Однопараметрическое семейство аппроксимационных экстремалей в задаче Больца Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические структуры и моделирование 2002, вып. 10, с. 26-36

УДК 621.317

ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКОЕ СЕМЕЙСТВО АППРОКСИМАЦИОННЫХ ЭКСТРЕМАЛЕЙ В ЗАДАЧЕ БОЛЬЦА

В.Е. Рольщиков

In this article the question of existence one-parameter family’s decisions of Eller’s equation in Bolza problem for nonsmooth functional is studied.

Введение

В работе для функционалов с негладкими терминальной и подынтегральной функциями определяются аппроксимационные экстремали из класса абсолютно непрерывных функций. При некоторых условиях они образуют однопараметрическое семейство. В гладком случае при наличии экстремали исследуется сходимость к ней аппроксимационных экстремалей при стремлении параметра к нулю.

Рассмотрим задачу

ti

J[x(-)] = l(x(t0), x(ti}) + J L(t,x(t),x(t))v(dt) ^ inf , (1)

to

где v - мера Лебега на R, x(t) Є Rn Vt Є [to, ti]. Будем предполагать, что функции x(t), среди которых ищется минимум функционала J, принадлежат классу ACn([t0,ti]) - абсолютно непрерывных на отрезке [t0,ti] функций. Пусть функция L ограничена на любом ограниченном множестве и измерима по (t,x,x) относительно а-алгебры [7] B* = B[t0,ti]x B[Rn]xB [Rn] - минимальной а-алгебры, содержащей любые множества P вида P = D x Di x D2, где D Є B[t0,ti], Di Є B[Rn], D2 Є B[Rn], а B[M] - борелевская а-алгебра множества M. Тогда для любой функции x(-) Є ACn([to, ti]) отображение

g(t) = L(t,x(t),x(t))

будет измеримым по Лебегу на [t0,ti] [5].

Обозначим z = (x, x) = (xi,..., xn, xi,...,xn), ^ - мера Лебега на Rn. Как известно [4], если функции l(z), L(t, z) непрерывны вместе со своими частными производными

dL

Ozi’

51

Ozi’

і Є 1, 2n

© 2002 В.Е. Рольщиков

E-mail: ver@econ.cgu.chel.ru Челябинский государственный университет

Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.

27

по совокупности переменных то функционал J дифференцируем по любому направлению q(-): q(t) = (h(t), h(t)), h(^) Є СП([іо, ti])- Его производная задается равенством

dl

dx(to)

h(to)

+

dl

dx(t1)

h(ti)

+

11

+

to

dL(t, x(t),X(t))

dz

q(t)

dt.

В случае, когда функции l и L не являются дифференцируемыми, введем понятие аппроксимационной производной функционала J[x(-)] по направлению q(^), аналогичное введенному в [2], [3]. Для каждого фиксированного t Є [to,ti] обозначим

ai(z; r,p;L)(t)

1

dr

BrsiL(t, z(t) + s)p(r; s)y(ds), i = 1,2n,

(2)

где Br = Br (0) Vy Є R2n B2rn(y) множества M;

dr =

{z Є R2n | ||z — y\\ < r}, M - замыкание si2p(r; s)P(ds);

Br

функция веса p : (0, то) x R2n ^ [0, то) такова, что p(r; s) = 0 Vs Є Br,

J p(r; s)y(ds) = 1, p(r; s) = p*(r; Цфф

Br

а p(r; •) интегрируемая с квадратом по мере у. Множество всех таких функций p обозначим G. Вектор

a(z; r,p;L)(t) = (ai(z; r,p; a n(z; r,p;L)(t))

при фиксированном t является вектором аппроксимационного градиента функции L в точке z [2]. Обозначим

Г a1(z; r,p : l)(t) = (ai(z; r,p; L)(t), ...,an(z; r,p; L)(t)),

\ a2(z; r,p : l)(t) = (an+i(z; r,p; L)(t),...,a2 n(z; r,p;L)(t)).

(3)

Определим вектор аппроксимационного градиента терминальной части l функционала J. Обозначим

у = (xi(to), ...,xn(to),xi(ti), ...,xn(ti)),

1

ai(y; r,p; l) = — sil(y + s)p(r; s)y(ds), i Є 1,2n .

