CC BY
4Нелинейная динамика. 2016. Т. 12. № 4. С. 675-687. Полнотекстовая версия в свободном доступе http://nd.ics.org.ru DOI: 10.20537/nd1604010
ПЕРЕВОДНЫЕ СТАТЬИ
УДК: 531.38
MSC 2010: 37J60, 37C10
Динамика саней Чаплыгина на цилиндре
*
И. А. Бизяев, А. В. Борисов, И. С. Мамаев
В данной работе рассмотрено движение саней Чаплыгина по поверхности кругового цилиндра. В случае движения по инерции задача сводится к изучению динамической системы на (двумерном) торе и классификации особых точек. Указаны частные случаи, в которых система обладает инвариантной мерой. При движений уравновешенных и динамически симметричных саней Чаплыгина в поле тяжести показано, что в среднем система не имеет дрейфа по вертикали.
Ключевые слова: сани Чаплыгина, инвариантная мера, неголономная механика
* Перевод статьи "Dynamics of the Chaplygin Sleigh on a Cylinder", опубликованной в журнале Regular and Chaotic Dynamics, 2016, vol.21, no. 1, pp. 136-146.
Получено 16 октября 2015 года После доработки 28 декабря 2015 года
Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках базовой части государственного задания вузам.
Бизяев Иван Алексеевич bizaev_90@mail.ru Мамаев Иван Сергеевич mamaev@rcd.ru
Удмуртский государственный университет 426034, Россия, г. Ижевск, ул. Университетская, д. 1
Борисов Алексей Владимирович borisov@rcd.ru
Московский физико-технический институт (государственный университет) 141700, Россия, г. Долгопрудный, Институтский пер., д. 9 Национальный исследовательский ядерный университет «МИФИ» 115409, Россия, г. Москва, Каширское ш., д. 31
1. Введение
В этом году исполняется 150 лет с выхода первого номера старейшего российского журнала Математический сборник. За эти годы в журнале были изданы замечательные работы не только российских, но и зарубежных ученых (в частности, работы Э.Ж. Кар-тана). Особо следует отметить классиков российской механики А.М.Ляпунова, В. А. Стек-лова, Н.Е.Жуковского, С.А.Чаплыгина, Г.К.Суслова, А.Д.Билимовича, работы которых составляют золотой фонд современной теории динамических систем. Предметом настоящей работы является один вопрос из теории неголономных систем. Вопрос этот непосредственно связан со всемирно известными и регулярно цитируемыми работами С. А. Чаплыгина по неголономной механике, почти все они были опубликованы именно в Математическом сборнике (как и работы Э.Ж.Картана и В.Вагнера по неголономной геометрии; ее связь с неголономной механикой обсуждается, например, в работе [20]). Встречающиеся во всех курсах механики уравнения П. В. Воронца также впервые опубликованы в Математическом сборнике.
В связи с анализом вопросов управления сферороботом с помощью гироскопов отметим известную работу Д.К.Бобылева [17] о качении шара с гироскопом внутри, которая была опубликована в Математическом сборнике и недавно снова привлекла к себе внимание (см. [2]). Можно выделить также известную работу Х. М. Муштари [24], развивающую исследования Чаплыгина о качении тела вращения на плоскости. Для динамики твердого тела особое значение имеют работы П.А.Некрасова [25, 26], Д.Н.Горячева [21], Г. Г. Аппельро-та [14, 15]; небесная механика получила развитие, например, в достаточно часто цитируемой работе Ф. А. Слудского [28]. Работа А. Д. Билимовича [16] посвящена задаче о неголономном маятнике, который является одним из примеров системы с нестационарными неголономны-ми связями.
Заметим, что до первой половины 20 века в журнале Математический сборник в равной мере были представлены работы по чистой математике и классической механике. Постепенно эта традиция утратилась (уже в первой половине 20 века интересы журнала сместились в сторону общей теории функций) и в настоящее время, несмотря на активное развитие теории динамических систем, публикации в этой области носят эпизодический характер, а их уровень оставляет желать лучшего (при всем обилии теорем, лемм и т.д.).
