CC BY
35
К РЕШЕНИЮ РАЗРЫВНЫХ ВАРИАЦИОННЫХ ЗАДАЧ
ВД.Батухтин, В.Е.Ролыциков
Челябинский государственный университет
В статье описывается подход к решению разрывных вариационных задач. При этом разрывной может быть как подынтегральная функция, так и функции, среди которых ищется решение задачи. В основе подхода лежит понятие аппроксимационного градиента, введенного в [1].
Под простейшей задачей классического вариационного исчисления обычно понимается задача поиска слабого экстремума функционала
в
где F(t,x,x) — функция, непрерывная вместе со своими частными производными Fx, F-x, функционал /(*(•)) определен на пространстве С'п [fQ, в]
непрерывно дифференцируемых функций x(t), удовлетворяющих ограничениям x(f0)-x0, х(Ф)-хв. При этом запись *(•) означает, что речь идет не о значении
функции x(t) при каком-то значении аргумента t, а о функции х(1) на [fQ, в] как едином целом.
Рассмотрим здесь расширение этой задачи, которое состоит в том, что предполагается выполнение лишь одного весьма общего и естественного условия: функция g(t):=F(t,x(t),x(t)) должна быть суммируемой на [f0, в\. В
рамках данного предположения могут, в частности, рассматриваться следующие два класса задач:
1. Функция лг(г) является непрерывно дифференцируемой, а функция F(t,x , х ) ограничена и измерима по Лебегу на [tg, в] xRnxRn.
2.Функция x(t) является абсолютно непрерывной, а функция F(t, х , х ) ограничена и измерима по t и измерима по Борелю по х, х.
В обоих случаях функция g(t) оказывается суммируемой на [fQ, 0] [2 , с.88-89].
(1)
'о
Для приложений представляет интерес также случай, когда функция x(t) является кусочно-гладкой. Под кусочно-гладкой функцией на [<0, в]
понимается функция x(f), обладающая тем свойством , что она является непрерывно дифференцируемой во всех рассматриваемых точках /, за исключением лишь конечного числа точек f, где функция х(1) может иметь разрывы первого рода. Ясно, что и в данном случае функция g(f) оказывается суммируемой для обоих типов функций F.
Таким образом, выбор пространства функций *(•), на котором рассматривается вариационная задача, тесно связан, с точки зрения "свободы маневра", с задаваемыми свойствами функции F(t, х, х). Функцию х( ) будем называть допустимой, если для заданной функции F(t,x,x) функция g(t)=*F(t, x(t), x(t)) является суммируемой на [f0,9\ и выполняются условия х(/0)=дг0 х(6)=хв .
Переход от непрерывно дифференцируемых функций *(•) к такому классу допустимых функций сразу же ставит вопрос об уточнении понятия экстремали вариационной задачи. Дело в том, что в пространстве кусочно-гладких или абсолютно непрерывных функций х( ) пространство С\ [/0 , 0] не является всюду плотным. Действительно, если производная ic'{t) имеет в некоторой точке tt скачок величины А,, то ни одна из функций ¿(-)€C„[f0 , 0] не может удовлетворить неравенству || ¿(f)-i*(/)|| <й,/ 2 для всех t, для которых х'(() существует. В классическом вариационном исчислении и в задачах оптимального управления в связи с данным обстоятельством делается переход от понятия слабого экстремума к понятию сильного экстремума. При этом для доказательства необходимого условия сильного экстремума вместо "вариаций по направлениям" используются так называемые игольчатые вариации [3,4]. Описываемый здесь подход позволяет, опираясь на введенную в [1] конструкцию, использовать для решения расширенных вариационных задач вариации по направлениям, но уже в пространстве ACn[t0, в] негладких функций.
Для- определенности и удобства дальнейшего изложения рассмотрим ситуацию, когда функция *(•) является абсолютно непрерывной. Класс абсолютно непрерывных на fi0,0] функций дг(-) обозначим ACalt0 , в].