Br

Соответственно определяются векторы a(l',(y; r,p; l), i = 1, 2 (см.(2)).

28 В.Е. Рольщиков. Аппроксимационные экстремалей в задаче Больца

1. Аппроксимационные экстремали

Определение 1. Назовем функцию

Ja(z(•); r,p; q(-)) = (a(1)(y; r,p; £},h(to)) +

tl

+ (a(2)(y; r,p;l),h(ti)> + J (a(z; r,p; L)(t),q(t))v(dt)

to

аппроксимационной производной функционала J в точке z(-) по направлению

q(-)-

Определение 2. Назовем функцию xr(■) Є ACn([to,t1]) аппроксимационной экстремалью функционала J при выбранных r > 0, p Є G, если для любой функции q(-) = (h(-),h(-)), h(-) Є Cn([t0,t1]) выполняется равенство

Ja (zr О; r,p; q(-)) = 0,

где Zr (■) = (Xr (-),Xr (■)).

Теорема 1. Пусть xr(■) - аппроксимационная экстремаль функционала J, тогда xr(■) удовлетворяет системе уравнений Эйлера

d ___

ai(z; r,p; L)(t) - — (an+i(z; r,p; L)(t)) = 0, і Є l,n, (4)

и условиям трансверсальности

ai(yr; r,p; l) = an+i(zr; r,p; L)(to), і Є l,n, (5)

an+i(yr; r,p; l) = -ara+i(zr; r,p; L)(ti), і Є 1,n. (6)

Здесь yr = (xr(t0),xr(t1)). ■

Справедливость теоремы следует из леммы Дюбуа-Реймона [1] и независимости вариаций hi(t0), hi(t1), і Є 1,n.

2. Условия сходимости

Условия существования решений системы уравнений (4) при выполнении условий трансверсальности (5) и (6) и тем более условия сходимости этих решений при r ^ 0, r > 0 являются жесткими даже для достаточно гладких функций L и l. Далее рассматривается один из возможных случаев, когда удается установить сходимость к решению системы уравнений Эйлера аппроксимационных экстремалей xr (■)

dL

dzi

d dL ___________

----> i Є 1,n>

dt dzn+i

(7)

удовлетворяющего условиям трансверсальности

” dL(tp ,z(to)) = dl(y) dz„+j dyl

(8)

dL(ti ,z(t1)) = dl(y)

„ dzn+i dyn+i

Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.

29

Для упрощения записи рассмотрим случай n = 1, для произвольного n > 1 выводы будут аналогичны. Преобразуем уравнения (7) и (8). Пусть zi(t) = x(t), z2(t) = X(t), z = (zi,z2) и z(0) = z(t0), z(1) = z(ti). Будем далее полагать,

что функции

d 2L(t,z) d2L(t,z) dz1dz2 ’ dzf

определены и непрерывны

d2L(t, z)

dz|

Пусть также определены и непрерывны

> 0 .

5l(zS0),zS1)) dl(z(0), z(1))

dz(0)

5z(1)

Тогда уравнение (7) можно записать в виде

z1 = z2

z2 = —D1 (t, z)z2 + D2(t, z).

(9)

Здесь

D (t = 92L(t,z) / d2L(t,z) D (t _ D(('2) = ДДДГ/ “ДДу-•

Условия трансверсальности (8) запишутся в виде

dL(t, z) dz1

f g\(z(0),z( 1 )) = 0 \ g*2(z(0),z( 1 )) = 0.

d2L(t, z) d 2z2

(10)

Здесь

., (0) ( 1)> = SHtp.z(t0)) — 1 1)

*(z 'z ' 0z2 аг(0) ’

,,..(0) z( 1)4 = dL(t 1. 1)) . ЙФІДУ)

g2 (2 )= Sz2 + gz[ 1 ) •

Соответствующие системы дифференциальных уравнений для аппроксимационных экстремалей zr(t) = (xr(t),Xr(t)) будут иметь вид

zr 1

^r2

zr2

—A 1 (zr; r,p; L)(t)zr2 + A2(zr; r,p; L)(t).

