Об одной смешанной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 44. №3. C. 19-29. ISSN 2079-6641

МАТЕМАТИКА

" https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-19-29 Научная статья

Полный текст на русском языке УДК 517.95

Об одной смешанной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка

Р. Х. Макаова*

Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик,

ул. Шортанова 89А, Россия

Аннотация. В работе исследуется смешанная краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка с вырождением порядка внутри области. В положительной части области рассматриваемое уравнение совпадает с уравнением Аллера, которое является уравнением третьего порядка гиперболического типа, хотя его принято называть уравнением псевдопараболического типа. А в отрицательной части области оно совпадает с вырождающимся гиперболическим уравнением первого рода, частным случаем которого является уравнение Бицадзе-Лыкого. Для исследуемой задачи доказана теорема существования и единственности регулярного решения. Единственность решения исследуемой задачи доказана методом Трикоми. Относительно следов искомого решения найдены соответствующие фундаментальные соотношения. С помощью метода интегральных уравнений вопрос существования решения задачи эквивалентно редуцируется к вопросу о разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода относительно следа производной искомого решения. Согласно общей теории линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода, полученное уравнение разрешимо единственным образом в классе регулярных функций. Решение исследуемой задачи можно выписать в явном виде как решение смешанной задача для уравнения Аллера в положительной части области и как решение задачи Коши для вырождающегося гиперболического уравнения первого рода в отрицательной части области.

Ключевые слова: вырождающееся гиперболическое уравнение, уравнение Аллера, оператор дробного интегро-дифференцирования.

Получение: 29.09.2023; Исправление: 30.10.2023; Принятие: 31.10.2023; Публикация онлайн: 02.11.2023

Для цитирования. Макаова Р. Х. Об одной смешанной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения третьего порядка // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2023. Т. 44. № 3. C. 19-29. EDN: WENGSO. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-19-29.

Финансирование. Исследование выполнялось без финансовой поддержки фондов Конкурирующие интересы. Конфликтов интересов в отношении авторства и публикации нет. Авторский вклад и ответственность. Автор участвовал в написании статьи и полностью несет ответственность за предоставление окончательной версии статьи в печать.

* Корреспонденция: А E-mail: [email protected]

Контент публикуется на условиях Creative Commons Attribution 4.0 International License © Макаова Р. Х., 2023

© ИКИР ДВО РАН, 2023 (оригинал-макет, дизайн, составление)

Vestnik KRAUNC. Fiz.-Mat. nauki. 2023. vol. 44. no. 3. P. 19-29. ISSN 2079-6641

MATHEMATICS

" https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-19-29 Research Article Full text in Russian MSC 35L25, 35L80

On a Mixed Problem for a Third Order Degenerating

Hyperbolic Equation

R.Kh. Makaova*

Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS, 89A Shortanova St., Nalchik, 360000, Russia

Abstract. The paper investigates a mixed boundary value problem for a third-order hyperbolic equation with order degeneration inside the domain In the positive part of the domain, the equation under consideration coincides with the Hallaire equation, which is a third-order hyperbolic equation, although it is commonly called an pseudoparabolic equation. In the negative part of the domain, it coincides with the degenerate hyperbolic equation of the first kind, the special case of the Bizadze-Lyskov equation. For the problem under study, a theorem on the existence and uniqueness of a regular solution is proved. The uniqueness of the solution is proved by the Tricomi method. Regarding the desired solution, the corresponding fundamental ratios have been found. Using the method of integral equations, the existence of a solution is equivalently reduced to the solvability of the Volterra integral equation of the second kind with respect the derivative of the desired solution. According to the general theory of Volterra integral equations of the second kind, the resulting equation is uniquely solvable in the class of regular functions. The solution to the problem can be stated explicitly as a solution to the mixed problem for the Hallaire equation in the positive part of the domain and as a solution to the Cauchy problem for the degenerate hyperbolic equation of the first kind in the negative part of the domain.