Нетрудно будет увидеть справедливость приводимых ниже рассуждений для других классов функций дс(-), которые удовлетворяют при заданной функции F(t,x,x) условию суммируемости функции g(t)-F(t,x{t),x(t)).
Следуя [1], обозначим для каждого фиксированного t£(t0, в]
<*,(*; r,pr; F)(0-'J fs, F(t, *(0+Ф,С0 f*(ds) , i=T72n, (2)
' a
r
где г(0:-С*1(0."м*,(0.*1(0г^*,(0).О,;-ОД01г)-{ГеЛ,,:|| j|| sr}, pr(s) -плотность распределения случайного вектора s, которая полагается симметрич-
5* Зак 3732
29
ной относительно любой гиперплоскости, проходящей через начало координат и не зависящей от t, случайные величины sp ¿=1, п, некоррелированы,
математическое ожидание Л/Ц]«0, дисперсия,
о
г
не равна нулю. Класс функций pr(s), удовлетворяющих указанным условиям, будем обозначать через Gt(r). Функция afc; r,pr; F)(t) наследует свойства функции g(f)=F(t, x(t), x(t)) на [f0,0] , т.е. если g(t) , например, непрерывна, то и a,(z; г, pr; F)(t) также непрерывно зависит от (, или, если g(i) ограничена и измерима, то такой будет и afz\ г, pr\ F)(t), i= 1, 2п.
Определение 1. Назовем функцию jr,(*)B4Cn[i0 , в], удовлетворяющую условиям xr(t0)=x0, хг(6)=хв, аппроксимациокной экстремалью функционала (1) при выбранных г>0, рг, если для этой функции х/-) выполняется равенство
a(z^r,pr-F)(t)=0. (3)
Определение 2. Назовем функцию £*(?)• [/0 , б] обобщенной
экстремалью функционала (1), если существует f>О такое, что для любого гб] 0, г] найдутся рг и аппроксимационная экстремаль tE [f0, 9} функционала (1) такие, что xr(t) сходится к *.(/) равномерно по f€[i0 , в], когда г-*О, Справедлива следующая
Лемма 1. Пусть функция F(t, г) непрерывна по t, z и непрерывно дифференцируема по z, причем частные производные Ft (t, г), г'=1, 2п непре-
в
рывны по t, z. Тогда функционал Ф(г( •))*■¡F{f, дифференцируем и его
'о
производная Ф'(г0(')> К')) в точке z0(-) по направлению
/(•): /(0-(А(0. А' (0). A(Oe4C„[i0 , в] равна 0 в Ф'(г(-);?(-))=/<^.20(0). i(0>A=/Hm<Q(2;r,pf;F)(0, l[t)>dl. (4)
'о f0
Доказательство. Первое равенство з (4) доказывается, например, в [2], второе равенство следует из [1, с.79].
Теорема 1. Аппроксимационная экстремаль *,(•) функционала (1) удовлетворяет уравнению Эйлера
d _
ЧЧ r,p;, F) - ^an+f (zp; r,p;t F)=0, i=l,n. (5)
Доказательство. Для любого йаправления l(t)=(h(f), ti (0): h(t)(=ACn[t0 , в], h(tQ)=h(6)=0 с учетом (3) имеем
30
в
/<а(гг;г,рг;/0(0, /(Г)х*(-
'о
в й
'о _
Так как все вариации Л^/), /=1, л независимы между собой, то одну из них можно взять произвольно (с соблюдением граничных условий), а другие положить равными нулю. Тогда из (6) получим в
5г,р;, тЩЦ+а^ г,рг; ,(/)]Л=0. (7)
»0
В силу обобщенной леммы Дюбуа-Реймона [4], из (7) следует (5).
