Необходимые условия апироксимационного условного минимума Текст научной статьи по специальности «Математика»

НЕОБХОДИМЫЕ УСЛОВИЯ АППРОКСИМАЦИОННОГО УСЛОВНОГО МИНИМУМА

В. Е. Рольщиков

В статье доказывается существование точек условного аппроксимацпон-ного и обобщенного минимума [2] и исследуются свойства множества точек условного аппроксимационного минимума выпуклой функции при выпуклых ограничениях. Условия гладкости при этом не накладываются.

Ключевые слова: аппроксимационный градиент, условный мини-

мум, множетели Лагранжа.

Работа посвящена получению необходимых условий минимума для негладких функций на основе понятия аппроксимационного градиента [1]. Исследуется соотношение точек условного аппроксимационного минимума и аппроксимационных седловых точек. Работа продолжает исследования [3;

1. Свойства точек условного аппроксимационного минимума

Введем следующие обозначения: N = {1,2,3,...} - множество натуральных чисел; Н+ = {ж ^ /2|ж > 0} - множество положительных чисел; Ш - множество собственных выпуклых функций / : Еп —>11, п € Г*Т,

с непустой внутренностью эффективной области [5] int(domf) ф 0. Далее V/ : Кп —> К Ус € К обозначим М(/, с) = {х € Яп\ /(ж) < с} - множество Лебега функции /. Для любого множества (} С Кп символом (} обозначим его замыкание, а символом Г(<5) - границу множества С}. Символом М(С},х) = {у € Яп\ У г € < г — ж, у >< 0} обозначим конус

внешних нормалей к множеству С,) в точке х. Для любых х € Кп,г € Н+ обозначим Уг(х) = {у € Ш1'| ||ж — у|| < г} - открытый шар радиуса г, Вг{х) = Уг(х), Вг = Вг(0); О - множество функций р : Д_|_ х i?” ^ [0, оо) таких, что

Таким образом, э р(г,«) - функция, симметричная относительно любой гиперплоскости, проходящей через начало координат. Для любой функции р( 1, •) Є О обозначим

8; 9].

р(г, «) = 0, Уз 0 Вг, р(г, з)ёз = 1, р(г, з) = р*(г,\\з\\).

О0(р) = {р Є С\ р(г, в) = -)}; V/ Є Ш Ух Є іпі(йот$).

Обозначим дf(x) - субдифференциал [5] функции / в точке х. Символом а(х; г,р; /) = (ах(ж; г,р; /),а„(ж; г,р; /)) обозначим вектор аппроксимаци-онного градиента [2] функции /.

Далее будем рассматривать следующую задачу:

/о(ж) тт ж е £*) С Д”, /о : Д" Д;

т

Я = П Яи гц = {х € Д"| /г(ж) < 0}, /г : Д" ->• Д, г = 1, т . (1)

г=1

Приведем некоторые определения и обозначения из [2], которые нам понадобятся в дальнейшем.

Определение 1. Назовем точку х* € Д” тонкой аппроксимационного

минимума функции / : Д” ^ Д при выбранных г > 0, р € еслм существует, число е > 0 такое, что для любых точек х € В£(х*) выполнялось неравенство

< а(х; г,р; /), ж — ж* >> 0. (2)

Обозначим £>°(г,р,/) множество всех точек аппроксимационного минимума. Отметим, что в силу непрерывности отображения ж а(х;г,р; f) [5] для любого ж* € £>°(г,р,/) справедливо равенство

а(ж*;г,р;/) = 0.

Определение 2. Назовем, точку хс € С? точкой условного аппроксимационного минимума функции / : Д” ^ Д при ограничениях <5 С Д” м фиксированных г > 0, р & О, если существует е > 0 такое, что для любой точки ж € <ЭП-®е(жс) будет выполняться неравенство (2).

Множество всех точек жс из определения 2 обозначим СО(г,р, £*), /о). Отметим некоторые свойства множества СО(г,р, £*), /о), где <3 определено в (1) при условии, что г = 0, т, т£((2) ф 0, <5 С т£((1от/о).

Предложение 1. Множество СО(г,р,(^, /о) выпукло и зам,кнут,о.

