НЕОДНОРОДНЫЕ САНИ ЧАПЛЫГИНА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Нелинейная динамика. 2017. Т. 13. № 4. С. 625-639. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru DOI: 10.20537/nd1704014

УДК: 531.38 MSC 2010: 37J60

Неоднородные сани Чаплыгина

*

А.В.Борисов, И. С. Мамаев

В работе исследуется динамика системы, которая является обобщением саней Чаплыгина на случай неоднородной неголономной связи. Выполнено явное интегрирование и достаточно полный качественный анализ динамики.

Ключевые слова: сани Чаплыгина, неоднородные неголономные связи, законы сохранения, качественный анализ, резонанс

Введение

В этой работе рассмотрено движение саней Чаплыгина — твердого тела, опирающееся на горизонтальную плоскость двумя гладкими ножками и лезвием (коньком). При этом проекция линейной скорости точки контакта v лезвия на перпендикуляр к его плоскости равна некоторой постоянной величине vo. Случай vo = 0 был рассмотрен С.А.Чаплыгиным [24] и К. Каратеодори [12]. Обсуждение этой задачи имеется также в книге Ю.М.Неймарка и Н.А.Фуфаева [22]. Движение саней в поле тяжести на наклонной плоскости рассмотрено в [9].

В данной работе мы исследуем систему, которая описывается классической неголоном-ной моделью движения и получается из принципа Даламбера-Лагранжа. Вакономные сани Чаплыгина, полученные из вариационного принципа Гамильтона, рассмотрены в [20]. Связка двух саней Чаплыгина, называемая роллер-рейсер (roller-racer), исследовалась недавно в работе [1].

* Перевод статьи "An inhomogeneous Chaplygin sleigh", опубликованной в журнале Regular and Chaotic Dynamics, 2017, vol.22, no. 4, pp. 435-447.

Получено 02 июня 2017 года После доработки 06 июля 2017 года

Борисов Алексей Владимирович borisov@rcd.ru Мамаев Иван Сергеевич mamaev@rcd.ru

Математический институт им. В. А.Стеклова РАН 119991, Россия, г. Москва, ул. Губкина, д. 8

Укажем, что связь в санях Чаплыгина может быть реализована при помощи колесной пары [6]. В этом смысле рассматриваемая в работе неголономная связь vo = 0 может интерпретироваться как некоторый увод колеса, возникающий вследствие деформации пневматика. Такая концепция была предложена Рокаром [15] и носит его имя (см. также [23]). Другой реализацией связи является качение омниколесной тележки, в которой скорость вращения колесиков на ободе задается постоянной [5].

Задача Суслова с неоднородной связью рассмотрена в [13]. В этой работе был указан новый первый интеграл, не являющийся полиномом по скоростям, а также получено явное решение. С классическим вариантом задачи Суслова можно ознакомиться по работе [2].

В данной работе мы указываем новый первый интеграл, являющийся непосредственным обобщением интеграла энергии. Этот интеграл не является очевидным, так как в случае неоднородных связей интеграл энергии, вообще говоря, не существует [11, 16]. В работе мы приводим явное решение, указываем квадратуры для точки контакта и делаем из них вывод о качественных свойствах движения. Некоторые траектории построены явно.

Интересной особенностью движения саней является наличие компактных и рассеивающих траекторий, которые имеют существенно более сложный вид по сравнению с классическим случаем vo = 0. Вследствие интегрируемости угол рассеяния может быть вычислен явно, как и в случае vo =0 (см. [22]). Благодаря реализации связи в санях с помощью колесной пары результаты работы могут быть полезны для различных областей мобильной робототехники, использующей неголономные модели [3, 14]. В данной работе мы развиваем общий подход иерархии динамики к неголономным системам (см., например, [8, 10]), который в случае интегрируемых систем приводит к наиболее полным результатам [4].

