Неприводимые модули над жордановой плоскостью над полем нулевой характеристики Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математика

УДК 512.552 + 512.553

НЕПРИВОДИМЫЕ МОДУЛИ НАД ЖОРДАНОВОЙ ПЛОСКОСТЬЮ НАД ПОЛЕМ НУЛЕВОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Е. Н. Шириков1

Рассматриваются неприводимые модули над жордановой плоскостью над полем нулевой характеристики. Описаны все конечномерные модули. Построены примеры бесконечномерных неприводимых модулей.

Ключевые слова: жорданова плоскость, неприводимый модуль, аннулятор, первичный идеал.

Irreducible modules over a Jordan plane over a field of zero characteristic are considered. All finite-dimensional modules are described. Examples of infinite-dimensional irreducible modules are constructed.

Key words: Jordan plane, irreducible module, annihilator, primary ideal.

1. Введение. В работе рассматриваются неприводимые модули над жордановой плоскостью над полем нулевой характеристики.

Определение 1. Жордановой плоскостью Л2(К) над полем K называется K-алгебра, порожденная элементами X и Y с определяющим соотношением YX = XY + Y2.

Интерес к изучению жордановой плоскости объясняется следующими классификационными резуль-

<х

татами [1]. Рассмотрим ассоциативные 2-порожденные градуированные алгебры A = ф An, где Ao = K —

n=0

поле, Ai = (X, Y) — линейная оболочка порождающих X и Y. Пусть также A не имеет делителей нуля и dim A2 = 3. Легко видеть, что алгебра коммутативных многочленов от двух переменных K[X, Y] с определяющим соотношением YX = XY удовлетворяет этим условиям, так что данные алгебры можно рассматривать как естественное обобщение алгебры K[X, Y]. В работе [1] показано, что при некоторых ограничениях существует только два класса таких алгебр: либо A = Л1(А, K) — алгебра квантовых многочленов от двух переменных (квантовая плоскость) с определяющим соотношением YX = AXY для некоторого А Е K*, либо A = Л2(K) — жорданова плоскость.

Таким образом, жорданова плоскость и квантовая плоскость являются "деформациями" алгебры коммутативных многочленов от двух переменных. Подобные "деформированные" алгебры широко изучаются в настоящее время, причем традиционно рассматриваются следующие задачи: описание первичных идеалов, автоморфизмов, дифференцирований, нормирований, представлений, действий алгебр Хопфа. Отметим, что квантовая плоскость является частным случаем алгебры квантовых многочленов от нескольких переменных, а для этих алгебр ответы на вышеперечисленные вопросы хорошо известны [2, 3]. Поэтому особый интерес представляет решение аналогичных задач для жордановой плоскости.

В работах [1, 4] подробно изучены кольцевые свойства жордановой плоскости над произвольным полем, а именно описаны первичный спектр и группа автоморфизмов. В [1] также описана алгебра дифференцирований жордановой плоскости. В [5] доказано, что все нормирования тела частных жордановой плоскости абелевы. В настоящей работе описываются все конечномерные неприводимые модули (теорема 2) и приводятся примеры (п. 5) неизоморфных бесконечномерных неприводимых модулей над жор-дановой плоскостью над полем нулевой характеристики. Отметим, что наши рассуждения существенно опираются на результаты о строении первичного спектра жордановой плоскости над полем нулевой характеристики [1]. В работе не рассматривается жорданова плоскость над полем положительной характеристики, так как в этом случае первичный спектр устроен гораздо сложнее [4].

2. Основные определения и общие утверждения. Напомним определение первичного идеала и некоторые свойства неприводимых модулей [6, 7]. Пусть R — ассоциативное кольцо с единицей. Все рассматриваемые здесь и далее модули предполагаются унитарными.

1 Шириков Евгений Николаевич — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: evgenii_shirikov@mail.ru.

Определение 2. Двусторонний идеал I кольца R называется первичным, если из включения aRb С I для некоторых элементов a,b Е R следует, что a Е I или b Е I. Множество всех первичных идеалов кольца R называется первичным спектром кольца и обозначается Spec R.

Определение 3. Модуль M называется неприводимым, если подмодулями этого модуля являются только 0 и M.

Следующее утверждение [7] показывает, что описание всех неприводимых модулей эквивалентно описанию всех максимальных односторонних идеалов кольца.

Утверждение 1. Левый (правый) R-модуль M неприводим тогда и только тогда, когда M = R/i для некоторого максимального левого (правого) идеала I.