В работе [29] 1912 года С. А. Чаплыгин предложил задачу о движении твердого тела по плоскости под действием неголономной связи, реализуемой с помощью колесика (лезвия), запрещающего твердому телу проскальзывать в перпендикулярном его плоскости направлении. Эта динамическая система получила в дальнейшем название саней Чаплыгина, хотя несколько ранее аналогичная конструкция исследовалась А. Бриллом [5], а позже (и значительно подробнее) К. Каратеодори [6] (см. также [19]).
В работе С. А. Чаплыгина [29] отмеченная задача приводится для иллюстрации метода приводящего множителя, хотя для его формального использования необходимо было ввести дополнительную квазикоординату. Наиболее естественные неголономные системы, интегрируемые с помощью теории приводящего множителя, описаны, например, в [4]. В работе [1] рассмотрена общая геометрическая конструкция метода приводящего множителя, позволяющего гамильтонизовать другую известную задачу Чаплыгина о движении динамически несимметричного шара по горизонтальной плоскости (задача была предложена в 1903 году в работе [30], опубликованной в Математическом сборнике). Качественный и топологический анализ движения точки контакта шара Чаплыгина был выполнен недавно [3].
В этой работе мы рассматриваем движение саней Чаплыгина по поверхности кругового цилиндра (см. также [22, 27]). Подробно рассмотрен случай движения по инерции, где задача сводится к изучению динамической системы на торе и классификации особых точек. Обсуждаются вопросы существования инвариантной меры. В случае движения уравновешенных и динамически симметричных саней в поле тяжести показано, что в среднем система не имеет дрейфа по вертикали, а движение саней ограничено двумя горизонтальными плоскостями (аналогичная ситуация имеет место в родственной задаче Штюблера [18]).
Рассматриваемая в данной работе система и подобные ей возникают в прикладных задачах, связанных с движением мобильных роботов по искривленной поверхности (например, по внутренней и внешней поверхности трубопроводов [13]).
2. Уравнения движения
Сани Чаплыгина [29] представляют собой твердое тело, опирающееся на поверхность острым невесомым колесиком (см. рис.^). Острый край колесика препятствует скольжению колесика в направлении, перпендикулярном его плоскости. Рассмотрим движение саней Чаплыгина на круговом цилиндре.
Определим две системы координат:
- инерциальную систему координат ОХУЕ, в которой ось OZ совпадает с осью цилиндра (см. рис. 1Ь);
- неинерциальную (подвижную) систему координат РХ1Х2Х3, жестко связанную с санями Чаплыгина и началом отсчета Р в точке контакта колесика с цилиндром. Ось РХ1 направим по нормали к поверхности цилиндра, а ось РХ2 вдоль плоскости колесика.
Будем также предполагать, что сани движутся так, что ось колесика остается параллельной касательной плоскости к цилиндру в точке контакта Р, при этом вектор с из точки контакта Р в центр масс С остается постоянным в системе РХ1Х2Х3. В этом случае конфигурация системы характеризуется положением точки Р и поворотом саней относительно нормали к поверхности цилиндра в точке Р.
Введем (обобщенные) координаты, параметризующие конфигурационное пространство. Пусть И = (X, У, Z) — радиус-вектор точки контакта Р в системе координат OXYZ, а (ф, г) — ее (безразмерные) цилиндрические координаты
(а)
(Ь)
Рис. 1. Сани Чапыгина на цилиндре.
X = а ссе ф, Y = а 8ш ф, Z = аг,
где a — радиус цилиндра и ф £ [0, 2п), z £ ( — о, о). Поворот саней относительно нормали Pxi зададим посредством угла р £ [0, 2п), образованного осью Px2 с касательной к линии уровня z = const (см. рис.1Ь). Таким образом, конфигурационное пространство N представляет собой прямое произведение:
N = {q = (р, ф, z), р, ф mod 2п} & T2 х R1.