Доказательство. Докажем замкнутость множества С1)(г,р, £*),/о). Пусть

V? € N ж^ € СИ(г,р, <3, /о) и Зж* = Нт ж^. Нужно показать, что ж* €

^'->•00

СО(г,р, (^, /о). Доказывать будем от противного. Предположим, что ж* 0 (71) (г, р, <3, /о), тогда существует ж € С? и 5 > 0 такие, что

< а(х*;г,р; /о), ж — ж* >= < 0.

В силу сходимости ж^ —> ж* и непрерывности функции г и>< а(г;г,р; /о), х — г > существует п* Є N такое, что для любых j > п* выполняется неравенство

I < а(х;г,р;/0),ж - ж^ > \ <

Тогда для любых j > п* выполняется неравенство

< а(ж;г,р;/0),ж - х{і) ><

что противоречит определению точки Х^К

Покажем выпуклость множества СО(г,р, £*), /о). Пусть, следовательно, ж^ Є СБ(г,р, (2, /о), і = 1,2. Покажем, что [ж^;ж®] С С1)(г, р, <2,/о)-Зафиксируем две произвольные точки ж Є <2 и ж® £ [ж^;ж®]. Точке ж® соответствует число Л(°) Є [0; 1] такое, что

ж<°) = ж^ + А®(ж® — ж^).

В силу выполнения неравенства (2) для ж* = ж®, г = 1,2, имеем

0 < (1 — А®) < а{ж; г,р; /о), ж — ж^ > +

+А® < а(х; г,р; /о), ж — ж® >=< а(ж; г,р; /о), ж — ж® > .

Так как точки ж Є <2 и ж^ £ [ж^;ж®] были произвольными, то из последнего соотношения следует требуемое утверждение. □

Предложение 2. Пусть / : Яп Я измеримая по Лебегу, ограниченная на любом ограниченном множестве функция. Пусть зафиксированы произвольные р* Є О, г\ > 0. Тогда отображение (ж, г) а(ж;г,р;/о) являєшся непрерывным, на Яп х (0; г\] при р Є О0(р*).

Доказательство. Пусть г і > 0 V* Є N и ж® —> ж*, г і ^ г* при і ^ оо. Для доказательства утверждения покажем, что У є > 0 3 п*(є) Є N : V* > п*(є) выполняется неравенство

||а(ж(г);гьР;/) — а(х*;г*,р; /)|| < є. (3)

В силу условий утверждения существует компакт К С Кп, іпі(К) ф 0 и число пі Є N такие, что для любого і > п\ ВГ{(ж®) С іпі(К) и Вг*{х*) С іпі(К). Как следует из [6; 10], для любого 5 > 0 существует непрерывная

функция : Еп К, которая совпадает с / на компакте К$, при этом

мера Лебега ц множества К\К$ меньше 6

іг(К \ К8) < 5. (4)

Для оценки левой части в неравенстве (3) перейдем к интегрированию по шару радиуса 1. Используя соотношения

р(пз) = ^р{ 1ф, (1г = ^с1ъ

ПОЛУЧИМ

А = ||а(ж^;гг,р;/) - а(ж*;г*,р;/)|| =

1

с1\

Вг

Я®

(О

т)

/(**

г г

1

д,\

д,\

В1 Г)К${х*)

В1\К5(х*)

Фб{х

Гр*

Фб{х*

Г{

р(1; г)ц{д,г)

р(1; г)ц{д,г) +

гг)

f(x®+riz) Дх*+г*г)

П

р(1; г)ц{д,г)

Здесь К${х*) = К§ — х*. Так как выполняется (4), а функция / ограничена на К И Г; сходятся к г* > 0, то для любого е > 0 существует (^(е) > О и П2(е) € N такие, что при 7,дедп2(е) б € (0; (в)] выполняется неравенство

7(®«

1

с!\

В!\К6(Х*)

/(ж*

г г

р( 1; г)ц{йг]

£

< - . ~ 2

В силу непрерывности функции 1р$ и сходимости г; к г* >0 существует пз(е) € N такое, что для любого г > пз(е) первое слагаемое в выражении для А не будет превосходить |. Выберем 8 = 51(е), п*(е) = тах{п!(е), П2(е), из(е)}, тогда будет выполняться требуемое соотношение (3). Утверждение доказано. □

Предложение 3. Пусть зафиксированы £ И7", г = 0, т и р*(1,-) € О, тогда многозначное отображение

(5)

при р € (7°(р*(1,-)) полунепрерывно сверху по включению на (0,г*]; где г* > 0 выбрано из условия <5 + Вг* С 7,пЛ(ёот$о).

