Нелинейные матрицы жесткости и вязкости конечных элементов упруговязкопластических тел при динамическом и простом статическом нагружениях Текст научной статьи по специальности «Физика»

сложной системы, как «человек—одежда—среда», учитывающий и физиологические, и технологические аспекты проблемы, позволяет значительно приблизить получаемые результаты моделирования (а именно параметры системы по элементам и участкам) к созданию наиболее надежной (в плане теплозащитного эффекта) специальной одежды, которая является основным средством обеспечения безопасности труда в условиях критических температур.

Литература

1. Черунова И. В. Описание эллиптического сечения элементов математической модели для проектирования одежды // Научная мысль Кавказа. 2006. Приложение № 2. С. 149-151.

2. Бартон А., Эдхолм О. Человек в условиях холода. М., 1957.

3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М., 1977.

4. Афанасьева Р. Ф. Гигиенические основы проектирования одежды от холода. М., 1977.

5. Михеев М. А., Михеева И. М. Основы теплопередачи. М., 1977.

Ростовский институт сервиса ЮРГУЭС

2 ноября 2006 г.

УДК 539.3:624.04

НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТРИЦЫ ЖЕСТКОСТИ И ВЯЗКОСТИ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ УПРУГОВЯЗКОПЛАСТИЧЕСКИХ ТЕЛ ПРИ ДИНАМИЧЕСКОМ И ПРОСТОМ

СТАТИЧЕСКОМ НАГРУЖЕНИЯХ

© 2007 г. Г.В. Воронцов

1. Кинематически нелинейная теория деформаций сплошных тел

Введем вектор деформаций

r6c ,t ) =

= colon [еп (x,t) ¡ 822 (,t) ¡ 833 Ge,t) ¡ 8j2 6c,t) ¡ 823 6c,t) ¡ 8316c,t)]

в точке С = colon [ X2 X3 ] конечного элемента и вектор перемещений

U(cc,t) = colon [ 6c, t) ! U2 6c,t) ! U3 6c,t)] ,

отнесенные к некоторой системе координат Xi, X 2, X3 • Зависимость между векторами £ и U представим в виде

-бе ,t ) =

П 0 + 1 П^йбс ,t ))D

2

(1)

где введены обозначения

п* =

" э 0 0 ! д 0 д "

dXi ! дХ2 1 1 дХз

0 э 0 д i д 1 0

J дХ 2 ! dXi ! дХз L

0 0 д 1 0 д д

_ дХз 1 1 ! дХ2 дХ1 J

Ц (й)=

Э«2 1 Эи2 I Эиз d02 i Э%2 dXi о 1 1 ооо 1 1 1 1 о о

1 1 о ! ^ ! о 1 1 i 1 Эи1 ЭХ1 Эи2 1 Эи3 | —2 1 —3 1 о 1__ЭХ_2_] _ЭХ2_1_____j о о

1 1 о ! о \ о 1 1 ± 1 о 1 1 rhj о ! о ! L_____1____ Эи2 ЭХз Эи3 ЭХ1

ди2 \ ди1 \ ди3 1 | о i о i ^ui Эиз | Эи2 | Эи1 _ Эхн ^з ! ЭХ1 Эи2 _Эи3 о Эи1 ! Эиз ! о Эи2 | Эи^ Эи3 ^2] ЭХз о j о ¡-^ ! ! ЭХз о Эи2 __?Хз_ Эи2 ЭХ1 > о о Эи1 ЭХз _

" Э 1 1 Э Э

ЭХ1 ЭХ2 ! ЭХз !

А D = J Э ЭХ1 1 1 ± J Э ЭХ2 Э

Э Э и 1 1 Э

_ ! ЭХ1 ЭХ2 ! ! ЭХз _

Варьируя и дифференцируя по t выражение (1), имеем:

так как, например,

8е(,t) = [По + П^й(,t))D] 5й(,t), i(,t)= [по + Ц(й(х,t))D] й(,t),

П1 (й(с,t))dй = Ц(й )Dй.

