Неравенство Рашбрука при низких температурах Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 536.764; 537.6; 537.9; 538.945

НЕРАВЕНСТВО РАШБРУКА ПРИ НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ

В. Н. Удодов

Хакасский государственный университет им. Н. Ф. Катанова

В статье рассмотрено неравенство Рашбрука теории критических явлений для нулевой температуры фазового перехода. Этот случай вызывает интерес в связи с квантовыми фазовыми переходами, в частности, это переходы, в сверхпроводящее и сверхтекучее состояния. Предложено обобщённое неравенство Рашбрука, справедливое как для положительной температуры фазового перехода, так и для температуры перехода, равной нулю; классические результаты получаются из нового неравенства как предельный частный случай.

Ключевые слова: условия термодинамической устойчивости, неравенство Рашбрука, фазовые переходы, критические индексы, теплоёмкость, параметр порядка, низкие температуры, квантовые фазовые переходы.

Введение. Критические показатели (индексы) лежат в основе современной теории критических явлений и фазовых переходов (далее - ФП) [1-9]. Неравенство Рашбрука [7] было выведено в 1963 году из условий термодинамической устойчивости [1; 3] и доминировала точка зрения, что оно имеет совершенно общий характер (для равновесных состояний). Это соотношение связывает критические индексы теплоёмкости (а,а'), восприимчивости (у, у') и параметра порядка (Р) (определения всех индексов даны ниже) [1-3]. В классических работах считалось, что критическая температура ТС положительна. Однако в последние десятилетия значительное внимание привлекали так называемые квантовые ФП [4-6], для которых температура ФП ТС = 0. Например, это возможно для переходов в сверхпроводящее состояние [8]. В данной работе показано, что если ТС = 0, то классическое неравенство Рашбрука изменяется (нарушается): в правой части двойка заменяется на единицу. Предложено обобщённое неравенство Рашбрука, верное как для положительной критической температуры, так и для случая ТС = 0, а также при ТС ^ 0.

Неравенство Рашбрука. Напомним вывод неравенства Рашбрука из условий термодинамической устойчивости [1]. Вывод проведём на примере ферромагнетика, хотя считается, что данное неравенство справедливо для всех равновесных фазовых переходов. Первое начало термодинамики имеет вид [1-3]:

Си = Сд - са, (1)

где и - внутренняя энергия, ёд - элементарное количество тепла, СА - элементарная работа, которая для магнетика равна [1]:

СА = —НСМ; (2)

здесь Н - напряжённость магнитного поля, М- намагниченность ферромагнетика. Первое начало термодинамики примет вид [1]:

Сд = СЮ — НМ. (3)

Учитывая второе начало термодинамики для неравновесных процессов (Т > 0 - абсолютная температура, - энтропия) [1; 3]

ТСБ > Сд, (4)

найдём основное неравенство термодинамики для неравновесных процессов:

ТСБ > СЮ - НМ. (5)

Используя выражение для энергии Гиббса О [1]

О = и - ТБ - НМ, (6)

основное неравенство можно привести к виду:

СО + МСН + БСТ < 0. (7)

Если неравновесный процесс идёт при постоянных напряжённости поля и температуре, то

СО < 0, (8)

то есть с течением времени О убывает до тех пор, пока система не придёт в состояние равновесия [1; 3], следовательно, в состоянии устойчивого равновесия энергия Гиббса имеет минимум. При отклонении от точки ми-

нимума энергия Гиббса G будет возрастать (SG > 0). При постоянных Т и Н при учёте (6) малое изменение G (например, при флуктуации)

SG = SU-TSS-HSM > 0 (9)

положительно. Пусть намагниченность М также постоянна (напряжённость поля Н при этом может быть переменной):

M = const, SM = 0; (10)

тогда (9) упростится:

SG = SU - TSS > 0. (11)

Разложим 8U в ряд при постоянных М и объёме:

2

SU = § SS +1 d-2(SS)2 +.... (12)

dS 2 dS2

Однако производная равна [1-3]:

f) = T, 13)

ds )m,v

(12) примет вид (отклонения от равновесия считаем малыми):

Подставим (14) в (11):

SU = TSS + ^[U (SS)2 +...« TSS + (SS)2. (14)

2 dS [dS V ) 2 [dS )M ) ( )

SG =1 [ — | (SS)2 > 0, (15)

21dS V ( )

отсюда следует, что (изменение энтропии дS - вещественная величина)

'дТ

> 0. (16)

VdS ) м

Учитывая определение теплоёмкости СМ

„ JdS 1

См =T IdF Jm, (17)

