CC BY
12
ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ
НЕПРЕРЫВНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ И ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ СИСТЕМЫ В СМЫСЛЕ СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ Есаков В.А.1, Дудко В.Г.2, Шлопак А.А.3 Email: Esakov17145@scientifictext.ru
'Есаков Виталий Анатольевич - академик Российской академии космонавтики, кандидат технических наук, профессор; 2Дудко Владимир Григорьевич - кандидат технических наук, доцент; 3Шлопак Александр Анфирович - кандидат технических наук, доцент, кафедра К-' «Системы автоматического управления», Мытищинский филиал Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана (Национальный исследовательский университет), г. Мытищи
Аннотация: в работах [']-[3], [5]-[7] подробно рассматривалось решение смешанной задачи для систем дифференциально-функциональных уравнений. В [6] приведено решение этой задачи при простейших граничных условиях. В работе [7] представлен новый подход для доказательства основного тождества, необходимого для определения непрерывной зависимости решения дифференциально-функциональных уравнений от начальных условий и правых частей системы в смысле среднего квадратичного отклонения и сформулирована теорема, из которой будет следовать непрерывность. В данной статье приведено подробное оригинальное доказательство этой теоремы. Ключевые слова: уравнения, функциональный, теорема.
THE SOLUTION OF ONE MIXED TASK FOR THE SYSTEM OF THE TELEGRAPH EQUATIONS BY METHOD OF DIVISION OF VARIABLES Esakov V.A.1, Dudko V.G.2, Shlopak A.A.3
'Esakov Vitaly Anatolyevich - Academician of the Russian academy of astronautics, PhD in Engineering Sciences,
Professor;
2Dudko Vladimir Grigoryevich - PhD in Engineering Sciences, Associate Professor; 3Shlopak Alexander Anfirovich — PhD in Engineering Sciences, Associate Professor, DEPARTMENTK-' «AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS»,
MYTISHCHI BRANCH MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY N.E. BAUMAN (NATIONAL RESEARCH UNIVERSITY), MYTISHCHI
Abstract: in works ['] - [3], [5] - [7] the solution of the mixed problem for systems of differential-functional equations was discussed in detail. [6] shows the solution of this problem under the simplest boundary conditions. In [7], a new approach is presented to prove the basic identity necessary to determine the continuous dependence of the solution of differential-functional equations on the initial conditions and right parts of the system in the sense of an average standard deviation, and a theorem from which continuity will follow is formulated. This article provides a detailed original proof of this theorem.
Keywords: equations, functional, theorem.
УДК 681.5'
В [6] рассматривалась следующая система дифференциально-функциональных уравнений:
Lv[i,u] + Tv[x,t;i,u] = gv (у = 1,2) (1)
Здесь Lv [i, u] являются линейными дифференциальными выражениями
т Г- 1 л 01 с 5и
к [^ и] = А1 + + + А1+ ^и.
дх дх
т г- 1 ^ 01 _ 51 ди .
¿2 М = — + + С2 — + Бг1 + F2u, дt ох ох
Где коэффициенты А1,В^...,F2 - квадратные матрицы порядка т с элементами,
зависящими от X, t и определенными а прямоугольнике П. Векторы 1, и порядка т
являются искомыми; их компоненты зависят от X, t в П . Правые части системы уравнений
известны и имеют такую же структуру. Операторы Т [X, t'; 1, и] представляют собой т-
мерные векторные операторы типа Вольтерра, определенные для значений X, t в П и для
непрерывных в П векторов 1(X, t)и и(X, t); значения же этих операторов также
представляют собой непрерывные на П векторные функции.
Эта система дифференциально-функциональных уравнений рассматривалась при граничных условиях
Я' t ~ (С1 - Р)и + 011 + К1 д1 + S11Ш
0 _
дt
0 = 0, РТ 1и = 0
(2)
(С1 - рр )и - 021 - К01 - S2 Гш дt
=, = 0, РТ1 1x^1 = 0
Наряду с 11, и1 -решением системы уравнений (1), удовлетворяющим граничным условиям
(2), также рассматривалось решение 12, и2 при прежних граничных условиях (2) системы уравнений, отличающейся от системы (1) толь ко правой частью:
М12 , и2 ] + Ту[ X, t; 12 , и2 ]= !у У = 1,2) (3)
где Ш -известный т-мерный вектор, определенный и непрерывный в П.