Обозначим через Ог(рг, ¡г)1 множество всех точек являющихся
сечением аппроксимационных экстремалей функции Р=Р(1,х(1),х(1)} при выбранных г , рг и фиксированном г. Как следует из [1], для широкого класса функций, в том числе разрывных, Ог(рг, и при этом точки хг=хг(1) для
каждого фиксированного Г при г-*0 сходятся к точке экстремума. Однако остается открытым вопрос о существовании селектора хг(-) и^,(рг,Д:=£г(р,,/)(')> который бы принадлежал классу
АСпи0 , б]. В целом, вопрос о существовании решения дг,( ) аппроксимаци-онного уравнения Эйлера при выполнении краевых условий и их сходимости при г-*0 к решению обычного уравнения Эйлера даже в достаточно гладком случае является довольно сложным, как и вообще подобные вопросы для решений краевой задачи. Но при определенных условиях он разрешим. Рассмотрим, например, один из наиболее простых случаев, когда и
на уравнение Эйлера наложено условие Бернштейна [1, с.201]. Для удобства читателя приведем его.
Условие Б. Порядок (а>0) роста функции Б относительно х больше единицы, т.е. функция Р и ее производные первых двух порядков алгебраически возрастают при бесконечном возрастании х, так что
[*('.*)+«!] и т.д.,
где е, ...-»0 вместе с а функция Л{/,х) непрерывна (как и другие аналогичные функции).
Справедливо следующее утверждение.
Лемма 2. Пусть функция /•■(/, х, х) непрерывна по совокупности аргументов вместе со своими частными производными до второго порядка включительно. Тогда существуют непрерывные по ц функции е£д,г), ¿=Т~4 д:=(1,х, х) такие, что для любого рг£01 (г)
5*
31
г,р;, />■/'»+«,(9, г),
¿а2(<?; г, р/, г), (8)
где £,(<?, г)-*0, /-ТГ4 и/>и г-*0, г>0.
Доказательство. Покажем справедливость (8) только для второго равенства, для остальных это делается аналогично. По определению а2 имеем
д д
j / [F(f,, x+sJ-Fg, xt i]s2lpr(s)n(ds)
^г а
I
В силу дважды непрерывной дифферендируемости функции Р можно внести дифференцирование по t под знак интеграла. Тогда
[F(t, x+sv x+s2)~Fti(t, x, x)s2]pr(sy(ds)=
ra
t
- Jp2Vfi. x> x> +Fú(<' x>x)í2+09(s)-Ft.(t, x, ¡C)s2]pr{s)n(ds) ,
'a
Oq(s)
где O ís) непрерывна по q и такова, что -¡¡—¡¡-»0 при ¡| s|| -*0. Отсюда с
q Mi!
учетом симметричности функции pr(s) получим
д 1 г
¿pifa r,p;, r)-F,№>JJ s2Oq(s)pr(s)n{ds). ra
г
Учитывая, что d=$s\pr{s)p(ds)t в силу свойств функции Og(s)- получаем
Q
г
требуемый результат переходом к интегрированию по единичному шару.
Теорема 2. Пусть функция F(t,x,x) в задаче $
I[x(-)]=jF(t,x(t),x(t))dt-»min, x(tQ)~xQ, x{6)=xlt (9)
'о
удовлетворяет следующим условиям :
1) Функция F непрерывна по совокупности переменных вместе со своими частными производными до второго порядка включительно;
2) выполняется условие Б;
3) F.,> О ;
4) f >k>О ,
где
/О?)-
Тогда решения * )GC2 [í0 , б] аппроксимационного уравнения Эйлера
32
^(«у; г,р-Г)=а^; г,р-,Г), *,(<„)=*„. х,(0)=*Р (10)
сходятся при г-*0, г> 0 к решению уравнения Эйлера **(•) для функционала /[*()] (9)
<П>
при краевых условиях х((0)=х0, х(в)-хг
Доказательство. В силу условий теоремы {5, с.197, 201] существует единственное решение (11), и при этом разность двух решений лг(1)(0, *(2)(0 этого уравнения, выходящих из одной начальной точки, будет функцией монотонной. Преобразуем уравнение (11) к нормальной форме
/=1,2, г=(г,, г^)=(х,х),
*,('о)=*о- *,(*)-*!. (12)
где , 2)=22, г) =/(*, г).