Уравнение связи в этих переменных представляется в виде
—ф sin р + Z cos р = 0
(эта связь совпадает со связью Чаплыгина на развертке цилиндра [29]). Лагранжиан системы имеет стандартную форму
L = T(q, q) — U(q),
где U(q) — потенциальная энергия внешних сил, а T — кинетическая энергия саней, которая представляется в виде
Т = i mv2 - m(v, с х ш) + | (о>, 1а>), (2.1)
где v — скорость точки контакта P, ш — угловая скорость саней, c = (с1,с2,сэ) — вектор из точки контакта P в центр масс C, I — тензор инерции саней относительно точки P.
В случае, когда цилиндр находится в поле тяжести, действующем параллельно образующим цилиндра, имеем
U = mg(az + c2 sin р + c3 cos р).
В системе координат Px 1X2X3 тензор инерции I представляется постоянной симметричной матрицей, поэтому чтобы выразить кинетическую энергию через q, q, найдем v, ш в проекции на эти оси. Для скорости точки контакта получим очевидные соотношения
v1 = 0, v2 = аф cos р + az sin р, v3 = —аф sin р + azz cos р. (2.2)
Чтобы вычислить угловую скорость ш, определим матрицу направляющих косинусов Q £ SO(3), по столбцам которой стоят орты инерциальной системы координат OXYZ, спроецированные на подвижные оси Px 1X2X3:
Q
cos ф sin ф 0
— cos р sin ф cos р cos ф sin р sin р sin ф — sin р cos ф cos р
Отсюда находим
( 0 ш3 —ш2\
ш
Q QT, (2.3)
—и3 0 ш1 \—и2 —ш1 0 у
ш1 = р, Ш2 = фр sin р, Ш3 = фр cos р Подставляя (2.2) и (2.3) в (2.1), получим T(q, q).
Оказывается, в данном случае вместо обобщенных скоростей q = (ф, ф, х) параметризовать касательное пространство ТМд удобнее при помощи квазикоординат (и\,У2,Уз). При этом
( = Ш\Т 1 + У2 т 2 + Узи,
где и — трансверсальное и т 1, т2 — касательные к связи (2.5) векторные поля, которые в координатном базисе могут быть представлены в форме
П = т2 = ксо8(р^~ + кышр-^-,
дф дф дх
п = — /гэш + ксо8 (¿-¿г, к = а~1. дф дх
Вследствие неголономности связи находим
[т 1, т2] = и.
Уравнения движения данной неголономной системы представляются в следующей форме [9]:
д (дьЛ дЬ* I дЬ
dt \ дш\ дф \ dv3
V2,
1(f)-—f-"-f=(J§b (2'4)
ф = ш1 ф = kv2 cos ф, z = kv2 sin ф,
где L(q, U\,V2,v3) = L(q, q(q, Wi,V2,V3)), а обозначение ( )* используется для операции ограничения функции на связь.
Уравнение связи в новых переменных представляется в форме
v3 = 0. (2.5)
Для функции Лагранжа получим
L = ¿ m(v% + v¡) + mui(c2V3 - c-3v2) + | hi^l + + $1(v2 cos ф — v3 sin ф)2 + w^2(v2 cos ф — v3 sin ф) — U(q), = Sin2 ip + I23 sin(2y?) + /33 eos2 ф) + kmci,
Ф2 = k(Ii2 sin ф + Ii3 cos ф).