(2) (3)

Слагаемое, малое второго порядка относительно вариации 8 и, в формуле (2) отброшено.

2. Возможная работа внутренних сил нелинейно упругих тел

Выделим из нелинейно упругого тела элементарный параллелепипед

ж = ¿Х • • >

«начальное» деформированное состояние которого характеризуем перемещениями и(£), деформациями £ (^) и напряжениями .

Сообщим точкам тела некоторые малые возможные перемещения 8 й(х) и составим выражение для работы внутренних сил, характеризуемых вектором , обусловленным приращениями де-

формаций 8е(%):

: = |8£* 6с Жх УЫ =

V

= J [(П00 й(х) )" + (DÔ й(х) )* П* (й() ) д(х)V,

V

см. выражение (2).

Напряжения в точке X для нелинейно деформируемого материала определяем по формуле

(4)

ö(x ) = Ecr (еи » X )

П 0 +1П (и )D

2

и,

(5)

где Ecr (би, х) есть «секущая» (cross) матрица жесткости, соответствующая интенсивности деформаций

8и =• f(r) = 1 + * (п - 822 )2 + (22 - 833 )2 +

+ (8зз -8ii)2 + Ufe +82з +82I72•

Вариацию напряжений находим по выражению

М%) = Etn (8и ,u ))(8и М^бс,u \

где Etn (х) — «тангенциальная» матрица жесткости материала.

Заметим, что все приведенные формулы корректны и для пластических тел, но только при простом нагружении [1]. Для линейно деформируемого материала Ecr • = Eg = E. Подставляя выражение (5) в формулу (4), получаем

8W = ||[(п08и(х))* + (D5и(х))*П*(u())] х

yL

Г 1 П] (6)

х Ecr (8и (х))П0 и(х)+ 2 П1 (u(x))(Dи(х)) \У dV,

где

все 5и(х)= : sи(х,и), и(х)=: и(х,и).

3. Возможная работа внутренних сил вязкости сплошных тел

В настоящей статье ограничимся обобщенной моделью упруговязкого тела

, х) = Есг (8и (, ,Х)+ к (, %)>

которая наиболее подходит к определению напряженно-деформированного состояния при постоянной нагрузке, простом нагружении и в задачах динамики. Здесь Есг (би (, %)) — в общем случае

переменная во времени «секущая» матрица жесткости материала. При малых колебаниях относительно статического (ст) равновесного состояния в формуле (7) вводим тангенциальную матрицу жес-

ткости Ет (еИт, X

Возможную работу внутренних сил вязкости материала определяем выражениями

8Ж = |8£* (х )К (х )г (, х = V

= |{[П о + П1 (й( ,t ))D]5 ü(t, с )} X

V

X K (с )[П о + П1 (й(с, t ))D ]й (с ,t )dV,

см. формулы (2) и (3), а также сравним с выражением (6). Матрица К (х) в выражениях (7) и (8) эквивалентна таковой в гипотезе Ньютона идеальной вязкой жидкости.

4. Матрицы жесткости и вязкости конечных элементов упругоязкопластических тел

Предположим, что из некоторой конструкции выделен конечный элемент достаточно малого размера, например, в виде элемента стержня, плиты, пластины, оболочки или массива.

Полагаем, что перемещения КЭ, обусловленные действием внешних сил или (и) взаимодействия КЭ с «отброшенными» частями стержня, плиты и т. п. , могут быть представлены в виде

(, X ) = Ф* (х )и (), ] = 1,2,3;

(9)

и(, X ) = ф(х )и (),

где

фj (X) — заданные вектор-функции аппроксимации; и(() — вектор обобщенных, в частности

«узловых», перемещений КЭ; ф(х) — матрица, составленная из строк ф* (х).

Возможные перемещения (отклонения от достигнутого состояния и(, х)) определяем соотношением

8 и(х ,х ) = ф(х )8 и (). (10)

Отметим, что возможные перемещения 8 и (^) произвольны и введение в вектор времени t означает лишь дополнительное «упоминание» о том, что речь идет об отклонениях от достигнутых перемещений 8 и( .