(11)

Здесь

A 1 (zr; r,p;L)(t)

da2(zr; r,p; L)(t) dz 1

A2(zr; r,p; L)(t) = a 1 (zr; r,p; L)(t)

da2(zr; r,p; L)(t) dz2

da2(zr; r,p; L)(t) dz2

30 В.Е. Рольщиков. Аппроксимационные экстремалей в задаче Больца

Отметим, что функции Ai(zr; r,p; L)(t), i = 1, 2 непрерывны по (z, r) на R2 х (r*; 0] для некоторого г* > 0 и непрерывно дифференцируемы по z [3].

Обозначим z^0) = zr(to), z^ = zr(ti), тогда условия трансверсальности (5), (6) можем записать следующим образом

gl(r,z(r0) ,z(r1)) = 0

g2(r,zro),zri}) = 0.

(12)

Функции gi(r, zr0), zri)), i = 1, 2 определяются равенствами

gi(r, zro),zri)) = a,2(zr; r,p; L)(to) - ai((zro), z^); r,p; l),

g2 (r, zro), zri)) = a2 (zr; r, p; L)(ti) + a2 ((zro), z^); r, p; l).

Пусть p* Є G. Обозначим Gi(p*) - множество функций p Є G таких, что

p(r; s) = -1p*(1; -), s Є r2.

Как было установлено в [3] в случае p Є Gi(p*), p* Є G функции Aj(z; r,p; L)(t), gj(r, zro) ,zri), i = 1, 2 непрерывны по r на (0; r*] для некоторого r* > 0, а при r ^ 0 (r > 0) сходится к Dj(t, z), g*(zio), zii)), i = 1, 2 соответственно. Положим,

gi(0,z

(o),z(i))

gi^rGi^ i

1, 2.

В этом случае при фиксированной функции p*(1; s) на единичном шаре Bi уравнение (11) и условия (12) зависят от одного параметра r. Вопрос о существовании и сходимости аппроксимационных экстремалей zr(•) будем решать исходя из условий существования однопараметрического семейства решений краевой задачи (9), (10) [8, 126]. Обозначим Jc - якобиан

Jc = det

dg*(z(0),z(1)) dg|(z(0),z(1))

dz(0) dz(0)

dg* (z(0) ,z(1)) dg* (z(0) ,z(1))

dz(0) dz(0)

+

+

dg* (z(0) ,z(1)) dz(1)

dg* (z(0),z(1)) dz(1)

dg* (z(0) ,z(1))

dz.

(1)

dg* (z(0) ,z(1))

х

dz.

(1)

2

hii)(ti) hi2)(ti)

h2i) (ti) h22) (ti)

(13)

Здесь h(i)(t) = (h^(t), h2^(t))^ h(2)(t) = (hi2)(t), h22)(t)) решения системы уравнений в вариациях

h

h

i - h2 = 0 5 2L(t, z(t))

i dzi

d fd2L(t, z(t)) dt у dzidz2

d

dt

d2L(t, z(t)) dZ2

h2

0

(14)

с начальными условиями h(i)(to) = (1; 0), h(2)(to) = (0; 1) соответственно.

Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.

31

Теорема 2. Пусть выполняются следующие условия:

1) существует и единственно z(t) = (x(t),x(t)) - решение уравнения (9), удовлетворяющее условиям (10);

2) функции Di(t,z), g*(z(0),z(1)), i = 1, 2 непрерывно дифференцируемы по z и z(0),z(1) соответственно;

3) существуют единственные на [t0,t1] 'решения Ъ,(1\Ь),и h(2)(t) системы уравнений в вариациях (14);

4) отличен от нуля якобиан Jc (13).