Окончательно, разрешив систему (2.4) относительно первых производных, представим уравнения движения на M5 = {wi,v2, ф, ф, z} в форме
Ф3сс> 1 = ш1 (mc3 — Ф2 cos ф) (2v^1 cos2 ф — ш1(шс2 — Ф1 cos ф)) —
— v2(m + 2Ф1 cos2 ф)(v2Ф1 cos2 ф — шс2ш1) — m^1v2 sin ф(Ф1 + 2с3Ф2 cos ф) + + mg(m + 2Ф1 cos2 ф)(с2 cos ф — с3 sin ф) + mg sin ф(шс3 — Ф2 cos ф), Ф^2 = cos2 ф (2I11w1 — v2(me3 — Ф2 cos ф)) — I11 u1 (v2Ф1 sin(2ф) + + ш1(шс2 — Ф'2 cos ф)) + ш^2(шс2 — Ф2 sin ф)(шс3 — Ф2 cos ф) + + шд(шс3 — Ф2 cos ф)(с2 cos ф — с3 sin ф) + mgI11 sin ф, (2.6)
Ф3 = I11 (m + Ф1 cos2 р) — (mc3 — Ф2 cos2 р)2, р = ш1, ф = kv2 cos р, z = kv2 sin р. Система (2.6) допускает интеграл энергии
Е = i m,v2 + i hiüüj - тсзи\v2 + v2 cos + v2$2 eos p) + U. (2.7)
Уравнения (2.6) инвариантны относительно переносов вдоль оси OZ и поворотов вокруг этой же оси, которым соответствуют поля симметрии
д д
U^ dip' Uz dz'
Вследствие этого в (2.6) отделяется замкнутая (редуцированная) система уравнений, описывающая эволюцию U1, v2, р. Свойства редуцированной системы во многом определяют свойства динамики всей системы.
Согласно (2.7), интеграл энергии в общем случае явно содержит переменную z, а значит, не является интегралом редуцированной системы, поэтому для интегрируемости (по теореме Эйлера-Якоби [12]) системы (2.6) в поле тяжести необходимо указать еще один дополнительный интеграл (зависящий лишь от переменных U1, v2, р) и инвариантную меру. Если же поле тяжести отсутствует, требуется наличие лишь инвариантной меры.
Далее будет показано, что в общем случае в системе (2.6) отсутствует гладкая инвариантная мера, так как в ней встречаются простые аттракторы (неподвижные точки и предельные циклы).
3. Движение по инерции
В данном разделе рассмотрим движение по инерции саней Чаплыгина (то есть U = 0). Будем полагать, что центр масс твердого тела находится в плоскости (колесика) Px\x2, то есть c = (ci,c2, 0), а также ось Pxi (направленная по нормали к поверхности цилиндра) совпадает с его главной осью инерции
(hi 0 0 \
I = 0 I22 I23 •
у 0 I23 I33 J
В этом случае Ф2 =0 и уравнения движения (2^6) представляются в форме
2 Ф1 2 mc2
UJ\ = V2 —— COS if — UJ\V2——,
2 Iii Iii
v 2 = 2uv
Ф1 sin р — Ф1 cos р m + 2Ф1 cos2 р
cos р +
2
w2mc2
m + 2Ф1 cos2 р
р = W1,
k2
Ф1 = -у №2 Sin2 p + /23 sin(2t£>) + /33 cos2 p) + kmci, Ф1 = k2 (I23 cos 2р + (I22 — I33) sin р cos р),
а интеграл энергии имеет вид
E = ± InLü'l + ± (m + 2Ф1 cos2 p) v'l
Будем полагать, что кривизна цилиндра к и параметры m, I и c выбраны таким образом, что всюду m + 2Ф1 cos2 p > 0.
Можно показать, что уровень энергии E = const в трехмерном пространстве, задаваемом переменными (p, Ui,V2), представляет собой двумерный тор T2. Введем на нем локальные координаты (p, &) следующим образом:
ал = —siní?, /ть Е = Щ-.
yhi \/т + 2Ф1 cos2 <р ¿
Заметим, что правые части уравнений описывающих эволюцию Ui и V2 периодичны по p с периодом, равным п. Учтем это с помощью замены ф = 2p.
Окончательно, выполнив замену времени dt = I-!2 hdr, траектории которой в угловых переменных x = (ф, &) mod 2п задаются с помощью уравнений
= 1 sin 0, М. = (1 + cos ф) {a cos ф - /3 sin ф) - Ó^L, dr 2 dr /(</>) Y Y' (3.1)
f (ф) = 2 + (1 + cos ф)(а sin ф + в cos ф + y),
«= 1^23, /3 = Ц(/зз-/22), 7 = ¿№2+/33)+2fcCl, ¿ =
Система (3.1) обладает инволюцией (то есть является обратимой)
R: & — & + п, t — -t.