Key words: degenerate hyperbolic equation, Hallaire equation, fractional integro-differentiation operator. Received: 29.09.2023; Revised: 30.10.2023; Accepted: 31.10.2023; First online: 02.11.2023

For citation. Makaova R. Kh. On a mixed problem for a third order degenerating hyperbolic equation. Vestnik KRA UNC. Fiz.-mat. nauki. 2023, 44: 3,19-29. EDN: WENGSO. https://doi.org/10.26117/2079-6641-2023-44-3-19-29. Funding. The study was carried out without support from foundations

Competing interests. There are no conflicts of interest regarding authorship and publication.

Contribution and Responsibility. The author participated in the writing of the article and is fully responsible for submitting the final version of the article to the press.

* Correspondence: A E-mail: [email protected]

The content is published under the terms of the Creative Commons Attribution 4.0 International License © Makaova R. Kh., 2023

© Institute of Cosmophysical Research and Radio Wave Propagation, 2023 (original layout, design, compilation)

Введение

Рассматривается уравнение вида

0

Uy - au« - buxxy, У > 0, (-•y)mUxx - Uyy - c(-y) ^^Ux, y < 0,

m-2

(1)

где a, b, m и c - заданные числа, причем a > 0, b > 0, m > 0, |c| < m/2; u = u(x,y) - искомая действительная функция независимых переменных x и y.

Уравнение (1) при y > 0 представляет собой уравнение Аллера [1], которое относится к уравнениям псевдопараболического типа [2], [3, с. 137]. Исследованию различных локальных, нелокальных и смешанных краевых задач для псевдопараболических уравнений третьего порядка, в частности, и для уравнения Аллера посвящены работы [4] - [10].

При y < 0 уравнение (1) является вырождающимся гиперболическим уравнением с параболическим вырождением вдоль прямой y = 0 [11, с. 13], которое при m = 2 называют уравнением Бицадзе - Лыкова [12, с. 234], а при c = 0 переходит в уравнение Геллерстедта [13, с. 236].

В работах [14,15] были изучены первая и вторая задачи Дарбу для уравнения (1) при y < 0, а в работах [16]- [18] исследованы различные локальные и нелокальные задачи. Достаточно полная библиография по исследованию различных краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений имеются в монографиях

Для уравнения (1) в работах [21,22] автором были исследованы краевые задачи, для которых доказаны теоремы существования и единственности.

Постановка задачи и полученные результаты

Пусть П = П+ и П- и (ЛоЛт), где П+ = {(х,у) : 0 < х < г,0 < у < Т}. Через П- обозначим область, ограниченную характеристиками уравнения (1) при у < 0: Л0С : х — т+2(—У)= 0, ЛгС : х + т+2(—у)= г, выходящими из точек Л0 = (0,0), Лг = (г, 0) и пересекающимися в точке С = (т/2, - [(т + 2)г/4]2/(т+2)) и

AoAr = {(x, 0) : 0 <x < r}. Пусть Во = (0,T ), BT = (r,T ) и AoBo = {(0,y) : 0 <y < T }, ATBT = {(r,y) : 0 < y < T }.

Регулярным в области П решением уравнения (1) назовем функцию и = и(х,у) такую, что и е С(П)ПС1 (П)ПС2(а-), ихху е С(П+) и ихху(х, 0),ихх(х, 0) е ^ (Л0Лг), удовлетворяющую уравнению (1). Исследуется следующая

Задача. Найти регулярное в области П решение уравнения (1) такое, что их е С(Л0В0), и е С(ЛгВг) и удовлетворяющее следующим условиям:

[11,19,20].

Ux(0,y) = u(r,y)= 0, 0 < y < T,

(2)

u|aoC = h(x), 0 < x < r,

(3)

где Н(х) е С3[0,г].