Была сформулирована теорема, из которой будет следовать непрерывная зависимость решения от начальных условий и правых частей системы (1) в смысле среднего квадратичного отклонения.
Теорема. Пусть для некоторого а будет иметь место А > 0,(х е [0,1], t е [0, 0),
И при г е[0,t']
Як> 0, Sv > 0,^ е [0, г]у = 1,2)
Ш8„
(4)
-В2 |х=0> 0,В2 |х=1 > 0,--у + > 0,(у = 1,2)
Л
ШК
--¿--В,!х=0 +201 + 2аК > 0, ш
(5)
К
л
- ди +202 + 2аЯ2 > 0.
Пусть, далее, 11,и1,12,и2 - решения системы уравнений (1) и (3) соответственно,
удовлетворяющие граничным условиям (2). Тогда найдется такое число 3 > 0 (не зависящее от выбора конкретных решений), что для разностей 1 = 12 -11, и = и2 - и1 будет справедливо неравенство:
|а2 + u2)dx < ,9{ /(i2 + и2) |(=0 dx + (Д^,i) Ц +(R2i,^ и №} gк)2 ¿Х}
0
Г I 2
+1
0 0 ^=1
Докажем эту теорему.
При доказательстве теоремы будет использована следующая известная лемма.
Лемма 1. Если А и В - квадратные матрицы порядка т > 1 с элементами,
непрерывными по совокупности аргументов X, Г в П(х е [0,1], t е [0, Г ]), и матрица А > 0,
то при достаточно больших а будет иметь место а А + В > 0.
Будем предполагать, что О > 0 и квадратичная форма К (^ V) + 2]2 + IV2 отрицательно
определенная. Эта квадратичная форма подробно описана в [6]. Предположение не нарушит общности доказательства.
В самом деле, используя положительную определенность матриц А и лемму 1, путем увеличения О можно достигнуть того, что при достаточно большом О форма Ка (Ж у) + 2]2 + 2У2 будет отрицательно определенной.
Пользуясь неравенством 2 \ (а, Ь) \< а + Ь , получим:
2 \ (Т [х,Г;еа]!,еау]-Т [х,Г;еаГ]2,еаГУ2],]) \=
а а
= 2 \ (е^2 [ [х,Г;еа(¿,е0у] -Т [х,Г;eаt^еаV,]],е2.]) \<
<е~ш(т[х,t;еаeаtу,]-т [х,г;eаt|2,eаtу2])2 + eаt|2)\<
<Меа' (11 -12)2 + (У1 - у2)2 > + еа( |2 =е }(|2 + у2>/г + еаГ |2,
о о
2 \ (т [х, t; еа|1, еау ] - т2 [х, t; е^\2, eаtу2 ], у) \<
Г
/[( |2 + у2)^г + еа' у2,
0
2\(& - &, i) \< (& - + i2,
2 \ (ё2 -§2,у)\< (§2 -§2)2 + У2,
Таким образом,
/ад У)dx + 2е~аГ / [Т х, Г; е^, еаг у,] - Т[ х, Г; е^, елУ2], |) +
0 0
I _ _
+(Г2[х,г;е-11,eatу,] -Г2[х,Г;eаt]2,eаtу2],y)]dx + 2еа/[(gl -gl,|) + (g2 -g2,y)]dx <
0
I I г I _ _
</[ К а (I, У) + 2]2 + 2У2 Ух + /(I2 + У2)drdx + / [^ - gl)2 + (g 2 - g2)2]dx < 0 0 0 0 I I г I _ _
< /[ К а (I, У) + 2|2 + 2У2 ^х + 2^1 / (I2 + У2^х + / [(gl - gl)2 + ^ - g2)2]dx 0 0 0 0
0 < г < г < Г '
Учитывая полученное неравенство и (5), будем иметь: d 1
Л 0
{/ [(аi, i) + (а2 у, у)]ох + № i, i) + е-2аг (51 / еаг ¿¿г, /еаг jdг)] \х=0 +
г ь
<
+[(К ])+е-( (S2 } } еа Ш)] !х=}
< 2^}(j2 + \2)Штск + |[(& - &)2 + (ш2 -¿2)2]Шх
0 0
0 < Г < ! < {
Интегрируя по ! в пределах от t = 0 до t = t обе части последнего неравенства, получим:
/ ! !