Доказательство. Пусть последовательности {гг}гег<г, таковы, что

П е Д+, ж« € С£>(г,р,д,/0) V* € N И Г; -> Г*, Ж® ^ Ж* При I ^ СЮ. Для доказательства утверждения нужно показать, что ж* € СО(г*,р, (3, /о). Доказывать будем от противного. Предположим, что ж* 0 СО(г*,р, £*), /о), тогда существует ж0 € С? :< а(ж°; г*,р; /о) >< 0. Из монотонного неубывания функции [5]

ф(1) =< а(х + Ы;г*,р;/0),£ > У£ е Дп : р|| = 1

(6)

получаем, что для любого ж € [ж0, ж*] выполняется неравенство

< а(ж;г*,р;/0),ж° - ж* > < 0. (7)

С другой стороны, ИЗ включения Ж^ € С*1)(Гг,р, (3,/о) следует, что для

любого ж € [ж0, ж*] справедливо неравенство

< а(ж;г^,р;/о),ж° - жМ > > 0 . (8)

Так как точка ж* и число г* удовлетворяют условиям утверждения 2, то,

переходя к пределу при !-4оов (8), получаем

< а(ж; г*,р; /о), ж0 — ж* > > 0,

что противоречит неравенству (7). Полученное противоречие доказывает утверждение 3. □

В дальнейшем нам понадобится следующее вспомогательное утвер-

ждение.

Предложение 4. Пусть / € IV, Р С т^ёот/) - компакт, т1(Р) ф $ и

с*=т£/(ж)> тГ /(ж). (9)

жеР х£йот/

Тогда существует число г° > 0 такое, что для любых г € (0, г°], р € (?, ж € Р вектор —а{х\г,р\$) не принадлежит конусу внешних нормалей к множеству Лебега М(/,/(ж)) в точке х, т.е.

~а(х;г,р;Д 0 ЛГ(М(/,/(ж)),ж) . (10)

Доказательство. Как известно [5], многозначное отображение ж 9/ (ж)

полунепрерывно сверху по включению на тЬ{<1от$), т.е.

Уе > 0 Уж* € ггй{йот/) 3^1 (ж*, е) >0 : Уж € ^(^^(ж*)

<3/(ж) С (д/(х*) + В£. (11)

В силу (11), компактности Р и неравенства (9) существует число «1 > 0 такое, что

(р2

тт тт < -------------------------- > — 1 + а,\ .

х£Р 1р1,1р2ед}{х) II II || 1|

Действительно, в противном случае из (10) следует, что существует точка х € Р, в которой выполняется равенство

<1Г1Г.1ГПГ >=-!■

т11 II 9^2 II

Но это равенство означает, что 0 € дf(x) и, следовательно, х - точка минимума выпуклой функции /, что невозможно в силу неравенства (9). Обозначим через

а2 = т1п тт ||(ур||, а = т1п{а1, «2} > 0 . (12)

х£Р ,р£д{{х)

Выберем е(а) > 0 таким малым, что для любого е € [0; е(а)] выполнялось неравенство

9^1 9^2 1 | ^ /1 о\

тт тт < --------------------------- > —1 + — . (13)

хеР <р1,<р2£(д}(х)+Ве) 11^1 II И9^2И 2

Из того, что расстояние между точкой а(х; г,р; /) и множеством дf(x) стремится к нулю при г —У 0 [2; 3] и выполнения (11), следует выполнение соотношения

Уе > 0 Ух € Р 3$2(ж, е) > 0 : У у € В^2^Х£^{х) У г € (0; 62 (х, е)] Ур € О

а(У',г,р;Л € (дДх) + Ве) .

Пусть для каждого х € Р число 6*(х, а) > 0 выбрано из условий

д*(х,а) = тт{51(ж, е(а)), 62 (х, ё(а))}, ё(а) = тт{е(а), —} .