Имеет место следующая

Теорема. Регулярное решение задачи (2), (3) для уравнения (1) существует и оно единственно. Доказательство. Положим

u(x,0) = ф(х), 0 < x < r, uy (x, 0) = 4(x), 0 < x < r.

(4)

(5)

Тогда, переходя к пределу при у —> +0 с учетом условий (4) и (5), из (1) при у > 0 находим функциональное соотношение между функциями ф(х) и "ф(х) принесенное из области П+ на линию у = 0 в виде

4(x)- аф''(x)- b4''(x) = 0, 0 < x < r.

(6)

Для того чтобы получить соотношение между ф(х) и "ф(х), принесенное из области П- на линию у = 0, выпишем решение задачи Коши (4), (5) для уравнения (1) при у < 0 в виде [11, с. 14]:

u(x,y) =

1

B(a,ß)

ф

x + (-y) m+2 (2t - 1) m + 2

tß-1(1 - t)a-1dt+

a-1

y

B(1 - a, 1 - ß) J

4

x + -2-2 (-У) m+2 (2t - 1) — + 2

—

t-a(1 - t)-ßdt, |c| <y, (7)

u(x, y) = ф

x +

2 . . m+2

(-y) 2

— + 2

+

2y

— + 2

2y

— + 2

4

2

4 x + —- (-y) m+2 (2t - 1) — + 2

u(x,y) = ф

2

—

(1 - t)-ßdt, c = —,

2 . . m+2

x--r^(-y) 2

— + 2

+

x +

— + 2

-y) m+2 (1 - 2t)

—

(1 - t) m+2 dt, С = —2

(8)

(9)

— - 2c — + 2c

a = —-tt , ß =

2(т + 2)' г 2(т + 2)'

где Б(-, ■) - бета функция.

Учитывая условие (3), перепишем (7)-(9) в виде [22]:

1-a-ßr(a).

HG) B(a,ß)

D0-xa [*ß-M*)] -

+

+

г(1 - ß) +^ m+2 ds-1 K-^(t)], ici < m, (10)

B(1 - a,1 - ß) V 4 / 0x 2

h (x) = 9(x)- (^)-V-4(o, c = m (11)

Н (х) = Ф(0)- - о-к-т)], с=-т (12)

Здесь 0^х - оператор дробного интегро-дифференцирования в смысле Римана -Лиувилля по переменной х порядка Y с началом в точке 0 и с концом в точке х, определяемый следующим образом [13, с. 9]:

DYxv(y = гру)

9n

DYxV(^) = —DY-nv(a n - 1 < y < n, n G N;

DYxV(^)= v(x), y = 0,

Г(■) - гамма функция Эйлера.

Для любой функции v(x) G L1 [0, r] справедливы следующие свойства дробного интегро-дифференцирования с одинаковыми началами [13, с. 11, с. 18]:

DSXD-fv(s) = D0°x-Pv(a 0 < а < в;

D0axC+pD0p£v(s) = x0Doax+0Cv(a в < 0, 0 < а<1,

с применением которых, из (10)-(12) функция "ф(х) выражается следующим образом:

*(x) = CfD0-а-0Ф(^) - ^0х-0^2), ici < m, (13)

Y < 0;

|x - ¿JY+1'

^(x) = ¿D^tt) - lDL-h(2), c = mm, (14)

xa , . /x\ m

*(x) = -2c4h' Ы- c = -T' (15)

2

m + 2\m+2 Г(2 - a - ß) Г(а + ß)

ci = I —;;— —FT^i-^—, c2 =

4 ) Г(1 - a) ' 2 Г(ß)

1 ( m + 2yßrn ^ 1 ( m + 2'

cs = ~ —^— Г(1 - ß), c4 = -

2\ 4 ) 1 " 4 2\ 4

Далее рассмотрим интеграл

I =

r

//

^Мф ''(x)dx. (16)

a

Домножив на функцию "ф(х) и проинтегрировав в пределах от 0 до г при однородных краевых условиях (2) и (3), из (6) и (16) находим

1 т b , т

i = a im*) iß + a ' WIIO > о,

(17)

где ||^Сх) ^0 = / ^(х^х - норма в Ь2[0, г].