В дальнейшем принимаем 8 и (( )=: 8 и.

Подставляя выражения (9) и (10) в формулу (6), преобразуем выражение для возможной работы сил упругости к виду

5W = 5U J-VI

(П оФ(х)) + (ВФ(х ))Ч (ф( )U (())

х Ecr (еи (, U(())) ПоФ(х)+ 2 П (Ф(х)U(t))(ВФ(х))

х

kv.

(ii)

Здесь учтено, что матрица Есг зависит от переменной во времени интенсивности деформаций 8и.

Выполняя операции перемножения в подинтегральном выражении формулы (11) и вводя обозначения для сокращения записей, примем

H 0 (U (()) = J (П оФ(с) )Ecr ( (с, U (())(П оФ(с )))kV;

(12)

V

H и (U (()) = J (п оФ(х) )*E cr (8и (х, U (())) У

х П1 (ф(х )U (t ))ф(х ))dV; АН (U (()) = 1 J ^Ф(х) )П1 (Ф(х )U (()) Ecr (8и (х, U (()))х

4У

х(П1Ф(х )U (t ))(ОФ(х ))У,

преобразуем формулу (11) к виду

5W = 5 U

(13)

(14)

(15)

(16)

Но(()+ Ни(()+ Ни(()+АН(() U(()

Заметим, что вследствие зависимости матрицы Ecr от t, матрица упругой жесткости

Н = Н о (()+ Н и (()+АН(()

также зависит от времени. Для линейно упругих материалов Ecr • = Ecr = const, но все равно

матрица Н будет переменной, см. множители П1Ф(х )U (t) в формулах (13)—(15).

При малых колебаниях конструкции относительно заданного статического состояния

U ст (х )=Ф(х )U ст

матрицы (12)—(14) можно считать постоянными, если в соответствующих выражениях произвести замену

Ecr (8и (с ,U (())): = Etn (8и ( ,U ст ))•

Возможную работу внутренних сил вязкости определим на основе выражений

i (t, x) = (П оФ(х) )U (()+ П1 (Ф(х )U (t) )DФ(х )U (t), 5r* (t, x) = 5 U* {(П оФ(х ))* + фФ() )* (П1 (()U (()))* ],

при составлении которых использованы тождества типа

П1 (и )б8 и = П1 (8 и )б и; П1 (и )Бг& = П1 (и )б и.

Подставляя приведенные соотношения в первую формулу (8), получаем

8ЖВ =8 и* {п оФ(х )+(ВФ(х))(((ф(х )и (())))х хК(х){(ПоФ(х))#(()+ П1 (ф(х)и(())ф(х) }

Составляющие матрицы вязкости

(17)

HB = HO + и® + (ы* )* +АЫВ, (18)

определяем по формулам

И0 = |(ПоФ(с)) K(х)(ПоФ(^))^У; V

(19)

НИ (и(())= |(поФ(х))К(х)П1(ф(х)и(())Вф(х) ¿v; (20)

V

АН в (и (Г ))=!(БФ(х ))( (ф(х )и (()))) (х)х V

х П (ф(х )и (^ ))(БФ(х ))<Ы.

С учетом полученных выражений (12)—(20) уравнение деформации конечного элемента упруго-вязкого тела можно записать в виде

м ¿&(()+ нв и (()+ н и (() = Р ((),

где р (— вектор обобщенных сил, действующих на КЭ; М — матрица масс, вычисляемая по формуле

*

M = JФ (с)т(с)ф(с)dV, V

4) -

где х) — плотность материала.

Литература

1. Воронцов Г. В. , Дыба В. П. Матрицы жесткости конечных элементов из упругопластических изотропных материалов при простом нагружении // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн науки. 2005. Спецвыпуск. С. 72—79.

Южно-Российский государственный технический университет

(Новочеркасский политехнический институт) 25 декабря 2006 г.