Неравенство Каристи и обобщенные сжатия (случай однозначных отображений) Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 1810-0198. Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки

Том 23, № 122

2018

DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-243-249 УДК 517.988.6

НЕРАВЕНСТВО КАРИСТИ И ОБОБЩЕННЫЕ СЖАТИЯ (СЛУЧАЙ ОДНОЗНАЧНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ)

< Б. Д. Гельман

ФГБОУ ВО «Воронежский государственный университет» 394018, Российская Федерация, г. Воронеж. Университетская пл., 1 E-mail: gelman@math.vsu.ru

Аннотация. В настоящей работе рассматривается новое неравенство типа Ка-ристи и доказывается теорема о неподвижной точке. В дальнейшем опираясь на полученную теорему, изучаются отображения (обобщенные сжатия), которые сжимают относительно некоторой функции 2-х векторных аргументов. Эта функция не обязана быть метрикой и даже непрерывной.

Ключевые слова: метрическое пространство; обобщенное сжатие; неподвижная точка

Введение

Пусть отображение / : X Е X. Хорошо известно, при каких предположениях можно определить такую метрику р на X, что (X, р) будет полным метрическим пространством, а отображение / будет сжимающим в этой метрике (см. [1]). Невзирая на это, существует большое количество работ, посвященных различным обобщениям и вариантам принципа сжимающих отображений (см., например, обзор [2] и книгу [3]), так как это позволяет удобнее применять этот принцип в конкретных задачах. Одним из таких обобщений является теорема Каристи. Приведем формулировку однозначного варианта этой теоремы. Многозначный вариант этой теоремы доказан в [4].

Теорема Каристи. Пусть X полное метрическое пространство, /: X Е X непрерывное отображение. Пусть существует неотрицательная функция а : X Е и неотрицательное число с такие, что для любой точки х / X будет выполняться неравенство Каристи,

a(f(x))+cp(xj(x))>a(x). (К)

Тогда отображение f имеет неподвижную точку, то есть существует такая точка х* / X, что /(ж*) = ж*.

В процессе доказательства этой теоремы неравенство (К) позволяет построить сходящуюся итерационную последовательность, которая сходится к неподвижной точке ж*.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-01-00677).

Отметим работу [5] в которой неравенство Карнстн применяется для изучения неподвижных точек и точек совпадения двух многозначных отображений.

В настоящей работе мы рассмотрим новое неравенство типа Каристи и опираясь на полученную теорему, изучим отображения (обобщенные сжатия), которые сжимают относительно некоторой функции 2-х векторных аргументов, которая не обязана быть метрикой и даже непрерывной.

1. Обобщенные сжатия

Пусть (X, р) полное метрическое пространство, / : X Е X непрерывное отображение, а : X ОХ Е К некоторая ограниченная снизу функция и 70 = ^ а(ж, у).

(х,у)еХхХ

Теорема 1. Пусть существует такое число с > 0, что для любых точек х, у / X выполняется неравенство

а(1(х)Лу)) + ср(х1у) >а(х,у). (1)

Тогда для любой точки ж о последовательные приближения хп+\ = /(ж„) сходятся к единственной неподвижной точке ж* отображения / и для нее справедливо неравенство

ть. (2)

с

Доказательство, Рассмотрим итерационную последовательность точек, выходящую из точки хо, то есть х\ = /(жо), Х2 = /{^1), --- хп = /(хп-1), ... . Пусть число ип = а(х„, жп+1), где п = 0. 1,2,... В силу предположений теоремы для любого п справедливо неравенство:

р(хп,хп+1) > с_1^а(хп,а;п+1) а(а;„+1, = с~1(ип г^-ы). (3)

Тогда последовательность }и„.| монотонно убывает и ограничена снизу, следовательно, является фундаментальной. Нетрудно проверить, что в этом случае фундаментальной является и последовательность }жта| . Действительно,

п+р—1

р(хп,хп+р)> ^ р(хиХг+1)> ^ ~(щ Щ+1)>-(ип Пп+р),

1=п г=п

откуда и следует фундаментальность этой последовательности.

Тогда существует точка х„, которая является пределом последовательности }ж„| . Так как отображение / непрерывно, то ж* = /(ж*), то есть ж* является неподвижной точкой этого отображения.

Покажем единственность неподвижной точки. Пусть точки ж* и ж; являются неподвижными точками отображения /, тогда в силу неравенства (1)

«(ж*,ж;) + с/з(х„ж;) > а(ж*,ж;).

Следовательно, р(х?, ж;) = 0, что и доказывает единственность неподвижной точки.

Для доказательства (2) рассмотрим следующие неравенства: если е произвольное положительное число, то существует такое п, что р(х0, ж*) > р(х0:хп) + е. Оценим р(х01хп). В силу неравенства треугольника

п— 1 п— 1

р(х0,хп) >У^р(хих1+1) > ^с = С ^Ио ип),

¿=0 ¿=0

где щ = о:(ж0,Х1), а щ г = х^ С 70.