Определение 4. Пусть M — левый R-модуль. Множество Ann M = {r Е R\rM = 0} называется ан-нулятором модуля M. Аннулятор правого модуля определяется аналогично.

Нетрудно видеть, что аннулятор любого модуля является двусторонним идеалом кольца. Для удобства ссылок выделим следующие хорошо известные утверждения.

Утверждение 2. Если M — неприводимый R-модуль, то Ann M Е Spec R.

Утверждение 3. Пусть I — односторонний идеал и M = R/i. Тогда Ann M С I.

Замечание 1. Если кольцо R является также алгеброй над полем K, то любой левый (правый) R-модуль имеет структуру линейного пространства над K. При этом существует естественный гомоморфизм линейных пространств R ^ EndKM, при котором элемент r Е R переходит в оператор умножения на r слева (справа). Аннулятор модуля M является в точности ядром этого гомоморфизма, так что по теореме о гомоморфизмах факторпространство R/Ann M изоморфно вкладывается в EndKM.

3. Кольцевые свойства жордановой плоскости. Здесь мы перечислим основные свойства жор-дановой плоскости, которые понадобятся нам при описании неприводимых модулей. Известно [1], что одночлены X*Y• образуют базис алгебры Л2 (K). Поэтому любой элемент w Е Л2 (K) можно единственным образом записать в каноническом виде w = ^ ajXiYj. В некоторых случаях нам будет удобно представлять элементы жордановой плоскости в виде ^Xipi(Y), где pi(Y) Е K[Y]. Из линейной независимости мономов X• Y• следует, что такое представление единственно. Теперь мы можем корректно определить

n

degx w — степень по X элемента w, а именно мы будем говорить, что degx w = n, если w = ^ Xipi(Y),

i=0

где pn(Y) = 0. При этом degx wiw2 = degx wi +degx w2 для любых ненулевых элементов wi и w2 жордановой плоскости, так что жорданова плоскость не имеет делителей нуля. В случаях, когда нас будет интересовать только старший по degx член элемента w, мы будем использовать следующее обозначение: w = Xnpn(Y) + (degx < n). Умножение в алгебре Л2(К) устроено следующим образом [1].

n

' (т-1)!

Утверждение 4. Для любых т, п Е N умеет, место равенство YmXn = ( , ) ^;X1 ут+п 1.

1=0 \ Ч (m ''

В частности, если w = Y1 aijXiYj Е Л2(К), то Yw = w^Yk+1 и wX = Xw + w'yY2, где

k^0

uij' = a^ (^к\\Хг~кУЗ — формальная производная w no X, w'Y = j^ij^Y^-1 — формальная npo-изводная w по Y.

Из утверждения 4 следует, что Л2(K)Y = YЛ2(K) = YЛ2(K)Y, т.е. односторонний идеал, порожденный элементом Y, является двусторонним идеалом. Нам понадобится описание всех первичных идеалов жордановой плоскости над полем нулевой характеристики [1].

Теорема 1. Пусть char K = 0, I — собственный первичный идеал алгебры Л2 (K). Тогда либо I = (Y), либо I = (Y,^(X)) для некоторого неприводимого многочлена ^(X) Е K[X].

Нам также понадобится описание всех максимальных односторонних идеалов жордановой плоскости, содержащих элемент Y.

Утверждение 5. Пусть I — левый (правый) идеал алгебры Л2(K), причем Y Е I. Тогда I порождается как левый (правый) идеал элементом Y и некоторым многочленом ^(X) Е K[X]. При этом фактормодуль Л2 (k)/i изоморфен фактормодулю K[X]/(^(X)) с естественным действием, X и нулевым,

действием Y. В частности, такой идеал максимален тогда и только тогда, когда многочлен ^(X) неприводим.

Доказательство. Для определенности будем считать, что I — левый идеал, для правых идеалов доказательство аналогично. Множество I П K[X] является идеалом в кольце главных идеалов K[X]. Пусть I П K[X] = (^(X)) для некоторого многочлена ^(X). Далее, любой элемент w Е Л2(К) однозначно представляется в виде w = x(X) + uY для некоторых x(X) Е K[X] и u Е Л2(К). Если w = x(X) + uY Е I, то

X(X) £ IПК[Х]. Следовательно, I = Л2(К)К + К[Х]ф(Х). Так как КЛ2(К) = Л2(К)К, то на фактормодуле ^(k)/i элемент Y действует нулевым образом. Дальнейшее очевидно. □

4. Конечномерные неприводимые модули над жордановой плоскостью. Пусть K — поле нулевой характеристики.