о

После подстановки найденных значений (13)-(15) функции "ф(х) при Н(х) = 0, из (16) имеем:

i = со

ci

ф"(хрЦ-а-рф(Шх, |c| < m,

(18)

I = 1 сз

m

ф"(x)D0->(ydx, с = -,

(19)

m

I = о, с = - у.

(20)

Из (18) и (19), после замены ф(х) = О0+в—ф(х) = О^^СУ соответственно, учитывая законы композиций операторов дробного интегро - дифференцирования и аналога критерии второй производной в дробном исчислении [13, с. 256], получим

I = ^

со

Ci

ф "(x)Dj-a-Vydx = ^ v(x)D0+a+ßv(ydx =

Ci

(Dj+a+ßv,v^ < 0, |c|<m,

- CO ( D1 +a+ß ci 1 Dox

(21)

I - 1 Сз

ф

(x)Dj-V«dx - - v(x)D0+ßv(^)dx -

Сз

о

1

- сз^+Мо < с - m

(22)

где С^, д)0 = / ^х)д(х^х- скалярное произведение в пространстве Ь2[0,г].

0

Таким образом, из (21) и (22) получаем, что I < 0. С другой стороны, из (17) имеем, что I > 0. Следовательно I = 0 при —т/2 < с < т/2, которое при однородных условиях (2) и (3) имеет место тогда и только тогда, когда ф(х) = 0. Тогда, как видно, из (13) и (14) функция 'ф(х) = 0. При с = —т/2 из (17) и (20) следует, что "ф(х) = 0 и из (6) при однородных условиях (2) получаем, что и ф(х) = 0. При этом из формул (7)-(9) имеем, что и(х,у) = 0 в области П—. В области П+ исследуемая задача для уравнения (1) совпадает со смешанной краевой задачей (2), (4) для однородного уравнения Аллера, решение которого выписывается в виде [23]:

G(x,y; =

u(x,y) = 2

n=0

r(1 + b^n)

G(x,y; £,,0)[ф(£,)- Ьф 'U)]d^,

e-t^(y-n)cos(^^nx)cos(^^n^), Цп =

n(1 + 2n) 2r

(23)

,n G N.

При однородных условиях (2) и (4) из представления (23) находим, что и(х,у) = 0 в области П+. Таким образом, однородная задача соответствующей задаче (2), (3) для уравнения (1) имеет только тривиальное решение, откуда следует единственность решения исследуемой задачи.

Перейдем к доказательству существования решения исследуемой задачи. Проинтегрировав равенство (6) дважды в пределах от 0 до х, получим

аф(х) + Ь4(х) —

(х - £,)4(£)d£ = аф(0) + b4(0) + [аф'(0) + b4'(0)] х. (24)

Пользуясь формулой нахождения производной по заданному направлению из общего курса дифференциального исчисления [24, с. 391], запишем следующую формулу для функции Н(х):

Н'(х) = иу(х,у)ух + их(х,у), У(х,у) е АоС.

Откуда для любых точек (х,у) е А0С получаем, что

uy(x,y) =

m + 2 Ux 1 х, - ( -2-х

2

2+m

- h'(х)

m + 2 \ 2+m —х

(25)

Так как иу(х, 0) е ^ (А0АГ), то из формулы (25) верно, что иу(0,0) = 4(0) = 0. Тогда с учетом условий согласования: ф(0) = Н(0), ф '(0) = 0, 4'(0) = 0, равенство (24) можно переписать в виде

1

ф(х) = -D-х24(^) - -4(х) + h(0).