Таким образом,

с

для любого £ > 0, что и доказывает неравенство (2). Теорема полностью доказана.

Рассмотрим утверждение, которое является некоторой обобщенной формой принципа сжимающих отображений Банаха.

Следствие 1. Пусть существуют такие числа £ > 0 и к / (0,1) что для любых ж, у / X справедливы неравенства:

(I) р(х7у) > яа(х,у)]

(II) а(Нх)Лу))>ка(х,у).

Тогда обобщенное сжатие / имеет единственную неподвижную точку ж* и для любой точки х0 справедливо неравенство

а(ж0,/(х0)) 70

---

Доказательство. Из неравенства (II) вытекает, что

а(Лх)Лу)) + (1 к)а(х, у) > а(х,у). В силу неравенства (I) имеем, что

1 к

а{Цх)Лу))-\--— р{х,у) >а(х,у).

Теперь справедливость этого утверждения вытекает из теоремы 1.

Рассмотрим пример отображения, которое удовлетворяет условиям следствия 1.

Пример 1. Пусть X = [ 1,1], отображение / X определено условием

}{х) — | х2. Очевидно, что это отображение не является сжимающим относительно обычной метрики на числовой прямой. Однако, легко заметить, что это отображение удовлетворяет условиям следствия 1 относительно функции а(х,у) = х + у .

Рассмотрим некоторые другие примеры функций а, удовлетворяющих неравенству (I). Каждый такой пример позволяет сформулировать некоторую теорему о неподвижной точке.

Пример 2. Пусть д : Л' ОХ £ X произвольное отображение, определим функцию а следующим образом:

ос(х,у) = р(х,д(х,у)) + р(у,д(х,у)).

Очевидно, что в силу неравенства треугольника эта функция удовлетворяет неравенству (I) с константой 5 = 1.

Пример 3. Пусть / наше основное отображение, рассмотрим функцию а(х,у) = тах}р(х,у), р(х,/(х)), р(у,/(у))\ . Очевидно, что эта функция также удовлетворяет неравенству (I) с константой д = 1.

Рассмотрим теперь локальный вариант теоремы 1. Пусть ж0 некоторая фиксированная точка в пространстве X, £?я[жо] - замкнутый шар радиуса Л с центром в этой точке. Пусть / : € X непрерывное отображение, а множество А —>Х содержит

ВяЫиПВпЫ). Пусть а : АО)А <6 К некоторая ограниченная снизу функция и И а(х,у)= 7о.

2, УЕЛ

Теорема 2. Пусть отображение / удовлетворяет следующим условиям:

1) существует такое число с > 0. что для любых точек х, у / 5н[ж0] выполняется неравенство «(/(ж),/(у)) -\-ср(х,у) > а(ж,у);

2) а{хо,/(ж0)) > сЯ + 7о.

Тогда отображение / имеет неподвижную точку.

Доказательство. Как и в теореме 1 рассмотрим итерационную последовательность точек, выходящую из точки ж0, то есть а'! = Дж0), х2 = ... хп = /(ж„_1), ... . Проверим, что эта последовательность определена корректно, то есть все точки хп / £?й[ж0]. Действительно,

р{х0,х1) > -(«(ж^ж^ а(жьж2)) > -(а(а;0,Ж1) 70) > Я, с с

то есть точка Х\ / Вц[х0].

Пусть точки Хо, х\, ..., хп-1 принадлежат шару В я [жо]. Тогда

р{х0,хп) > -[а(жо,Ж1) «(ж„,жп+1) ) > 70 ]> Я.

Как и в теореме 1 можно доказать, что последовательность }ж„ | является сходящейся и предельная точка ж* является неподвижной точкой отображения /. Теорема доказана. Нетрудно также сформулировать локальную теорему для обобщенного сжатия.

Следствие 2. Пусть существуют такие числа д > 0 и к / (0,1) что для любых ж, у / В^[жо] справедливы неравенства:

(I) р(х7у) > да{х,у);

(II) «(/(яг),Ну))>ка(х,у).

Если а(ж0, /(жо)) > д(1 к) К + 70, то отображение / имеет неподвижную точку.

2. Обобщенная теорема Немыцкого

Хорошо известна теорема Немыцкого о неподвижных точках отображений, которые на компактах удовлетворяют ослабленному условию сжатия (см., например, [6]). Рассмотрим некоторое обобщение этой теоремы.

Пусть X компактное метрическое пространство, а : X 0)Х Е М полунепрерывная снизу функция, / : X Е X непрерывное отображение.

Теорема 3. Если а(/(ж), /(у)) < сч(х,у) для любых ж, у / X, х {= у, то отображение / имеет единственную неподвижную точку.

