О непрерывной зависимости частных производных от решения дифференциально-функциональных уравнений от начальных условий и правых частей системы в смысле среднего квадратичного отклонения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ

О НЕПРЕРЫВНОЙ ЗАВИСИМОСТИ ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ОТ РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОТ НАЧАЛЬНЫХ УСЛОВИЙ И ПРАВЫХ ЧАСТЕЙ СИСТЕМЫ В СМЫСЛЕ

СРЕДНЕГО КВАДРАТИЧНОГО ОТКЛОНЕНИЯ 1 2 Дудко В.Г. , Шлопак А.А. Email: Dudko17145@scientifictext.ru

1Дудко Владимир Григорьевич - кандидат технических наук, доцент;

2Шлопак Александр Анфирович - кандидат технических наук, доцент, кафедра К-1 «Системы автоматического управления», Мытищинский филиал Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана (Национальный исследовательский университет), г. Мытищи

Аннотация: в работах [1]-[7] приведено достаточно подробное решение смешанной задачи для систем дифференциально-функциональных уравнений. Простейшие граничные условия при решении этой задачи рассмотрены в [5]. В работе [6] представлен новый подход для доказательства основного тождества, необходимого для определения непрерывной зависимости решения дифференциально-функциональных уравнений от начальных условий и правых частей системы в смысле среднего квадратичного отклонения и сформулирована теорема. На основе этой статьи в [7] была доказана соответствующая теорема о непрерывной зависимости. В данной статье приведено доказательство теоремы о непрерывности частных производных от решения от начальных условий и правых частей системы в смысле среднего квадратичного отклонения. Ключевые слова: уравнения, функциональный, теорема.

ON THE CONTINUOUS DEPENDENCE OF PARTIAL DERIVATIVES ON THE SOLUTION OF DIFFERENTIAL-FUNCTIONAL EQUATIONS ON THE INITIAL CONDITIONS AND ON THE RIGHT-HAND SIDES OF THE SYSTEM IN THE SENSE OF STANDARD DEVIATION Dudko V.G.1, Shlopak A.A.2

1Dudko Vladimir Grigoryevich - PhD in Engineering Sciences, Associate Professor;

2Shlopak Alexander Anfirovich - PhD in Engineering Sciences, Associate Professor DEPARTMENT K-1 «AUTOMATIC CONTROL SYSTEMS» MYTISHCHI BRANCH BAUMAN MOSCOW STATE TECHNICAL UNIVERSITY (NATIONAL RESEARCH UNIVERSITY), MYTISHCHI

Abstract: in [1]-[7], a rather detailed solution of the mixed problem for systems of differential-functional equations is given. The simplest boundary conditions for solving this problem are considered in [5]. In [6], a new approach was presented to prove the basic identity necessary to determine the continuous dependence of the solution of differential-functional equations on the initial conditions and on the right-hand sides of the system in the sense of the mean square deviation, and a theorem was formulated. Based on this article, the corresponding continuous dependence theorem was proved in [7]. This article provides

a proof of the theorem on the continuity of partial derivatives of the solution of the initial conditions and the right-hand sides of the system in the sense of the standard deviation. Keywords: equations, functional, theorem.

УДК 681.51

В [5],[6] рассматривалась следующая система дифференциально-функциональных уравнений:

Lv [i,u] + Tv[x,t;i,u] = gv, (v = 1,2) (1)

где Lv [i, u] являются линейными дифференциальными выражениями

т г- л Л di D ai „ du

L I i, u I = A.— + Д — + C — + Д i + F1u,

1L J 1 at 1 ax 1 ax 1 1

T r. -i , ai ai au

L2 [i,u] = A^ — + B2 — + C2 — + D2i + F>u,

at ax ax

Там же подробно определялись коэффициенты, операторы и граничные условия. Относительно операторов T [x,t;i,u],v = 1,2 будем дополнительно предполагать,

что для некоторого целого p > 1 выполнено условие (Wp). Это условие заключается

в следующем: если для некоторого целого p , где 0 < p < p, в П существуют все непрерывные частные производные

ak i ak u „

atk af

d_

ax

i \ 'a 1,

at

V al

(k = 0,1,...,p -1),

(k = 0,1,..., p-1), (s = 1,2)

d_

ax

i ^ \ 'a u.

