CC BY
19
О СХОДИМОСТИ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ТОЧЕК УСЛОВНОГО АППРОКСИМАЦИОННОГО МИНИМУМА
В. Е. Рольщиков
В статье для негладкой выпуклой целевой функции и гладких выпуклых функций, задающих ограничения, доказывается, что последовательность точек условного аппроксимационного минимума сходится к точке условного минимума. Статья продолжает исследования [1 — 3].
Введем некоторые определения и обозначения:
W — множество собственных выпуклых функций ср: R" -»R, int (dorn (р) Ф ф; для любого выпуклого множества М обозначим Г (М) —граница множества М, NM(x) — конус внешних нормалей к множеству М в точке хеМ, NM(x) = {yeR":VzeM, <у, z —х) ^ 0}; для любого r>0 G(r) — множество функций
(r, s) -»p(r, s), являющихся функциями плотности распределения случайного вектора s б R", равных нулю вне шара Vr = {seR": ||s|| ^ г} и зависящих только от нормы вектора s;
для любых «¡oeW, r>0, peG(r) и х таких, что х + Vr <= int (dorn (р) обозначим а(х; г,р; ср) = ( ах(х; г, р; (р),..., а„ (х; г, р; (р)) — вектор аппроксимационного градиента [1], вычисляемый по формулам
а¡(х; г, р; (р) = i J s¡ <¡o(x + s) p(r; s)ds, dr = js?p(r; s)ds. (1)
¿rvr V,
В силу определения G(r) функция p e G(r) Ьказывается симметричной относительно любой гиперплоскости, проходящей в R" через начало' координат. Поэтому величина dr не зависит от индекса i = 1, п.
Следуя [2], назовем точку xeUcR" точкой условного по U аппроксимационного минимума функции ереW при заданных г > 0, peG(r), если существует в>0 такое, что справедливо соотношение
<a(z; г, р; <р), z-x> ^ 0, yzeU nV£(x). (2)"
Здесь V£(x) = x+V£.
Точку х е U назовем точкой условного по U обобщенного минимума функции (р е W, если существуют последовательности j0, р^еО(г.), хр где является точкой условного по U аппроксимационного минимума функции q> при грj и Xj -> х при j оо.
Пусть J е W, g¡ е W, i = 1, m и g¡ (х), i = 1, m — непрерывно дифференцируемые функции. Требуется найти решение задачи
J(x) ->■ min х е U, 4 (3)
U = {х е R": g¡ (х) ^ 0, i = T7~S}. (4)
Будем предполагать в дальнейшем, что
m
и С int (dorn J) Р) int (dorn g¡), int (U) ф ф. (5) •
i= 1
Будем прёдполагать также, что для всех ie 1, m функции g¡ (х) не достигают минимума на границе множества D,(0) = = {xeR":g;(x) 0}. В силу определения (4) множество U будет выпуклым и замкнутым.
Отметим, что дальнейшие построения будут аналогичны приводимым в книге [4] для гладкой функции J(x). При этом используемый в книге [4] градиент гладкой функции J(x) будет заменяться аппроксимационным градиентом негладкой функции в нашей задаче.
Пусть хеи, ограничение gi называется активным (пассивным) в точке х, если g[ (х) = 0 (х) < 0). Множество индексов активных ограничений в точке х обозначим
1(х)={к1 &(х) = 0}.
Составим функцию Лагранжа для задачи (3), (4)
т
Цх; Я) = Я0.Г(-х) + I Я(&(х), Я=(Я0, к^...,^), Аг 5М), 1=Т, т. (6)
¡+1
В качестве градиента недифференцируемой функции Цх, к) по х будем использовать аналог градиента, состоящий из суммы градиента от дифференцируемой части и аппроксимационного градиента от недифференцируемого слагаемого 1(х). Обозначим
т
а§(х; г, р; Ц-; к)) = Я0а(х; г; р; 1)4- I Яг£(х)
1 + 1
Точку (х*, Я*)еи х А, А = {Яе1Г+1, Я,^0, ¡ = б7т~} назовем аппроксимационной седловой точкой функции 1 (х, Я) (6) при фиксированных г > 0, р е в(г), если существует е > 0 такое, что
<аё(х*; г, р; Ь(-;Я*)), х-х*>^0, V хеУДх*), (7)
Я*Е,(х*) = 0, 1 = Т7Н . (8)
Если при этом Я§ > 0 (можно считать к% = 1), то задачу (3), (4) назовем аппроксимационно регулярной в точке х* при-фиксированных г>0, рбв(г). Аппроксимационная регулярность задачи как и в гладком случае гарантируется линейной независимостью векторов & (х), 1 е 1(х*).