Тогда существует на [t0; t1] однопараметрическое семейство решений zr(t) системы (11), удовлетворяющих краевым условиям (12), непрерывное по r и такое, что

limzr(t) = z(t) Vt Є [t0; t1].

r|0

Отметим, что условия 2) теоремы требует существования непрерывных производных от функции L до третьего порядка, а от функции I до второго порядка. Это необходимо для существования якобиана. Доказательство теоремы о существовании однопараметрического семейства решений в [8] основано на том, что для однозначного решения системы (11) достаточно задать начальные условия z^. Если полученное решение удовлетворяет краевым условиям, то выполняются равенства (12). Если из этих равенств можно найти вектор z^, то решение системы (11) zr(t,z(0)) будет удовлетворять краевым условиям (12). Таким образом, вопрос о существовании решения краевой задачи (11), (12) сводится к вопросу о существовании неявной функции r ^ z^. В книге [6] приводятся условия существования неявной функции, в которых вместо якобиана используется обобщенный якобиан. Непрерывная зависимость решения системы (11) от начального условия z(0) и правых частей уравнений (11) на основании следствия 1 теоремы 1 [9, c.68] будет иметь место в случае не-

прерывной зависимости D^t,z) и Aj(z; r,p; L)(t), i = 1, 2 от (t, z) и (t,z,r) соответственно. Используя эти утверждения, можно ослабить условия на степень гладкости функций L и I.

Доопределим функции Aj(z; r,p; L)(t) и gi (r, z^, z^) i = 1, 2. Для любого отрицательного r положим

Ai(z; r,p;L)(t) = Di(t,z)

gi(r,zr0) ,z(1)) = Q*(zi0),zi1)),i = 1 2-

Пусть f : Rn ^ R, следуя [6], обозначим: f 0(x; v) - обобщенная производная по направлению

f0 (x; v) = lim sup

y^x Д0

f (y + tv) - f (y)

t

df (x) - обобщенный градиент функции f в точке x, то есть множество всех линейных непрерывных функционалов Z таких, что

f0(x; v) >(C,v)Vv Є Rn .

Нам понадобятся следующие определения из [6].

32 В.Е. Рольщиков. Аппроксимационные экстремалей в задаче Больца

Определение 4. Функция f : Rk ^ R регулярна в точке x Є Rk, если:

1) для каждого v Є Rk существует производная по направлению f(x,v);

2) для всех v Є Rk f (x, v) = f 0(x; v).

Определение 5. Пусть X = Rk x Rm. Тогда частным обобщенным градиентом по xi функции (xi,x2) ^ f(xi,x2), где xi Є Rk, x2 Є Rm, называется обобщенный градиент функции f (•,x2), он обозначается dXl f (x1;x2). Аналогично определяется дХ2 f (x1;x2).

Пусть F : Rn ^ Rm, F(x) = (f(1),...,f(m)), а функции f(i) : Rn ^ R

удовлетворяют условию Липшица в окрестности точки x Є Rn. Обозначим Qp - множество точек x Є Rn, в которых F недифференцируема.

Определение 6. Обобщенным якобианом dF(x) функции F в точке x Є Rn называется выпуклая оболочка всех m x n матриц Z , являющихся пределами всевозможных последовательностей JF(x(i)) при x(i) ^ x (JF(x*(i) - якобиан функции F в точке x(i) ее дифференцируемости), т.е.

dF(x) = co{lim JF(x(i)) : x(i) ^ x, x(i) Є }•

Справедливо соотношение

dF(x) C d(f(1)(x) x ... x f(m)(x)),

где правая часть включения обозначает множество всех матриц, i-я строка которой принадлежит d(f(i)(x)) i = l,m.

Будем обозначать VQ C Rn r(Q) граница множества Q, S(n) = r(B(n)).

В доказательстве теоремы о существовании однопараметрического семейства решений уравнений Эйлера (11), удовлетворяющих краевым условиям (12), используется теорема о неявной функции. Приведем три вспомогательных утверждения, которые используются при доказательстве этой теоремы.

Лемма 1. Существуют числа r > 0 и 5 > 0 такие,что для любого вектора v Є S(m) найдется такой вектор w Є S(m), что для всех у Є (у0 + B^ ),

x Є (x0 + вГп)) и M Є dyH(x,y) выполняется неравенство

(w, Mv) > 5 .

См. ( [6, 233])

Лемма 2. Если у и z лежат в у0 + B^ выполняется неравенство

то для любого x Є (x0 + B^n))

|H(x,y) - H(x,z)| > 5|У - z| .

(15)

См. ( [6, 234])

В силу непрерывности отображения H по (x, у) справедливо утверждение.

Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.

33

Лемма 3. Существует а Є (0, r] такое, что для любого x Є (xo + Bln)) справедливы включения

H (х,Уо) +

kx

C H(x,yo + B(rm)),

c

H(хо,Уо) Є H(x,yo) + y-Bim) ,

kx

где kx > 2.

Доказательство. Так как отображение H непрерывно по (x, y) , то существует k > 0 и в > 0 такие, что для любого x Є x0 + B^ выполняется включение

г

H(xo,Уо) + yB(m) C H(x,yo + B(m)) . (16)

Докажем (16) от противного. в > 0 k > 0 x Є (x0 + B^m)), z* :

c

z* Є (H(xo,yo) + ^B(m)), z* Є H(x,yo + B(m)) . (17)

Выберем последовательности k(i) ^ то, вг ^ 0, и пусть в (17) им соответствует x^. Тогда имеет место сходимость

Xi ^ xo, z(i) ^ H(xo,yo), где z(i) = Zxi .

В силу непрерывности функции (x,y) ^ H(x,y) многозначное отображение x ^ H(x, yo + B(r)) непрерывно в метрике Хаусдорфа, следовательно, учитывая

(17), получаем

lim z(i) = H(xo,yo) Є r(H(xo,yo + B(m))).

І—

Последнее включение противоречит тому, что непрерывная функция y ^ H (xo, y) отображает открытое множество yo + B^m)) в открытое. Полученное противоречие доказывает включение (16).

Выберем теперь а Є (0,в] таким, чтобы для любого x Є (xo + B^)

г

H(x,yo) Є (H(xo,yo) + 3kB(m)).

Тогда для всех этих x справедливы включения

г

H(xo,yo) Є (H(x,yo) + B(m)) C (H(xo,yo) + 77B(m)) C H(x,yo + rB(m))

r£

2k

2k

34 В.Е. Рольщиков. Аппроксимационные экстремалей в задаче Больца

Теорема 3. Пусть H : х непрерывна по совокупности переменных

в некоторой окрестности W С Rn х Rm точки (x0,y0). Для любого фиксированного x Є {p Є Rn| 3у Є Rm (p,y) Є W} H(x, •) липшецевая функция по у Є {z Є Rm| (x, z) Є W} и отображение (x,y) ^ dyH(x,y) полунепрерывно

сверху по включению. Пусть

H (xo,yo) = 0

и dyH(x0,y0) имеет максимальный ранг. Тогда существует U окрестность точки x0 и V окрестность точки y0 такие, что для любого x Є U существует

yx Є V •'

H (x, yx) = 0.

При этом функция x ^ yx непрерывна по x на множестве U. Доказательство. Выберем произвольные x Є (x0 + B^), zx Є (H(x,y0) + 2kB(m)). Пусть точка yx доставляет минимум функции

Фх(у) = |zx- H (x,y)|2

—(m) -p-p

на замкнутом шаре y0 + Br . Покажем, что yx принадлежит внутренности этого множества, т.е. yx Є (y0 + BГ ^). Доказывать будем от противного. Пусть yx Є (y0 + 5Гт)), тогда, используя неравенство треугольника и учитывая оптимальность yx, получим

rS

2k

> |zx

H(x,y0)| > |H(x,yx) - H(x,y0)| >

r|yx - У0і - |zx - H(x,yx)| > Sr - |zx - H(x,y0)| >

> Sr

rS

2k

rS(2k - 1) 2k

Полученное неравенство

rS > rS(2k - 1) 2k > 2k

противоречит тому, что k > 2. Так как ^x(y) достигает минимума в точке у*, то по [6, 72]

0 Є 5^x(yx) = 2(zx - H(x,yx))dyH(x,yx).

По лемме 1 все матрицы M Є dyH(x,yx) невырожденны, следовательно,

H (x,y*)

zx

(18)

Таким образом, для любого x Є (x0 + В,-) для каждого z* :

z* Є (H(x,y0) + 2kB(m))

Математические структуры и моделирование. 2002. Вып. 10.

