НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СО СМЕЩЕНИЕМ НА СОПРЯЖЕНИЕ ДВУХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ВТОРОГО ПОРЯДКА Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 15. № 2 (2023). С. 9-19.

УДК 517.956.32

НЕЛОКАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ СО СМЕЩЕНИЕМ НА СОПРЯЖЕНИЕ ДВУХ УРАВНЕНИЙ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА ВТОРОГО ПОРЯДКА

Ж.А. БАЛКИЗОВ

Аннотация. В работе исследованы две нелокальные задачи со смещением на сопряжение двух уравнений гиперболического типа второго порядка, состоящего из волнового уравнения в одной части области и вырождающегося гиперболического уравнения первого рода в другой части. В качестве нелокального граничного условия в исследуемых задачах задана линейная комбинация с переменными коэффициентами значений производной первого порядка и производных дробного (в смысле Римана-Лиувилля) порядков от искомой функции на одной из характеристик и на линии изменения типа. С использованием метода интегральных уравнений вопрос разрешимости первой задачи эквивалентным образом редуцирован к вопросу разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода со слабой особенностью, а вопрос разрешимости второй задачи эквивалентно редуцирован к вопросу разрешимости интегрального уравнения Фредгольма второго рода со слабой особенностью. По первой задаче доказана равномерная сходимость резольвенты ядра получающегося интегрального уравнения Вольтерра второго рода и принадлежность его решения требуемому классу. По второй задаче найдены достаточные условия на заданные функции, обеспечивающие существование единственного решения интегрального уравнения Фредгольма второго рода со слабой особенностью из требуемого класса. В некоторых частных случаях решения задач выписаны в явном виде.

Ключевые слова: волновое уравнение, вырождающееся гиперболическое уравнение первого рода, интегральное уравнение Вольтерра, интегральное уравнение Фредгольма, метод Трикоми, метод интегральных уравнений, методы теории дробного исчисления.

Mathematics Subject Classification: 35L53, 35L80

1. Введение. Постановка задачи На евклидовой плоскости точек (х, у) рассмотрим уравнение

0 =\{-У)тихх - иуу + А (-у) V у< 0,

I ^хх ^уу + /, У > 0,

где т, А — заданные числа, причем т > 0 < у; / = / (х,у) ~ заданная функция; и = и (х,у) — искомая функция.

Уравнение (1.1) при у < 0 совпадает с уравнением

т_2

(-у)тихх - Uyy + \(-у)~их = 0, (1.2) а при у > 0 уравнение (1.1) является неоднородным волновым уравнением

ихх - иуу + f (х, у) = 0. (1.3)

Zh.A. Balkizov, Nonlocal problems with shift for matching two second order hyperbolic

equations.

@ Балкизов Ж.A. 2023. Поступила 9 января 2023 г.

Уравнение (1.2) относится к классу вырождающихся гиперболических уравнений первого рода [1, с. 21]. Важным свойством уравнения (1.2) является тот факт, что при |А| < тг для него корректна задача Кошп в обычной постановке с данными на линии параболического вырождения у = 0, несмотря на то, что нарушено условие Проттера [2]. При т = 2 уравнение (1.2) переходит в уравнение Бицадзе-Лыкова [3, с. 37], [4], [5, с. 234], а при А = 0 из уравнения (1.2) приходим к уравнению Геллеретедта, которое, как показано в монографии [6, с. 234], находит применение в задаче определения формы прорези плотины. Частным случаем уравнения (1.2) также является уравнение Трикоми, который находит свои применения в теории околозвуковой газовой динамики и аэродинамики [7, с. 38], [8, с. 280], [9, с. 373].