}[(а], j) + (АV,у)]^ Шх + [(я], j) + (5!}eаtjdt,}еа ]ш1)][=1 +
+[(К j, j) + е~2ш (S2} еа jdt,} еа jdt )]|
- <
t=t 1
1
< } [(Alj, ]) + (Ау, у)] и0 Шх + [(я], ]) !t=0 +(К], ]) и +
о
1 1
+2^11 (j2 + у2)ШтШх + +}} [(Ш1 - Ш1)2 + (ш2 - ш2)2]Шх
0 0 0 0 Согласно условиям (4) отсюда имеем:
I 1
}[(А1 j, j) + (АV, V)] ! Шх < } [(А1], j) + (А2у, у)] и0 Шх + (К1], j) | 0 0 11 ! 1 _ _ +(Кj, j) 1=0 +2^ \\(j2 + у2)ШтШх + }}[(Ш1 - Ш1)2 + (ш2 - Ш2)2]Шх
£= 0 1
х=0 0 0 0 0
Откуда при 0 < t < t < t
I I
}[(А1], j) + (А2у, у)]Шх < }[(А1], j) + (А2у, у)] |,=0 Шх + (К1], |,=0 +
0 0 х= I г г I
+(Кj,1=0 +2^'Я(+ у2)ШтШх + }}[(¿1 -&)2 + (Ш2 -Ш2)2]Шх
(6)
Известно, что для симметричных матриц А1 и А2 справедливы следующие неравенства [4]
Л(А)j2 < (А11, <Л(А)j2
Л(А)у2 < (Ау,у) <Л(А,)у2,
где Л(А1), Л(А2 ) и Л(А1), Л(А2 ) - соответственно наибольшие и наименьшие
собственные значения матриц А1 и А2 в П. Отсюда
Л( А, А2)( j2 + у2) < ( а], + (А у, у) < Л( А, АХ ^ + у2),
где
Л(А1, А) = тахтах |Л(А1), Л(А2)|
1 t
Л(Ai, A2) = min min [Л(A1),Ä(A2)}
(заметим, что собственные значения матрицы, элементы которой непрерывно зависят от некоторых аргументов, также непрерывно зависят от этих аргументов).
Интегрируя левую часть предыдущих неравенств и учитывая неравенство (6), получаем: _ i i i
Л(Ai, A2)f (j2 + v2)dx < f [(Aij, j) + (A2v, v)]dx < f [(Aij, j) + (A2v, v)] U dx +
00 0
+[№.Ъ jH=0 +(R2 j, j)|t=0 +
x=0 x=0
l t t l +2ßtf f (j2 + v2)drdx + +f dtf [(gi - gi)2 + (g2 -g2)2\dx
0 0 0 0 В силу неравенства i _ i
{[(Aij, j) + (A2v, v)] U0 dx < Ä(Ai, 4){(j2 + v2) t=0 dx,
о 0
Получим
Л( Ai, A2) f (j2 + v 2)dx <I( Ai, A2) f (j2 + v2)|t=0 dx +
0 0
+(Rj j)|t=0 +(R2 j, j)|t=0 +
x=0 x=0
i t t i _ _ +2 ßt ff (j2 + v 2)dzdx + +f dtf [(gi - gi)2 + (g 2 - g 2f]dx
0 0 0 0
Или
1
J((2 + v2)dx <
0
<3j (j2 + v2)U dx+(Rj, j)t=0 +(Ä2j, j) lt=0 +j( (j2 + v2)drdx++jdtj [(gi-gi)2 + (g2-g2)2]dx[, (6)
x=0 x=0
где
rJ( Ai, A2) i 2ßt
3 = max <
¿(Ai,A) A(Ai,4) A(Ai,A2)^
ачения: f(j2 +v2)lt=0 dx = y(t),
Введем обозначения
i
f (j2 + v2) lt=0 dx + (Rij, j)lt=0 +(R2 j, j)lt=0 +f dtf [(gi-gi)2 + (g2-g2)2]dx = С
0 x=0 x=0 0 0
(С > 0)
В новых обозначениях неравенство (6) перепишется в следующем виде:
y(t) <3(С + fy(£)d£), t G[0,t]
t i
Известно, что если некоторая скалярная функция у(1) удовлетворяет неравенству t _ \у(1 )| < с(1 + к(|у(^, t е[0,а
0
где С > 0 Ь к > 0 - постоянные, то справедливо неравенство |у(1 )| < CeCkt t е[0,!],поэтому
У(1 ) < С3е3, t е [0, t],