Отметим, что существенно большее многообразие траекторий по сравнению с классическими санями Чаплыгина возникает при использовании в кинетической энергии саней дополнительных членов, возникающих за счет «инерции» идеальной жидкости. Это, по мнению авторов [17], возможно в рамках гидродинамической интерпретации (уравнений Кирхгофа). Случай с таким обобщением представлял бы существенный математический интерес, однако, указанная интерпретация вряд ли возможна. Обсуждение этого круга вопросов имеется в [18-20].

1. Уравнения движения и законы сохранения

Рассмотрим плоское движение твердого тела, для описания зададим две системы координат:

- неподвижную (инерциальную) Oxy,

- подвижную, жестко связанную с телом OiХ1Х2.

Конфигурационное пространство N в данном случае совпадает с группой движений плоскости SE(2), параметризуем его декартовыми координатами (x,y) начала подвижных осей Oi и их углом поворота ф, то есть N = {q = (x,y,^)} (см. рис. 1).

Обозначим угловую скорость тела и, проекции на подвижные оси OiXiyi скорости начала отсчета Oi — как vi, V2. Уравнение связи в векторных переменных представляется в форме

nivi + n2v2 + n3u = const,

где ni, П2, Пз — некоторые постоянные. Если n2 +n2 = 0, то это уравнение имеет физический смысл, который мы сейчас проясним (случай nf + n2 = 0 мы ниже рассмотрим отдельно).

Рис. 1

Рис. 2

Рассмотрим в теле некоторую точку A, в которой задан постоянный в подвижных осях O\XiX2 вектор n = (ui,u2) (в задаче Чаплыгина это был вектор нормали к плоскости колесика, реализующего связь, см. рис. 1). Обобщение связи Чаплыгина зададим в виде

(va, n) = u1v1 + u2v2 + (d1u2 — d2u1)ш = v0 = const, (1.1)

где d = (d1, d2) — вектор, соединяющий точки O1 и A. В книге Рокара [15] показано, что если вместо твердого колесика используется пневматическое, то связь имеет именно форму (1.1) с vo = 0.

Выберем теперь систему, связанную с телом специальным образом так, чтобы ось O1X2 была параллельна вектору n и проходила через точку A и, кроме того, ось O1 X1 проходила через центр масс тела C (см. рис. 2). В этом случае уравнение связи (1.1) записывается в форме

f = v2 = v0 = const. (1.2)

Кинетическая энергия тела представляется в виде

1 Í 2 2 \ 1 2 Т = -m[yi + v2) + -I и + mauv 2,

где m, I — масса и момент инерции тела относительно точки O1 (нецентральный), a — расстояние от начала координат O1 до центра масс (см. рис. 2).

Уравнения движения, полученные с помощью принципа Даламбера-Лагранжа, представляются в виде

Ш1\-шШ1 = x^L ( дТ Y , „ дТ = д df dv\) dv2 dv\ \dv2 J dv\ dv2

dT\,v3T dT _ (L3)

TT- + V\---V2-— — A——,

дш J dv2 dv1 дш

X = v1 cos ф — v2 sin ф, y = v1 sin ф + v2 cos ф, ф = ш,

где неопределенный множитель Л — реакция связи.

Случай a = 0. Исключим неопределенный множитель и ограничим систему на связь (1.2) с учетом v2 = 0, тогда после обезразмеривающих замен переменных и времени вида

vi —vqI'i lo —x a,x, у —ay, ф ф, dt ^dt,

получим замкнутую систему пяти уравнении

2

V1=lü(LÜ-1), Ü = -AV1U>, A = x = vi cos ( — sin (, y = vi sin ( + cos (, ф = и.

Согласно теореме ШтеИнера, I = Ic + ma2, где Ic — центральный момент инерции тела, откуда заключаем, что

0 < A < 1.

Как и в задаче о санях Чаплыгина, система (1.4) допускает сингулярную инвариантную меру

ц = u-i dvi du dx dy d(.

Помимо этого, система обладает квадратичным первым интегралом (который обобщает интеграл энергии):

Е = + - I)2. (1.5)

Случай a = 0. При этом мы можем обезразмерить лишь скорость vi:

Vi — vovi.

Система (1.3) после исключения неопределенного множителя представляется в виде

v i = —и, и = 0, x = vo(vi cos ( — sin (), y = vo(vi sin ( + cos(), ф = и.