а

b

—1 а

(26)

Из (10) - (12) верно, что

ф(х) = C-D0ax+ß-14(^) +

c2

х1-р /; —D££e+ß-1h ^

c2 2

m

|С| < у,

ф(х) = C3Dß-14(^) + h(2),

m

c = у,

ф(0) = C4D0-4- а4(^) + 4 х), c = - m.

(27)

(28) (29)

Исключая функцию ф(х) из (26) и соотношений (27)-(29), относительно функции 4(х) приходим к следующим уравнениям:

4(х) + - bD0-24(^) = Fa(х),

m

|c| < у,

(30)

2

фм + ¿D-'^ra - = Fo(x), c = ™, (31)

ф(*) = -' (X), c = -m (32)

где

Уравнения (30) и (31) представляют собой уравнения Вольтерра второго рода типа свертки, откуда при ?а(х), Р0(х) е ^ [0,г] можно найти единственным образом функцию "ф(х). Тогда из (26), (27) и (28) функция ср(х) найдется однозначно. После нахождения функций ср(х) и "ф(х), решение задачи (2), (3) для уравнения (1) в области П+ находится по формуле (23), а в области П- выписывается по одной из формул (7)-(9). □

Заключение

Исследована смешанная краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка с вырождением порядка внутри области. Основным результатом данной работы является теорема существования и единственности регулярного решения. С помощью метода интегральных уравнений вопрос существования решения задачи эквивалентно редуцируется к вопросу о разрешимости интегрального уравнения Вольтерра второго рода относительно следа производной искомого решения. Единственность решения доказана методом Трикоми.

Список литературы

1. Hallaire M. L'eau et la productions vegetable, Institut National de la Recherche Agronomique, 1964. Т. 9.

2. Showalter R. E., Ting T. W. Pseudoparabolic partial differential equations, SIAM J. Math. Anal., 1970. Т. 1, №1, С. 1-26.

3. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976.352 с.

4. Coleman B. D., Duffin R. J., Mizel V. J. Instability, Uniqueness, and Nonexistence Theorems for the Equation on a Strip, Arch. Rat. Mech. Anal., 1965. vol. 19, pp. 100-116.

5. Colton D. Pseudoparabolic Equations in One Space Variable, Journal of Differ. Equations, 1972. vol. 12, no. 3, pp. 559-565.

6. Шхануков М. Х. О некоторых краевых задачах для уравнений третьего порядка, возникающих при моделировании фильтрации жидкости в пористых средах, Дифференц. уравнения, 1982. Т. 18, №4, С. 689-699.

7. Yangarber V. A. The mixed problem for a modified moisture-transfer equation, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics., 1967. vol. 8, no. 1, pp. 62-64.

8. Кожанов А. И. Об одной нелокальной краевой задаче с переменными коэффициентами для уравнений теплопроводности и Аллера, Дифференц. уравнения, 2004. Т. 40, №6, С. 815-826 Doi: 10.1023/B:DIEQ.0000046860.84156.f0.

9. Макаова Р. Х. Вторая краевая задача для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана-Лиувилля, Доклады Адыгской (Черкесской) Международной академии наук, 2015. Т. 17, №3, С. 35-38.

10. Макаова Р. Х. Первая краевая задача в нелокальной постановке для обобщенного уравнения Аллера с дробной производной Римана - Лиувилля, Вестник АГУ. Серия 4: Естественно-математические и технические науки, 2017. Т. 4, №211, С. 36-41.

11. Смирнов М. М. Вырождающиеся гиперболические уравнения. Минск: Вышэйшая школа, 1977.150 с.

12. Нахушев А. М. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1995.301 с.

13. Нахушев А. М. Дробное исчисление и его применение. М.: Физматлит, 2003.272 с.

14. Кальменов T. Ш. Критерий единственности решения задачи Дарбу для одного вырождающегося гиперболического уравнения, Дифференц. уравнения, 1971. Т. 7, №1, С. 178-181.