Уравнение (1.1) рассматривается в области П = П и П2 и /, где П — это область, ограниченная характеристиками

22

= АС : ж--^(-у)(т+2)/2 = 0 и о2 = СВ : ж + ~^:(—у)(т+2)/2 = г

т+2 т+2

г(т+2) 4

т + 2

, проходящими

уравнения (1.2), выходящими из точки С = (г/2,ус), ус = —

через точки А = (0, 0) и В = (г, 0), соответственно, и отрезком I = АВ прямой у = 0; П2 — область, ограниченная характеристиками а3 = АБ : х — у = 0 °4 = ВИ : х + у = г

22

уравнения (1.3), выходящими из точек А и В, пересекающимися в точке V = (|, отрезком I = АВ.

В дальнейшем будем пользоваться следующими обозначениями:

т — 2А т + 2А т

£1 = -гт, £2 = 777-Т7, £ = £1 + ^2

2(т + 2)' 2 2(т + 2)' 1 2 т + 2;

Г(е)_ Г(1 — е)(2 — 2е)

г-1

71 = т^ N , 72

ГЫ' Г(1 — £1)

= Р(х) + 71^(ж) = 1 = 7(ж) — 72^(Ж)

7 (ж) — /у2а(х)' а(х) 0 (х) + 71 а(х)'

даа(х) = (|, —(2 — 2£)г-1х1-г) , М*) = (|, |) , 0п(х) = (^, ^)

— аффиксы точек пересечения характеристик, выходящих из точки (х, 0) с характеристикой АС уравнения (1.2) и характеристиками АБ и ВИ уравнения (1.3), соответственно;

1 те

В (р,д) = / ¿р-1(1 — г)д-1сН, Г(х) = / ехр(—)1х-1(И, В(р,д) = Г(р)Г(?)

о о

есть интегралы Эйлера первого и второго родов и их связь;

Г(Р + я)

Ер О^Н^ *

-0 Г (и + пр-1)

п=0

— функция типа Миттаг-Леффлера [10, с. 117], а при ^ =1 совпадает с функцией Миттаг-Леффлера Ер(г, 1) = Е1/р(г)\

( в^П^-с) г а< 0,

isgnИ+1(x — с)^а > 0,

— оператор дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегро-дифференцирования порядка |а|, где [а] — есть целая часть числа а [5, с. 28], [11].

2

и

Регулярным в области Q решением уравнения (1.1) назовем функцию и = и (х, у) из класса и (х,у) Е С (Й) П С1 (Q) П С2 (Q U Q2), при подстановке которой уравнение (1.1) обращается в тождество.

Задача 1. Найти регулярное в области П решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условиям

и [в01 (х)] = ф1(х), 0 < х < г, (1.4)

a(x)xS1 Di~£2и [0оо(t)] + ft(x)Dl~su(t, 0) + 7(х)иу(х, 0) = &(х), 0 < х < г, (1.5)

где а(х), ft(х), 7(х), ф1(х), ф2(х) — заданные на отрезке [0,г] функции, причем, а2(х)+ ft2(x) + j2(x) = 0 Vж Е [0,г].

Задача 2. Найти регулярное в области П решение уравнения (1.1) из класса их(х, 0), D0)~£u(t, 0) Е L1 (0,г), удовлетворяющее нелокальному условию (1.5), а также граничному условию

и [вГ1 (х)] = ф1(х), 0 < х < г, (1.6)

где а(х), fi(x), 7(х), ф1(х), ф2(х) — заданные на, отрезке [0,г] функции, причем,, как и в задаче 1, а2(х) + ft2(x) + j2(x) = 0 Vх Е [0, г].

