CC BY
9
УДК 510.51
DOI 10.24147/1812-3996.2020.25(2).9-12
НЕПЛОТНОСТЬ ГЕНЕРИЧЕСКОИ m-СВОДИМОСТИ ДЛЯ РЕКУРСИВНО ПЕРЕЧИСЛИМЫХ МНОЖЕСТВ
А. Н. Рыбалов
Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, г. Омск, Россия
Информация о статье
Дата поступления 07.04.2020
Дата принятия в печать 13.05.2020
Дата онлайн-размещения 30.07.2020
Ключевые слова
Генерическая сводимость, рекурсивно перечислимые множества
Финансирование
Работа поддержана программой фундаментальных научных исследований СО РАН 1.1.1.4, проект 0314-2019-0004
Аннотация. В 2003 г. И. Капович, А. Мясников, В. Шпильрайн и П. Шупп предложили генерический подход к теории вычислимости и вычислительной сложности. В рамках этого подхода алгоритмическая проблема рассматривается не на всем множестве входов, а на некотором подмножестве почти всех входов. К. Джокуш и П. Шупп в 2012 г. начали изучение генерической вычислимости в контексте классической теории вычислимости. В частности, они ввели генерический аналог тьюринговой сводимости. А. Рыбалов в 2018 г. предложил генерический аналог классической т-сводимости. В данной статье доказывается, что генерическая т-сводимость, в отличие от классической т-сводимости, не является плотной для рекурсивно перечислимых множеств.
NON-DENSITY OF GENERIC M-REDUCIBILITY FOR C.E. SETS
A. N. Rybalov
Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Omsk Branch, Omsk, Russia
Article info
Received 07.04.2020
Accepted 13.05.2020
Available online 30.07.2020
Abstract. Generic-case approach to algorithmic problems was suggested by I. Kapovich, A. Myasnikov, V. Shpilrain and P. Schupp in 2003. This approach studies behavior of an algorithm on typical (almost all) inputs and ignores the rest of inputs. C. Jockusch and P. Schupp in 2012 began the study of generic computability in the context of classical com-putability theory. In particular, they defined a generic analog of Turing reducibility. A. Rybalov in 2018 introduced a generic analog of classical m-reducibility. In this paper we study the generic m-reducibility for c.e. sets and prove that unlike classical m-reducibility, generic m-reducibility does not have the density property for c.e. sets.
Keywords
Generic computability, c.e. sets
Acknowledgements
This research was Supported by the program of basic scientific researches SB RAS I.1.1.4, project 0314-2019-0004
1. Введение
Генерический подход был предложен в 2003 г. И. Каповичем, А. Мясниковым, В. Шпильрайном и П. Шуппом в [1]. В рамках этого подхода изучается
поведение алгоритмов на множестве «почти всех» входов (это множество называется генерическим), игнорируя поведение алгоритма на остальных входах, на которых алгоритм может работать медленно
или вообще не останавливаться. Такой подход имеет приложения в криптографии, где требуется, чтобы алгоритмические проблемы были трудными для «почти всех» входов. Понятие «почти все» формализуется введением асимптотической плотности на множестве входных данных. С точки зрения практики алгоритмы, решающие быстро проблему на ге-нерическом множестве, так же хороши, как и быстрые алгоритмы для всех входов. Генерический подход применим также и к алгоритмически неразрешимым проблемам: может оказаться, что проблема трудноразрешима или вообще неразрешима в классическом смысле, но легкоразрешима в смысле ге-нерическом. Большой интерес как с теоретической точки зрения, так и с точки зрения практических приложений представляют алгоритмические проблемы, которые остаются неразрешимыми или трудноразрешимыми и в генерическом случае. Например, в современной криптографии интересны такие проблемы, которые, являясь (гипотетически) трудными в классическом смысле, остаются трудными и в генерическом смысле, т. е. для почти всех входов. Это объясняется тем, что при случайной генерации ключей в криптографическом алгоритме происходит генерация входа некоторой трудной алгоритмической проблемы, лежащей в основе алгоритма. Если проблема будет генерически легкоразрешимой, то для почти всех таких входов ее можно будет быстро решить и ключи почти всегда будут нестойкими. Поэтому проблема должна быть трудной для почти всех входов. Например, таким поведением обладают классические алгоритмические проблемы криптографии: проблема распознавания квадратичности вычетов, проблема дискретного логарифма, проблема извлечения корня в группах вычетов (проблема обращения функции RSA). Генерическая неразрешимость некоторых алгоритмических проблем была установлена в работе [2]. Там же был предложен метод доказательства ге-нерической неразрешимости - так называемый метод генерической амплификации.
В 2012 г. К. Джокуш и П. Шупп [3] начали изучение классической теории вычислимости в рамках ге-нерического подхода. В частности, они ввели понятие грубой вычислимости, когда алгоритм может ошибаться на пренебрежимом множестве входов. Также они изучили связь между генеричностью и такими классическими понятиями теории вычислимости, как иммунность, би-иммунность, гипериммунность и др. Кроме того, ими были введены аналоги тьюринговой сводимости для генерической вычислимости. Также была поставлена проблема изучения структуры степеней генерической сводимости.