Эта система допускает стандартную инвариантную меру

ц = dvi du dx dy d(

и линейный первый интеграл

F = и.

2. Явное интегрирование при a = 0

Зафиксируем величину угловой скорости

и = и0 = const.

При ио = 0 получаем

vi = u0 = const, ( = (0 = const

и, соответственно,

x = xo + vo(uo cos (0 — sin (o)t, y = yo + vo(uo sin (0 + cos (po)t.

Следовательно, тело движется вдоль прямой линии, сохраняя ориентацию. При Uo = 0 сделаем замену времени и переменных

d,T = LOodt, vi = wo и, x = щХ, у = щУ.

Получим

йи

= -1,

(IX йт

йт

и 008 ф — ЭШ ф,

йф йт

йт

= 1,

и 8Ш ф + С08 ф.

Отсюда находим

ф = т шоё 2п, и = и0 — т, X = (и0 — т) 8ш т, У = — (и0 — т) оо т,

где начало отсчета времени выбрано таким образом, что ф = 0 при т = 0.

Итак, мы видим, что тело равномерно вращается и точка 0\ движется по раскручивающейся спирали (см. рис. 3), в то время как в задаче об «однородных санях Чаплыгина» точка О1 движется по окружности.

Рис. 3. Характерный вид траектории точки О1 (ио = 0).

3. Явное интегрирование при а = 0

Вследствие существования интеграла (1.5) проекции траекторий системы (1.4) на плоскость (ы,ш) представляют собой эллипсы (см. рис. 4). Прямая и = 0, как в задаче Чаплыгина, заполнена неподвижными точками, траектории системы асимптотически стремятся к ним: к точкам на полуоси VI > 0 при Ь ^ и к точкам на полуоси VI < 0 при Ь сю. Помимо асимптотических траекторий, которые возникают при Е > Ес, где

Ес=2Т

в данной системе при Е < Ес траектории на плоскости (VI ,и) оказываются периодическими (напомним, что такие траектории отсутствуют в задаче о санях Чаплыгина).

Неподвижной точке VI =0, и = 1 отвечает равномерное вращение саней вокруг центра масс С (при этом точка О1 описывает окружность).

Рис. 4. Проекции траекторий на плоскость (vi,lv) при А = i

Замечание. В работе [11] рассмотрено движение саней Чаплыгина (vo = 0) на вращающейся плоскости. В этом случае редуцированная система также обладает положениями равновесия, соответствующими равномерному вращению саней.

Неподвижным точкам на оси ш = 0 соответствует прямолинейное равномерное движение саней без вращения,

v1 = u0 = const, ф = ф0 = const, 10 (3.1)

X = X0 + (U0 cos ф0 — sin (0)t, y = У0 + (U0 sin ф0 + cos (0)t,

где в начальный момент t = 0 положение точки O1 задается координатами (X0,y0). Неоднородность связи приводит к тому, что тело движется в направлении, которое не только не совпадает с перпендикуляром к нормали n = (— sin ф0, cos ф0), но еще и зависит от величины начальной скорости U0.

Для описания решений при ш = 0 вновь сделаем замену времени

dr = шdt,

но в данном случае новое время т зависит от t нелинейно и, как будет показано ниже, находится с помощью квадратуры. Из (1.4) получаем

dv 1 _ dio _ , dtp _ л

~Г~ — W — 1, — — —Av 1, — — I, ат ат ат

откуда находим

а

V\ = —— sin v Ат, и = 1 + о; cos v Ат, ф = (фо + т) mod 2ж, (3.2)

где начало отсчета времени т выбрано таким образом, что ы =0 при т = 0. Здесь величина а связана с интегралом (1.5):

г су2 Е=2А'

где а2 < 1 для периодических траекторий и а2 > 1 — для асимптотических.