Задача Гурса для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения ранее исследована в работах [12], [13]. В работе [12] исследован критерий непрерывности решения задачи Гурса для уравнения вида (1.2), а в [13] решение задачи Гурса для вырождающегося внутри области модельного уравнения выписано в явном виде. В работе [14] рассмотрена первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения. Краевые задачи для вырождающихся гиперболических уравнений в характеристическом четырехугольнике с данными на противоположных характеристиках исследованы в работах [15]-[17]. Задачи со смещением для вырождающихся внутри области гиперболических уравнений были изучены в работах [18]—[21], Задачи со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения первого рода вида (1.2), как обобщения первой и второй задач Дарбу исследованы в работе [22]. В рамках данной работы для уравнения (1.1) изучены две нелокальные задачи 1 и 2, которые относятся к классу краевых задач со смещением Жегалова-Нахушева [23] [26] и являются обобщениями задачи Гурса и задач с данными на противоположных характеристиках для уравнения вида (1.1). Найдены достаточные условия па заданные функции а(х).; 0(х), 7(х), ф1(х), ф2(х) и f (х,у), при котором существует единственное регулярное в рассматриваемой области решение задач 1 и 2. В частном случае, когда отношение а(х) = Р^^101^) = а = const решения задач 1 и 2 выписаны в явном виде.

2. Исследование задачи 1

Справедлива следующая

Теорема 2.1. Пусть заданные функции а(х), ft(х), j(x), ф1(х), ф2(х), f (х,у) та,ковы, что

а(х),/3(х),ф) Е С1[0,г] П С2(0,г), (2.1)

ф1(х),ф2(х) Е С[0, г] П С2(0,г), (2.2) f (х,у) Е С(2.3)

и выполнено одно из условий: либо

j(x) - j2a(x) = 0 V х Е [0, г]; (2.4)

либо же

>у(ж) - j2a(x) = 0, Р(х)+ j1a(x) = 0 V х Е [0,г]. (2.5) Тогда, существует единственное регулярное в области П решение задачи 1.

Доказательство. Доказательство теоремы 2,1 проводится с использованием метода интегральных уравнений. Введем обозначения

и (ж, 0) = г (ж) , 0 < ж <г и uy (ж, 0) = v (ж), 0 < х < г. (2,6)

Найдем фундаментальные соотношения между искомыми функциями т (ж) и v (ж), принесенные из соответствующих частей Пи П2 облает и П на линию у = 0, Рассмотрим сначала случай, когда |А| < у. Регулярное в области П решение задачи (2,6) для уравнения (1,2) в этом случае выписывается по формуле [27, с, 14]:

1

и (ж, у)=,\(е), , i т\х + (1 - е)(-у)^ (2t - 1)1 f2-1 (1 - t)ei-1dt

Г(еi) Г (е2)

+ Г(2 - ^ (и + Г (1 - ei) Г(1 - 62) J

о

(2.7)

ж + (1 - е) (-у)^ (2t - 1)1 t-£1 (1 - t)-£2 dt,

где т(х) G С[0, г] П С2(0, г), и(х) G С 1(0, г) П L1 (0, г). Из (2,7) находим

1

'I• -(2 - = Wue2)

и[доо (х)] =и(ХХ, -(2 - 2б)е-1х1 -£) = ß т(хЪ ) f2-1 (1 - t)Sl-i dt

о 1

(2 2е)£ 1х1 £ I u{xt) t-£i (1 - t)-£2dt.

В (1 — £1, 1 — £2) ^ о

Вводя новую переменную интегрирования г = xt, последнее равенство перепишется в виде

m / м Г(е) 1 £ [ t(z) zs2-1 , и № оо (х)] = V^ ,х1-£ ! ' dz

Г( 1) Г( 2) ( х- )1

о

Г(2 (2 - 2еГ1( dz.

Г (1 -?1)Г(1 - £2) ' J (х - z)'

0

В терминах оператора D('xi(t) дробного (в смысле Римана-Лиувилля) интегро-дифференцирования последнее равенство перепишется в виде:

U [^00 (х)] = ^ D-1 [f2-1 т(t)}

г(£ 2) е 1 (2-8) (2 - 2g) Г(1 - g) ds2-i it-eiu(t)]

- г (1 - £l) Dox [ и(щ •

Воспользовавшись следующим законом композиции операторов дробного дифференцирования и интегрирования [6, с, 18], [11]

J3 Da+p

(s) = ^ Dg+Vy (t) , 0 <а < 1, ß< 0,

из (2,8) находим

ofW^u [0оо (t)] = 71 Dl~xer(t) - 72и(х). (2.9) С учетом (2,9) условие (1.5) перепишется в следующем виде

[7(х) - 72Ф)] "(х) + [ß(х) + 71«(х)] Dl-er(t) = ф2(х). (2.10)

Полученное соотношение (2,10) и есть основное фундаментальное соотношение между искомыми функциями т(х) и и(х), принесенное из области ^ на прямую у = 0.