Тогда компакт Р будет покрыт бесконечной системой открытых шаров {У$*(х,а){х) I X £ Р}-! в каждом из которых выполняются соотношения (11)-(13) и при этом Уг € (0;5*(ж, а)] Ур € О выполняется неравенство

II/ ^ МI ""•>

\\а(х;г,р; /)|| >у

Пусть х^\ j = 1 ,к - центры шаров конечного подпокрытия. Выберем величину г* > 0 из соотношения

г* = гшп д*(х^\ а).

^£1,к

Тогда для любых г € (0; г*], р € О справедливо неравенство

. . <р а(х; г,р; /) а

тт тт < -—т-—--------------------------------------—- > > —1 + —. (14)

хеРред^х) М а(ж; г,р; /) 2

Так как для любых с. inf/, х € Г(М(/, с)) конус внешних нормалей N(M(f,c),x) совпадает с конусом

K(df(x)) = {у G Rn | ЗА > 0 3^ G df(x) : у = Аф},

то соотношение (14) гарантирует выполнение требуемого условия (10). □

Предложение 5. Пусть функции € W, г € 0, т таковы, что int(Q) ф Ф и Q С int(domfo), существует с\ G -R такое, что множество

Kcl=M(f0,Cl)f]Q

имеет непустую внутренность (int(KCf) ф Ф) и ограничено. Тогда существует г* > 0 такое, что для любых г G (0;r*], р G G множество CD(r,p,Q, /о) не пусто и ограничено.

Доказательство. Рассмотрим четыре возможных случая

1) (Зс0 = inf /о(ж)})(Д(М(/0,с0) Ф 0) Д(М(/о,со) С int(Q));

xEdomjo ' ' ' '

2)(3с0= inf f0(x)) /\(КС0 = 0)

х Edom jo ' '

(при этом возможен случай, когда М(/о,со) = 0);

3) j,nf , Л(®) =

xEdomj о

4) (Зс0 = inf /0(Ж))Д(Ксо ф 0) Д(М(/0,с0) <t int(Q)) .

XCLOTYlf jQ I

В случае 1) справедливость утверждения следует из существования г > 0 [3] такого, что

Vr G (0; г] Ур G G D°(r,p,f0) ф 0, D°(r,p,f0) С mt(Q) .

Но тогда точки аппроксимационного минимума жг G D°(r,p, /о) являются и точками условного аппроксимационного минимума, то есть жг G CD(r,p, Q, /о). Так как множество CD(r,p, Q, /о) С КС1, то оно ограничено.

В случае 2) в силу условий утверждения множество КС1 не пусто и ограничено. Тогда существует г\ > 0 такое, что для любых р G G, г G (0; ri] будет выполняться соотношение (10) при Р = -Kcj. В силу непрерывности /о на int(domfo) существует с* G (co;ci) такое, что KCt С Г(<5) и ф 0, т.е.

с* = min fn(x) = min fn(x) .

x£Kcl x£Q

Отметим, что в рассматриваемых условиях существует Г2 > 0 такое, что для любых г € (0; Г2] р £ О и ж € -ЙГС1 выполняется соотношение

а(х;г,р; /0) ф 0 . (15)

Пусть с € (с*;с1]. Определим отображение 7ГС : Кс ^ Кс соотношениями

тгс(ж) = прКс(Аг(х)), Аг(х) = ж ^ а(х;г,р; /о),

где Уу € -й”

пр/г (у) = / _ ^ У ^ Кс

Л} \у£Кс: ттг£Кс\\у - г\\ = \\у - у\\, у £ Кс '

Функция тгс(ж) непрерывна и переводит выпуклый компакт К, в Кс, следовательно, [7] существует неподвижная точка хг € Кс этой функции. В силу выполнения (15) хг 0 ?,пЛ(Кс) при г € (0; г*2] - Так как г\ выбрано из условия выполнения (10) при Р = КС1, и Кс С КС1, то хг 0 Г(М('1'о,с)) С)т1((д) при любых г € (0;гх] и се (с*; сх]. Так как

1,пЛ(Кс) ф 0, множество К, выпуклое и ограниченное, то можно показать, что для любого с € (с*;С].] можно выбрать е(с) > 0 таким малым, чтобы для любого х € Г(М(/о, с)) Р| Г(<5) выполнялось равенство

^е(с){Я^ Х) Р|(—-^(^(-^(/о; с), ж)) = {0} , (16)

а конус Же(с)(М(/о, с), ж) не содержал противоположно направленных векторов. Здесь

М£(С)(Р, ж) = {г € Д”| (г = 0) (Зж € Ж(Р, ж) : ||г — ж||/||г|| < е)} .