35

определено единственное (в силу (15)) yx Є (уо + в(т)) такое, что выполняется (18). Следовательно, определена обратная функция gx(z) = yx. Определим функцию х ^ д(х) соотношением

Д(х) = gx(0) .

Это возможно, т.к. H(х0,у0) = 0 Є (H(х,у0) + 2|B(m)), т. е. в качестве z* можно взять 0. Покажем, что функция д непрерывна по х на х0 + ВІга). Предположим противное. Тогда существуют х* Є (х0 + В(га)) и є > 0 такие, что

V5 > 0 Зх6 |хг - х*| <5 : | gx* (0) - gx;/> (0)| >є.

Выберем последовательность 5І : Vi 5І > 0, 5І ^ 0 i ^ ж. Тогда последовательность х(і) = х^ сходится х*. Далее, последовательность yi = gxi)(0) содержится в компакте у0 + B^m). Выберем из последовательности yi сходящуюся, оставив за ней ту же нумерацию. Пусть

у* = lim yi ,

І——

тогда

В то же время

|gx*(0) - у*\ > є.

H(х*,gx* (0)) = 0 = H(х*,у*) = lim H(х^уф ,

І—^

что противоречит (15). Полученное противоречие доказывает непрерывность функции д. Для завершения доказательства теоремы достаточно взять U = (х0 + віга)), V = (у0 + вГт)).

Обозначим /(t,z) = (/(1)(t,z),f(2)(t,z)) - вектор правых частей системы (9),

f (1)(t,z) = z2, f (2)(t,z) = -D1(t,z)z2 + D2 (t,z).

Отметим, что при фиксированном х многозначное отображение у ^ dyH(х, у) является полунепрерывным сверху по включению, а множество dyH(х, у) - выпуклым и замкнутым. Данная теорема отличается от теоремы в [6, 235] только заменой липшецевости функции х ^ yx на непрерывность.

Из теоремы о неявной функции получаем справедливость следующего утверждения об однопараметрическом семействе аппроксимационных решений задачи Больца (1).

Теорема 4. Пусть выполняются следующие условия :

1) существует единственное на [t0 ,t1] решение z(t) системы (9), удовлетворяющее краевым условиям (10);

2) обобщенный якобиан dz/(t,z(t)) почти всюду на [t0,t1 ] состоит из единственной точки;

36 В.Е. Рольщиков. Аппроксимационные экстремалей в задаче Больца

3) функция H(r, z) = g(r, z, z(ti, z,r)) dzH(r,z) удовлетворяют условиям теоремы 3 в точке (0,z(0)).

Тогда существует однопараметрическое семейство z(t, z* (r), r) решений системы (11), удовлетворяющее краевым условиям (12), такое, что

z(t,z*(0), 0) = z(t), z*(0) = z(0).

Отметим, что при выполнении условия 2) существует сильная производная функции F(u) = z(t,u) по и . Здесь z(t, u) решение системы (9) с начальным условием z(t0,u) = и. Y(t) = [y(1)(t) y(2)(t)] - матричное решение линеаризованной вдоль решения z(t,u) системы (9) [6], а именно

У(i)(t) = dz f(t,z (t,u))yW(t),

y(1)(t - 0) = l, y21)(t - 0) = 0; y(2)(t - 0) = °, y(2)(t - 0) = 1

Особо отметим, что условия дифференцируемости в теореме 2 правых частей системы (9) и краевых условий (10) заменены в теореме условиями липшеце-вости, гарантирующими только обобщенную дифференцируемость.

ЛИТЕРАТУРА

1. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1981.

2. Батухтин В.Д., Майборода Л.А. Разрывные экстремальные задачи. Санкт-Петербург: Гиппократ, 1995.

3. Батухтин В.Д., Рольщиков В.Е. К решению разрывных вариационных задач // Вестник Челяб. унив. Сер.3, матем. и мех. 1994. Вып.1. С.163-171.

4. Гирсанов Л.В. Лекции по математической теории экстремальных задач. М.: Из-во МГУ, 1970.

5. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1977.

6. Кларк Ф. Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1988.

7. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1989.

8. Розенвассер Е.Н., Юсупов Р.М. Чувствительность систем управления. М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1981.

9. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1985.