at

V al У

(под производной 0-го порядка понимается сама функция, если р = 0, то производные по X, конечно, не рассматриваются), то операторы

Т [X, t; 1,и],У = 1,2 имеют в П непрерывные частные производные по t до р - го

порядка включительно, причем найдется такое постоянное число /Ир > 0, что будет справедливо неравенство:

&L

atp

(Tv[x, t; i1, u1 ]- Tv[x, t; i2, u2 ])

atk

atk

л,

jx

0 k=0

<

atk

atk

dT

(0 < t <Г;0 <х < 1,у = 1,2)

(Заметим, что если рг < р2, то из выполнения условия (Жр2) следует выполнение условия (№л ). Так как сумма без слагаемых полагается равной нулю, то

при р = 0 условие (Жр ) превращается в условие (Ж )).

Теперь докажем теорему, из которой будет следовать непрерывная зависимость частных производных по t от решения в смысле среднего квадратичного отклонения.

2

Теорема.

Пусть выполнены условия Теоремы из [6]. Кроме того, пусть для некоторого р > 1 операторыТу[X,г; 1,и],У = 1,2 удовлетворяют условию (Жр), матрицы Ву и С У = 1,2)не зависят от г, матрицы р, Qv, р и -постоянны. Пусть в П (0 < x < 1,0 < г < г ) существуют непрерывные производные

ач ^ д^ д^ д% дк+11

дгк дг дгк дгк

дг

д_

дх

^ дк 1, ^

гк •¡к -1;

Чдг У

Як +1 д »у

дгк+1

1,

д_

' дх

д к -1

к

д »у

дгк V д У

' дгк+1 '

(* = 1,2,..., р? ;у = 1,2)

д г

к-\ и=0

= ^-Т 1=о = 0 (* = 1,2,..., р у = 1,2)

д^ х=1

Тогда существует число Зр > 0, зависящее только от коэффициентов системы уравнений (1) такое, что для разности решений

1 =

и = и.

Имеет место неравенство

дП

дгр

х (

д ри

V

дгр Vдl У

йх <Зр{

п к=0

2

дгк

'дк ^2

дгк Vдl

дх +

у

— ( дк 1 дк 1 ^ р ( дк 1 дк 1 ^ г р 2

г +Е ъ ,^т г0 +1

V ^ дгк, дгк У

к-Л Р (

г +Е

х=0 к=0 V

1 р 2

0 к=0 у=1

дк (!у-

дгк

йх}

У х-< 0

(0 < г < г')

Доказательство. Положим сначала, что р = 1. Тогда, дифференцируем по г системы уравнений (1) и

Мь^ЬТу [ х, г; 12,и2] = !у, Т = 1,2) (2)

отличающегося от (1) только правой частью, где ^ -известный т -мерный вектор, определенный и непрерывный в П. Обозначая - д1, - ди,

1

дг

дг

(* = 1,2),

получим, что 1, и1 уравнений:

, и2

удовлетворяют соответственно системам

. д 1 л дI ^ ди1 ^ дА-„_ дg1 дD, . дF1 д ^ .

А,— + В,—1 + С1—1 + (D1 +-1-) 1 + F1u1 --11,--1 и.--Т [ х, г; ь, и. ],

1 дг 1 дх 1 дх 1 дг ^ 11 дг дг 1 дг 1 дг а 1 и

. ди1 _ ди1 д 1 „ — де, дD, дг1 . д _ г . п А,—1+В2—1 + С1 -1 + т2 +—2)и1 + К1= —--2и1--111--Т [х,г; 11,и1 ], (3)

^ дг 2 Я,. 1 Я,. 2 Я* 1 21 Я* Я* 1 Я* 1 Я* 2 I 1 1 -I

дх

дх

ди

дг

дг дг

дг 1 дг

дА1 —

+ В1+ С1—2 + (Д + ¡2 + =

I дД . д^

дг

ди

дх ди

дх

дг

дг дг

дг

и2 Т [ X, г; 12 , и2 ]

дг

А2 ди2 +В2 ди2 + С1* ^^ + (В2 +дА2)и2 + F212 и2-дF212-А Т2 [х, г; 12, и2 ], (4)

2 дг 2 дх 1 дх 2 дг 2 дг дг 2 дг 2 дг 21 ^ 2]

Дифференцируя по г граничные условия из [4]

V

и

и

2

(С -РК + ® + R . + е^ \е«

(С -Р2К -®2 +aR2)js -R2 .-1е.'