Докажем (16) от противного. Допустим, что соотношение (16) не выполняется, тогда для любого е > 0 существует точка х£ € Г(М(/о, с)) П г(<5) и у£ £ Ме (<2,же) П(--^е(с) (М(/о,с),ж)), ||уе|| = 1. Выберем последовательность 0 при г —оо, е* > 0 V* € N. Из соответствую-

щих последовательностей ж® = же;, у® = у£{ выберем сходящиеся, оставив за ними ту же нумерацию. Это можно сделать, так как последовательность х(г) содержится в компакте Кс, а последовательность у® - в компакте В\. В силу полунепрерывное™ сверху по включению многозначных отображений

х*->М((2,х), ж4 1(М(/о,с),ж)

будет справедливо включение

у* £ М(а,х*)Р\ЬМ(Ми0,с),х*)),

где

у* = Нт у^ , х* = Нт х^г\ х* € Г(<5) О Г(М(/о, с)) .

г—)-оо г—)-оо ' '

Так как М(Кс,х*) = М((2,х*)[]М(М^о,с),х*), то у* € Н((д,х*) С

М{Кс,х*) и —у* € М{М{$$,с),х*) € М{Кс,х*). Но в этом случае выпуклое множество А', содержится в гиперплоскости, перпендикулярной вектору у*, что противоречит условию тЛ(Кс) ф 0. Аналогично доказывается, что существует £* > 0, для которого конус М£*{М{$$,с),х) не содержит противоположно направленных векторов.

Пусть гз = тт{г1,г2}, тогда гз > 0, а в силу сходимости вектора

а(ж;г,р;/) при г 4 0 к множеству дf(x) (/ € IV, х € т1(йот/)) [2, 3]

выполняется соотношение

Зг4 € (0 ,г3] : Ур^ОУгС (0 ,г4] Ух € Г(М(/0, с)) Р| Г(£?),

где

(а(ж;г,р; /0) € М£*(М(/0,с),х))&^ € 1 ,т а(х;г,р;/*) € Же*((2,ж)) .

Следовательно, для этих г неподвижная точка ж^ отображения тгс не может принадлежать множеству Г(М(/о,с)) Р|Г((3). Действительно, если бы это было не так, то вектор —а(хг; г,р; /о) должен был бы принадлежать конусу со{М{С},х)\)М{М{$$,с),х)), что невозможно в силу (16). Итак,

Ур € О Уг € (О,Г4] хг € Г(С^)^т1(М(/0,с)) .

Тогда —а(хг; г,р; /о) € N((2, хг) и по определению конуса внешних нормалей Ух € С?

< а(жг; г,р; /о), ж — жг >> 0 .

В силу монотонного неубывания функции ф(1) (6) для любого ж € С? будет выполняться неравенство (2), следовательно, жг € СЮ(г,р, (}, /о) и утверждение в случае 2) доказано.

Доказательство утверждения в случае 3) полностью аналогично доказательству в случае 2).

Рассмотрим последний случай 4). Если для некоторого г > 0 1)°(г, Р-, Iо)ПФ 0) т0 этот случай сводится к случаю 1). Пусть, следовательно, В°(г,р, /о) П *3 = 0- В этом случае выбираем с € (с*, с*]. Так же, как и в случае 2) для любых ж € Кс, г € (О, Г4], р £ О будет выполняться (15). Тогда для некоторых г € (0; тт{г4,г}] будет выполняться либо _0°(г,р, /о) Р| <2 0, либо (15). Доказательство справедливости утверждения для первых г аналогично случаю 1), а для вторых - случаю 2). □

Из доказательства утверждения 5 легко получить, что множество СО(г,р, £*), /о) сходится при г->0к множеству точек условного минимума КСл_ в полуметрике (т.е. по включению).