получим [1]:

' dT J 1 T T

dS )M dS TfdSJ CM dT IdT)m

> 0 . (18)

В устойчивом равновесном состоянии абсолютная температура положительна [3], откуда следует, что [1]

С" =Т (II' * (19)

Более подробные выкладки дадут [1]:

См ^ 0. (19а)

Неравенства (19), (19а) являются частными случаями условий термодинамической устойчивости. Далее будем использовать технику якобианов второго порядка [3]. Преобразуем выражение для теплоёмкости при постоянной намагниченности

д(Б,М )

'дБЛ д(8,М)=т д(Т,Н) дТ М д(Т,М) д(Т,М) д(Т,Н )

или (используем определение якобиана [3])

дБ ) ( дМ \ (дБ \ ( дМ

г _гр \ дТ)н\дН )т \дН)т\ дТ ун см -т--

дМ дН

Учитывая, что изотермическая восприимчивость хТ и теплоёмкость в постоянном поле СН равны [1]

Хт -

дМ дН

( дБ

Сн - Т — ,

\дТ

н

(20) перепишется в виде [1]:

см - сн -"

дБ } ( дМ

дН )т\ дТ

Н

Хт

Введём обозначение [1]:

ан -

дМ дТ

Н

Учтём то, что энергия Гиббса является полным дифференциалом [1; 3]:

СО--БСТ-МСН,

откуда следует равенство «смешанных» производных [1]:

дБ_ дН

Теперь (23) примет вид:

дМ

дТ

см - сн -

- -аН.

Н

ТаН

Хт

или [1]

окончательно с учётом (19) получим [1]:

сн - см -

С > ТаН

СН >-

ТаН

Хт

Хт

(21) (22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

что верно для устойчивых состояний.

Намагниченность для ферромагнетика играет роль параметра порядка [1-3] и отлична от нуля для упорядоченной (ферромагнитной) фазы; следовательно, (28) верно для упорядоченной (обычно низкотемпературной) фазы, для которой определён критический индекс параметра порядка в [1-3]

М-м0(-г)Р, г -(Т-Тс) ^-0,

(29)

где ТС - температура фазового перехода (ФП); будем сначала считать её положительной константой. Критические индексы теплоёмкости а, а' определяются соотношениями [1; 2]:

сн - сог а,

г -(т-Тс) ^+0 (г >0),

Сн - С0 (-г )~а , г - (Т - Тс) 0 (г < 0) . Наконец, приведём определения индексов восприимчивости у, у' [1; 2]:

Хт-Х0г~7, г - (Т - Тс) ^+0(г > 0), Хт -х0(-г)~7', г - (Т - Тс) ^-0.

(30а) (30Ь)

(31а) (31Ь)

т

т

т

В низкотемпературной (Т < ТС) области определены индексы а', в, у'. Удобно считать температуру безразмерной величиной, например:

Т = (31с)

где ТК - температура по шкале Кельвина. Сначала найдём аН (см. (29)):

где введено обозначение

1К

дМ | _ „

"Н =\^Г)Н=~М°РХ , (32)

х= -г >о, х^+о,г ^ТС >о. (33)

Теперь неравенство (28) примет вид (Тс > 0):

Сн = Со,х-" > ТСМ(34)

Х0х У

или (С1 - новая положительная константа)

С1х~а'> х2Р-2+У'. (35)

Берём от (35) натуральный логарифм и делим на 1пх <0, (1пх) ^ -х :

--а'< 2р-2 + у'. (36)

1пС1

1пх

Первое слагаемое в пределе равно нулю, окончательно получим [1; 6]:

а+ 2р+у > 2 (ТС > 0, Т < ТС). (37)

Это классическое неравенство Рашбрука, верное для любых равновесных ФП в нулевом или слабом поле.

Нулевая критическая температура и общий случай. Для квантовых ФП [4-6] или, например, для одномерной традиционной модели Изинга [1; 2] критическая температура равна нулю:

ТС = о, г = Т - о = Т > о. (38)

Следовательно, рассмотренный вывод неравенства Рашбрука нуждается в модификации. Удивительно, что это не замечали более 50 лет. Во-первых, в случае (38) можно рассматривать только высокотемпературную фазу, которая может быть упорядоченной [3], тогда в этой области возможно определение индекса в:

М = Могр, г = (Т-ТС) = Т ^+о. (39)

Необходимо переопределить х (33):

х=г = г > о, х ^+о,Т = г = х ^ ТС = о. (40)