Следовательно, все траектории на торе оказываются симметричными относительно & = п (при этом направление движения меняется на обратное).
3.1. Динамика неуравновешенных саней
При а = 0 система (3.1) обладает набором изолированных положений равновесия, которые мы разделим на две группы в зависимости от характера движения точки контакта саней.
1. Точки x(1) = (п, 0) и x(2) = (п, п), при этом точка контакта P в обоих случаях движется вдоль образующей цилиндра (так как ф = 0).
2. Точки х^ = (ф, 0), = (ф, 7г) и = (ф+тг, 0), = (ф+тг, 7г), где ф = arctan (j^ .
Для x(3) и x(4) траектория точки контакта P в цилиндрических координатах имеет вид
а
г(ф) =-" ф + z( 0),
p + y/^TW
а для x(5) и x(6) получаем
г(ф) =-а ф + г(0).
Р-^/а^ТЖ2
Отметим, что вследствие инволюции Я достаточно рассмотреть устойчивость ж(1), ж(3) и ж(5).
В состоянии равновесия ж(1) характеристический полином всегда имеет одно нулевое собственное значение, а другое —
А^ = х.
л/2
Характеристический полином для ж(3) и ж(4) имеет вид
Р(3)( А) = (ц\2 + 5 фГхХ + Ъи
ai = 2+ в + Y +
a2 = 2+ в + Y -
в!
+ у а2 + (З2, 6i = ^(/3+ V«2 + /32),
л/а2+р2
Р(4)(А) =а2А2 + <^А + &2,
h
1,
-V<x2 + (32, b2 = ±(l3-Va2 + /32).
Таким образом, узнанные состояния равновесия при 5 = 0 являются асимптотически устойчивыми либо асимптотическими неустойчивыми, следовательно, в этом случае отсутствует гладкая инвариантная мера [23]. Характерный фазовый портрет приведен на рисунке 2.
Рис. 2. Фазовый портрет системы (3.1) при фиксированных параметрах а = 0.6, в = 0.3, S = -0.3,
Y = 0.8.
Движение саней Чаплыгина в неподвижной системе координат OXYZ в промежутке времени Ь £ ( — те, носит асимптотический характер, то есть при Ь ^ —ж сани начинают движение с неустойчивого стационарного решения системы (2.6) и далее при Ь ^ стремятся к устойчивому стационарному решению (2.6).
3.2. Динамика уравновешенных саней
Рассмотрим отдельно случай, в котором с = (с1, 0, 0) (то есть центр масс лежит на нормали к цилиндру в точке контакта). В этом случае 5 = 0 и, следовательно, положения равновесия ж(1) и ж(2) оказываются вырожденными, причем линеаризованная система имеет вид
Ф = = о.
Состояния равновесия ж(3), ж(4) и ж(5), ж(6) становятся консервативными (седлом или центром).
Оказывается, в этом случае система (3.1) обладает инвариантной мерой с плотностью
р(0) =
1
сов
Отметим, что система (3.1), помимо неподвижных точек, обладает периодическими решениями
'!? = §, Ф = 1 И д = ф = 1,
(3.2)
в которых точка контакта Р покоится, а сани вращаются вокруг нее с постоянной угловой скоростью.
Решения (3.2) являются предельными циклами системы (3.1) (так как в них р = 0). Характерный фазовый портрет системы (3.1) представлен на рисунке 3.
Рис. 3. Фазовый портрет системы (3.1) при фиксированных параметрах а = /3, в = 1/4, 5 = 0,
7 = У2.