-ISSN 1812-3996
Нужно отметить, что важную роль в этой работе играет генерическая амплификация из публикации [2], примененная к подмножествам натуральных чисел. Эта статья привлекла внимание специалистов по теории вычислимости к генерическому подходу и вызвала большое количество публикаций, посвященных генерической теории вычислимости.
Представляют интерес и генерические аналоги других типов классических сводимостей. Например, в работе [4] был предложен генерический аналог классической m-сводимости и были доказаны стандартные свойства этой сводимости: рефлексивность, транзитивность, сохранение свойства (эффективной) генерической разрешимости. Р. Ишкуватов в публикации [5] доказал, что любые два рекурсивных множества, не являющиеся генерическими или прене-брежимыми, генерически m-эквивалентны. В данной статье изучаются свойства генерической m-сво-димости для рекурсивно перечислимых множеств. Доказывается, что, в отличие от классической m-сво-димости, отношение генерической m-сводимости не является плотным для рекурсивно перечислимых множеств.
2. Генерическая m-сводимость
Пусть ш - множество натуральных чисел с нулем, представленных в двоичном виде. Под размером натурального числа будем понимать длину его двоичной записи. Для подмножества Sсш определим последовательность
S I
Р „ (S) = , n = 1,2,3,..., kl
где ш - множество натуральных чисел размера n, а Sn = Sпш - множество элементов из S размера n. Асимптотической плотностью множества S назовем предел (если он существует) p(S) = limpn (S).
Множество S называется генерическим, если p(S) = 1, и пренебрежимым, если p(S) = 0. Алгоритм А:ш^ш называется генерическим, если множество {х еш: А(х) tj пренебрежимо. Алгоритм
А:называется эффективно генерическим, если
1. А останавливается на всех входах из ю;
2. Множество {х еш: А(х) = ?} пренебрежимо.
(Эффективно) генерический алгоритм А вычисляет функцию f:ш^ш , если для всех хеш имеет место: если А(х) = y еш , то f(x) = y. Множество Sсш называется генерически (эффективно)
Вестник Омского университета 2020. Т. 25, № 2. С. 9-12
ISSN 1812-3996-
разрешимым, если существует (эффективно) генери-ческий алгоритм, вычисляющий характеристическую функцию S. В противном случае множество S называется (эффективно) генерически неразрешимым. Легко видеть, что из эффективной генерической разрешимости следует генерическая разрешимость, а из генерической неразрешимости следует эффективная генерическая неразрешимость.
Напомним, что множество Aси называется иммунным, если оно бесконечно и не содержит бесконечных рекурсивно перечислимых подмножеств. Множество Bси называется простым, если B рекурсивно перечислимо и B иммунно. В статье [3] было доказано, что любое простое пренебрежимое множество является генерически неразрешимым, и построено простое пренебрежимое множество. Отметим, что более сильный факт был установлен ранее в публикации [2].
Множество Aси генерически m-сводится к Bси (обозначается A <gm B ), если существует вычислимая всюду определенная функция f:ю^ю такая, что
1. Vxею xе A « f (x)eB;
2. VSсю, если S непренебрежимо, то и f(S) непренебрежимо.
Как и в классическом случае, A = B означает,
что A <gm B и B <gm A. Также будем писать A <gm B,
если A <gm B, но не B <gmA
3. Основной результат
Следующее утверждение показывает, что, в отличие от классической m-сводимости, отношение генерической m-сводимости не является плотным для рекурсивно перечислимых множеств.
Теорема 1. Существуют генерически неразрешимые рекурсивно перечислимые множества A и B такие, что
1. A <gmB;
2. Если для некоторого рекурсивно перечислимого множества C имеет место A<gm C<gm B, то
либ° C =gmA, либ° C =gm B
Доказательство. Пусть A - пренебрежимое простое множество, а B = 2A = \2x: x е A}. Тогда A <gm B с помощью сводящей функции f(x) = 2x. Но не B<gm A, так как в дополнении B есть непренебрежимое рекурсивное множество D = \2п +1:п ею}, а в дополнении A нет непрене-
брежимых (даже бесконечных) рекурсивно перечислимых множеств.
Пусть теперь для некоторого рекурсивно перечислимого множества С имеет место А<дт С<дт В.
Допустим, что сводимость А<дт С осуществляется функцией д(х), а сводимость С <дт В осуществляется функцией /(х). Рассмотрим множество /~г(О). Возможны два случая.