Утверждение 6. Пусть M — неприводимый левый (правый) Л2(К)-модуль с ненулевым аннулято-ром. Тогда существует такой неприводимый многочлен ф(Х) £ K[X], что M изоморфен фактормодулю K[X]/^х)) с естественным действием X и нулевым действием Y. При этом dim^ M = degф(Х).

Доказательство. По утверждению 1 M = Л2 (K)/i для некоторого максимального левого (правого) идеала I. По утверждению 2 Ann M — ненулевой первичный идеал алгебры Л2(К), причем по утверждению 3 Ann M С I. Однако по теореме 1 любой ненулевой первичный идеал жордановой плоскости над полем нулевой характеристики содержит элемент Y. Следовательно, Y £ Ann M С I. Остается воспользоваться утверждением 5. □

Замечание 2. Очевидно, что фактормодули K [Х]/(фг (X)) и K [Х]/(ф2 (X)), где фг (X) ,ф2 (X) £ K [X], изоморфны тогда и только тогда, когда многочлены фг (X) и Ф2 (X) пропорциональны.

Утверждение 7. Неприводимый левый (правый) Л2(К)-модуль M конечномерен тогда и только тогда, когда Ann M = (0).

Доказательство. Если Ann M = (0), то из утверждения 6 следует, что dim^ M < о. Если Ann M = (0), то по замечанию 1 Л2(К) изоморфно вкладывается (как линейное пространство) в EndKM. Следовательно, dim^(EndKM) = о, так что dim^ M = ж. □

Комбинируя утверждение 6, замечание 2 и утверждение 7, мы получаем описание с точностью до изоморфизма всех конечномерных неприводимых Л2(К)-модулей.

Теорема 2. Пусть M — неприводимый конечномерный левый (правый) Л2(К)-модуль. Тогда существует такой неприводимый многочлен ф(Х) £ K[X], что модуль M изоморфен фактормодулю K [Х]/(ф (X)) с естественным действием, X и нулевым действием Y. При этом dim^ M = deg ф(Х)

и неприводимые конечномерные левые (правые) Л2(K)-модули изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие неприводимые многочлены пропорциональны. Если поле K алгебраически замкнуто, то любой конечномерный неприводимый левый (правый) Л2(K)-модуль изоморфен полю K, на котором элемент X действует как умножение на некоторый элемент а £ K, а элемент Y действует нулевым образом.

5. Примеры бесконечномерных неприводимых модулей. Пусть K — поле нулевой характеристики, f (Y) £ K[Y] \ (Y) — неприводимый многочлен. Положим I = Л2(К^(Y), M = Л2 (K)/I и докажем, что M является неприводимым бесконечномерным левым Л2(К)-модулем.

Утверждение 8. Пространство M является бесконечномерным.

Доказательство. В модуле M рассмотрим элементы X* +1. Если они линейно зависимы, то g(X) = wf (Y) для некоторых элементов g(X) £ K[X], w £ Л2(К). Однако в каноническом виде элемента wf (Y) обязательно присутствуют мономы вида XiYj, где j ^ 1, что противоречит линейной независимости мономов X* Y* в алгебре Л2(К). □

Утверждение 9. Идеал I является максимальным левым идеалом, т.е. модуль M неприводим.

Доказательство. Нам необходимо доказать, что Л2(K)f (Y) + Л2(К^ = Л2(К) для любого w £ I. Индукция по deg^ w. База индукции: пусть deg^ w = 0, т.е. w = w(Y) £ K[Y]. Так как многочлен f (Y) неприводим и w £ I, то (f (Y),w(Y)) = 1. Тогда a(Y)f (Y) + b(Y)w(Y) = 1 для некоторых многочленов a(Y),b(Y) £ K[Y]. Предположим, что если w £ I и degx w < n, то Л2(K)f (Y) + Л2(К^ = Л2(К).

n

Шаг индукции: пусть w = ^ Xl^i(Y) £ I. Очевидно, без ограничения общности можно считать, что

i=0

f (Y) f фn(Y). Рассмотрим элемент w = f (Y)w — Xn^n(Y)f (Y). С помощью утверждения 4 нетрудно показать, что w = Xn-i (n<fn(Y)f'(Y)Y2 + Фп-iY)f(Y)) + (degx <n — 1) £ Л2(К^(Y) + Л2(K)w, где f '(Y) = 0, так как char K = 0. Поскольку многочлен f (Y) неприводим, f (Y) £ (Y) и f (Y) f фn(Y), то f (Y) f (пфп^) f' (Y)Y2 + фn-1(Y)f (Y)). Таким образом, w £ I и deg^ w = n — 1. Остается воспользоваться предположением индукции. □