Далее найдем фундаментальное соотношение между функциями т(х) и и(х), принесенное из области ^ на прямую у = 0. Для этого воспользуемся представлением регулярного в области ^ решения задачи (2,6) для уравнения (1.3), которое выписывается с помощью формулы Даламбера [28, с. 59]:

х+у у х+у—г

и(х, У) = т(х + у) + т(х - у) +1 I и(г)Я + Ц I ¡(8,г)й8&, (2.11)

х—у 0 х—у+Ь

где т(х) Е С[0, г] П С2(0, г), и(х) Е С 1(0, г) П Ь1 (0, г). Удовлетворяя (2.11) условию (1.4), будем иметь

X

X 2 X —

и [001 (х)]=и = т(х)+т(°) +21 „мя + и I/(8, г)<18<к = ф1(х).

0 0 4

Путем дифференцирования из последнего равенства приходим к соотношению

2

р(х) = 2ф[(х) - т(х) - ! ¡(х - г, г) СИ. (2.12)

0

Соотношение (2.12) есть фундаментальное соотношение между функциями т(х) и и(х), принесенное из области П2 на прямую у = 0.

Исключая из (2.10) и (2.12) искомую функцию и(х), с учетом условия согласования т(0) = ф1(0) и условия (2.4) теоремы 2.1, относительно функции т (х) приходим к следующей задаче для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, содержащего производную дробного порядка в младших членах

2

т'(х) - а(х) В1—£т(г) = 2ф[(х) - - ( !(х - г, г)сг, 0 < х < г, (2.13)

0

т(0) = ф1(0). (2.14)

Путем интегрирования уравнения (2.13) по х в пределах от 0 до ж, приходим к соответствующему задаче (2.13) (2.11) интегральному уравнению вида

X

т(х) - — к(х, г)т(г)ссг = р1(х), (2.15)

J

0

где

X

а(х) С а' (в)

к (X, г) = (х - I)1—- У Х^-Г)1-ds,

г

1

X X 2

Ъ(х) = 2ф1(х) -ф1(0) - I ^ СI. - | У ¡(1 - 8, 8)С8М.

0 0 0 Из (2.1), (2.2), (2.3) следует, что уравнение (2.15) есть интегральное уравнение Воль-терра второго рода с ядром К(х, Ь) Е Ь1 ([0, г] х [0, г]), имеющим слабую особенность при х = Ь и правой частью Р1(х) Е С[0, г] П С2(0, г). Согласно общей теории интегральных

уравнений Вольтерра, решение уравнения (2,15) существует, единственно и выписывается по формуле

т(х) = Р1(х) + П(х, ¿)^(;£)сЙ,

(2.16)

те

где К(х, ¿) = — резольвента ядра К(х, ¿);

п=0

К0(х, ¿) = К(х, ¿), Кга+1(ж, ¿) = / К(х, 8)Кп(з,

Покажем, что резольвента К(х, ¿) так же гак и ядро К(х, ¿) уравнения (2.15) принадлежит классу Д(ж, ¿) € Ь1 ([0, г] х [0, г]) и имеет слабую особенность при х = ¿, а решение т(х) этого уравнения также как и его правая часть Р1 (х) будет принадлежать классу т(х) ЕС [0, г] ПС2(0, г).