Из уравнений (1.4) и соотношений (3.2) получим квадратуры, описывающие траекторию начала отсчета 0\:

-у= sin л/Ат cos(<po + т) — sin(t£>o 4- т) dx vA

dr

1 + a cos v At

-7= sin \/]4т sin((^o 4- т) + cos(<po + т) d,y _ VA

d,T 1 + a eos \[~At

Связь времени t и времени t определяется интегралом

(3-3)

t - to =

dT

1 + a cos \[At

Случай а2 < 1. Положим (также без ограничения общности) а > 0. Согласно (3.2), эволюция переменных У\, и в новом времени т периодическая с периодом

2п

T =

у/А'

(3-4)

Угол поворота тела за период в точности совпадает с этим периодом: Аф = Т.

Для того чтобы описать траекторию точки О1, представим скорость ее движения (3.3) в матричной форме

q(t )

u v At

V(t) = Q(t)u(vat), /cos(^o + T) - sin(^o + T) ysin(^o + T) cos(^o + T)

sin \/At 1

a

\/A 1 + a cos у/Ат 14- a cos \J~At

где v(t) =

dx dу

dT' dT

Пользуясь этим представлением, находим, что скорость v(т) удовлетворяет соотноше-

нию

v(t + nT) = Pn v(t ), cos T - sin T sin T cos T

P

Другими словами, скорость через период в каждой точке траектории поворачивается на один и тот же угол Т. С помощью этого соотношения для точек траектории г = (ж(т),у(т)) получим уравнение

"(т + nT) - ro = ( Pm) so + P>(t) - ro), ^ m=o '

t T

г(т) = ro + j v(t')dT', so = j v(t)dT.

(3-5)

т

Возможны три различных случая.

1) Пусть Рп = Е, где Е — единичная матрица, при этом пТ = 2пк, к € М, тогда справедливо соотношение (аналогичное сумме арифметической прогрессии)

п— 1

= (1 - рп) (1 - р

1

т=0

Сдвинем начало отсчета неподвижных осей на постоянный вектор

г(т) = т'(т) + с, 1

с = Г0 + (1- Р)"15о

(3.6)

получим

т'(т + пТ) = Рп т'(т). 2) Пусть Рп = Е при некотором п ^ 2, в этом случае

пТ = 2пк, к € М, и, кроме того, выполнено соотношение

п1

Ер'

0.

т=0

Из уравнения (3.5) находим 3) Пусть Р = Е, то есть

тогда

г(т + пТ) = г(т). Т = 2пк, к € М,

п— 1

пЕ.

т=0

Подставляя Р в (3.5), находим

г(т + пТ) = г(т) + пв0.

Подставляя для периода Т выражение (3.4), получим следующее утверждение.

п2

Предложение. Если А ф —, п,к € N. то траектория точки 0\ может быть по-

к2

лучена из участка траектории за период т € [0,Т), то есть из одного лепестка, путем, его последовательного поворота на угол Т (см. рис. 5, 7) вокруг точки, заданной вектором с (3.6); если А = п, к € N и п ^ 2, то траектория точки 0\ периодическая

к2

(см. рис. 6); если А = к € N. то за период Т точка 0\ смещается на постоянный

к2

вектор 8о (см. рис. 8).

(а) (Ь)

Рис. 5. Траектория точки О1 при А = 1/2, а = 3/4, фо = п/2.

(а) (Ь)

Рис. 6. Траектория точки О1 при А = п2/к2, а = 0.95, фо = п/2.

Замечание. Аналогичный результат содержится в работе [21], где показано, что для тела вращения, катящегося по абсолютно шероховатой плоскости, точка контакта в отсутствие резонансов совершает сложное движение: она периодически движется по некоторой кривой, которая вращается, как твердое тело, с постоянной угловой скоростью вокруг неподвижной точки; при резонансах оказывается возможным вековой уход.

Случай а2 > 1. При этом мы также будем полагать, что а > 0, но рассмотрим отдельно траектории, для которых и > 0 и и < 0 (см. рис. 4).

(а) (Ъ)

Рис. 7. Траектория точки 0\ при А = 0.85, а = 3/4, = п/2.

Рис. 8. Траектория точки О1 за период Т при А = 1/к2, а = 3/4, ^>о = п/2.

