian Mathematical Journal, vol. 48, no. 3, pp. 338-346.

23. Shabozov M. Sh., Akobirshoev M. O. 2005, "Quasiwidths of some classes of differentiable periodic functions of two variables" Dokl. Akad. Nauk, vol. 404, no. 4, pp. 460-464.

24. Shabozov M. Sh., Akobirshoev M. O. 2009, "On exact values of quasiwidths of some classes of differentiable functions of two variables" Ukrainian Mathematical Journal, vol. 61, no. 6, pp. 1013-1024.

25. Korneichuk N. P. 1987, "Exact constant in the theory of approximation", Moscow. Nauka, 424 p.

Получено 18.04.2019 г. Принято в печать 12.07.2019 г.