Особо выделяется случай а = 0, в котором система обладает (второй) инвариантной мерой с плотностью
л(Ф)
р(ф) = (2 + (1 + сов ф)(в сов ф + 7))е
КФ) = ,2ЬЧЗ) агс!ап
(3.3)
При этом траектории системы (3.1) (за исключением неподвижных точек) оказываются замкнутыми, а дополнительный первый интеграл имеет вид
^ =
Р(Ф) Р^У
4. Движение в поле тяжести
В данном разделе мы рассмотрим наиболее простой случай уравновешенных саней:
I = diag(/i,/2,/s), с = (ci, 0,0). Приведенная система в этом случае записывается в форме
2тв . 3 2
ф = со\, uj\ = ——smpcospvA, h
V2
(4.1)
sin p cos p(y — в + 6в cos2 p) — g) 1+Y cos2 p + в cos2 p(2cos2 p — 1) '
где параметры y, в определены в (3.1).
В разделе 3.2 было показано, что эта система при g = 0 допускает инвариантную меру; это остается справедливым и в данном случае (как правило, добавление потенциальных сил не влияет на существование инвариантной меры, плотность которой зависит от позиционных переменных). Для используемых здесь переменных инвариантная мера имеет вид po(р)dрdWldv2, где
ро(р) = (1+7 cos2 р + в cos2 p(2cos2 р - 1))3/4
¡л,(р) задается соотношением (3.3) с учетом замены ф = 2р.
Замечание. Как было показано выше (см. раздел 3.1), без потенциала в случае неуравновешенных саней система не обладает инвариантной мерой. Добавление поля тяжести в этом случае может привести к достаточно сложной динамике, в частности, в фазовом пространстве системы могут возникнуть странные аттракторы.
Уравнения (4.1) допускают следующие частные решения:
1) семейство неподвижных точек:
р = 0,п, = 0, v2 = const, (4.2)
при этом сани равномерно движутся по окружности, перпендикулярной образующей цилиндра;
2) вертикальные падения:
р = |, ^L, W1 = 0, v2 = Vo- gt, Vo = const, (4.3)
при этом сани равноускоренно движутся вдоль вертикали.
Система (4.1) допускает также простейший интегрируемый случай (который при дополнительном ограничении в\ =0 был указан в [22]); при этом выполняется условие динамической симметрии
I2 = 1з,
то есть в = 0. Дополнительный первый интеграл:
F =
На уровне U\ = Qo = const, Qo = 0 зависимость V2(p) определяется выражением
_ g J ln( v^cos2 p + л/l + 7cos2 97) + Co, 7 > 0,
2 л/Ы^о У1 + 7cos2(^ |arcsin( \/|7| cos2 p) + Co, 7 < 0,
где Co — постоянная интегрирования. При этом р меняется равномерно
p(t) = ро + Qot.
Отсюда видно, что во все моменты времени остается ограниченной функцией.
Теперь заметим, что интеграл энергии в данном случае принимает вид
Е = Ео(р,ш\,V2) + mgaz,
где Ео — энергия системы без поля тяжести. Отсюда следует что если все величины р, U\, V2 ограничены, то на всяком уровне энергии Е = h = const функция z(t) также остается ограничена во все моменты времени. Следовательно, при всех начальных условиях, за исключением условий, соответствующих решениям (4.3), уравновешенные (С2 = С3 = 0) динамически симметричные (I2 = I3) сани Чаплыгина на вертикальном цилиндре в поле тяжести движутся в ограниченном интервале z £ [zmin,zmax].
4.1. Заключение
Обсудим в заключение некоторые открытые проблемы. При условии I2 = I3, вследствие наличия инвариантной меры, система (4.1) аналогична гамильтоновым системам с полутора степенями свободы, для которых в общем случае характерно наличие стохастических слоев в фазовом пространстве. Тем не менее, по-видимому, утверждение об ограниченности движения по вертикали остается открытым.
Гипотеза. Для уравновешенных саней (то есть С2 = С3 = 0) при I2 = I3 для почти всех начальных условий траектория саней также ограничена по вертикали.