Пусть и > 0, тогда

т е (-т*,т*), т* = A-l/2(п - arccos а-1).

При т — ±т* время t — ±сю и вращение прекращается (и — 0), траектория точки Oi стремится к прямым, задаваемым соотношениями (3.1). Угол между этими прямыми совпадает с изменением угла поворота ф и задается уравнением

Аф = 2т*.

Сечения графика функции т*(а,А) различными плоскостями а = const приведены на рисунке 10, характерные траектории точки — на рисунке 9.

Случай и < 0 получается из предыдущего (и > 0) заменой а — -а, и при этом необходимо положить

т е [-т** ,т**], т** = А-1/2 arccos а-1.

Движение в данном случае также асимптотически приближается (при т — ±т** и t — ±с) к прямолинейному движению без вращения (и — 0). Изменение угла поворота вектора, касательного к траектории, также совпадает с изменением угла ф:

Аф = 2т**.

Зависимость т** (а, А) и различные траектории точки Oi проиллюстрированы на рисунках 11, 12.

Заключение

В этой работе мы рассмотрели динамику неоднородных саней Чаплыгина по инерции. Непосредственным обобщением этой задачи является исследование движения саней в поле тяжести на наклонной плоскости. В случае однородной связи эта система не является интегрируемой и демонстрирует сложное асимптотическое поведение [9].

Рис. 10. Траектории точки О1 при и > 0, фо = п/2 и различных значениях а, А.

0 0.2 0.4 0.6 0.8

Рис. 11

1 А

100 50 0 50 100 А=0.01 (Ь)

-1600J

А = 0.001 (с)

Рис. 12. Траектории точки O\ при ш < 0, а = 1.01, фо = п/2 и различных значениях A.

Другой интересной задачей является рассмотрение неоднородных саней при действии периодического возбуждения. В классической постановке (го = 0) такая задача недавно была рассмотрена в [7].

Авторы выражают благодарность за полезные замечания И. А. Бизяеву, А. А. Килину.

References

[1] Bizyaev I. A. The inertial motion of a roller racer, Regul. Chaotic Dyn., 2017, vol. 22, no. 3, pp.239-247.

[2] Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. Hamiltonicity and integrability of the Suslov problem, Regul. Chaotic Dyn., 2011, vol. 16, nos. 1-2, pp. 104-116.

[3] Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I.S. How to control Chaplygin's sphere using rotors, Regul. Chaotic Dyn., 2012, vol. 17, nos. 3-4, pp. 258-272.

[4] Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. The problem of drift and recurrence for the rolling Chaplygin ball, Regul. Chaotic Dyn., 2013, vol. 18, no. 6, pp. 832-859.

[5] Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I.S. Dynamics and control of an omniwheel vehicle, Regul. Chaotic Dyn, 2015, vol. 20, no. 2, pp. 153-172.

[6] Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I.S. On the Hadamard-Hamel problem and the dynamics of wheeled vehicles, Regul. Chaotic Dyn., 2015, vol. 20, no. 6, pp. 752-766.

[7] Borisov A. V., Kuznetsov S.P. Regular and chaotic motions of a Chaplygin sleigh under periodic pulsed torque impacts, Regul. Chaotic Dyn., 2016, vol.21, nos. 7-8, pp. 792-803.

[8] Borisov A. V., Mamaev I.S. Conservation laws, hierarchy of dynamics and explicit integration of nonholonomic systems, Regul. Chaotic Dyn., 2008, vol. 13, no. 5, pp. 443-490.

[9] Borisov A. V., Mamaev I. S. The dynamics of a Chaplygin sleigh, J. Appl. Math. Mech., 2009, vol. 73, no. 2, pp. 156-161; see also: Prikl. Mat. Mekh., 2009, vol.73, no. 2, pp. 219-225.

[10] Borisov A. V., Mamaev I. S., Bizyaev I. A. The hierarchy of dynamics of a rigid body rolling without slipping and spinning on a plane and a sphere, Regul. Chaotic Dyn., 2013, vol. 8, no. 3, pp. 277-328.