Действительно, с учетом того, что а(х) Е С 1[0, г] П С2(0, г), найдем оценку итерированных ядер Пусть |а(ж)| < М1; а |а'(ж)| < М2 Ух Е [0, г]. Тогда для первого

итерированного ядра

Ко(х,г) Г(г)

имеем оценку

1

Щ 1К0(х, 1)1 = — |К (ж, 1)1

Г( )

а(х)

а'( 8 )

(х — г)

1-г

( — )

1-г

¿8

< М1(ж — гу-1 + м2(х — г)£

Далее 1

Г2 (в)

1К1(х, 1)1

Г2 (е)

Г( )

К(х, з)К0(з, Ь)й8

Г(е + 1)

<

М1

М2 (х — з)£

Г(е)(ж — в )1-£ ' Г(е + 1)

+

М1

+

М2(8 — 1)£ Г(е)(в — ¿)1-£ ' Г(е + 1)

1

М) (х — г)2£-11 У£-1 (1 — У)£-ЧУ

+

М1М2

еГ2(е)

(Ж — г)2£ [у£(1 — у)£-Чу+М1М^

£ Г2 (в)

(ж — 1)2£ у£-1(1 — у)£<1у

1

М2 , ,2£+1 г £/л ч£, м?(х — г)

+ (X — 1)2£+1 у£(1 — у)£<1у 1 ( )

0

2£ 1

Г2(е + 1)

0

Г(2 )

+

2 м1м2(х — г)2£ м2(х — г)2£+1

Г(2 + 1)

+

Г(2 + 2)

Аналогично 1

Г3(в)

| К2 (х, *)|

Г3 (в)

К(х, 8)К1 (8, Ь)й8

< м3(х — г)3£-1 + эм2м2(;г — г)3£

Г(3е)

Г(3е + 1)

+

3 мхм1(х — г)3£+1 м3(х — г)3£+2

Г(3е + 2)

+

Г(3е + 3)

X

х

X

1

X

X

1

1

1

X

1

Ясно, что

Гп(е)

J\ Ск Мп-к Мк (х — +)т+к-1 \Кп-1 (х, t)\ < £ Сп Ml М (х 1)-

к=0

Г(пе + к)

где СП =

п к

к! (п-к)!

Замечая, что Г(пе + к) > Г(пе) из (2,17) приходим к оценке

(2.17)

1

Гп(е)

\Кп-г(х, t)\ <

1

^ Ск мп-к Мк (х - г)п£+к-1

Г(П£ п 1 V ' к=0

(2.18)

Г(пе)

( Mi + М2(х - 1))п (х - t)

пе— 1

Для достаточно больших п показатель пе — 1 при (х — Ь) в формуле (2.18) будет положительным. И при этом разность (х — Ь) можно будет заменить большей числовой величиной г. Таким образом, для резольвенты К(х, Ь) ядра К(х, Ь) имеем оценку:

t)\ =

£

п=1

Кп-1(х, t)

Гп(е)

<

Е

п=1

(М1 + М2г)п г

п п 1

Г(пе)

(2.19)

Воспользовавшись формулой Стирлинга для гамма-функции

Г(п)

1

V2

-.ппе-п+

12" , 0 < г/ < 1,

пп

и признаком Коши сходимости числовых рядов, легко убедиться в том что ряд, стоящий справа в неравенстве (2.19) сходится. Таким образом, ряд для резольвенты Я(х, Ь) ядра К( х, )

зольвенты ядра при любом 0 < е < 1 и любом х = Ь Е [0, г], обладая слабой особенностью при х = ¿.

Из представления (2.18) и оценки (2.19) при непрерывной правой части Р\(х) Е С[0, г] следует следующая оценка решения

\ т(х)\ =

F1^) +

1

Г(е)

П(х, t)F1(t)dt

< Мз

i + Е

(М1 + М2г)п гп

п=1

Г(пе)

(2.20)

где М3 = max \ F1 (х) \.

х£[0,г ]

Из сходимости мажорирующего числового ряда (правой части неравенства (2.20)) следует абсолютная и равномерная сходимость решения по признаку Вейерштрасса. Откуда заключаем непрерывность предельной функции т(х) Е С[0, г].