Теперь штрихованные индексы являются высокотемпературными и (34) изменится (см. (28)):

Сн = Сох "а' > ТМ1Р2х2Р~2 = хМ2^х2Р~2 = с2Х1х2Р-2+У,

-Н о ■ ■

н о } -у } -у

Хох у Хох у

(41)

окончательно (С3 - новая положительная константа):

С3х~а'> х2Р-1+у'. (42)

Берём от (42) натуральный логарифм, который является возрастающей функцией в вещественной области, следовательно, знак неравенства сохранится:

1пС3 + ¡п(х~а') > ¡п(х2р-1+у') (42а)

или

¡пС3 -а¡пх>(2р-1 + у')1пх. (43)

Делим последнее соотношение на 1пх < 0, 0 < х < 1, знак неравенства изменится:

11Пс3 -а'< (2Р-1 + у') , (44)

1пх

в пределе х ^ + 0 первое слагаемое равно нулю, окончательно найдём:

а'+2р+у'> 1 (Тс - 0, Т > 0) , (45)

что существенно отличается от традиционной формулы (37).

Докажем, используя идеи [1], что строгое неравенство (45) верно тогда и только тогда, когда величина

с

Я - Иш-^ (46)

г ^ 0 -Н

равна 1. Сначала перепишем неравенство (27) в виде [1]:

-м - _

-Н -Н ХТ

1 --М -Тон_ (47)

Я = 1 означает, что (/ = Т - Тс = Т ^ 0 = Тс; х1 и у - константы)

—

-1 -я1гх1(1+гу +...), х1 >0, у >0. (48)

—Н

(47) примет вид:

Та2

я1гх1 (1+гу +...)-. (49)

—н Хт

Используя определения индексов и обозначение (38), найдём:

гг2( Р-1)

гх1(1 + гу +...)- —4 , , 4 г~аг-

или (С4 - положительная константа)

гх'(1+гу +...)- —4г2р-1+а'. (50)

В пределе t ^ 0, приравнивая показатели степени, получим:

х1 -а'+2р+у'-1 > 0 (Т— - 0, Т > 0),

Окончательно:

а'+2р+у' > 1 (Т— - 0, Т > 0) . (51)

Аналогичным способом можно показать, что если Яф1 (см. (46)), то

а'+2р+у' -1 (Т— - 0, Т > 0) . (52)

Следует отметить, однако, что последнее равенство экспериментально вряд ли возможно проверить, так как время релаксации при температуре, стремящейся к нулю, стремится к бесконечности, а (52) верно только для полного термодинамического равновесия.

В общем случае может быть предложена интерполяционная формула (обобщённое неравенство Рашбрука) [10]:

а'+2р+у'> 1 + Б1, (53)

где 5 - функция имеет вид [10; 11]:

Б/ -

(гт \П

Т

\ у

(54)

здесь п - положительная константа, которая может быть найдена из сопоставления с экспериментом или из микроскопической теории, или путём компьютерного моделирования. Действительно, если ТС = 0 (Т > 0), мы придём к формуле (45). Если ТС > 0 (Т ^ Тс), то придём к классическому неравенству Рашбрука (37) [1; 7]. Обратим внимание на то, что в (53) и (54) две независимые переменные Т и ТС. В зависимости от соотношения между ними 8-функция может быть как меньше, так и больше единицы. Отсюда следует принципиальный результат: правая часть неравенства Рашбрука не является константой (2 в классическом варианте), а зависит от температуры и критической температуры Тс и может принимать значения от 1 до 2 + А (А > 0), то есть правая

часть теоретически может быть и больше двойки [11]. Это будет иметь место, если T < TC (см. (39)). Для квантового фазового перехода (ФП) TC может зависеть от электронной плотности [6; 11] и в квантовой критической точке TC = 0.

Оказывается, если число n является дробным, то ^-функция будет неаналитической функцией в точке х = ТС = 0 [12]. Для примера, если 0 < n < 1, то уже первая производная от ^-функции стремится к бесконечности (Sj)x ^ ж, x ^ 0. Если n целое, то функция Sj может быть разложена в ряд по х [12].

Иногда при изменении параметров (концентрация компонентов, давление или внешнее поле) критическая температура стремится к нулю, это возможно, например, при ФП в сверхпроводящее состояние [8]. Обобщённое неравенство Рашбрука (53) описывает и этот процесс, когда правая часть плавно стремится к единице.