[11] Borisov A. V., Mamaev I. S., Bizyaev I. A. The Jacobi integral in nonholonomic mechanics, Regul. Chaotic Dyn, 2015, vol. 20, no. 3, pp. 383-400.

[12] Caratheodory C. Der Schlitten, Z. Angew. Math. Mech., 1933, vol.13, no. 2, pp. 71-76.

[13] García-Naranjo L.C., Maciejewski A. J., Marrero J.C., Przybylska M. The inhomogeneous Suslov problem, Phys. Lett. A, 2014, vol. 378, nos. 32-33, pp. 2389-2394.

[14] Karavaev Yu. L., Kilin A. A. Nonholonomic dynamics and control of a spherical robot with an internal omniwheel platform: Theory and experiments, Proc. Steklov Inst. Math., 2016, vol. 295, pp. 158-167; see also: Tr. Mat. Inst. Steklova, 2016, vol. 295, pp. 174-183.

[15] Rocard Y. L'instabilité en mécanique: Automobiles, avions, ponts suspendus, Paris: Masson, 1954.

[16] Fasso F., Sansonetto N. Conservation of energy and momenta in nonholonomic systems with affine constraints, Regul. Chaotic Dyn., 2015, vol.20, no. 4, pp. 449-462.

[17] Fedorov Yu. N., García-Naranjo L. C. The hydrodynamic Chaplygin sleigh, J. Phys. A, 2010, vol. 43, no. 43, 434013, 18 pp.

[18] Kozlov V. V. Dynamics of systems with nonintegrable constraints: 1, Mosc. Univ. Mech. Bull., 1982, vol. 37, nos. 3-4, pp. 27-34; see also: Vestn. Mosk. Univ. Ser. 1 Mat. Mekh., 1982, no. 3, pp. 92-100.

[19] Kozlov V. V. Dynamics of systems with nonintegrable constraints: 2, Mosc. Univ. Mech. Bull., 1982, vol. 37, nos. 3-4, pp. 74-80; see also: Vestn. Mosk. Univ. Ser. 1 Mat. Mekh., 1982, no. 3, pp. 70-76.

[20] Kozlov V. V. Dynamics of systems with nonintegrable constraints: 3, Mosc. Univ. Mech. Bull., 1983, vol.38, no. 3, pp. 40-51; see also: Vestn. Mosk. Univ. Ser. 1 Mat. Mekh., 1983, no. 3, pp. 102-111.

[21] Moshchuk N. K. A qualitative analysis of the motion of a heavy solid of revolution on an absolutely rough plane, J. Appl. Math. Mech., 1988, vol. 52, no. 2, pp. 159-165; see also: Prikl. Mat. Mekh., 1988, vol. 52, no. 2, pp. 203-210.

[22] Neimark Ju. I., Fufaev N.A. Dynamics of nonholonomic systems, Trans. Math. Monogr., vol.33, Providence, R.I.: AMS, 1972.

[23] Levin M.A., Fufaev N.A. The theory of deformable wheel rolling, Moscow: Nauka, 1989 (Russian).

[24] Chaplygin S. A. On the theory of motion of nonholonomic systems. The reducing-multiplier theorem, Regul. Chaotic Dyn., 2008, vol.13, no. 4, pp. 369-376; see also: Mat. Sb., 1912, vol.28, no. 2, pp. 303-314.

An inhomogeneous Chaplygin sleigh

Alexey V. Borisov1, Ivan S. Mamaev2

1,2Steklov Mathematical Institute, Russian Academy of Sciences ul. Gubkina 8, Moscow, 119991 Russia 1borisov@rcd.ru, 2mamaev@rcd.ru

In this paper we investigate the dynamics of a system that is a generalization of the Chaplygin sleigh to the case of an inhomogeneous nonholonomic constraint. We perform an explicit integration and a sufficiently complete qualitative analysis of the dynamics.

MSC 2010: 37J60

Keywords: Chaplygin sleigh, inhomogeneous nonholonomic constraints, conservation laws, qualitative analysis, resonance

Received June 02, 2017, accepted July 06, 2017

Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2017, vol. 13, no. 4, pp. 625-639 (Russian)