Пусть теперь F^) Е С2(0, г). В этом случае путем двойного интегрирования по частям интеграла в правой части представления (2.16) легко убеждаемся в том, что и т(х) Е С2(0, г), то есть решение т(х) интегрального уравнения (2.15) также как и его правая часть F1 (х) будет принадлежать классу т(х) Е С[0, г] П С2(0, г).

При а(х) = а = ccmst, решение уравнения (2.15) выписывается в явном виде

т(х) = F1^) +а (х - t)£-1Е1/е[а(х - t)£; e]F1(t)dt.

(2.21)

1

п!

1

X

X

Если же выполнено условие (2,5), то из системы (2,10) и (2,12) сразу находим:

ш

т(х) = В0-1

[уз (¿) + ъф)]\

и(х)

— В£

ш

[уз (г) + ъа(г)]\

+ 2ф[(х) — ¡(х — г, г)<и.

При Л = ±у искомая функция т(х) вновь находится по одной из формул (2,16) или (2,21), но £2 = 0 £ = £1 = Ъ = 0 12 = при А = — | И£1 = 0 е = е2

т+2 '

11 = 1, ъ = (2 — 2е)£-1 Г(2 — е) при А = |.

После того, как функция т(ж) найдена, вторая искомая функция и(х) находится по одной из формул (2,10) или (2,12), Тогда регулярное в области П1 решение исследуемой задачи 1 выписывается по формуле (2,7), или же по одной из следующих формул [27, с. 15]:

и (х, у)

2

т + 2

2 т + 2

ж--г (—у) + (21 — 1)

т + 2

т

(1 — г) т + 2

0

^х —

, 2 .т+Л

+ т{х--— (—у) 2

т + 2 )

т

А =--;

2 '

(2.22)

и (x, У)

2

1

т + 2

2 т +2

ж + У) 2 (2^ — 1)

т + 2

, ч т

(1 — г) т + 2

0

^х +

2 . . т + 2 \

+ Т\х + —у) 2 , т + 2 у

т Х =2",

(2.23)

а в области П2 решение задачи Коши для уравнения (1.3) находится по формуле (2,11), Теорема 2,1 доказана, □

2

1

3. Исследование задачи 2 Перейдем к исследованию задачи 2. Удовлетворяя (2,11) условию (1.6) будем иметь

г —ж

Г 2 Г-

/ М (г + х г — х\ т(х)+т (г) 1 [ .. , 1 Г [ „ . . , , , . .

и [вп (ж)]=и^—, = ( ) 2 ( ) у J ¡(8, = ф1(х).

х 0 х+

Путем дифференцирования из последнего равенства приходим к соотношению

г-ж 2

и(х) = т'(х) — 2ф[(х) — У ¡(х + г, г) (П. (3.1)

0

Соотношение (3,1) есть фундаментальное соотношение между функциями т(х) ъ и(х), принесенное из области П2 на прямую у = 0 в случае задачи 2.

Таким образом, относительно искомых функций т(х) ъ и(х) приходим к системе уравнений, выраженных соотношениями (2,10) и (3,1), Исключая из (2,10) и (3,1) функцию и(х), с учетом условия согласования т(г) = ф1 (г), относительно т(х), как и при исследовании задачи 1, приходим к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения

первого порядка, содержащего производную дробного порядка в младших членах

т'(х) + а(х)о±-£т(г) = 2ф[(х) + . ,+ I I(х + г,г)(И, 0 <х<г, (3.2)

у(х) — у2Щх) ] 0

т(т) = гф1 (г). (3.3)

х 0 х

етвующему задаче (3.2), (3.3) интегральному уравнению вида

г

т(х) — I Ь(х, ¿)т(*)М = Р2(х), (3.4)

0

где

'к(г,г), 0 <х<г,

г — х 2

К( , ) — К( х, ), < х < ,

г — Ь

Г Г 2

Г2(х) = 2ф1 (х) — ф,(г) — I ф—^фЛI — / У ¡(1 + 8, 8^8 (И.