В рассматриваемом случае функции г), /=1,2 удовлетворяют "основным условиям" в области в [6]. Напомним, что многозначная функция Ф(1,2) в области С удовлетворяет "основным условиям", если при всех (Г, 2)6С множество Ф(г, г) непустое, ограниченное, замкнутое, выпуклое и функция Ф(?, г) полунепрерывна сверху по включению по (/, г). В нашем случае однозначной непрерывной функции эти условия выполняются.
Сделаем соответствующее преобразование для аппроксимационного уравнения Эйлера (10):
'=1'2, Уг=(У,,гУг,2)=(хг>х,)' У г. |('о)=*о- <13)
К. ,«>У,):=Уг.2' К.2М:=Гг(<>Уг.гУ,.2)>
где
3 д д
Я'. -Г. = [а, {я, г, р;, Г)г, />,; г, р;, Г)] / г, р;, /0- (14)
Из непрерывности частных производных функции Р по лемме 2 существуют с (<?, г), 1=1,4, удовлетворяющие соотношениям (8).
На основании (8), (11)-(13) можно записать:
у г. У 2{д)-г2(д)=е6(д, г),
ще Е<(9,г)--Щим&Ш •
£ц(.Я, г)-е2(д, г)-хе3(а, О-
В силу условий теоремы и выполнения леммы получаем, что гу*0, }=5, 6 при г-*О, г>0, причем функции г), }-5, 6 непрерывны по ц. Выберем достаточно большие ограниченные замкнутые интервалы ОСЛ'.^СЛ1 такие, что для любого ге7:=[*0 , 0] выполняется включение (х*(0.**(0) Тогда функция л) будет равномерно непрерывна
на D:^TxQxQv ЭВсотр^хЛ1 X/?1).
33
Следовательно, выбором достаточно малого г>0 можно обеспечить выполнение условий Бернштейна и, значит, существование и единственность решения для уравнения (10). При этом будет выполняться и условие монотонности функции разности двух решений уравнения (10) : ^f) —jc^fr), где >(/<,)«^(tp) для всех решений (10), траектории которых содержатся в D.
Отметим также, что У,(д):=(Уг ,(д),Уг 2(д)) принадлежит некоторой еу(г)
окрестности Z(q):-(Zs(g),Z2(g)) для любого çSD. Здесь
e7(r)=minje6(ç,r) | ?eDJ, е7(г)-0 при г-О,
Рассмотрим решение (13) с начальным условием
Уг, i('o)=*o» У?.2('о)=*'(0- По теореме 8.2 из [б] для любого £>0 существует â(e)>0 такое, что при
е7(г)<6(£) (15)
(Уг ¡(О'Уг будет отличаться от z*(0"=(**(0> •**(')) не более, чем на е. В силу монотонности функции 4i,(0=y?(0~y,.(f) < где у/') — решение (13) с краевыми условиями yr ,(<0)-*0, yr справедливо неравенство
maxi 4»r(f)g <е.
тт
Тогда получим, что max || y,(0~**(0l s2e-ter
Из того, что для любого £>0 за счет выбора достаточно малого г>0 можно обеспечить выполнение неравенства (15), следует теперь требуемое утверждение.
Замечание. Применение достаточно жестких условий Бернштейна не является обязательным. Если на основании каких-либо других условий получена последовательность решений (10) 1*г(')| (£,(г(1)-*0, гк—0 при
I * W0
к-*», ft>0 V &еЛ/0:«{1,2,...}) , равномерно по IGT сходящаяся к функции
лг(-). а решение (11) существует и единственно, то x(t), IGT будет решением (11) в силу леммы 7.1 из [6].
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Ватухтин В.Д., Майборода Л.А. Оптимизация разрывных функций. М.: Наука, 1984.
2. Варга Дж. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука, 1977.
3. Понтряеин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.
4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М, Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.
5. Вернштейн С.Н. Собрание сочинений. Т.З. М.:Изд-ва АН СССР, 1960.
6. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой часта М.: Наука, 1985.
Получено 15.09.92
34