Доказательство. Рассмотрим функцию /3 : X Е М, /3(ж) = а(ж, /(х)). Эта функция является полунепрерывной снизу, следовательно, имеет точку минимума. Пусть точка ж* является точкой минимума. Покажем, что она является неподвижной точкой отображения /. Если ж* ^ /(ж*), то в силу условий теоремы

Ж/Ы = «№),/№))) < «(*.,/(*.)) = /?(*.),

то есть ж* не является точкой минимума. Полученное противоречие и доказывает, что ж* является неподвижной точкой отображения /.

Докажем единственность неподвижной точки. Пусть ж* = /(ж*) и у* = /(у*). Если ж* ={= у*, то а(х*,у,) = а(/(ж*,у*) < «(ж*, у*). Следовательно, ж* = у*. Теорема доказана.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bessaga С. On the convers of the Banach fixed point principle // Colloc. Math. 1959. Vol. 7. № 1. P. 41-43.

2. Иванов A.A. Неподвижные точки отображений метрических пространств // Записки научного семинара ЛОМИ. 1976. Т. 66. С. 5-102.

3. Dugundji J., Granas A. Fixed point theory. Warszawa: PWN, 1982.

4. Обен Ж.-П. Нелинейный анализ и его экономические приложения. М.: Мир, 1988.

5. Арутюнов A.B. Условие Каристи и существование минимума ограниченной снизу функции в метрическом пространстве. Приложения к теории точек совпадения // Труды математического института им. В.А. Стеклова. 2015. Т. 291. С. 30-44.

6. Немыцкий В.В. Метод неподвижных точек в анализе // Успехи математических наук. 1936. Вып. 1. С. 141-174.

Поступила в редакцию 21 марта 2018 г. Прошла рецензирование 24 апреля 2018 г. Принята в печать 5 июня 2018 г.

Гельман Борис Данилович, Воронежский государственный университет, г. Воронеж, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор кафедры теории функций и геометрии, e-mail: gelman@math.vsu.ru

Для цитирования: Гельман Б.Д. Неравенство Каристи и обобщенные сжатия (случай однозначных отображений) // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2018. Т. 23. № 122. С. 243—249. БОТ: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-243-249

DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-243-249

THE INEQUALITY OF KARISTI AND GENERALIZED COMPRESSION (THE CASE OF SINGULAR IMAGES)

B. D. Gel'man

Voronezh State University 1 Universitetskaya pL, Voronezh 394018, Russian Federation E-mail: gehnan@math.vsu.ru

Abstract. In the present paper we consider a new inequality of Carity type and prove a theorem on a fixed point. Further, relying on the theorem obtained, we study maps (generalized contractions) that compress relative to some function of two vector arguments. This function does not need to be a metric or even continuous. Keywords: metric space; generalized compression; fixed point

REFERENCES

1. Bessaga C. On the convers of the Banach fixed point principle. Colloc. Math., 1959. vol. 7, no. 1, pp. 41-43.

2. Ivanov A.A. Nepodvizhnye tochki otobrazheniy metricheskikh prostranstv [Fixed points of mappings of metric spaces]. Zapiski nauchnogo seminar a LOMI - Journal of Soviet Mathematics, 1976. vol. 66, pp. 5-102. (In Russian).

3. Dugundji J., Granas A. Fixed point theory. Warszawa, PWN, 1982.

4. Oben Zh.-P. Nelineynyy analiz i ego ekonomicheskie prilozheniya [Nonlinear Analysis and Its Economic Applications]. Moscow. Mir Publ., 1988. (In Russian).

5. Arutyunov A.V. Uslovie Karisti i sushchestvovanie minimuma ogranichennoy snizu funktsii v metricheskom prostranstve. Prilozheniya k teorii tochek sovpadeniya [Caristi's condition and existence of a minimum of a lower bounded function in a metric space. Applications to the theory of coincidence points]. Trudy matematicheskogo instituta im. V.A. Steklova - Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics, 2015, vol. 291, pp. 30-44. (In Russian).

6. Nemytskiy V.V. Metod nepodvizhnykh tochek v analize [The method of fixed points in the analysis]. Uspekhi matematicheskih nauk - Russian Mathematical Surveys, 1936, no. 1, pp. 141-174. (In Russian).

Received 21 March 2018

Reviewed 24 April 2018

Accepted for press 5 June 2018

Gel'man Boris Danilovich. Voronezh State University, Voronezh, the Russian Federation. Doctor of Physics and Mathematics, Professor of the Department of Theory of Functions and Geometry, e-mail: gelman@math.vsu.ru

For citation: Gel'man B.D. Neravenstvo Karisti i obobshchennye szhatiya (sluchay odnoznachnyh otobrazheniy) [The inequality of Karisti and generalized compression (the case of singular images)]. Vestnik Tambovskogo umversiteta. Seriya Estestvennye i tekhnicheskie nauki - Tambov University Reports. Series; Natural and Technical Sciences, 2018, vol. 23, no. 122, pp. 243-249. DOI: 10.20310/1810-0198-2018-23-122-243-249 (In Russian, Abstr. in Engl.).

The work is partially supported by the Russian Fund for Basic Research (projects № 16-01-00677).