Замечание 1. Пусть выполняются условия утверждения 5 и зафиксировано произвольное р* € О, тогда при р € О0(р*) выполняется равенство

Нт( тах ( тт IIж — у||)) = 0 . (17)

г^-ОуеСО(г,р,СМо)хеКСл,"

Доказательство. Выберем последовательность € (с*, с\], Су

с* при ] оо. Тогда для каждого Су по доказательству утверждения 5 существует свое Гу > 0 : Уг € (0, г^] С1)(г,р, (2,/о) С Кс.. Учитывая сходимость Кс. к КСл_ и последнее включение, получаем требуемое равенство (17). ' ‘ ‘ □

В дальнейшем будет использоваться следующее понятие обобщенного в широком смысле условного минимума из [8].

Определение 3. Точку жо € <2 назовем точкой условного обобщенного в широком смысле минимума функции /о, если существуют последовательности {г^}^ег<г; т,акие, что для любого j 6 N г> 0;

Ру € О, Ху € СБ{г^р^ (2, /о) и г у 0; Ху жо при ] оо.

Замечание 2. Если множество КСл_ состоит из единственной точки, то она является ТОЧКОЙ условного обобщенного минимума функции /о-

Предложение 6. Пусть / € Ш, ж* € т^ёот/) и пусть последовательности {г^}^ег<г; таковы, что V? € N г^ > 0; pj € О и

rj 0; х^ ж*; a(xj',rj,pj•, /) ^ а* при ] ^ оо. Тогда

а* € <Э/(ж*) .

Доказательство. Справедливость этого утверждения следует из полуне-прерывности сверху по включению многозначного отображения ж д${х) и сходимости вектора а(х;г,р; f) при г->0к множеству д${х). □

Для предложения 5 справедливо обратное утверждение.

Предложение 7. Пусть для fi € Ш, * е О,т выполняются следующие условия: гпЩ2) ф Ф, (2 С т£((1от/о), точка ж* € <2 является точкой условного обобщенного в широком смысле минимума функции /о- Тогда ж* — точка условного минимума, т.е. ж* € КСл.

Доказательство. Из условий утверждения и по определению 3 существуют последовательности такие, что для любого

\/j е N г3 > 0, ру € О и г у —> 0, Ху —> ж*, при j —> сю. Из ограниченности сходящейся последовательности {xj}j^^sг следует ограниченность последовательности {а,{х^] Гу,ру', /оШетч- Выберем из последней сходящуюся подпоследовательность, оставив за ней ту же нумерацию. Из утверждения 6 следует, что вектор

а* = Нт а(ху;гу,ру; /о)

принадлежит множеству 9/о (ж) и при этом из выполнения неравенства (2) для a(xj;rj,pj;fo) при любом ,? £ N получаем, что вектор V = ^а* принадлежит конусу Ы((д, ж*). В то же время а* € Ж(М(/о, с), ж*), где с = /о(ж*). Следовательно, выпуклые множества <3 и М(/о,с) касаются в точке ж*, а это означает, что точка ж* является точкой условного минимума, что и требовалось доказать. □

2. Аппраксимационные седловые точки

Обозначим Лт+1 = {Л € Нт+1\\{ > О, г = 0, т). Как известно (смотри, например [4]), точка (ж*, Л*) £ х дт+! является седловой точкой функции

т

Ь(ж, А) = ^А^(ж) (18)

г=0

тогда и только тогда, когда ж* является точкой минимума функции

ф\*{х) = Цж, Л*) и выполняются условия дополняющей нежесткости

КМХ*) = °! г = 0,т.

Основываясь на этом утверждении, приведем следующее определение, аналогичное данному в [2].

Определение 4. . Точку (хг, А(г)) € (} • А'" 1 назовем аппроксимационной седловой точкой функции Ь (18) при фиксированных г >0, р € О, если существует число е > 0 такое, что для любого ж € Ве(хг) выполняются соотношения

< а{ж; г,р; ф\(г)), ж — хг >> 0 ,

Цr)гfi(xr) = 0, г = 1,т

(19)

Обозначим БР(г,р, Ь) С <3 х дт+! множество аппроксимационных

седловых точек функции Ь. Таким образом, (ж, А) € БР(г,р, Ь), если ж € О0(г,р,'фх^) и выполняются условия дополняющей нежесткости (19).