Доказательство этой гипотезы является открытой проблемой. Отметим, что в случае неуравновешенных саней, как показывают численные эксперименты, почти все траектории не являются ограниченными. В задаче о санях, движущихся по наклонной плоскости, при смещении центра масс также наблюдается уход (вниз) [19]. Существенно более сложной задачей является исследование динамики однородного тяжелого диска (обруча), катящегося без проскальзывания по внешней или внутренней поверхности кругового цилиндра. В первом случае задача тесно связана с необыкновенной устойчивостью в задаче о хула-хупе (см. подробнее, например, [7, 10]). Исследование движения диска по поверхности цилиндра представляет интерес также с точки зрения существования инвариантной меры. По-видимому, в более общей задаче, связанной с качением динамически симметричного тела вращения по поверхности цилиндра в общем случае отсутствует инвариантная мера, зависящая от позиционных переменных (см. подробнее [8]). Открытым остается вопрос об ограниченности (по вертикали цилиндра) траектории диска. Отметим, что строгие результаты об ограниченности траекторий известны лишь для интегрируемых систем (см., например, задачу Штюблера [18] и задачу о движении шара Чаплыгина [3]). Вопросы об ограниченности траектории для неинтегрируемых систем являются существенно более сложными. Другие открытые проблемы для различных систем (в том числе неинтегрируемых) указаны в работе [11].
Список литературы
[1] Bolsinov A. V., Borisov A. V., Mamaev I. S. Geometrisation of Chaplygin's reducing multiplier theorem // Nonlinearity, 2015, vol.28, no. 7, pp. 2307-2318.
[2] Borisov A. V., Kilin A.A., Mamaev I. S. How to control Chaplygin's sphere using rotors // Regul. Chaotic Dyn., 2012, vol. 17, nos. 3-4, pp. 258-272.
[3] Borisov A. V., Kilin A. A., Mamaev I. S. The problem of drift and recurrence for the rolling Chaplygin ball // Regul. Chaotic Dyn., 2013, vol. 18, no. 6, pp. 832-859.
[4] Borisov A. V., Mamaev I.S., Bizyaev I.A. The hierarchy of dynamics of a rigid body rolling without slipping and spinning on a plane and a sphere // Regul. Chaotic Dyn., 2013, vol. 18, no. 3, pp. 277-328.
[5] von Brill A. Vorlesungen zur Einführung in die Mechanik raumerfullender Massen. Leipzig: Teubner, 1909. 236 pp.
[6] Caratheodory C. Der Schlitten // Z. Angew. Math. Mech., 1933, vol. 13, no. 2, pp. 71-76.
[7] Caughey T. K. Hula-hoop: an example of heteroparametric excitation // Am. J. Phys., 1960, vol. 28, no. 2, pp. 104-109.
[8] Fedorov Yu. N., García-Naranjo L. C., Marrero J. C. Unimodularity and preservation of volumes in nonholonomic mechanics //J. Nonlinear Sci., 2015, vol.25, no. 1, pp. 203-246.
[9] Hamel G. Die Lagrange - Eulerschen Gleichungen der Mechanik // Z. Math. u. Phys. 1904, vol.50, pp. 1-57.
[10] Kakehashi Y., Izawa T., Shirai T., Nakanishi Y., Okada K., Inaba M. Achievement of hula hooping by robots through deriving principle structure towards flexible spinal motion //J. Robot. Mechatron., 2012, vol. 24, no. 3, pp. 540-546.
[11] Kozlov V.V. Several problems on dynamical systems and mechanics // Nonlinearity, 2008, vol.21, no. 9, pp. 149-155.
[12] Kozlov V.V. The Euler-Jacobi-Lie integrability theorem // Regul. Chaotic Dyn., 2013, no. 18, vol. 4, pp. 329-343.
[13] Noohi E., Mahdavi S. S., Baghani A., Ahmadabadi M. N. Wheel-based climbing robot: Modeling and control // Advanced Robotics, 2010, vol.24, nos. 8-9, pp. 1313-1343.