Случай 1: множество /г(О) пренебрежимо. Тогда С <дт А с помощью следующей вычислимой функции И(х):
\/(х)/2,х г / -'(О), [с, х е /-'(О),
где с ею \ А. Проверим, что Ь(х) осуществляет сводимость С<дт А. Пусть 5сю непренебрежимо. Так как множество /г(О) пренебрежимо, то множество
h(x) = <
5п/ х(О) непренебрежимо, поэтому
И(5 п ГЙО)) = / (5 п ~Г(Р))/2 непренебрежимо, так как функция /(х) осуществляет сводимость С<дт В. Отсюда множество Ь(5) непренебрежимо. Таким образом, С<дт А и С =дт А.
Случай 2: множество / г(О) непренебрежимо. Тогда В<дт С с помощью следующей вычислимой функции б(х) :
\д(х /2), х г О, [г(х), х еО,
где функция г(х) отображает множество О в непре-небрежимое множество / г(О) следующим образом. Так как множество / г(О) непренебрежимо и рекурсивно, то существует вычислимая последовательность натуральных чисел п,п2,-.,пк,-. такая, что для любого к имеет место
/\О)п'
s(x) =
>е> 0
(1)
для некоторого фиксированного рационального е> 0. Определим функцию г (х) для любого 2т +1 е О следующим образом. Напомним, что размер з'че(х) - это число знаков в двоичной записи натурального числа х. Пусть пк <Б'ие(2т +1) <пк+1. Алгоритм для вычисления функции г(х) работает следующим образом. Первое число из этого интервала переводит в первый элемент из / г(О) , вто-
w
n
■ ISSN 1812-3996
рое - во второй элемент из / и так далее до тех пор, пока элементы / г(О) не кончатся. Затем очередное число переводится в первый элемент из / г(О) и так далее по циклу. Таким образом, все нечетные числа интервала пк <з'ив(2т +1) <пк+1 отображаются в множество /_1(О) .
Докажем, что для любого непренебрежимого 5 с О множество г(5) с /г(О) будет непренебре-жимым. Так как 5 непренебрежимо, то для некоторой бесконечной последовательности т ,т ,...,т ,... имеет место
S„
ю„
>8> 0
(2)
для некоторого фиксированного рационального 5>0. Заметим, что для каждого } по построению функции г(х) имеет место г(5т ) с /^1(О„) для к такого, что п < т. < пк+1. Из неравенства (2) следует
5„ >8 ю„ >8Й .
Из неравенства (1) следует
\f"(D)J >еК I-
Теперь из построения функции r(x) следует,
что
или
|(r (S^ »„J > min{6,8}|ra„
\r (Sm
-> min{s,8}> 0
для любого }. Откуда следует, что г(5) непренебрежимо.
Докажем теперь, что функция 5(х) осуществляет сводимость В<дт С. Пусть 5сю непренебрежимо. Тогда хотя бы одно из множеств 5 шО и 5 ш О непренебрежимо. Если 5 шО непренебрежимо, то г(5шО) непренебрежимо. Если 5шО непренебрежимо, то множество д(5 ш О)/2 непренебрежимо, так как функция д(х) осуществляет сводимость А<дт С. Таким образом, В<дт С и С =дт В. Теорема доказана.
СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ
ю
n
1. Kapovich I., MyasnikovA., Schupp P., Shpilrain V. Generic-case complexity, decision problems in group theory and random walks // J. Algebra. 2003. 264. № 2. P. 665-694.
2. Myasnikov A., Rybalov A. Generic complexity of undecidable problems // Journal of Symbolic Logic. 2008. Vol. 73, № 2. P. 656-673.
3. Jockusch C., Schupp P. Generic computability, Turing degrees, and asymptotic density // Journal of the London Mathematical Society. 2012. Vol. 85, № 2. P. 472-490.
4. Rybalov A. A generic m-reducibility // Lecture Notes in Computer Science. 2018. Vol. 10936. P. 359-364.
5. Ishkuvatov R. Every computable set is generically reducible to every computable set that does not have density 0 or 1. URL: https://arxiv.org/abs/1810.00449.
ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ
Рыбалов Александр Николаевич - кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории комбинаторных и вычислительных методов алгебры и логики, Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, Омский филиал, 644099, Россия, г. Омск, ул. Певцова 13; e-mail: alexander. rybalov@gmail.com.
INFORMATION ABOUT THE AUTHORS
Rybalov Alexander Nikolaevich - Candidate of Psysical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, Laboratory of Combinatorial and Computational Methods of Algebra and Logic, Sobolev Institute of Mathematics SB RAS, Omsk Branch, 13, ul. Pevtsova, Omsk, 644099, Russia; e-mail: alexander.rybalov@gmail.com.
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ FOR QTATIONS
Рыбалов А.Н. Неплотность генерической m-своди- Rybalov A.N. Non-density of generic m-reducibility for
мости для рекурсивно перечислимых множеств // c.e. sets. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of
Вестн. Ом. ун-та. 2020. Т. 25, № 2. С. 9-12. DOI: Omsk University, 2020, vol. 25, no. 2, pp. 9-12. DOI:
10.24147/1812-3996.2020.25(2).9-12. 10.24147/1812-3996.2020.25(2).9-12. (in Russ.).