15. Кальменов T. Ш. О задаче Дарбу для одного вырождающегося уравнения, Дифференц. уравнения, 1974. Т. 10, №1, С. 59-68.

16. Балкизов Ж. А. Первая краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения, Владикавказский математический журнал, 2016. Т. 18, №2, С. 19-30.

17. Балкизов Ж. А. Краевая задача для вырождающегося внутри области гиперболического уравнения, Известия ВУЗов. Северо-Кавказский регион. Серия: Естественные науки., 2016. Т. 1, №189, С. 5-10.

18. Балкизов Ж. А. Задача со смещением для вырождающегося гиперболического уравнения первого рода, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки., 2021. Т. 25, №1, С. 21-34 D0I:10.14498/vsgtu1783.

19. Репин О. А. Краевые задачи со смещением для уравнений гиперболического и смешанного типов. Саратов: издательство Саратовского университета, 1992.161 с.

20. Нахушев А. М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. М.: Наука, 2006.287 с.

21. Макаова Р. Х. Краевая задача для гиперболического уравнения третьего порядка с вырождением порядка внутри области, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2017. Т. 21, №4, С. 651-664 D0I:10.14498/vsgtu1574.

22. Makaova R. Kh. oundary-Value Problem for a Third-Order Hyperbolic Equation that is Degenerate Inside a Domain and Contains the Aller Operator in the Principal Part, Journal of Mathematical Sciences, 2020. Т. 250, №5, С. 780-787 D0I:10.1007/s10958-020-05043-1.

23. Макаова Р. Х. Об одной смешанной задаче для неоднородного уравнения Аллера, Доклады АМАН, 2022. Т. 22, №2, С. 29-33 D0I:10.47928/1726-9946-2022-22-2-29-33.

24. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т.1.. М.: Физматлит, 2003. 680 с.

Информация об авторе

Макаова Рузанна Хасанбиевна А - Младший научный сотрудник отдела «Уравнения смешанного типа», Институт прикладной математики и автоматизации КБНЦ РАН, 360000, г. Нальчик, ул. Шортанова 89А, Россия, © ОЯСГО 0000-0001-5864-6283.

ISSN 2079-6641

MaKaoBa P. X.

References

[1] Hallaire M. L'eau et la productions vegetable, Institut National de la Recherche Agronomique, 1964, vol. 9.

[2] Showalter R. E., Ting T. W. Pseudoparabolic partial differential equations, SIAM J. Math. Anal. 1970, vol. 1, no. 1, pp. 1-26.

[3] Chudnovskij A. F. Teplofizika pochv. Moscow, Nauka, 1976, 352 pp. (In Russian).

[4] Coleman B. D., Duffin R. J., Mizel V. J. Instability, Uniqueness, and Nonexistence Theorems for the Equation on a Strip, Arch. Rat. Mech. Anal., 1965, vol. 19, pp. 100116.

[5] Colton D. Pseudoparabolic Equations in One Space Variable, Journal of Differ. Equations, 1972, vol. 12, no. 3, pp. 559-565.

[6] Shkhanukov M. Kh. Some boundary value problems for a third-order equation that arise in the modeling of the filtration of a fluid in porous media, Differential Equations, 1982, vol. 18, no. 4, pp. 689-699. (In Russian).

[7] Yangarber V. A. The mixed problem for a modified moisture-transfer equation, Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1967, vol. 8, no. 1, pp. 62-64.

[8] Kozhanov A. I. On a Nonlocal Boundary Value Problem with Variable Coefficients for the Heat Equation and the Aller Equation, Differential Equations, 2004, vol. 40, no. 6, pp. 815-826. Doi: 10.1023/B:DIEQ.0000046860.84156.f0 (In Russian).

[9] Makaova R. H. Vtoraya kraevaya zadacha dlya obobshchennogo uravneniya Allera s drobnoj proizvodnoj Rimana-Liuvillya, Doklady Adygskoj (CHerkesskoj) Mezhdunarodnoj akademii nauk, 2015, vol. 17, no. 3, pp. 35-38. (In Russian).