[14] Аппельрот Г. Г. Простейшие случаи движения тяжелого несимметричного гироскопа С. В. Ковалевской (статья первая) // Матем. сб., 1910, т. 27, №3, с. 262-334.
[15] Аппельрот Г. Г. Простейшие случаи движения тяжелого несимметричного гироскопа С. В. Ковалевской (статья вторая) // Матем. сб., 1911, т. 27, №4, с. 477-559.
[16] Билимович А. Д. Неголономный маятник // Матем. сб., 1914, т. 29, №2, с. 234-240.
[17] Бобылев Д. К. О шаре с гироскопом внутри, катящемся по горизонтальной плоскости без скольжения // Матем. сб., 1892, т. 16, №3, с.544-581.
[18] Борисов А. В., Килин А. А., Мамаев И. С. К одной неголономной динамической проблеме // Мат. заметки, 2006, т. 79, № 5, c. 790-796.
[19] Борисов А. В., Мамаев И. С. Динамика саней Чаплыгина // ПММ, 2009, т. 73, №2, с. 219-225.
[20] Борисов А. В., Мамаев И. С., Цыганов А. В. Неголономная динамика и пуассонова геометрия // УМН, 2014, т. 69, №3, с. 87-144.
[21] Горячев Д. Н. О движении тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки в случае A = = B = 4C // Матем. сб., 1900, т. 21, №3, с. 431-438.
[22] Ифраимов С. В., Кулешов А. С. О движении саней Чаплыгина по выпуклой поверхности // Автомат. и телемех., 2013, № 8, с. 80-90.
[23] Козлов В. В. О существовании интегрального инварианта гладких динамических систем // ПММ, 1987, т.51, №4, с.538-545.
[24] Муштари Х. М. О катании тяжелого твердого тела вращения по неподвижной горизонтальной плоскости // Матем. сб., 1932, т. 39, №1-2, с. 105-126.
[25] Некрасов П. А. Аналитическое исследование одного случая движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки // Матем. сб., 1896, т. 18, №2, с. 161-274.
[26] Некрасов П. А. К задаче о движении тяжелого твердого тела около неподвижной точки // Матем. сб., 1892, т. 16, №3, с. 508-517.
[27] Орешкина Л. Н. Некоторые обобщения задачи о санях Чаплыгина // Механика твердого тела, 1986, № 19, с. 34-39.
[28] Слудский Ф.А. К задаче многих тел // Матем. сб., 1879, т. 9, №3, с. 536-545.
[29] Чаплыгин С. А. К теории движения неголономных систем. Теорема о приводящем множителе // Матем. сб., 1912, т. 28, №2, с. 303-314.
[30] Чаплыгин С. А. О катании шара по горизонтальной плоскости // Матем. сб., 1903, т. 24, №1, с. 139-168.
Dynamics of the Chaplygin sleigh on a cylinder
Ivan A. Bizyaev1, Alexey V. Borisov2, Ivan S. Mamaev3
1,3Udmurt State University ul. Universitetskaya 1, Izhevsk, 426034, Russia 2 Moscow Institute of Physics and Technology Institutskiy per. 9, Dolgoprudny, Moscow, 141700, Russia National Research Nuclear University "MEPhI" Kashirskoe sh. 31, Moscow, 115409, Russia 1bizaev_90@mail.ru, 2borisov@rcd.ru, 3mamaev@rcd.ru
This paper is concerned with the motion of the Chaplygin sleigh on the surface of a circular cylinder. In the case of inertial motion, the problem reduces to the study of the dynamical system on a (two-dimensional) torus and to the classification of singular points. Particular cases in which the system admits an invariant measure are found. In the case of a balanced and dynamically symmetric Chaplygin sleigh moving in a gravitational field it is shown that on the average the system has no drift along the vertical.
MSC 2010: 37J60, 37C10
Keywords: Chaplygin sleigh, invariant measure, nonholonomic mechanics
Received October 16, 2015, accepted December 28, 2015
Citation: Rus. J. Nonlin. Dyn., 2016, vol. 12, no. 4, pp. 675-687 (Russian)