х х 0

Если заданные функции а(х), 3(х) у(х), ф\(х), ф2(х), /(х, у) обладают свойствами (2.1), (2.2), (2.3), перечисленными в теореме 2.1, то уравнение (3.4) будет являться интегральным уравнением Фредгольма второго рода с ядром Ь(х, Ь) Е Ь\ ([0, г] х [0, г]) и правой частью Р2(х) Е С[0, г] П С2(0, г).

Найдем достаточные условия на заданные функции, обеспечивающие однозначную разрешимость уравнения (3.4). С этой целью рассмотрим однородную задачу, соответствующую задаче 2, положив ф(х) = ф2(х) = 0Ух Е [0, г], /(х, у) = 0 V (х, у) Е П2. При этом задача (3.2), (3.3) переходит в соответствующую однородную задачу

Ь(х) т'(х) + 01~ет (¿) = 0, 0 <х<г, (3.5)

т(г) = 0. (3.6)

Умножая уравнение (3.5) на функцию т(х), и, интегрируя полученное равенство по х 0

г г

У Ъ(х)т(х)т'(х)с1х + ! т(х)О0>-£т(Ь)¿х 00

2 Г Г _ ь(в)т (0) — 1 Г У(х)т2(х)Лх + [ т(х)В1~£т(г)ё.х = 0.

2 2

Известно [5, с. 46], что / т(х)0^-£т(1)(1х > 0, причем / т(х)О0)-£т(1)¿х = 0 тогда и

00 только тогда, когда т(х) = 0 Ух Е [0, г]. Значит, если функция Ь(х) является убывающей отрицательной функцией, то последнее равенство может иметь место в том и только в том случае, когда т(х) = 0 Ух Е [0, г]. Стало быть, при перечисленных условиях на заданные функции, уравнение (3.4) будет обладать единственным решением из класса т(х) ЕС [0, г] ПС2(0,г).

Таким образом доказана следующая теорема 3.1.

Теорема 3.1. Пусть заданные функции а(х), @(х), 7(х), ф1(х), ф2(х), f(x, у) обладают перечисленными в теореме 2.1 свойствами (2.1), (2.2), (2.3) и пусть

[f3(х) + 71а(х)] [7(х) - ъа(х)] = 0 Vx е [0, г],

Ь'(х) < 0, 6(0) < 0 Vx е [0, г]. Тогда, существует единственное регулярное в области П решение задачи, 2.

В случае, когда а(х) = а = const решение задачи (3,2), (3,3) выписывается в явном виде по формуле:

Т(х) = fj-^ [^(r) + р2(х) - F2 (г) Ee [-are] L

г

+ а f(r - t)£-lEi/e [—а(г - t)£; е] F2(t)dt

-а (х - t)e-1E1/e [-а(х - t)e; е] F2(t)dt

причем

Е£ [-аг£] = 0. (3.7)

Как следует из теоремы 3.1, неравенство (3,7) будет выполнено, например, для всех а < 0,

Благодарности

Хотелось бы выразить благодарность директору III1МА КБНЦ РАН Пеху Арсену Владимировичу и заведующему отделом УСТ IIIIXIЛ КБНЦ РАН Аттаеву Анатолию Хусее-вичу за ценные замечания и советы при подготовке данной статьи.

X

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. М.М. Смирнов. Уравнения смешанного типа. М.: Наука. 1970. 296 с.

2. М.Н. Protter. The Cauchy problem for a hyperbolic second-order equation with data on the parabolic line // Canad. J. Math. 6:4, 542-553 (1954).

3. A.B. Бицадзе. Уравнения смешанного m,una. M.: Изд-во АН СССР. 1959. 164 с.

4. A.B. Лыков. Применение методов термодинамики необратимых процессов к исследованию тепло и м,а,ссообм,ен,а, // Инженерно-физический журнал. 9:3, 287-304 (1955).