[10] Makaova R. H. Pervaya kraevaya zadacha v nelokal'noj postanovke dlya obobshchennogo uravneniya Allera s drobnoj proizvodnoj Rimana - Liuvillya, Vestnik AGU. Seriya 4: Estestvenno-matematicheskie i tekhnicheskie nauki, 2017, vol. 4, no. 211, pp. 36-41. (In Russian).

11] Smirnov M. M. Vyrozhdayushchiesya giperbolicheskie uravneniya. Minsk, Vyshehjshaya shkola, 1977, 150 pp. (In Russian).

12] Nahushev A. M. Uravneniya matematicheskoj biologii. Moscow, Vysshaya shkola, 1995, 301 pp. (In Russian).

13] Nahushev A. M. Drobnoe ischislenie i ego primenenie. Moscow, Fizmatlit, 2003, 272 pp. (In Russian).

14] Kal'menov T. Sh. A criterion for the uniqueness of the solution of the Darboux problem for a certain degenerate hyperbolic equation, Differential Equations, 1971, vol. 7, no. 1, pp. 178-181. (In Russian).

15] Kal'menov T. Sh. The Darboux problem for a certain degenerate equation, Differential Equations,1974, vol. 10, no. 1, pp. 59-68. (In Russian).

16] Balkizov Zh. A. The first boundary value problem for a degenerate hyperbolic equation, Vladikavkaz. Mat. Zh., 2016, vol. 18, no. 2, pp. 19-30. (In Russian).

17] Balkizov ZH. A. Kraevaya zadacha dlya vyrozhdayushchegosya vnutri oblasti giperbolicheskogo uravneniya, Izvestiya VUZov. Severo-Kavkazskij region. Seriya: Estestvennye nauki., 2016, vol. 1, no. 189, pp. 5-10. (In Russian).

18] Balkizov ZH. A. The problem with shift for a degenerate hyperbolic equation of the first kind, Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences, 2021, vol. 25, no. 1, pp. 21-34. D0I:10.14498/vsgtu1783 (In Russian).

19] Repin O. A. Kraevye zadachi so smeshcheniem dlya uravnenij giperbolicheskogo i smeshannogo tipov. Saratov, izdatel'stvo Saratovskogo universiteta, 1992, 161 pp. (In Russian).

[20] Nahushev A. M. Zadachi so smeshcheniem dlya uravnenij v chastnyh proizvodnyh. Moscow, Nauka, 2006, 287 pp. (In Russian).

[21] Makaova R. Kh. A boundary value problem for a third order hyperbolic equation with degeneration of order inside the domain, Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki, 2017, vol. 21, no. 4, pp. 651-664.DOI:10.14498/vsgtu1574 (In Russian).

[22] Makaova R. Kh. Boundary-Value Problem for a Third-Order Hyperbolic Equation that is Degenerate Inside a Domain and Contains the Aller Operator in the Principal Part, Journal of Mathematical Sciences, 2020, vol.250, no. 5, pp. 780-787. D0I:10.1007/s10958-020-05043-1

[23] Makaova R. H. About one mixed problem for the inhomogeneous Hallaire equation, Adyghe Int. Sci. J., 2022, vol. 22, no. 2, pp. 29-33. D0I:10.47928/1726-9946-2022-22-2-29-33 (In Russian).

[24] Fihtengol'c G. M., Kurs differencial'nogo i integral'nogo ischisleniya. T.1.. Moscow, Fizmatlit, 2003, 680 pp. (In Russian).

Information about author

Makaova Ruzanna KhasanbievnaA - Junior Researcher Department «Equations of Mixed Type», Institute of Applied Mathematics and Automation KBSC RAS, 360000, 89A Shortanova St., Nalchik, Russia ©ORCID 0000-0003-4095-2332.