Заключение. Таким образом, показано, что классическое неравенство Рашбрука справедливо только, если критическая температура ТС положительна и (T ^ TC). Если критическая температура равна нулю, то классическое соотношение меняет свой вид (нарушается): в правой части число 2 заменяется на единицу. Однако условия устойчивости выполняются. Предложена общая интерполяционная формула (обобщённое неравенство Рашбрука), справедливая для всех равновесных ФП любой природы при изменении температуры как при ТС > 0, так и при ТС = 0, а также при критической температуре, плавно стремящейся к нулю. Эта формула верна для любой размерности пространства в нулевом или слабом поле. Классическое неравенство Рашбрука получается из обобщённого неравенства как предельный частный случай при ТС > 0.

Поскольку при изменении параметров критическая температура стремится к нулю для многих квантовых ФП (в том числе при переходе в сверхпроводящее [8] или в сверхтекучее состояние (в смеси жидких He3 и He4) [9]), то правая часть обобщённого неравенства Рашбрука в этом случае должна непрерывно меняться от 2 до 1.

Экспериментальная проверка полученных результатов возможна для любых равновесных (или почти равновесных) фазовых переходов (в том числе для ТС > 0), в особенности для квантовых ФП [4-6] при ТС > 0, например, для ферромагнетика Ce2ij5Pdj.95Jn0.9 [13], когда следует ожидать существенного нарушения классического неравенства Рашбрука.

Необходимо отметить, что соотношения (53), (54) верны для равновесных процессов, откуда следует, что значение ^-функции, равное нулю, экспериментально недостижимо, то есть правая часть обобщённого неравенства Рашбрука должна быть строго больше единицы. Это связано со следующим: время релаксации (перехода в равновесное состояние) при Т ^ ТС = 0 стремится к бесконечности (критическое замедление) [3].

Библиографический список

1. Стенли, Г. Фазовые переходы и критические явления / Г. Стенли. - М.: Мир, 1973. - 425 с.

2. Бэкстер, Р. Точно решаемые модели в статистической механике / Р. Бэкстер. - М.: Мир, 1985. - 488 с.

3. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. В 10 т. Т. 5. Статистическая физика. Ч. 1. / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц - 4-е изд. - М.: Наука, 1995. - 608 с.

4. Rechester, A. B. Contribution to the theory of second-order phase transitions at low temperatures / А. В. Rechester // Soviet physics JETP. -1971. - V. 33. - № 2. - P. 782-796.

5. Sachdev, S. Quantum phase transitions / S. Sachdev. - Yale University, New Haven, USA, 1999. - 488 p.

6. Гантмахер, В. Ф. Квантовые фазовые переходы «локализованные - делокализованные электроны» / В. Ф. Гантмахер, В. Т. Долгополов // УФН. - 2008. - Т. 178. - Вып. 1. - C. 3-24.

7. Rushbrooke, G. S. On the Thermodynamics of the Critical Region for the Ising Problem / G. S. Rushbrooke // Journ. Chem. Phys. - 1963. -V. 39. - P. 842.

8. Abrikosov, A. A. Fundamentals of the Theory of Metals / А. А. Abrikosov. - Amsterdam, North-Holland, 1988.

9. Паташинский, А. З. Флуктуационная теория фазовых переходов / А. З. Паташинский, В. Л. Покровский. - М.: Наука, 1982. - 382 с.

10. Udodov, V. Violating of the Essam-Fisher and Rushbrooke Relationships at Low Temperatures / V. Udodov // World Journal of Condensed Matter Physics. - 2015. - № 5. - P. 55-59. - URL: http://dx.doi.org/10.4236/wjcmp.2015.5200 (дата обращения: 15.11.2015).

11. Удодов, В. Н. Новые следствия гипотезы статического подобия при низких температурах / В. Н. Удодов // Физика твёрдого тела. -2015. - Т. 57. - Вып. 10. - С. 2018-2022.

12. Удодов, В. Н. Новая классификация фазовых переходов и кроссовер при низких температурах с изменением рода перехода на единицу / В. Н. Удодов // Моделирование неравновесных систем: материалы 15 Всерос. Семинара / ред. В. В. Слабко. — ИВМ СО РАН, ИПК СФУ. - Красноярск, 2012. - С. 204-209.

13. Sereni, J. G. Searching for a Quantum Critical Point in Rh doped ferromagnetic Ce2ipdlg5Jnog / J. G. Sereni, M. Giovannini, M. Gofmez

Berisso, A. Saccone // Journal of Physics: Conference Series. - 2012. - V. 391. - P. 012062. © Удодов В. Н., 2015