5 0

(я = 1,2)

' 'е-

и пользуясь соотношениями 1 я (0,') = | ¡^^ (0,0), 1 , (I , '= 11 , (I , 0 )

и = 0, Р1Т . 1х=0 = 0 (5)

7 = 0, Р2 .я 1х=1 = 0

убеждаемся в том, что 1 и1 и ^ и2 удовлетворяют тем же граничным условиям (5) из [4].

Предполагая правые части систем уравнений (3) и (4) известными, непосредственно проверяем выполнимость условий теоремы из [4] для систем уравнений (3) и (4). Получим:

51Т Г5иI2

5' +

V

5')

I

(х <5{ |

5.

5'

I I

2

5')

V

Лх -

I „ 51 51V | п 51 51V г г 5 . Зй. 5К 5 .

5

5

5Д 5к

- — Т1[х,т; , и2]] + [^(§2 - §2) и1 + Т2[х,т; i2, и2] - Т2[ х,Т; i1, и1]] Ь^}

от от 5т от 5т 5т

Применяя условие (Жр) при р = 1 и оценивая коэффициенты максимумом

модуля, получим (5 > 5):

I

I

'51V Г5и V2 .5') +15')

I

(х <5{|

51V2 15иЛ ч5') + V 5')

\'=0

Лх +

R1I,1 ] ' +1^ 5,I ] ' +| ^ ^ + и2 ^^ +| ^ (х| ^ (х,+ и2 (х,+

+

г I т

| (т| (х|

0 0 0

51 V2 15и 42

5а ) V 5а

0 0

' I

(а +| (т|<

0 0

" 5V

5т

" 5 л" — (§2 - §2) 5т

Или, учитывая оценку интеграла

' I (т \ ' I ( ' \ I '

II(12 + и2)(а Лх <|I(12 + и2)(а Лх < (12 + и2)(х(' <

0 0 V 0

I '

<

0 0 V 0

00

' II(12 + и2)Лх('

0 0

и, преобразуя аналогичным образом следующее за этим интегралом слагаемое, будем иметь (5 > 5) :

51V2 15и4

.а) +15")

(х

51V2 15иЛ ч5') + V 5')

Лх +

+

2

2

' Si Si Y ( Si Si Y r , r

о 0

St StJ 7=0 t i

St St j x=i ti

(gl - gl)

St

(g2 - g2)

St

ydx +

+j dT j( i2 + u2) dx +j dzj

Si Y2 Г Su л 2

St J +ls7

dx }

0 0 0 0 Снова оценивая предпоследнее слагаемое получим, что найдется такое число

3 > 3, при котором будет иметь место неравенство:

Si Y Г Su

, St J 1 St

dx <3{j

+ fSU Y

V St J 1 St J

,2 2 Г Si Y Г Su i2 + u2 +

dx +

< ^1 )+l* I • I Jt

(i )+\R §. I jt

bj dTi

о о

t 1

(gl - gl)2+(g2 - g2)2 +

T"(gi - gi)

St

T" (g2 - g2 )

St

dx +

Sl

St

St

V

dx}}

0 0

Таким образом, приходим к окончательному неравенству, сформулированному в

теореме, где ^ = Зет . Следовательно теорема доказана при р = 1. Точно так же, путем дифференцирования по г равенств (3) и (4), применяя аналогичные оценки, теорема доказывается для любого целого р > 1.

Список литературы /References

1. Мышкис А.Д. Смешанные функционально-дифференциальные уравнения, Новые проблемы теории функционально-дифференциальных уравнений. СМФН. 4. МАИ. М., 2003. 5-l20; Journal of Mathematical Sciences, l29:5 (2005), 4lll-4226.