Итак, любым неприводимым многочленом f (Y) £ K[Y] \ (Y) задается неприводимый бесконечномерный левый Л2(К)-модуль. Покажем, что среди таких модулей имеются неизоморфные. Пусть аг,а2 £ K*,

аг = а2. Положим Ii = Л2(К)^ — ai), Mi = Л2 (к)/^, i = 1, 2.

Утверждение 10. Модули Mi и M2 неизоморфны: Mi ^ M2.

Доказательство. Предположим, что Mi = . Так как (Y — ai)(1 + Ii) = Ii, то в модуле M2 существует ненулевой элемент, аннулируемый элементом Y — ai. Следовательно, (Y — ai)w = u(Y — a2) для некоторых элементов w,u Е Л2(K), причем w /I2. Нетрудно показать, что любой элемент жордановой плоскости однозначно представим в виде w = g(X)+v(Y — a2) для некоторых элементов g(X) Е K[X], v Е Л2(К). Поскольку w Е I2, то мы без ограничения общности можем считать, что w = g(X) = 0. Итак, (Y —

ai)g(X) = u(Y — a2). Отсюда с помощью утверждения 4 получаем, что (a2 — ai)g(X) + ^ g(k)(X)а^+1 =

fc>i

U(Y — a2) для некоторого элемента U Е Л2(К). Так как ai = a2, то в левой части последнего равенства стоит некоторый ненулевой многочлен от X. Однако либо U = 0, либо в каноническом виде элемента U(Y — a2) обязательно присутствуют мономы вида X%Yj, где j ^ 1, что противоречит линейной независимости мономов X * Y * в алгебре Л2(К). □

Автор выражает искреннюю благодарность В. А. Артамонову за постановку задачи и руководство работой.

Работа выполнена при частичной поддержке гранта РФФИ № 06-01-00037 и гранта НШ-5666.2006.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Shirikov E.N. Two-generated graded algebras // Algebra and Discrete Math. 2005. 3. 64-80.

2. Артамонов В.А. Квантовая проблема Серра // Успехи матем. наук. 1998. 53, № 4. 3-76.

3. Brown K.A., Goodearl K.R. Lectures on Algebraic Quantum Groups. Basel; Boston: Birkhauser, 2002.

4. Шириков Е.Н. Жорданова плоскость над полем положительной характеристики // Матем. заметки. 2007. 82, № 2. 272-292.

5. Шириков Е.Н. Жорданова плоскость // Фунд. и прикл. матем. 2007. 13, № 2. 217-230.

6. McConnell J.C., Robson J.C. Noncommutative Noetherian Rings. Chichester; New York; Birsbane; Toronto; Singapore: John Wiley& Sons, 1987.

7. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М.: Мир, 1972.

Поступила в редакцию 11.02.2008

УДК 531

ФРАГМЕНТЫ ПЕРЕПИСКИ ЭЙЛЕРА ПО ВОПРОСАМ УСТОЙЧИВОСТИ КОРАБЛЯ

Н. М. Панькина1

Излагается эпизод научных исследований Л. Эйлера в период его пребывания в Санкт-Петербурге в 1730-х гг. В эти годы по поручению Петербургской академии наук Эйлер работал над проблемой кораблестроения. Результатом стал двухтомный трактат "Корабельная наука". Также освещаются взаимодействия М.В. Ломоносова с Эйлером по названной проблеме и впервые дан разбор части переписки Эйлера с западными учеными по теории устойчивости корабля.

Ключевые слова: "Корабельная наука", устойчивость корабля, кораблестроение.

An epizode of scientific researches of L. Euler during his stay in St. Petersburg in 1730ties is presented. In those years, Euler worked on problems of shipbuilding by order of the Petersburg Academy of sciences. The two-volume treatise "Naval science" appeared as a result. Cooperation of M.V. Lomonosov and L. Euler in this problem is also reported, and for the first time an analysis of a part of Euler's correspondence with western scientists concerning the vessel stability theory is given.

Key words: "Naval science," vessel stability, shipbuilding.

1 Панькина Наталья Михеевна — соискатель кабинета истории математики и механики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: pankina72@yandex.ru.