Точку (х^, к^)е и х Л назовем обобщенной седловой точкой функции Ь(х, к) (6), если существуют последовательности г 10, р7 е О (гД ху-^х^, /У -> Я+ такие, что (хр V} является аппроксимационной стационарной точкой функции Ь при г-, р;-, ] = 1, 2,...
При сделанных предположениях для задачи (3), (4) будет справедлив аналог теоремы Лагранжа [2, стр. 44].
Теорема 1. Пусть в задаче (3), (4) при предположении (5) х^ е и есть точка условного по и обобщенного минимума. Тогда существуют числа Я*. ■ ■■> Я* такие, что к* = (к%,..., Я*) ф 0, Я* > 0, i = 0, т, м точка (х#, Я*) является обобщенной седловой точкой функции Ь (6).
Докажем теперь обратное утверждение.
Теорема 2. Пусть (х^, Я*) — обобщенная седловая точка функции Ь (б) и при этом Я* > 0. Тогда х^ является точкой условного по и обобщенного минимума функции / (3).
Доказательство. Из условий теоремы следует, что существуют последовательности r} j 0, р е G(rj), А(ЛА* такие, что точка (хр Äj) является аппроксимационнои седловой точкой функции L(x, Я). В силу определения аппроксимационной седловой точки x;eU выполняется неравенство (7), которое запишем в виде
< а(Xтр р.; J), х-х;> +
т
+ I А<1><g;(хД х-х,>>0, Vxe V£(x,) (9)
i +1
m
Так как множество U представимо в виде U= Q D( (0), а для
i= 1
любого xeD,(0) и любого i е I(x^) <g', (xj, x — Xj) < 0, то неравенство (9) для x e U можно переписать в виде
A« <а(х,.; г,., р;; J), х-х,.> ^ 0, VxeV,(xy)nU.
Учитывая условие /Jf > 0, получаем, что точка Xj является точкой условного по U аппроксимационного минимума. Тогда, в силу определения, точка е U будет точкой условного по U обобщенного минимума.
Рассмотрим теперь условия, при которых существуют точки условных по U аппроксимационных и обобщенных минимумов.
Лемма 1. Пусть выполняются предположения (5) для функций J e W, g, e W, i = 1, m. Тогда существуют точки условных по U аппроксимационнного и обобщенного минимумов.
Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда функция J(x) имеет единственную точку х^ условного по U минимума, т. е.
с^ = minJ(x) = -КхД VxeU, х^х^, J(x) — JtxJ > 0.
xeU
Пусть х е int U), где х из условия
min J(x) = J(x).
xeR"
Тогда х^=хи, как показано в [3], существует г* > 0 такое, что для любого ге(0, г*], peG(r) существует xreint(U) , хг х при г j 0. Здесь хг —точка аппроксимационного минимума функции J при фиксированных, г и peG(r). Точка xreU аппроксимационного минимума J всегда является точкой условного по U аппроксимационного минимума. Следовательно, точка х.будет точкой условного по U обобщенного минимума. Если xeT(U), а по крайней мере счетное множество соответствующих точек аппрок-
симационного минимума хг принадлежит U, то снова получим требуемый результат. Пусть, следовательно, множеству U принадлежит не более чем конечное число точек аппроксимадионного минимума. Выберем г* > 0 меньше минимального г > 0, при котором xr е U. Тогда можно считать, что множеству U не принадлежат точки аппроксимационного минимума. В силу того, что либо хеГ(и), либо x^U для любого с > с^, имеют место соотношения
int (К) Ф ф, K = UnDj (с), Df (с) = {х е R": J(x) с}.