2. Мышкис А.Д.Начальная задача для смешанных функционально-дифференциальных уравнений. Автомат. и телемех., l999. № 3, l70-l79; Autom. Remote Control., 60:3 (l999), 436-444.

3. Мышкис А.Д., Шлопак А.С. Смешанная задача для систем дифференциально-функциональных уравнений с частными производными и операторами типа Вольтерра. Матем. сб., 4l(83):2 (l957), 239-256.

4. Дудко В.Г.,, Сумительнов В.Н., Шлопак А.А. Решение одной смешанной задачи для системы телеграфных уравнений методом разделения переменных. Проблемы современной науки и образования, 20l7. № 33 (ll5). 27-33.

5. Шлопак А.А. Решение смешанной задачи для линейных систем дифференциально-функциональных уравнений с постоянными коэффициентами при простейших граничных условиях, Проблемы современной науки и образования, 20l7. № l6 (98). 26-30.

6. Есаков В.А., Дудко В.Г., Шлопак А.А. Об одном методе доказательства основного тождества, необходимого для определения непрерывной зависимости решения дифференциально-функциональных уравнений от начальных условий и правых частей системы в смысле среднего квадратичного отклонения. Проблемы современной науки и образования, 20l8. № l2 (l32). 5l-56.

+

7. Есаков В.А., Дудко В.Г., Шлопак А.А. Непрерывная зависимость решения дифференциально-функциональных уравнений от начальных условий и правых частей системы в смысле среднего квадратичного отклонения. Проблемы современной науки и образования, 2019. № 12 (145).

ВОЗДЕЙСТВИЕ СИЛ НЕГАТИВНОГО ТРЕНИЯ НА СВАЮ ПРИ

ПРОСАДКЕ ГРУНТОВ

1 2 3

Бахромов М.М. , Рахмонов У.Ж. , Отабоев А.Б. Email: Bakhromov17145@scientifictext.ru

1Бахромов Махмуд Маматханович - кандидат технических наук, доцент;

2Рахмонов Улмасбек Жуманазарович - ассистент;

3Отабоев Абдужалил Бобиржон угли - ассистент, кафедра строительства зданий и сооружений, Ферганский политехнический институт, г. Фергана, Республика Узбекистан

Аннотация: в статье приведен предлагаемый расчетный метод определения суммарных сил негативного трения, учитывающий напряженно-деформированное состояние грунта основания. Что для определения величины суммарных сил негативного трения определяющее значение имеет длина участка сваи, в пределах которого действуют удельные силы негативного трения. Длина последнего зависит от местоположения нейтральной точки, в которой выполняется условие равенства осадок сваи и оттаивающего грунта. Приведено сопоставление данных расчета с опытными данными. Для сопоставления величин сил негативного трения, полученных расчетом, использовались результаты испытаний моделей сваи в лабораторных условиях. Также обоснована методика лабораторного определения необходимых для ее реализации механических характеристика грунтов.

Ключевые слова: сваи, сил негативного трения, просадка грунта, нейтральная точка, перемещение, предельное состояние, радиальное и касательное напряжение, одиночные сосредоточенные силы, шероховатость, нормальный к плоскости сдвиг, напряжение, трехдиапазонное напряжение.

INFLUENCE OF FORCES OF NEGATIVE FRICTION ON PILES WHEN LANDING SOILS Bakhromov M.M.1, Rakhmonov U.J.2, Otaboev A.B.3

1Bahromov Makhmud Mamathanovich - Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor;

2Rakhmonov Ulmasbek Jumanazarovich - Assistant; 3Otaboev Abdujalil Bobirjon ugli - Assistant, DEPARTMENT OF CONSTRUCTION OF BUILDINGS AND STRUCTURES, FERGHANA POLYTECHNIC INSTITUTE, FERGHANA, REPUBLIC OF UZBEKISTAN

Abstract: the article presents the proposed calculation method for determining the total negative friction forces, taking into account the stress-strain state of the base soil. That to determine the magnitude of the total negative friction forces, the length of the pile section, within which the specific forces of negative friction acts, is of decisive importance. The length of the latter depends on the location of the neutral point at which the conditions of equality of sediment pile and thawing soil. A comparison of the calculation data with the experimental ones is given. To compare the values of negative friction forces obtained by