5. A.M. Нахушев. Уравнения математической биологии. М.: Высш. шк. 1995. 301 с.

6. A.M. Нахушев. Дробное исчисление и, его применение. М.: Физматлит. 2003. 272 с.

7. Л. Берс. Математические вопросы дозвуковой, и, околозвуковой газовой динамики. М.: Иностр. лит-ра. 1961. 208 с.

8. Ф.И. Франкль. Избранные труды по газовой динамике. М.: Наука. 1973. 771 с.

9. Ф. Трикоми. Лекции, по уравнениям в частных производных. М.: Иностранная литература. 1957. 444 с.

10. М.М. Джрбашян. Интегральные преобразования и представления, функций в комплексной плоскости. М.: Наука. 1966. 672 с.

11. С.Г. Самко, A.A. Килбас, О.И. Маричев. Интегралы и производные дробного порядка, и, некоторые их приложения . Минск: Наука и техника. 1987. 688 с.

12. Т.Ш. Кальменов. Критерий единственности решения задачи, Дарбу для, одного вырождающегося, гиперболического уравнения // Дифференц. уравн. 7:1, 178-181 (1971).

13. Ж.А. Балкизов. Краевая задача, для, вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Сер. Естественные науки. 1(189), 5-10 (2016).

14. Ж.А. Балкизов. Первая краевая задача для, вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Владикавказский матем. журнал. 18:2, 19-30 (2016).

15. С.К. Кумыкова, Ф.Б. Нахушева. Об одной краевой задаче для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференц. уравн. 14:1, 50-65 (1978).

16. Ж.А. Балкизов. Краевые задачи с данным,и на, противоположных характеристиках для смешанно-гиперболического уравнения второго порядка, // Доклады АМАН. 20:3, 6-13 (2020).

17. Ж.А. Балкизов. Краевые задачи для, смешанно-гиперболического уравнения // Вестник Дагестанского государственного университета. Серия 1: Естественные науки. 36:1, 7-14 (2021).

18. М.С. Салахитдинов, М. Мирсабуров. О некоторых кра,евы,х задачах для гиперболического уравнения, вырождающегося внутри области // Дифференц. уравн. 17:1, 129-136 (1981).

19. М.С. Салахитдинов, М. Мирсабуров. О двух нелокальных кра,евы,х задачах для вырождающегося, гиперболического уравнения // Дифференц. уравн. 17:1, 116-127 (1982).

20. C.B. Ефимова, O.A. Репин. Задача, с нелокальными условиями на характеристиках для уравнения влагопереноса // Дифференц. уравн. 40:1, 116-127 (2004).

21. O.A. Репин. О задаче с операторам,и М. Сайго на, характеристиках для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения // Вестник СамГТУ. Серия физ.-матем. науки. 10:43, 10-14 (2006).

22. Ж.А. Балкизов. Задача, со смещением, для, вырождающегося гиперболического уравнения первого рода, // Вестник СамГТУ. Серия физ.-матем. науки. 25:1, 21-34 (2021).

23. В.И. Жегалов. Краевая задача, для, уравнения смешанного типа с граничным условием на, обеих характеристиках с разрывам,и на, переходной линии // Ученые записки Казанского гос. университета им. В.И. Ленина. 122:3, 3-16 (1962).

24. A.M. Нахушев. О некоторых краевых задачах для гиперболических уравнений и уравнений смешанного типа // Дифференц. уравн. 5:1, 44-59 (1969).

25. A.M. Нахушев. Новая краевая задача, для, одного вырождающегося гиперболического уравнения // Доклады АН СССР. 187:4, 736-739 (1969).

26. A.M. Нахушев. Задачи со смещением, для, уравнений в частных производных. М.: Наука. 2006. 287 с.

27. М.М. Смирнов. Вырождающиеся, гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа. 1977. 160 с.

28. А.Н. Тихонов, A.A. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1977. 736 с.

Жираслан Анатольевич Балкизов,

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН,

ул. Шортанова, 89-а,

360005, г. Нальчик, Россия

E-mail: [email protected]