Как показано в [3, теорема 3], используя компактность множества U п Г(Dj(с)) и то условие, что x^Unf (D7(с)), можно выбрать г° е (0, г*] таким малым, чтобы для любого г е (О, г°] и любого xeUnr(Dj(c)) вектор — ß(x) = а(х; г, р; J)е(х). Здесь
Nd*(c) (х) = {z е R": ] х e NBj(c) (х), —— ^ е*}, е* > 0 выбрано так,
чтобы конус Nß*(<:)(x) не содержал противоположных векторов. Рассмотрим отображение
<A(x) = npt;(x-a(x; г, р; J)).
Здесь np^v) — проекция точки veR" на множество U. Функция ф(х) в силу выпуклости и замкнутости множества U однозначна, непрерывна и отображает замкнутое множество U на U. Следовательно, функция ф(х) имеет неподвижную точку xreU [5], т. е. |Д(хг) = хг. Точка хг не может принадлежать внутренности множества К, т. к. тогда по доказанному в [3] она являлась бы точкой аппроксимационного минимума и xreint(U), что противоречит рассматриваемым условиям. Также хг$T(U) о Г(0,(с)) по крайней мере для тех с, для которых int (К) Ф ф. Действительно, для выполнения включения xr е r(U) п Г(07 (с)) необходимо, чтобы вектор /?(х,) принадлежал конусу внешних нормалей Nx(xr). В случае xr е Г (U) n T(Dj (с)) справедливо равенство NK (хг) = = co(Nj;(xr) u Nj, (с) (хг)). Так как — ß (х,) е Nß*(c) (хг), то включение ß(xr) е Nx (хг) для'любых ге(0, г°] будет возможно, если конус Nt,(x,) будет содержать вектор, противоположный по направлению одному из векторов конуса Nb*,C)(x,). Но это невозможно для выпуклых замкнутых множеств TJ и Dj (с) при достаточно малом е* > 0 и в предположении, что int(K) ф ф. Таким образом хгеГ(11) и xr^r(Dj(c)). Так как хг — неподвижная точка отображения ф(х), то jff(xr)eNK(xr) = Nl7(xr). Тогда для любого xeU в силу определения конуса внешних нормалей N^x,) будет справедливо неравенство (ß (хг), х — хг> < 0. Следовательно,
<а(х,; г, р; J), х-хг> ^0, VxeU
и точка хг является точкой условного по и аппроксимационного минимума. Так как точка х, принадлежит границе множества и, то множество индексов 1(хг) # 0 и для V1 е I (хг), g(.(xr) = 0.
Пусть сДс,,. Для каждого с >с^ можно подобрать г3 > О, т} ->0 такое, что для V е С (г-) будет существовать точка х^ условного по и аппроксимационного минимума и х^- е К; = (с,). Так как точка условного минимума х# единственна, то последовательность множеств К,- будет сходиться к одноточечному множеству {х#}. Следовательно, х} х^ при .¡-»-со и х* — точка условного по и обобщенного минимума.
В случае, когда множество условных минимумов состоит не из единственной точки х^, а из непустого множества М^, доказательство леммы будет совершенно аналогично, только последовательность X] точек условного по и аппроксимационного минимума будет сходиться не к некоторой точке, а к множеству М„,. Тогда, выделяя из ограниченной последовательности Xj сходящуюся, получим, что хотя бы одна точка из М„. будет точкой условного по II обобщенного минимума.
ЛИТЕРАТУРА
1. Батухин В. Д., Майборода Л. А. Оптимизация разрывных функций.-М.: Наука, 1984.-208 с.
2. Батухтин В. Д. Задачи анализа разрывных функций и негладкая оптимизация. - Свердловск, ИММ УрО АН СССР. Препринт, 1989.-С. 52.
3. Рольщиков В. Е. Аппроксимационный минимум одного класса разрывных функций. — В кн.: Негладкие задачи оптимизации и управление. Свердловск: УрО АН СССР, 1988.-С. 33-45.
4. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1980.-512 с.
5. Александров П. С. Введение в теорию множеств и общую топологию.-М.: Наука, 1977.-368 с.