В старых обозначениях последнее неравенство примет вид:
I
( (2 + у2)ШХ <
0
<3'|}(]2 + у2)!,=0 Шх + (К],j)!t=0 ^1=0 +Й[(¿1-&)2 + (¿2-¿2)2]Шх|е3'
[0 х=0 х=0 0 0 ]
t е [0, t], откуда полагая t = t,
I
( (Г +у2)\,-Шх <
0
Г ' ^ _ _ ]
<3'На2 + у2)!,=0 Шх + (К],^ +(К],^=0 +(Ш,([(¿1-&)2 + (¿2-Ш2)2Ше3
х=0 х=0
t е [0, t ]. Отсюда получим:
1
( (З2 + у2) !!=! Ш <
0
< 3" (((]2+у2) 1=0 Шх+(К], ]) и +(Кj, j) 1=0 +(ш,([(¿1 - ¿1)2 + (Ш2 -¿2)2]Шх|
[0 х=0 х=0 0 0 ]
где 3=3 е31 . Умножим обе части последнего неравенства на е2Ш > 0:
I
( а2е2а' + у2е2а' )Шх <
0
<3-е2а\((.¡2 + у2)!,=0 Шх + (К],^и +(К2а,йи }[(¿1-¿1)2 + (¿2-Ш2)2]Шх|. (7)
^ ф2 ^ 2x1 »2 2 ^ 2X1 2 > г/-\
Так как 1 < е и < е у при t е [0, t ] и, следовательно,
}(12 + и2)Шх <(о2е2(а + v2e2аt)dх, 0 0 Поскольку
}(12 + и2)^ <((]2 + у2)!,=0 Шх,
То из соотношения (7) следует основное неравенство, о котором говорилось в
формулировке теоремы. При этом нужно положить 3 = 3 в2Ш. Теорема доказана.
Список литературы / References
1. Мышкис А.Д. "Смешанные функционально-дифференциальные уравнения", Новые проблемы теории функционально-дифференциальных уравнений. СМФН. 4. МАИ. М., 2003. 5-120; Journal of Mathematical Sciences, 129:5 (2005), 4111-4226.
2. Мышкис А.Д. "Начальная задача для смешанных функционально-дифференциальных уравнений", Автомат. и телемех., 1999. № 3. 170-179; Autom. Remote Control, 60:3 (1999), 436-444.
3. Мышкис А.Д., Шлопак А.С. "Смешанная задача для систем дифференциально-функциональных уравнений с частными производными и операторами типа Вольтерра", Матем. сб. 41 (83): 2 (1957). 239-256.
4. Гельфанд И.М. "Лекции по линейной алгебре". М.: Наука, 1971.
5. Дудко В.Г., Сумительнов В.Н., Шлопак А.А. Решение одной смешанной задачи для системы телеграфных уравнений методом разделения переменных. Проблемы современной науки и образования, 2017. № 33 (115). 27-33.
6. Шлопак А.А. Решение смешанной задачи для линейных систем дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами при простейших граничных условиях, Проблемы современной науки и образования, 2017. № 16 (98). 26-30.
7. Есаков В.А., Дудко В.Г., Шлопак А.А. Об одном методе доказательства основного тождества, необходимого для определения непрерывной зависимости решения дифференциально-функциональных уравнений от начальных условий и правых частей системы в смысле среднего квадратичного отклонения. Проблемы современной науки и образования, 2018. № 12 (132). 51-56.