Определение 5. . Точку (ж*, А*) € С? х Дто+1 назовем обобщенной седло-вой точкой функции Ь, если существует г* > 0 такое, что для любых г € (0;г*] р € О существует (жг,А(г)) € БР(г,р,Ь) и имеет место сходимость хг ж*; А(г) А* при г ^ 0.

Отметим, что множества БР(г,р, Ь) и СО(г,р, £*), /о) могут не совпадать и даже не пересекаться. Так, в случае /о(ж,у) = (ж — I)2 + (у — I)2, Л (ж, у) = ж2 + у4 — 1 эти множества являются одноточечными и не совпадают. Однако в пределе при г ^ 0 соотношение между ними становится более естественным.

Предложение 8. Пусть (ж*, А*) - обобщенная седловая точка функции Ь и при этом Ад > 0. Тогда ж* является точкой условного минимума.

Доказательство. По определению 5 существуют последовательности |А^Н,-р1\г! |7^141 |гЛ,-Ртч, (рЛтт такие, что для любого п € N г,- >

0, щ € в, (жУ),А«)) е БР^р^Ь) и ж(Л -»• ж*, А«) -»• А*, г,- -»• 0 при ] -»•

оо. Выберем из ограниченных последовательностей {а(ж^; /г)}^]^,

г = 0,т сходящиеся, оставив за ними ту же нумерацию. В силу утверждения 6 справедливы включения

^ дfi(x^f), а^ = Нт а(х^; гл,рл\/*), г = 1,т .

З^-оо

Это означает, что аМ е Ж(М(/г, /г(ж*)), ж*). Для любого А € Лто+1 обозначим /(А) = {г € 1,т| Аг > 0}. В силу сходимости А-7 ^ А* существует число п* € N такое, что для любых 'I € 1{А*) и ] > п* будет выполняться неравенство А| > 0. Так как для (ж^,А^) выполняется (18), то для г € 1{А*) в силу непрерывности функций /г(ж) будет ВЫПОЛНЯТЬСЯ равенство /г(ж*) = 0. Следовательно, в точке (ж*, А*) выполняются условия дополняющей нежесткости (18). Из соотношения (17) имеем

< а(ж(^;г^;^Аш),ж - ж(:?)) >=0 .

Поэтому

т

А|)'7)а(ж(-7);г5',^;/о) = ^ А|а(ж(^; /г) .

г=1

Переходя в последнем неравенстве к пределу при > оо, получаем

А^а(0) = А*а(г) .

г£/(А*)

Из этого равенства, неравенства Ад и включений

а{%) € д/г(ж*), г € 0, т, У ЛГ(М(/г, /г(ж*)), ж*) С ЛГ(<2,ж*)

г£/(А*)

для вектора г/ = следует справедливость включения г/ € М((2,х*).

Следовательно, выпуклые множества М(/о,/о(ж*)) и <3 касаются в точке ж*, а это означает, что ж* - точка условного минимума функции /о- Утверждение доказано. □

Список литературы

1. Батухтин В.Д., Майборода Л .А. Оптимизация разрывных функций. М.: Наука, 1984.

2. Батухтин В.Д., Майборода Л.А. Разрывные экстремальные задачи. СПб.: Гиппократ, 1995.

3. Рольщиков В.Е. О соотношении экстремума и обобщенного экстремума для недифференцируемых функций // Некоторые вопросы оптимизации разрывных функций. Свердловск: УНЦ АН СССР. 1984. С. 81-93.

4. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

5. Рокафеллар Р.Т. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

6. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.

7. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984.

8. Батухтин В.Д. Задачи анализа разрывных функций и негладкая оптимизация. Свердловск, 1989. (Препринт / УрО АН СССР ИММ).

9. Бигильдеев С.И., Рольщиков В.Е. Свойства аппроксгшационного градиента в зависимости от весовой функции // Изв. РАН. Теория и системы управления, 1997. №4. С. 89-94.

10. Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. М.: Наука, 1977.

Челябинский государственный университет [email protected]